2014年天津高考文科数学试题及答案(Word版)

绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. [2014•天津文卷]i 是虚数单位，复数=++ii437（ ） A. i -1 B. i +-1 C. i 25312517+ D. i 725717+- 【答案】A 【解析】()()()()()()i i i i i i i i-=+⨯+⨯-+⨯+⨯=-+-+=++14313474137434343743722.2. [2014•天津文卷]设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】可行域如图x当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值31211=⨯+⨯=z .3. [2014•天津文卷]已知命题为则总有p e x x p x⌝>+>∀,1)1(,0:（ ） A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得C.1)1(,0000≤+>∃x ex x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有【答案】B【解析】含量词的命题的否定先改变量词的形式再对命题的结论进行否定.4. [2014•天津文卷] 设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A ．c b a >> B.c a b >> C.b c a >> D.a b c >> 【答案】C【解析】∵1log 2>=πa ，0log 21<=πb ，112<=πc ，∴a c b <<.5. [2014•天津文卷]设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ）A.2B.-2C.21 D .－21【答案】D【解析】∵()6412344114-=-⨯⨯+=a a S ，又∵，，，421S S S 成等比数列， ∴()()64121121-=-a a a ，解之得211-=a .6. [2014•天津文卷]已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y xB.152022=-y xC.1100325322=-y xD.1253100322=-y x 【答案】A 【解析】∵1020,2+-==c ab,∴5=c ,52=a ,202=b , ∴120522=-y x .7. [2014•天津文卷]如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④ 【答案】D 【解析】∵31∠=∠,42∠=∠,∴21∠=∠,34∠=∠, ∴BD 平分CBF ∠，∴ABF ∆∽BDF ∆，∴BF BDAF AB =，∴BD AF BF AB ⋅=⋅， ∴DFBF BF AF =， DF AF BF ⋅=2.8. [2014•天津文卷]已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ）A.2πB.23πC.πD.2π 【答案】C【解析】∵()16sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+=πωx x f ，∴216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πωx ，∴Zk k x ∈+=+111,266πππω或Z k k x ∈+=+222,2656πππω，则()()ππω1212232k k x x -+=-，又∵相邻交点距离的最小值为3π，∴2=ω，π=T .二、填空题9. [2014•天津文卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生. 【答案】60【解析】由分层抽样方法可得一年级抽取人数为6065544300=+++⨯.10. [2014•天津文卷]一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m.俯视图侧视图正视图【答案】320π【解析】由三视图可得该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积32022314122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V .11.[2014•天津文卷]阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.【答案】－4【解析】()()42223-=-+-=S .12. [2014•天津文卷]函数()2lg x x f =的单调递减区间是________.【答案】()0,∞-【解析】()2lg x x f =的单调递减区间需满足02>x 且2x y =递减.13. [2014•天津文卷]已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1=⋅AF AE ，则λ的值为________.【答案】2【解析】建立如图所示坐标系，且()0,1-A 、()3,0-B 、()0,1C 、()3,0D ，设()11,y x E ，()22,y x F ，由3BC BE =得()()3,33,111+=y x ，解之得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332,31E ，由DC DF λ=得()()3,3,122-=-yx λ，解之得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-λλ33,1F ， 又∵13231033,11332,34=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅λλλAF AE ， ∴2=λ.14. [2014•天津文卷]已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______.分别作出函数()y f x =与||y a x =的图像，由图知，0a <时，函数()y f x =与||y a x =无交点，0a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，故0.a >当0x >，2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =有一个交点，当0x >，02a <<时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <时，若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切，则由0∆=得：1a =或9a =（舍），因此当0x <，1a >时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <，1a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，当0x <，01a <<时，函数()y f x =与||y a x =有四个交点，所以学科网当且仅当12a <<时，函数()y f x =与||y a x =恰有4个交点.考点：函数图像ABCD15. [2014•天津文卷]某校夏令营有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）.（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发表的概率.{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种.因此，事件M 发生的概率62().155P M == 考点：古典概型概率16.C7、C8[2012•天津文卷]在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin = （1）求A cos 的值； （2）求)62cos(π-A 的值.PFEDCBA17.G4、G11[2014•天津文卷]如图，四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，BA BD ==，2AD =，PA PD ==,E F 分别是棱AD ，PC 的中点.（Ⅰ）证明 //EF 平面PAB ； （Ⅱ）若二面角P AD B --为60 ，（ⅰ）证明 平面PBC ^平面ABCD ； （ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.H5、H8[2014•天津文卷]设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知AB =（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M ，2MF =，求椭圆的方程.【答案】(1) e = (2) 22163x y += 【解析】试题分析：(1)求椭圆离心率，就是列出关于a,b,c 的一个等量关系. 由12|||AB F F =，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则221.2c a =所以椭圆离心率为e =(2) 由(1)知22222,,a cbc ==所以求椭圆方程只需再确定一个独立条件即可.由切线长=可列出所需的等量关系.先确定圆心：设(,)P x y ，由1(,0),(0,).F c B c -，有11(,),(,).F P x c y F B c c =+=由已知，有110F P F B ⋅=即()0x c c cy ++= ，故有19.（本19. B11、B12 [2014•天津文卷] 已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围20.A1、D3、E7[2014•天津文卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-， （1）当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；（2）设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中 ,,2,1,,n i M b a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.。

