2014年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年天津市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④A F•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选：D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．【分析】由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC 的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1=（q﹣1）（1+q+…+q n﹣2）﹣q n﹣1=﹣q n﹣1=﹣1＜0．∴s＜t．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=x ﹣ae x ，∴f′（x ）=1﹣ae x ；下面分两种情况讨论：①a ≤0时，f′（x ）＞0在R 上恒成立，∴f （x ）在R 上是增函数，不合题意； ②a ＞0时，由f′（x ）=0，得x=﹣lna ，当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下表：∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna ），减区间是（﹣lna ，+∞）；∴函数y=f （x ）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f （﹣lna ）＞0；②存在s 1∈（﹣∞，﹣lna ），满足f （s 1）＜0；③存在s 2∈（﹣lna ，+∞），满足f （s 2）＜0；由f （﹣lna ）＞0，即﹣lna ﹣1＞0，解得0＜a ＜e ﹣1；取s 1=0，满足s 1∈（﹣∞，﹣lna ），且f （s 1）=﹣a ＜0，取s 2=+ln ，满足s 2∈（﹣lna ，+∞），且f （s 2）=（﹣）+（ln ﹣）＜0；∴a 的取值范围是（0，e ﹣1）．（Ⅱ）证明：由f （x ）=x ﹣ae x =0，得a=， 设g （x ）=，由g′（x ）=，得g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x ∈（﹣∞，0）时，g （x ）≤0，当x ∈（0，+∞）时，g （x ）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。

34i，即求出值【解析】作出可行域，如图：【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ，又AF BD AB BF =，排除A 、C. DBC ，排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系，得到角相等，，所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-，所以AE AB AD λ=+，AF AB AD μ=+.因为1AE AF =，所以()()1AB AD AB AD λμ++=，即2λ2-②，①+②得5λμ+=，故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义求得2120ππ4π2233+=m 【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+，所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -43π3x 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法1203373734960C C C C +=. 3463k k C C -(k =3463k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点，得(1,1,1)E.证明：向量(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=，故0BE DC=.所以，）向量(1,2,0)BD=-，(1,0,PB=设(,,)n x y z=0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即-⎧，可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量,||||6n BEn BEn BE==⨯与平面PBD3）向量(1,2,0)BC=，(2,CP=-，(2,2,0)AC=，(1,0,0)AB=由点F在棱PC上，设CF CPλ=，0≤故()1,2BF BC CF BC CPλλλ=+=+=-.，得0BF AC=，因此，2(1即12BF⎛=-设(1,n x y=为平面FAB的法向量，则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即，可得1(0,n=-FAB的一个法向量的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==31010.【提示】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC =，可得BE DC ⊥；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）根据BFAC ，求出向量BF 的坐标，进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ABP 的余弦值2，有10(F P x =+，1(,)F B c c =由已知，有110F P F B =，即1.②由①和②可得234x cx +可得1F P ，1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥，于是110F B F P =，得到040cx =，解得1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a (1n a -++-()1q ++-q。

