不定积分基本公式表

不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

推导公式:
2.
∫
1
a2 − x2
dx = ∫
dx x a 1− a
2
=∫
x d a x 1− a
2
x = arcsin + C a
3.
1 1 1 (x + a ) − (x − a ) dx = dx ∫ x2 − a2 ∫ (x + a )(x − a ) = 2a ∫ (x + a )⋅ (x − a ) dx
解:
x →0 x →0
∴ f (x ) 在 x = 0 处连续. ∴ f ( x ) 在 (− ∞,+∞ ) 上连续.
∴ 原函数存在.
∫
因为
− cos x + C1 4 f ( x )dx = 3 3 x + C2 4
x>0 x≤0
∫
f ( x )dx可导,所以必连续.
∴ − cos 0 + C1 = C2
例4.1.8求
x ∫ cos 2 dx
2
2
恒等变形
1 1 1 + cos x x = dx + ∫ cos 2 dx = ∫ 2 dx 2 ∫ 2 ∫ cos xdx 1 1 = x + sin x + C 例4.1.9 2 2 sin x x > 0 例5.1.10 设 求 f ( x ) = 3 f (x )dx ∫ x≤0 x 解: Θ f (0 ) = 3 0 = 0 且 lim f ( x ) = lim sin x = 0
∫sin xcos xdx tan sec x xdx ∫
m n
(
)
例5.1.24
设

13个不定积分公式1. $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n$为常数，$C$为常数）通常情况下，我们将 $n$ 称为幂。

不定积分的公式中，都是求积分后得到一个表达式再加一个常数 $C$。

这个常数是需要加上去的，因为求不定积分并不能得到一个确定的结果。

而这个常数可以是任意常数。

2. $\int \frac{1}{x} dx=\ln|x|+C$这个公式中要注意绝对值符号的使用。

因为在 $x$ 小于等于 $0$ 时分母为负数，所以需要在计算过程中使用绝对值。

3. $\int e^x dx = e^x + C$这是指数函数的积分公式，也是求自然指数的不定积分的公式。

4. $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$ （$a$为常数）这是带有幂的指数函数的积分公式。

5. $\int \sin x dx = -\cos x + C$这是正弦函数的积分公式。

6. $\int \cos x dx = \sin x + C$这是余弦函数的积分公式。

7. $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$这是正切函数的积分公式。

8. $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$这是余切函数的积分公式。

9. $\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$这是正切函数的积分公式，同样也需要注意绝对值符号。

10. $\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$这是余切函数的积分公式，同样也需要注意绝对值符号。

11. $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$这是正切和正割函数的积分公式。

12. $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$这是余切和余割函数的积分公式。

13. $\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} +C$ （$a$为常数）这是反正切函数的积分公式，也可以通过代换法将其他函数转化为此类型的积分进行求解。

不定积分常用公式大全有很多的同学是非常的想知道，不定积分常用公式有哪些，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！不定积分常用公式有哪些1）∫0dx=c 不定积分的定义2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本积分公式14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;不定积分解题技巧个人经验首先，要知道一下，不定积分其实就是求导的逆运算，就像下面的公式；只不过在后面加上常数C，因为加上C与不加C的导数结果一样，毕竟，常数的导数为0嘛。

下图是书上的公式以验证词步骤。

其次，我们要谈论对第一类换元法的理解，所谓的第一类换元其实就是一种拼凑利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。

（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）分布积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，我认为比较好的记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。