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第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 解：()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-，选A .xECBA （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 解：作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3，选B .（3）已知命题p ：0x ">，总有()11x x e +>，则p Ø为（ （A ）00x $£，使得()0011xx e £+ （B ）00x $>，使得0011xx e £+（C ）0x ">，总有()11x x e +£ （D ）0x "£，总有()11xx e +£解：依题意知p Ø为：00x $>，使得()0011xx e £+，选B .（4）设2log a p =，12log b p =，2c p-=，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c b a >> 解：因为1a >，0b <，01c <<，所以a c b >>，选C .（5）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 解：依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-，选D . （6）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 解：依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，选A . （7）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分C B F Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④解：由弦切角定理得FBD EAC BAE ???，又BFD AFB ??， 所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BDAF AB=，即AF BD AB BF ??，排除A 、C .又FBDEAC DBC ???，排除B ，选D .（8）已知函数()cos f x x x w w =+()0w >，x R Î，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3p，则()f x 的最小正周期为（ ） （A ）2p（B ）23p （C ）p （D ）2p解：因为()2sin 6f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫，所以()1f x =得1sin 62x p w 骣÷ç+=÷ç÷ç桫， 所以266x k p p w p +=+或5266x k ppw p +=+，k Z Î. 因为相邻交点距离的最小值为3p，所以233p pw =，2w =，T p =，选C . 第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2014年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i 是虚数单位，复数=（ ） A ．1﹣iB ．﹣1+iC ．+i D ．﹣+i2．（5分）设变量，y 满足约束条件，则目标函数=+2y 的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．53．（5分）已知命题p ：∀＞0，总有（+1）e ＞1，则￢p 为（ ） A ．∃0≤0，使得（0+1）e ≤1 B ．∃0＞0，使得（0+1）e ≤1C ．∀＞0，总有（+1）e ≤1D ．∀≤0，总有（+1）e ≤1 4．（5分）设a=log 2π，b=log π，c=π﹣2，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a5．（5分）设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ． D ．﹣ 6．（5分）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1 D ．﹣=17．（5分）如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④8．（5分）已知函数f（）=sinω+cosω（ω＞0），∈R，在曲线y=f（）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为．12．（5分）函数f（）=lg2的单调递减区间是．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为．14．（5分）已知函数f（）=，若函数y=f（）﹣a||恰有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学，Y，，其年级情况如表：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|=2，求椭圆的方程．19．（14分）已知函数f （）=2﹣a 3（a ＞0），∈R ． （Ⅰ）求f （）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，求a 的取值范围．20．（14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q ﹣1}，集合A={|=1+2q+…+n q n ﹣1，i ∈M ，i=1，2，…n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A ；（Ⅱ）设s ，t ∈A ，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．证明：若a n ＜b n ，则s ＜t ．2014年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）设变量，y满足约束条件，则目标函数=+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由=+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时最小．此时的最小值为=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）已知命题p ：∀＞0，总有（+1）e ＞1，则￢p 为（ ） A ．∃0≤0，使得（0+1）e ≤1 B ．∃0＞0，使得（0+1）e ≤1C ．∀＞0，总有（+1）e ≤1D ．∀≤0，总有（+1）e ≤1【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为∃0＞0，使得（0+1）e≤1，故选：B ．【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．4．（5分）设a=log 2π，b=log π，c=π﹣2，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a ，b ，c 的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log 2π＞1，log π＜0，0＜π﹣2＜1，即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1， ∴a ＞c ＞b ，故选：C ．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ． D ．﹣【分析】由等差数列的前n 项和求出S 1，S 2，S 4，然后再由S 1，S 2，S 4成等比数列列式求解a 1．【解答】解：∵{a n }是首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和， ∴S 1=a 1，S 2=2a 1﹣1，S 4=4a 1﹣6， 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得：， 即，解得：．故选：D ．【点评】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1 D ．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2+10，可得=2，结合c 2=a 2+b 2，求出a ，b ，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选：D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．8．（5分）已知函数f（）=sinω+cosω（ω＞0），∈R，在曲线y=f（）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】根据f（）=2sin（ω+），再根据曲线y=f（）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于f（）的周期的倍，求得函数f（）的周期T的值．【解答】解：∵已知函数f（）=sinω+cosω=2sin（ω+）（ω＞0），∈R，在曲线y=f（）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（）的周期的倍，设函数f（）的最小正周期为T，则=，∴T=π，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ω+φ）的图象特征，得到正好等于f （）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60 名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为﹣4 ．【分析】写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．【解答】解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查循环结构，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力．12．（5分）函数f（）=lg2的单调递减区间是（﹣∞，0）．【分析】先将f（）化简，注意到≠0，即f（）=2lg||，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再判断．【解答】解：方法一：y=lg2=2lg||，∴当＞0时，f（）=2lg在（0，+∞）上是增函数；当＜0时，f（）=2lg（﹣）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（）=lg2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（）=lg2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（）=lg2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lg2=2lg||中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg||的图象，得到函数的递减区间．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为 2 ．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【解答】解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（5分）已知函数f（）=，若函数y=f（）﹣a||恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．【分析】由y=f（）﹣a||=0得f（）=a||，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（）﹣a||=0得f（）=a||，作出函数y=f（），y=a||的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y=a||与f（）有三个交点，当a=1时，当＜0时，f（）=﹣2﹣5﹣4，由f（）=﹣2﹣5﹣4=﹣得2+4+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣与f（）相切，此时y=a||与f（）有五个交点，∴要使函数y=f（）﹣a||恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学，Y，，其年级情况如表：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，）、（A，Y）、（A，）、（B，C）、（B，）、（B，Y）、（B，）、（C，）、（C，Y）、（C，）、（，Y）、（，）、（Y，），共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，）、（B，）、（B，）、（C，）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【分析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理证；（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可；（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B﹣DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii ）由（i ）知，PB ⊥BD ，PB ⊥BA ， ∵BA=BD=，AD=2，∴BD ⊥BA ，∴BD ，BA ，BP 两两垂直，以B 为坐标原点，分别以BD ，BA ，BP 为，Y ，轴，建立如图所示的空间直角坐标系B ﹣DAP ， 则有A （0，，0），B （0，0，0），C （，﹣，0），D （，0，0），P（0，0，）， ∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC 的法向量为，∵，∴，令=1，则y=1，=0，故=（1，1，0），∵E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点， ∴E （，，0），F （，﹣，），∴=（0，，），∴sin θ====﹣，即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．