2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8小题，每小题5分）1.（ 5分）（2014 ?天津）i 是虚数单位，复数 -------- =（ ）3+41 A . 1-i B . - 1+iC .丄+」D_ +_i25 2^77考点：复数代数形式的乘除运算. 专题：数系的扩充和复数.分析：将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3 -4i ，即求出值.解答：解：复数 7+1. (7+1) (3-41)|25 - 25! “.34-41 (3+蚯)(3-4i)=251故选A .点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题.最小值为（ ）A . 2B . 3考点：简单线性规划. 专题：不等式的解法及应用.分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 解答：解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y ，得 y=-丄-*盂4违的截距最小，此时z 最小. 此时z 的最小值为z=1+2 xi=3, 故选：B .平移直线y=- ，由图象可知当直线 y=- 经过点B （1, 1）时，直线y=2. （ 5分）（2014?天津）设变量 z=x+2y 的z 的最大值. x ,则目标函数ic/Il-1-1■J/\点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.3.（5分）（2014?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A . 15 B. 105 C. 245 D. 945考点：程序框图.专题：算法和程序框图.分析：算法的功能是求S=1 >3>5X-（2i+1 ）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值.解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1 X3>5X->>2i+1 ）的值，•/跳出循环的i值为4,•••输出S=1 X3X5XM05 .故选：B.点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.4. > 5分）> 2014?天津）函数f >x）=log >x2_4）的单调递增区间为> ）~2A . > 0, +7 B. （— a, 0）C. > 2, +呵D. > — a,—2）考点：复合函数的单调性.专题：函数的性质及应用.分析：令t=x2- 4 >0,求得函数f (x)的定义域为(-汽-2) U (2, + 8),且函数f ( x) =g (t) =log ]t.根据复合函数的单调性，本题即求函数t在(-8, - 2) U (2, + ^) 2上的减区间•再利用二次函数的性质可得，函数t在(-8,- 2) U (2, + 8)上的减区间.解答：解：令t=x2- 4 > 0,可得x > 2，或X V- 2,故函数f (x)的定义域为(- 8,- 2) U (2, + 8),当x€(-8,- 2)时，t随x的增大而减小，y=log 11随t的减小而增大，~2所以y=log ] (x2- 4)随x的增大而增大，即f (乂)在(-8,- 2)上单调递增.故选：D.点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题.2 2岂-耳=1 (a>0, b>0)的一条渐近线平行于直线a2b23• • 2 2 .2-c =a +b ,2 2--a =5, b =20,5. ( 5分)(2014?天津)已知双曲线y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线I上，则双曲线的方程为(=1[Too考点：双曲线的标准方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：先求出焦点坐标，利用双曲线£-£=1 (a>0, b>0)的一条渐近线平行于直线a21/, 2 2 2y=2x+10，可得=2，结合c =a +b，求出aa, b,即可求出双曲线的方程.解答：解：•••双曲线的一个焦点在直线I 上,令y=0，可得x= - 5,即焦点坐标为(-5, 0), ••• c=5,-=1 (a> 0, b > 0)的一条渐近线平行于直线I: y=2x+10 ,C.=1故选：A .点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题.6. （5分）（2014?天津）如图，△ ABC是圆的内接三角形，/ BAC的平分线交圆于点D ,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分/ CBF;②FB2=FD?FA；③AE?CE=BE ?DE;④AF?BD=AB ?BF .所有正确结论的序号是（）A .①②B .③④C .①②③D .①②④考点：与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用.专题：直线与圆.分析：本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项.解答：解：•••圆周角/ DBC对应劣弧CD，圆周角/ DAC对应劣弧CD,••• / DBC= / DAC .•••弦切角/ FBD对应劣弧BD，圆周角/ BAD对应劣弧BD ,•/ FBD= / BAF .•/ AD是/ BAC的平分线，•/ BAF= / DAC .•/ DBC= / FBD .即BD平分/ CBF .即结论①正确. 又由 / FBD= / FAB , / BFD= /AFB，得△ FBD 〜△ FAB .由,FB2=FD?FA .即结论②成立.r A rb由—-得AF?BD=AB ?BF .即结论④成立.AF _AB正确结论有①②④ .故答案为D点评：本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度 不大，属于基础题.7. （ 5 分）（2014?天津）设 a , b€R ，贝U a >b”是 a|a|>b|b|”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题：简易逻辑.分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答：解：若a >b ,① a > b%,不等式a|a|> b|b 等价为a?a > b?b ,此时成立.② 0>a > b ,不等式a|a >b|b|等价为-a?a >- b?b , 即卩a 2< b 2,此时成立.③ a^0 > b ,不等式a|a|> b|b 等价为a?a >- b?b ，即a >- b ,此时成立，即充分性 成立. 若 a|a|> b|b|,① 当 a >0, b > 0 时，a|a |>b|b|去掉绝对值得，（a - b ） （a+b ）> 0，因为 a+b >0,所 以 a -b >0，即 a >b .② 当 a > 0, b < 0 时，a > b .③ 当 a < 0, b < 0 时，a|a |>b|b|去掉绝对值得，（a - b ） （a+b ）< 0，因为 a+b < 0,所 以a -b >0，即a >b .即必要性成立，综上a >b"是a|a |>b|b|”的充要条件， 故选：C .点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键.& （ 5分）（2014?天津）已知菱形 ABCD 的边长为2, / BAD=120 °点 _ _.=入L-, I =』：’，若（_-?，* =1，-'上？-.1 =考点： 专题： 分析： 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由AL ? AF 1，求得4 A+4卩-2入=：3①；再由JE ?L,F --；,求得-入-入甘-下②.