18．（13分）设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|=2，求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）分别用a ，b ，c 表示出|AB|和|F 1F 2|，根据已知建立等式求得a 和c 的关系，进而求得离心率e ．（Ⅱ）根据（1）中a 和c 的关系，用c 表示出椭圆的方程，设出P 点的坐标，根据PB 为直径，推断出BF 1⊥PF 1，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sin θ和cos θ，表示出P 点坐标，利用P ，B 求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB|，|OF 2|，利用勾股定理建立等式求得c ，则椭圆的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知=•2c ，∵b 2=a 2﹣c 2，∴a 2+b 2=2a 2﹣c 2=3c 2， ∴a 2=2c 2， ∴e==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a 2=2c 2， ∴b 2=a 2﹣c 2=c 2， ∴椭圆方程为+=1，B （0，c ），F 1（﹣c ，0）设P 点坐标（csin θ，ccos θ），以线段PB 为直径的圆的圆心为O ，∵PB 为直径， ∴BF 1⊥PF 1，∴BF1•PF1=•=﹣1，求得sin θ=﹣或0（舍去）， 由椭圆对称性可知，P 在轴下方和上方结果相同，只看在轴上方时，cos θ==，∴P 坐标为（﹣c ，c ）， ∴圆心O 的坐标为（﹣c ，c ），∴r=|OB|==c ，|OF 2|==c ，∵r 2+|MF 2|2=|OF 2|2， ∴+8=c 2，∴c 2=3， ∴a 2=6，b 2=3， ∴椭圆的方程为+=1．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得a 和c 的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P 点坐标是关键．19．（14分）已知函数f （）=2﹣a 3（a ＞0），∈R ． （Ⅰ）求f （）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f （）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由f （0）=f （）=0及（Ⅰ）知，当∈（0，）时，f （）＞0；当∈（，+∞）时，f （）＜0．设集合A={f （）|∈（2，+∞）}，集合B={|∈（1，+∞），f （）≠0}，则对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，等价于A ⊆B ，分类讨论，即可求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）f ′（）=2﹣2a 2=2（1﹣a ），令f ′（）=0，解得=0或=． 当变化时，f ′（），f （）的变化情况如下表：，（所以，f （）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当=0时，有极小值f （0）=0，当=时，有极大值f （）=；（Ⅱ）由f （0）=f （）=0及（Ⅰ）知，当∈（0，）时，f （）＞0；当∈（，+∞）时，f （）＜0．设集合A={f （）|∈（2，+∞）}，集合B={|∈（1，+∞），f （）≠0}，则对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，等价于A ⊆B ，显然A ≠∅ 下面分三种情况讨论： ①当＞2，即0＜a ＜时，由f （）=0可知，0∈A ，而0∉B ，∴A 不是B 的子集； ②当1≤≤2，即时，f （2）≤0，且f （）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f （2）），∴A ⊆（﹣∞，0）；由f （1）≥0，有f （）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B ，∴A ⊆B ； ③当＜1，即a ＞时，有f （1）＜0，且f （）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f （2）），∴A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[]．【点评】利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．20．（14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q ﹣1}，集合A={|=1+2q+…+n q n ﹣1，i ∈M ，i=1，2，…n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A ；（Ⅱ）设s ，t ∈A ，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．证明：若a n ＜b n ，则s ＜t ．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={|=1+2•2+3•22，i ∈M ，i=1，2，3}．即可得到集合A ．（Ⅱ）由于a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ，可得a n ﹣b n ≤﹣1．由题意可得s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+（a n ﹣1﹣b n ﹣1）q n ﹣2+（a n ﹣b n ）q n ﹣1≤（q ﹣1）+（q ﹣1）q+…+（q ﹣1）q n ﹣2﹣q n ﹣1 再利用等比数列的前n 项和公式即可得出． 【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={|=1+2•2+3•22，i ∈M ，i=1，2，3}． 可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s ，t ∈A ，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ，∴s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+（a n﹣1﹣b n ﹣1）q n ﹣2+（a n ﹣b n ）q n ﹣1≤（q ﹣1）+（q ﹣1）q+…+（q ﹣1）q n ﹣2﹣q n ﹣1 =（q ﹣1）（1+q+…+q n ﹣2）﹣q n ﹣1=﹣q n ﹣1=﹣1＜0． ∴s ＜t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。

x2014年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）数学（文史类）解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的某某、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么•圆锥的体积公式13V Sh =. ()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =.h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数734i i（ ）（A ）1i （B ）1i （C ）17312525i （D ）172577i 解：73472525134343425i i i i i i i i，选（2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 解：作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点1,1时，z 取得最小值3，选B. （3）已知命题p ：0x，总有11xx e ，则p 为（ ）（A ）00x ，使得011x x e （B ）00x ，使得011x x e（C ）0x ，总有11x x e （D ）0x，总有11xx e解：依题意知p 为：00x ，使得0011x x e ，选B.（4）设2log a，12log b，2c，则（ ）（A ）a b c （B ）b a c （C ）ac b （D ）c b a解：因为1a，0b ，01c，所以acb ，选C.（5）设n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a （ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 解：依题意得2214S S S ，所以21112146a a a ，解得112a ，选D. （6）已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210yx，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y （B ）221205x y （C ）2233125100x y （D ）2233110025x y解：依题意得22225ba cc a b ，所以25a，220b ，选A.（7）如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BDAB BF .FED CBA 则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 解：由弦切角定理得FBD EAC BAE ，又BFD AFB ，所以BFD ∽AFB ，所以BF BDAFAB， 即AF BD AB BF ，排除A 、C. 又FBDEACDBC ，排除B ，选D.（8）已知函数3sin cos f x x x0，x R ，在曲线y f x 与直线1y 的交点中，若相邻交点距离的最小值为3，则f x 的最小正周期为（ ）（A ）2（B ）23（C ） （D ）2 解：因为2sin6f x x，所以1f x得1sin 62x， 所以266xk或5266xk ，k Z .因为相邻交点距离的最小值为3，所以233，2，T，选C.第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2014年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i 是虚数单位，复数=（ ） A ．1﹣iB ．﹣1+iC ．+i D ．﹣+i2．（5分）设变量，y 满足约束条件，则目标函数=+2y 的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．53．（5分）已知命题p ：∀＞0，总有（+1）e ＞1，则￢p 为（ ）A ．∃0≤0，使得（0+1）e ≤1B ．∃0＞0，使得（0+1）e ≤1C ．∀＞0，总有（+1）e ≤1D ．∀≤0，总有（+1）e ≤1 4．（5分）设a=log 2π，b=log π，c=π﹣2，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a5．（5分）设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ． D ．﹣ 6．（5分）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A ．﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=17．（5分）如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④8．（5分）已知函数f（）=sinω+cosω（ω＞0），∈R，在曲线y=f（）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为．12．（5分）函数f（）=lg2的单调递减区间是．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为．14．（5分）已知函数f（）=，若函数y=f（）﹣a||恰有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学，Y，，其年级情况如表：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|=2，求椭圆的方程．19．（14分）已知函数f （）=2﹣a 3（a ＞0），∈R ． （Ⅰ）求f （）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，求a 的取值范围．20．（14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q ﹣1}，集合A={|=1+2q+…+n q n ﹣1，i ∈M ，i=1，2，…n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A ；（Ⅱ）设s ，t ∈A ，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．证明：若a n ＜b n ，则s ＜t ．2014年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）设变量，y满足约束条件，则目标函数=+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由=+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时最小．此时的最小值为=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）已知命题p ：∀＞0，总有（+1）e ＞1，则￢p 为（ ）A ．∃0≤0，使得（0+1）e ≤1B ．∃0＞0，使得（0+1）e ≤1C ．∀＞0，总有（+1）e ≤1D ．∀≤0，总有（+1）e ≤1【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为∃0＞0，使得（0+1）e≤1，故选：B ．【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．4．（5分）设a=log 2π，b=log π，c=π﹣2，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a ，b ，c 的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，log π＜0，0＜π﹣2＜1，即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1， ∴a ＞c ＞b ， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ． D ．﹣【分析】由等差数列的前n 项和求出S 1，S 2，S 4，然后再由S 1，S 2，S 4成等比数列列式求解a 1．【解答】解：∵{a n }是首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和， ∴S 1=a 1，S 2=2a 1﹣1，S 4=4a 1﹣6， 由S1，S 2，S 4成等比数列，得：， 即，解得：．故选：D ．【点评】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A ．﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2+10，可得=2，结合c 2=a 2+b 2，求出a ，b ，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选：D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．8．（5分）已知函数f（）=sinω+cosω（ω＞0），∈R，在曲线y=f（）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】根据f（）=2sin（ω+），再根据曲线y=f（）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于f（）的周期的倍，求得函数f（）的周期T的值．【解答】解：∵已知函数f（）=sinω+cosω=2sin（ω+）（ω＞0），∈R，在曲线y=f（）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（）的周期的倍，设函数f（）的最小正周期为T，则=，∴T=π，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ω+φ）的图象特征，得到正好等于f（）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60 名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为﹣4 ．【分析】写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．【解答】解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查循环结构，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力．12．（5分）函数f（）=lg2的单调递减区间是（﹣∞，0）．【分析】先将f（）化简，注意到≠0，即f（）=2lg||，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再判断．【解答】解：方法一：y=lg2=2lg||，∴当＞0时，f（）=2lg在（0，+∞）上是增函数；当＜0时，f（）=2lg（﹣）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（）=lg2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（）=lg2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（）=lg2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lg2=2lg||中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg||的图象，得到函数的递减区间．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为 2 ．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【解答】解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（5分）已知函数f（）=，若函数y=f（）﹣a||恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．【分析】由y=f（）﹣a||=0得f（）=a||，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（）﹣a||=0得f（）=a||，作出函数y=f（），y=a||的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y=a||与f（）有三个交点，当a=1时，当＜0时，f（）=﹣2﹣5﹣4，由f（）=﹣2﹣5﹣4=﹣得2+4+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣与f（）相切，此时y=a||与f（）有五个交点，∴要使函数y=f（）﹣a||恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学，Y，，其年级情况如表：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，）、（A，Y）、（A，）、（B，C）、（B，）、（B，Y）、（B，）、（C，）、（C，Y）、（C，）、（，Y）、（，）、（Y，），共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，）、（B，）、（B，）、（C，）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【分析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理证；（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可；（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B﹣DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii ）由（i ）知，PB ⊥BD ，PB ⊥BA ， ∵BA=BD=，AD=2，∴BD ⊥BA ，∴BD ，BA ，BP 两两垂直，以B 为坐标原点，分别以BD ，BA ，BP 为，Y ，轴，建立如图所示的空间直角坐标系B ﹣DAP ， 则有A （0，，0），B （0，0，0），C （，﹣，0），D （，0，0），P（0，0，）， ∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC 的法向量为，∵，∴，令=1，则y=1，=0，故=（1，1，0），∵E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点， ∴E （，，0），F （，﹣，），∴=（0，，），∴sin θ====﹣，即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．18．（13分）设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|=2，求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）分别用a ，b ，c 表示出|AB|和|F 1F 2|，根据已知建立等式求得a 和c 的关系，进而求得离心率e ．（Ⅱ）根据（1）中a 和c 的关系，用c 表示出椭圆的方程，设出P 点的坐标，根据PB 为直径，推断出BF 1⊥PF 1，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sin θ和cos θ，表示出P 点坐标，利用P ，B 求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB|，|OF 2|，利用勾股定理建立等式求得c ，则椭圆的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知=•2c ，∵b 2=a 2﹣c 2，∴a 2+b 2=2a 2﹣c 2=3c 2， ∴a 2=2c 2， ∴e==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a 2=2c 2， ∴b 2=a 2﹣c 2=c 2， ∴椭圆方程为+=1，B （0，c ），F 1（﹣c ，0）设P 点坐标（csin θ，ccos θ），以线段PB 为直径的圆的圆心为O ，∵PB 为直径， ∴BF 1⊥PF 1，∴BF1•PF1=•=﹣1，求得sin θ=﹣或0（舍去）， 由椭圆对称性可知，P 在轴下方和上方结果相同，只看在轴上方时， cos θ==，∴P 坐标为（﹣c ，c ）， ∴圆心O 的坐标为（﹣c ，c ）， ∴r=|OB|==c ，|OF 2|==c ，∵r 2+|MF 2|2=|OF 2|2， ∴+8=c 2，∴c 2=3， ∴a 2=6，b 2=3， ∴椭圆的方程为+=1．