纟口 合①②求得入+卩的值.解答：解:由题意可得若 AE ?AT = ( A5+BE ) ?(应5+DF )=阴存 AD +址■ AD +BI!・ DFE 、F 分别在边BC 、DC 上, 1B. 2C. 5D . 2 36?12A .=4 V4 p- 2 入—2=1 ,4 V+4 p- 2 入=3 ①.西?斎-EC ?（-氏）版呢=（1 -入）厩？（1 - P）瓦=（1- V）而? （1 -2=(1 - V (1-p) »>DOS120 = (1 -入—p+ 入)(-2)=-二，即-V p+ V =,-二②.3由①②求得V+尸二，6点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义, 属于中档题.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. （5分）（2014?天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4: 5: 5: 6,则应从一年级本科生中抽取60 名学生.考点：分层抽样方法. 专题：概率与统计.分析：先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求.解答：解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为丄4+5+B+6 5故应从一年级本科生中抽取名学生数为300 >=60,故答案为：60.=2 >2 >Cos120°【-■ i' '■+ 入「，i?「i+ V I?『，'= -2+4 p+4 廿入卩2滋Xdos120°点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法, 应各层的样本数之比，属于基础题.利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对故答案为：上.10.（5分）（2014?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为侧视图考点：由三视图求面积、体积. 专题：立体几何.分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的 体积公式计算. 解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2，底面直径为4,几何体的体积V n点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.11. （5分）（2014?天津）设｛a n ｝是首项为a i ，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若 S i , S 2, S 4成等比数列，则 a 1的值为 -丄.考点：等比数列的性质. 专题：等差数列与等比数列. 分析：n （ 2ai+l - n ）由条件求得，S n = -------------- ----------- ，再根据S 1,S 2, S 4成等比数列，可得％ Z=S 1?S 4, 由此求得a 1的值.m .正视图 傭观圏兀.故答案为:再根据若S i, S2, S4成等比数列，可得S 2 2=S1?S4，即(施］-1) 2=a i? (4a i -6),解得a i=-—,1故答案为：-一.2点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题.12. (5分)(2014?天津)在△ ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c,已知b-c4a，2sinB=3sinC,则cosA的值为一丄—考点：余弦定理；正弦定理.专题：解三角形.分析：由条件利用正弦定理求得a=2c, ,再由余弦定理求得cosA= * 的值.2 2bc解答：解：在△ ABC中，故答案为：-一.4点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.13. (5分)(2014?天津)在以0为极点的极坐标系中，圆p=4sin B和直线p in 9=a相交于A、B两点，若△ AOB是等边三角形，则a的值为3 .考点：简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程.分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+ (y- 2) 2=4，可得a 的值.解答：解：直线psin 0=a 即y=a, (a>0),曲线p=4sin 0,2 2 2即p =4 psin0,即x + (y - 2) =4,表示以C (0, 2)为圆心，以2为半径的圆，解答:解：由题意可得, a n=a i+( n —1)( —1 )=a i+1 -■/ b- c」a ①，2sinB=3sinC ,4••• 2b=3c ②，•/ △ AOB 是等边三角形，••• B (二a , a ),3直线和圆的位置关系， 求出B 的坐214. ( 5 分)(2014?天津)已知函数 f ( x ) =|x +3x|, 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 (0, 1)考点：专题：分析：根的存在性及根的个数判断. 函数的性质及应用. 由 y=f (x )- a|x - 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|,作出函数 y=f (x ), y=a|x - 1|的图象利用 数形结合即可得到结论.解答：解：由 y=f (x ) - a|x — 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|, 作出函数y=f (x ), y=g (x ) =a|x - 1|的图象， 当a 切，不满足条件，f a ts - 1)玄>1则 a > 0,此时 g (x ) =a|x - 1|=, _ ,L _ a (i _ PY 1当—3v x v 0 时，f (x ) = - x 2- 3x , g (x ) = - a (x - 1), 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时-x 2 - 3x= - a (x - 1),即 x + (3 - a ) x+a=0, 则由△ = (3- a ) 2 - 4a=0，即 a 2- 10a+9=0，解得 a=1 或 a=9, 当a=9 时，g (x ) = - 9 (x - 1), g (0) =9，此时不成立，•此时 a=1,要使两个函数有四个零点，则此时0v a v 1,若a > 1,此时g (x ) = - a (x - 1 )与f (x ),有两个交点， 此时只需要当x > 1时，f (x ) =g (x )有两个不同的零点即可， 即 x +3x=a (x - 1),整理得 x + ( 3 - a ) x+a=0 ,则由△ = (3- a ) 2 - 4a > 0, 即卩 a 2 - 10a+9>0，解得 a v 1 (舍去)或 a > 9, 综上a 的取值范围是(0, 1) U (9, + s),方法 2：由 f (x )- a|x - 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|,x €R ,若方程 f (x )- a|x- 1|=0 恰有 4 U (9, +s).