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得a 和c 的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P 点坐标是关键．19．（14分）已知函数f （）=2﹣a 3（a ＞0），∈R ． （Ⅰ）求f （）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f （）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由f （0）=f （）=0及（Ⅰ）知，当∈（0，）时，f （）＞0；当∈（，+∞）时，f （）＜0．设集合A={f （）|∈（2，+∞）}，集合B={|∈（1，+∞），f （）≠0}，则对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，等价于A ⊆B ，分类讨论，即可求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）f ′（）=2﹣2a 2=2（1﹣a ），令f ′（）=0，解得=0或=． 当变化时，f ′（），f （）的变化情况如下表：）所以，f （）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当=0时，有极小值f （0）=0，当=时，有极大值f （）=；（Ⅱ）由f （0）=f （）=0及（Ⅰ）知，当∈（0，）时，f （）＞0；当∈（，+∞）时，f （）＜0．设集合A={f （）|∈（2，+∞）}，集合B={|∈（1，+∞），f （）≠0}，则对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，等价于A ⊆B ，显然A ≠∅ 下面分三种情况讨论： ①当＞2，即0＜a ＜时，由f （）=0可知，0∈A ，而0∉B ，∴A 不是B 的子集； ②当1≤≤2，即时，f （2）≤0，且f （）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f （2）），∴A ⊆（﹣∞，0）；由f （1）≥0，有f （）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B ，∴A ⊆B ； ③当＜1，即a ＞时，有f （1）＜0，且f （）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f （2）），∴A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[]．【点评】利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．20．（14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q ﹣1}，集合A={|=1+2q+…+n q n ﹣1，i ∈M ，i=1，2，…n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A ；（Ⅱ）设s ，t ∈A ，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．证明：若a n ＜b n ，则s ＜t ．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={|=1+2•2+3•22，i ∈M ，i=1，2，3}．即可得到集合A ．（Ⅱ）由于a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ，可得a n ﹣b n ≤﹣1．由题意可得s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+（a n ﹣1﹣b n ﹣1）q n ﹣2+（a n ﹣b n ）q n﹣1≤（q ﹣1）+（q ﹣1）q+…+（q ﹣1）q n ﹣2﹣q n ﹣1再利用等比数列的前n 项和公式即可得出． 【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={|=1+2•2+3•22，i ∈M ，i=1，2，3}． 可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s ，t ∈A ，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ，∴s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+（a n﹣1﹣b n ﹣1）q n ﹣2+（a n ﹣b n ）q n ﹣1≤（q ﹣1）+（q ﹣1）q+…+（q ﹣1）q n ﹣2﹣q n ﹣1 =（q ﹣1）（1+q+…+q n ﹣2）﹣q n ﹣1 =﹣q n ﹣1=﹣1＜0． ∴s ＜t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年天津，文1，5分】i 是虚数单位，复数7i34i+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）1731i 2525+ （D ）1725i 77-+ 【答案】A【解析】()()()()7i 34i 7i 2525i 1i 34i 34i 34i 25+-+-===-++-，故选A ． （2）【2014年天津，文2，5分】设变量x ，y 满足约束条件02012x y x y y ≥--≤+≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3，故选B ． （3）【2014年天津，文3，5分】已知命题p ：0x ∀>，总有()11x x e +>，则p ⌝为（ ）（A ）00x ∃≤，使得()0011x x e +≤ （B ）00x ∃>，使得()0011x x e +≤ （C ）0x ∀>，总有()11x x e +≤ （D ）0x ∀≤，总有()11x x e +≤【答案】B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知，p ⌝为00x ∃>，使得()0011x x e +≤，故选B ． （4）【2014年天津，文4，5分】设2log a π=，12log b π=，2c π-=，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c a b >> 【答案】C【解析】∵2log 1a π=>，12log 0b π=<，211c π=<，∴b c a <<，故选C ．（5）【2014年天津，文5，5分】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前项和，若124S S S ，，，成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）2- （C ）12 （D ）12- 【答案】D 【解析】∵()4114341462S a a ⨯=+⨯-=-，又∵124S S S ，，，成等比数列，∴()()21112146a a a -=-，解之得112a =-，故选D ．（6）【2014年天津，文6，5分】已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=【答案】A【解析】依题意得22225b a c c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=，故选A ． （7）【2014年天津，文7，5分】如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CE BE DE ??；④AF BD AB BF ??．则所有正确 结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D【解析】∵圆周角DBC ∠对应劣弧CD ，圆周角DAC ∠对应劣弧CD ，∴DBC DAC ∠=∠．∵弦切角FBD ∠对应劣弧BD ，圆周角BAD ∠对应劣弧BD ，∴FBD BAF ∠=∠．∵BD 是BAC ∠的平分线，∴BAF DAC ∠=∠． ∴DBC FBD ∠=∠．即BD 平分CBF ∠．即结论①正确．又由FBD FAB ∠=∠，BFD AFB ∠=∠，得FBD FAB ∆∆:．由FB FD FA FB =，2FB FD FA =⋅．即结论②成立．由BF BDAF AB=，得AF BD AB BF ⋅=⋅． 即结论④成立．正确结论有①②④，故选D ． （8）【2014年天津，文8，5分】已知函数()3sin cos (0),f x x x x R ωωω=+>∈，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） （A ）2π （B ）23π （C ）π （D ）2π【答案】C【解析】∵()2sin 16f x x πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴1sin 62x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴1112,66x k k Z ππωπ+=+∈或2252,66x k ππωπ+=+，2k Z ∈，则()()2121223x x k k πωπ-=+-，又∵相邻交点距离的最小值为3π，∴2ω=，T π=，故选C ．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2014年天津，文9，5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生． 【答案】60【解析】应从一年级抽取4604556300?+++名．（10）【2014年天津，文10，5分】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ． 【答案】203p【解析】由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积22182014224333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=． （11）【2014年天津，文11，5分】阅读右边的框图，运行相应的程序，输出q 的值为 ．【答案】4-【解析】依题由框图知，第一次循环得到：8S =-，2n =；第二次循环得到：4S =-，1n =；退出循环，输出4-．（12）【2014年天津，文12，5分】函数()2lg f x x =的单调递减区间是 ． 【答案】(),0-∞【解析】解法一：2lg 2lg y x x ==，∴当0x >时，()2lg f x x =在()0,+∞上是增函数；当0x <时，()()2lg f x x =-在(),0-∞上是减函数．∴函数()2lg f x x =的单调递减区间是(),0-∞．244242俯视图侧视图正视图否是输出 S n ≤ 1？n = n 1S = S +(2)n结束开始S = 0, n = 3解法二：原函数是由2lg t x y t⎧=⎨=⎩复合而成，∵2t x =在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞为增函数；又lg y t =在其定义域上为增函数，∴()2lg f x x =在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞为增函数∴函数()2lg f x x =的单调递减区间是(),0-∞．（13）【2014年天津，文13，5分】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=u u u r u u u r，则λ的值为 ．【答案】2【解析】建立如图所示坐标系，且()1,0A -、()0,3B -、()1,0C 、()0,3D ，设()11,E x y ，()22,F x y ，由3BC BE =得()()111,33,3x y =+，解之得123,3E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由DC DF λ=得()()221,3,3x y λ-=-，解之得13,3F λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 又∵42313102,1,31333AE AF λλ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，∴2λ=． （14）【2014年天津，文14，5分】已知函数()2540220x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】12a <<【解析】由()0y f x a x =-=得()f x a x =，作出函数()y f x =，y a x =的图象，当0a ≤，不满足条件，∴0a >，当2a =时，此时y a x =与()f x 有三个交点， 当1a =时，此时y a x =与()f x 有五个交点，∴要使函数()y f x a x =-恰有4个零点，则12a <<．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2014年天津，文15，13分】某校夏令营有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X YZ 现从这6（1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发表的概率． 解：（1）从6名同学中随机选出2人参加竞赛的所有可能结果为{}{}{},,,,,,A B A C A X {}{}{},,,,,,A Y A Z B C{},,B X {}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,B Y B Z C X C Y C Z X Y X Z Y Z 共15种；（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,A Y A Z B X B Z C X C Y 共6种，故所求概率为()62155P M ==．（16）【2014年天津，文16，13分】在ABC ∆中，内角ABC 所对的边分别为,,a b c ，已知6a cb -=，sin 6sin B C =． （1）求cos A 的值；（2）求cos(2)6A π-的值．解：（1）在ABC ∆中，由sin sin b cB C=，及sin 6sin B C =可得6b c =，故2a c =， 从而22222226cos 226b c a A bc c +-===．PFEDCBA（2）由（1）得6cos A =，故10sin A =，因此15sin 22sin cos A A A ==，21cos22cos 14A A =-=-，从 而13151153cos 2642A π-⎛⎫-=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭．（17）【2014年天津，文17，13分】如图，四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，2BA BD ==，2AD =，5PA PD ==，,E F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明 //EF 平面PAB ；（2）若二面角P AD B --为60o ，（ⅰ）证明 平面PBC ^平面ABCD ；（ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）如图，取PB 的中点M ，连接,MF AM ．因F 为PC 中点，故//MF BC 且2BCMF =． 由题//BC AD ，BC AD =，且E 为AD 的中点，故//MF AE ，且MF AE =． 因此四边形AMEF 为平行四边形，有//EF AM ．又AM Ì平面PAB ，EF ⊄平面 PAB ，所以//EF 平面PAB ． （2）（ⅰ）连接,PE BE ，因PA PD =，BA BD =，而E 为AD 的中点，故PE AD ^，BE AD ^，所以PBE Ð为二面角P AD B --的平面角．在PAD ∆中，由5PA PD ==，2AD =，可解得2PE =．在ABD ∆中，由2BA BD ==，2AD =，可解得1BE =．在PEB ∆中，2PE =，1BE =，060PEB ?，由余弦定理可解得3PB =．从而090PBE ?，即BE PB ^．又//BC AD ，BE AD ^，故BE BC ^． 因此BE ^平面PBC ．又BE Ì平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD ． （ⅱ）解法一：连接BF ，由（ⅰ）知BE ^平面PBC ，故EFB Ð为直线EF 与平面PBC 所成的角．由3PB =及已知，可得090ABP ?．而32PB MB ==，可得11AM =．故11EF =．又1BE =，故在Rt EBF D 中，211sin BE EBF EF ?=．所以直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值为211． 解法二：由（ⅰ）知，PB BD ⊥，PB BA ⊥，2BA BD ==Q ，2AD =，BD BA ∴⊥， ∴BD ，BA ，BP 两两垂直，以B 为坐标原点，分别以BD ，BA ，BP 为X ，Y ，Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B DAP -，则有()0,2,0A ，()0,0,0B ，()2,2,0C-，()2,0,0D，()0,0,3P ，∴()2,2,0BC =-u u u r ，()0,0,3BP =u u u r，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r ，∵00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r，∴22030x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令1x =， 则1y =，0z =，故()1,1,0n =r ∵E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点∴22,,0E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，223,,F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴30,2,EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，∴2211cos ,1122n EF n EF n EF ⋅-===⋅⨯r u u u rr u u u r r u u u r ， 即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为211．（18）【2014年天津，文18，13分】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已知1232AB F F =．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l 与该圆相切FED CBAPM于点M，2MF =，求椭圆的方程．解：（1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为(),0c ．由12AB F =，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则2212c a =．所以，椭圆的离心率2e =，所以22223a c c -=，解得a =，2e =． （2）由（1）知222a c =，22b c =，故椭圆方程为222212x y c c +=．设()00,P x y ，由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y u u u r =+，()1,F B c c u u u r=．由已知，有110F P F B u u u r u u u r ?，即()000x c c y c ++=．又0c ¹，故有000x y c ++=．又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c +=．因此可得200340x cx +=．而点P 不是椭圆的顶点，故043c x =-，从而得03c y =，即4,33c c P 骣÷ç-÷ç÷ç桫．设圆的圆心为()11,T x y ，则123x c =-，123y c =， 进而圆的半径r =．由已知有222222||||8TF MF r r =+=+，故可得 22222508339c c c c 骣骣鼢珑++-=+鼢珑鼢珑桫桫，解得23c =．所以所求椭圆方程为22163x y +=． （19）【2014年天津，文19，14分】已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围．解：（1）由题()()2220f x ax a ¢=->，令()0f x ¢=可得0x =或1x a=．当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如右表．故()f x 的单增区间是10,a 骣÷ç÷ç÷ç桫，单减区间是(),0-∞和 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．当0x =时()f x 有极小值()00f =，当1x a =时()f x 有极大值2113f a a 骣÷ç=÷ç÷ç桫． （2）由()3002f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭及（1）知，当302x a <<时()0f x >，当32x a>时()0f x <．设集合(){}|2A f x x =>，集合()()1|1,0B x f x f x ⎧⎫⎪⎪=>≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭．则“任意的()12,x ∈+∞，都存在()21,x ∈+∞，使得()()121f x f x ⋅=”等价于A B Í．显然0B Ï．①当322a >即304a <<时，由302f a 骣÷ç=÷ç÷ç桫知0A Î， 而0B Ï，故A B Í；②当3122a ＃即3342a ≤≤时，有()20f £．此时()f x 在()2,+?单调递减，故()(),2A f =-∞，因此(),0A ⊆-∞．由()10f ³，有()f x 在()1,+?上的取值范围包含(),0-∞， 即(),0B -∞⊆，故A B Í；③当312a <即32a >时，有()10f <．此时()f x 在()1,+?单调递减， 故()1,01B f ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()(),2A f =-∞，因此A B Í．综上，33,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （20）【2014年天津，文20，14分】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}0,1,21M q =-L ，集合{}112,,1,2,n n i A x x x x q x q x M i n -==++∈=L L ． （1）当2,3q n ==时，用列举法表示集合A ；（2）设111212,,,n n n n s t A s a a q a q t b b q b q --∈=+++=++L L ，其中,,1,2,i i a b M i n ∈=L 证明：若n n a b <，则s t <．解：（1）2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+?+．故可得{}0,1,2,3,4,5,6,7A =． （2）由,s t A Î，112n n s a a q a q L -=+++，112n n t b b q b q L -=+++，,i i a b M Î，1,2,,n i L =及n n a b <，可得()()()()()2111111111101n n n n n n n n q s t a b a b q a b q a b qq qq L L-------=-+-++-+-?+++=-<-，所以s t <．。