代入 x 2+ ( y - 2)2=4，可得(2+ (a -2) 2 =4,a > 0, - - a=3.点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 标是解题的关键，属于基础题.若x=1，则4=0不成立, 故x 力,f (J=1x 沖1 =1、丘 - 1 ) 2+5 (K- 1)|K -I || lx-11x-1+5|, 设 g (x ) =x — 1+'!当 x > 1 时，g (x ) =x — 1+，:Z-1+5 ■1—-— - ■■ I "，当且仅当 X _ 1口 号,+5,则方程等价为|=|x - 1+1X-1仁1，即x=3时取等当X V 1时,=5 — 4=1，当且仅当—(x — 1)=—」L ,即卩x= — 1时取等号，Z- 1则|g ( X )I 的图象如图：若方程f (x )— a|x — 1|=0恰有4个互异的实数根, 则满足a > 9或0 V a v 1,故答案为:点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强, 难度较大.三、解答题(共6小题，共80分)I 7115. (13 分)(2014?天津)已知函数 f (x ) =cosx?sin (x+—)(I )求f (x )的最小正周期；jr| jr(n )求f (x )在闭区间［-——,——］上的最大值和最小值.4 4考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法. 专题：三角函数的图像与性质. 分析：(i )根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的,x €R .(n )由(i )化简的函数解析式和条件中x 的范围,求出2x- —的范围，再利用3正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.解答: 解答解：(i )由题意得，1 . . V3 2=-=.i ；■: ' ■ ■q q=*「」「.I-：.」.(2工-中Vs qL ・2Sin所以, 由(I )得 f (x )|一 ,周期公式 求出此函数的最小正周期;cosx )f (x ) =cosx? (—sinx2f (x )的最小正周期=n.16. （ 13分）（2014?天津）某大学志愿者协会有 6名男同学，4名女同学，在这10名同学中, 3名同学来自数学学院，其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10名同学中随机选取 3名同学，到希望小学进行支教活动 （每位同学被选到的可能性相同） （I ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；f n ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.考点：古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列. 专题：概率与统计. （I ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的 基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；兀 口]，则 2疋一 "€[— 5717T ? -------------2 23 6 6,即吕口（2丈一芈）=- 乂时，_ 1~2f ( x ) 函数f （x ）取到最小值是:取到最大值是:丄，最小值为4点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题.分析: 3名同学是来自互不相同学院的（n ）随机变量X 的所有可能值为0, 1, 2,3, P (X=k)3-k---- --- (k=0 , 1, 2,解答:3）列出随机变量 X 的分布列求出期望值.f I ）解：设 选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A ,点评: _C 扣*弼49c10，=60所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为（n ）解：随机变量X 的所有可能值为2, 3）所以随机变量的分布列是2 3 lb随机变量0, 1, 2,4960(k=0, 1,31] 30 X 的数学期望 E47+3X7^^.5210 30 5本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望,考查应用概率解决实际问题的能力. 由 x€[- 所以，所求的最大值为丄，_]得，2x €[-sin 〔2蛊 - ¥ 1时, ],周期公式17. （ 13 分）（2014?天津）如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA 丄底面 ABCD ,AD 丄 AB ,AB // DC , AD=DC=AP=2 , AB=1，点 E 为棱 PC 的中点.（I ）证明：BE 丄DC ;（II ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（川）若F 为棱PC 上一点，满足 BF 丄AC ,求二面角F -AB - P 的余弦值.考点： 专题： 分析： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角. 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何.（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 求出BE , DC 的方向向量,根据二了？ |-0 ,可得BE 丄DC ;（II ）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线 BE 与平面PBD所成角的正弦值；（川）根据BF 丄AC ,求出向量IT 的坐标，进而求出平面 FAB 和平面ABP 的法向量, 代入向量夹角公式，可得二面角 F - AB - P 的余弦值. 解答: 证明：（1） •/ PA 丄底面ABCD , AD 丄AB ,以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，••• AD=DC=AP=2 , AB=1，点 E 为棱 PC 的中点.••• B ( 1, 0 , 0), C (2 , 2 , 0), D ( 0 , 2 , 0),P(0 , 0 , 2), E (1 , 1 , 1)-- ■- - N=(0 , 1 , 1), 1'= (2 , 0 , 0) I '=0 ,• BE 丄 DC ;(n ) v | i= ( - 1, 2, 0),可；=(1, 0, - 2),设平面PBD 的法向量| = (x , y , z ),令 y=1，则 >■= ( 2, 1, 1), 则直线BE 与平面PBD 所成角B 满足:(出)V|，■-= (1 , 2, 0),心(-2,- 2, 2), i= (2, 2, 0),由F 点在棱PC 上，设CF =疋P = (- 2入，-2入2 X) (0三入1) 故E?