2014年天津高考文科数学真题及答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i 是虚数单位，复数=++ii 437（ ） A. i -1 B. i +-1 C. i 25312517+ D. i 725717+- （2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 53.已知命题为则总有p e x x p x ⌝>+>∀,1)1(,0:（ ）A.1)1(,0000≤+≤∃x ex x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x e x x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有 4.设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >>5.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ） A.2 B.-2 C.21 D .21 6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 7.如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④8.已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2π B.23π C.π D.2π二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12.函数()3lg f x x =的单调递减区间是________. 13.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AE ⋅=，则λ的值为________.（14）已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.（16）（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin = （1）求A cos 的值；（2）求)62cos(π-A 的值.17、（本小题满分13分） 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.（1） 证明平面；（2） 若二面角P-AD-B 为， ① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18、（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.（1） 求椭圆的离心率；（2） 设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.19 （本小题满分14分）已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围 20（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-， （1）当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t qa q a a s A t s 其中,,2,1,,n i Mb a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学试题答案与解析1. 解析 ()()()()7i 34i 7i2525i 1i 34i 34i 34i 25+-+-===-++-，故选A.2. 解析 由线性约束条件画出可行域（如图所示）.由2z x y =+，得1122y x z =-+，12z 的几何意义是直线1122y x z =-+在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线1122y x z =-+过点()1,1A 时，z 最小，最小值为3，故选B.3. 解析 命题p 为全称命题，所以p ⌝为00x ∃>，使得()001e 1x x +….故选B.4. 解析 因为π3>，所以2log π1a =>，12log π0b =<，2210π1πc -<==<，故a c b >>，选C.5. 解析 由题意知11S a =，2121S a =-，4146S a =-，因为1S ，2S ，4S ，成等比数列，所以2214S S S =⋅，即()()21112146a a a -=-，解得112a =-，故选D. 6. 解析 由题意知，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐进线为2y x =，所以2ba =，即224b a =，又双曲线的一个焦点是直线l 与x 轴的交点，所以该焦点的坐标为()5,0-，所以5c =，即2225a b +=，联立得2222425b a a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得25a =，220b =，故双曲线的方程为221520x y -=，故选A. 7. 解析 由题意知F B D B A D ∠=∠，DBC DAC ∠=∠，BAD DAC ∠=∠，所以F B D D B C ∠=∠，故①正确；由切割线定理知②正确；易证ACE BDE △∽△，所以AE BECE DE=，所以③不正确；因为在ABF △和BDF △中，F B D B F A ∠=∠，BFD BFA ∠=∠，所以ABF BDF △∽△，所以AF ABBF BD=，所以AF BD AB BF ⋅=⋅，所以④正确.故选D.8.分析 本题考查三角函数值及图像变换，可利用三角函数图像的变换原理求解.解析 因为()cos f x x x ωω=+π=2sin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以可以将曲线2sin y x =向左平移π6个单位，再将所有点横坐标变为原来的1ω倍得到. 曲线()y f x =与直线1y =的交点横坐标即为方程π2sin 16x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭的解. 由图像变换原理知，又1sin 2x =相邻实数距离的最小值为5ππ2π663-=，5πππ663ωω-=，即2ω=，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.故选C. 评注 本题也可用推理法处理，令1ππ2π66x k ω+=+，k ∈Z ，得12πx k ω=⋅，k ∈Z ，再令2π5π2π66x k ω+=+，k ∈Z ，得22π2π3x k ωω=+⋅，k ∈Z .则12min 2ππ33x x ω-==，解得2ω=，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.故选C. 9. 解析 413003006045565⨯=⨯=+++（名）. 10. 解析 由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱构成的组合体，其体积为22120ππ22π1433⨯⨯+⨯⨯=3m . 11. 解析 3n =，()3028S =+-=-，121n -=>；()2824S =-+-=-，111n -=…，终止循环，故输出4S =-.12. 解析 ()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，lg y u =在()0,+∞上为增函数，2u x =在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增，故()f x 在(),0-∞上单调递减.13. 解析 如图，13AE AB BE AB BC =+=+uu u r uu u r uur uu u r uu u r ，11AF AD DF AD DC BC AB λλ=+=+=+uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uu u r ，所以22111111333AE AF AB BC BC AB AB BC AB BC λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r144122cos120133λλ⎛⎫+⨯⨯⨯++= ⎪⎝⎭.解得2λ=.14.分析 本题考查函数的图像变换，零点问题，利用导函数秒杀.分段函数的零点问题，通常借助函数图象处理更快捷.解析 首先作函数()y f x =的图像，如图所示.当0x ≤时，函数()y f x =的图像是将抛物线254y x x =++在x 轴下方的部分沿x 轴对称到x 轴的上方，原x 轴上方，以及y 轴左侧的部分不变；当0x >时，只需将直线24y x =-在x 轴下方且y 轴右侧的部分沿着x 轴对称到x 轴的上方，原来x 轴上方的保持不变.其次要将()y f x a x =-恰有4个零点进行转化处理. 等价于方程()f x a x =恰有4个不等实根，又等价于曲线()y f x =与折线y a x =恰有4个公共点.又函数y a x =为偶函数，故需考虑折线y a x =与曲线()y f x =在y 轴两侧的交点个数.最后根据a 的取值，大致可以分成3类.① 当0a =时，0y =与曲线()y f x =有三个公共点，故不符合题意； ② 当0a <时，y a x =与曲线()y f x =无公共点，故不符合题意； ③ 当0a >时，设y a x =与曲线()y f x =相切于点P ，如图所示，易知方程254x x ax ---=-的()25160a ∆=--=，解得1a =或9a =（舍）.D当1a =时，1y x =与()y f x =在y 轴左侧有3个公共点，在y 轴右侧有2个公共点；当2a =时，22y x =与()y f x =在y 轴左侧有2在y 轴右侧有1个公共点.结合图像知，实数a 的取值范围为()1,2.15. 解析 （I ）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A X ，{},A Y ，{},A Z ，{},B C ，{},B X ，{},B Y ，{},B Z ，{},C X ，{},C Y ，{},C Z ，{},X Y ，{},X Z ，{},Y Z ，共15种.（II ）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{},A Y ，{},A Z ，{},B X ，{},B Y ，{},B Z ，{},C X ，{},C Y ，共6种.因此，事件M 发生的概率()62155P M ==. 评注 本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 16. 解析 （I ）在ABC △中，由sin sin b cB C=，及sin B C =，可得b =.又由a c -=，有2a c =.所以，222222cos 2b c a A ab +-===（II ）在ABC △中，由cos 4A =，可得sin 4A =.于是，21cos 22cos 14A A =-=-，sin 22sin cos 4A A A =⋅=. 所以，πππcos 2cos 2cos sin 2sin 6668A A A ⎛⎫-=⋅+= ⎪⎝⎭. 评注 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公x式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.17. 解析 （I ）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，故//MF BC且12MF BC =.