=^+EF = (1 - 2 人 2 - 2X, 2X (0W 入1 炙, 由 BF 丄 AC ,得 BF ?AC =2 (1 - 2 X +2 (2- 2 X =0,设平面FBA 的法向量为ii= (a , b , c ),令 c=1，则「i= ( 0,- 3, 1), 取平面ABP 的法向量| i = (0, 1, 0), 则二面角F - AB - P 的平面角 a 满足:故二面角F - AB - P 的余弦值为：— 10点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向 量夹角问题，是解答的关键.ID 尸 BD-m*PB=0，得-s+2y=0 x - 2 z=0sin 0=in故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为Vsn * AB = 0 n*BF=0COS a == 3I i | ■|n | 7103v'TC i10 即芋=(-，得18. (13分)(2oi4?天津)设椭圆亠+ 二=1 (a > b > o )的左、右焦点分别为 F i 、F 2，右顶a 2b 2点为A ，上顶点为B ,已知|AB|=丄丄|F i F 2|.2(I )求椭圆的离心率；(n )设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点 F 1,经过原点O 的直线I 与该圆相切，求直线I 的斜率.考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(I )设椭圆的右焦点为F 2 ( c , o ),由|AB|=V3|F 1F 2|.可得Qj + b 巫容x 2c , 再利用b 2=a 2 - c 2, e=即可得出.aj - ] ■ 1 . - =c (x o +c ) +cy o =0,(n )由(i )可得b 2=c 2 •可设椭圆方程为? 2亠;亡二1 ,设 P (x o , y o ),由 F i (-c , o ) , B( o , c ),可^得卩利用圆的性质可得-,于是I卜=。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

第Ⅰ卷一、选择题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数734ii+=+ A.1i - B.1i -+ C.17312525i + D.172577i -+ 2.设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5 3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A.15B.105C.245D.945 4.函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为A.(0，)+∞B.(-∞，0)C.(2，)+∞D.(-∞，2)-5.已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -=6.如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是A.①②B.③④C.①②③D.①②④ 7.设a 、b R ∈，则“a b >”是“||||a a b b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1=⋅AF AE ，=⋅CF CE 32-，则λμ+= A.12 B.23 C.56 D.712第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生. 10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .11.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S 、2S 、4S 成等比数列，则1a 的值为 . 12.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为 . 13.在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A 、B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a的值为 .14.已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈.若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知函数23()cos sin()3cos 34f x x x x π=+-+，x R ∈. ⑴求()f x 的最小正周期； ⑵求()f x 在闭区间[4π-，]4π上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. ⑴求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；⑵设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.⑴证明：BE DC ⊥；⑵求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；⑶若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12|||AB F F =. ⑴求椭圆的离心率；⑵设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率.19.（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，...，1}q -，集合12{|A x x x x q ==++...1n n x q -+，i x M ∈，1i =，2，...，}n .⑴当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； ⑵设s 、t A ∈，12s a a q =++ (1)n n a q-+，12t b b q =++ (1)n n b q-+，其中i a 、i b M ∈，1i =，2，...，n .证明：若n n a b <，则t s <.20.（本小题满分14分）设()()xf x x ae a R =-∈，x R ∈.已知函数()y f x =有两个零点1x ，2x ，且12x x <.⑴求a 的取值范围； ⑵证明21x x 随着a 的减小而增大； ⑶证明12x x +随着a 的减小而增大.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。