由已知有//BC AD ，BC AD =.又由于E 为AD 中点，因而//MF AE 且MF AE =，故四边形AMFE 为平行四边形，所以//EF AM .又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以//EF 平面PAB .（II ）（i ）证明：连接PE ，BE .因为PA PD =，BA BD =，而E 为AD 中点，故PE AD ⊥，BE AD ⊥，所以PEB ∠为二面角P AD B --的平面角.在PAD △中，由PA=2AD =，可解得2PE =.在ABD △中，由BA=BD ，2AD =，可解得1BE =.在PEB △中，2PE =，1BE =，60PEB =∠，由余弦定理，可解得PB =，从而90PBE =∠，即BE PB ⊥.又//BC AD ，BE AD ⊥，从而BE BC ⊥，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以，平面PBC ⊥平面ABCD .（ii ）连接BF .由（i ）知，BE ⊥平面PBC ，所以EFB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角.由PB =及已知，得ABP ∠为直角.而12MB PB ==，可得AM =，故EF =，又1BE =，故在直角三角形EBF中，sin BE EFB EF ∠==.所以，直线EF 与平面PBC所成角的正弦值为11. 评注 本题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.MFECBAP18. 解析 （I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为(),0c .由12AB F =，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则2212c a =.所以，椭圆的离心率2e =.（II ）由（I ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212x y c c+=.设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+uuu r ，()1,F B c c =uuu r.由已知，有110F P F B ⋅=uuu r uuu r，即()000x c c y c ++=.又0c ≠，故有000x y c ++=.①因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=②由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫-⎪⎝⎭. 该圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323ccy c +==，进而圆的半径r ==.由已知，有22222TF MF r =+，又2MF =22222508339c c c c ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23c =.所以，所求椭圆的方程为22163x y +=.评注 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19.分析 本题考查导数、不等式恒成立与存在性问题.（1）利用导数求解函数的单调性，极值（最值）问题；（2）存在、任意问题与函数零点、单调性，值域之间的关系. 解析 （1）求导()()2'2221f x x ax x ax =-=-，x ∈R . 因为0a >，令()'0f x =，即()210x ax -=，解得10x =，21x a=. x 、()'f x 、()f x 的变化如下表：所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当0x =时，()f x 取得极小值为()00f =， 当1x a=时，()f x 取得极大值为222112133f a aa a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.（2）因为对于任意的()12,x ∈+∞，都存在()21,x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=， 所以任意的()12,x ∈+∞，()1f x 都不能为0， 结合（1）可知，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且()12103f x a =>，故12a ≥且()20f ≤，即16403a -≤，解得34a ≥. 此时()()()211,0f x f x =∈-∞. 对任意的()12,x ∈+∞，都存在()21,x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=， 需使得()(){},0,1y y f x x -∞⊆=>，即()231134f a =-≥，解得32a ≤. 综上，实数a 的取值范围是33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 评注 对含量词“任意∀”，“存在∃”的问题，关键在于将其等价转化为相关的单调性或极值（最值）问题.20 分析 本题考查数列与不等式.新定义与数列相关的集合问题，要理解集合中元素的性质特征.解析 （1）当2q =，3n =时，由题意{}0,1M =，12324x x x x =++，(),1,2,3i x M i ∈=. 则{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.（2）因为,s t A ∈，所以112+++n n a s a a q q -=()()11+1++n n q q q a q ---≤…()()1111+n n n q q qa q --=-+++… ()111=1+1n n n q q a q q-----11=1n n n q a q ---+()1=11n n a q -+-.1112+++n n n n t b b b q b q q --=≥，又,n n a b M ∈，且n n a b <，所以1n n b a +≥. 所以()()111111n n n n n n q q b a a q ---+>+-≥.即()1111n n n n q q t s b a -->-+≥≥，所以n n a b <，则s t <.。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式：●如果事件A ,B 互斥,那么●圆锥的体积公式13VSh = ()()()P A B P A P B =+.其中S 表示圆锥的底面面积,●圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高.其中S 表示圆柱的底面面积,h 表示圆柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位,复数7i34i+=+( )A .1i -B .1i -+C .1731i 2525+D .1725i 77-+2.设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧⎪⎩-⎪-⎨≥≤≥则目标函数2z x y =+的最小值为( )A .2B .3C .4D .53.已知命题p ：0x ∀>,总有(1)e 1x x +>,则p ⌝为 ( )A .00x ∃≤,使得00(1)e 1x x +≤B .00x ∃>,使得00(1)e 1x x +≤C .0x ∀>,总有(1)e 1x x +≤D .0x ∀≤,总有(1)e 1x x +≤ 4.设2log πa =,12log πb =,2πc -=,则( )A .a b c >>B .b a c >>C .a c b >>D .c b a >>5.设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若1S ,2S ,4S 成等比数列,则1a =( )A .2B .2-C .12D .12-6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A .221520x y -=B .221205x y -=C .2233125100x y -=D .2233110025x y -=7.如图,ABC △是圆的内接三角形,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论： ①BD 平分CBF ∠； ②2FB FD FA =； ③AE CE BE DE =； ④AF BD AB BF =. 则所有正确结论的序号是( )A .①②B .③④C .①②③D .①②④8.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>,x ∈R .在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则()f x 的最小正周期为 ( )A .π2B .2π3C .πD .2π第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为 3m .11.阅读下边的框图,运行相应的程序,输出S 的值为 .12.函数2()lg f x x =的单调递减区间是 .13.已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,3BC BE =,DC DF λ=.若1AE AF =,则λ的值为 .14.已知函数2|54|,0,()2|2|,0,x x x f x x x ⎧++=⎨-⎩≤＞若函数()||y f x a x =-恰有4个零点,则实数a 的取值范围为 .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________俯视图侧视图正视图数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）某校夏令营有现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）. （Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a c b -=,sin B C .（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求πcos(2)6A -的值.17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,BA BD ==,2AD =,PA PD ==E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点.（Ⅰ）证明：EF平面PAB ；（Ⅱ）若二面角P AD B --为60, （ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面ABCD ； （ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b b+=>>的左、右焦点为1F ,2F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知12||||AB F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M ,2||MF =求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数232()(0)3f x x ax a =->,x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x =.求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{0,1,2,1,}M q =-,集合{|A x x ==121,,1,2,,}n n i x x x x q M i n q -+∈=++.（Ⅰ）当2q =,3n =时,用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设s ,t A ∈,112n n s a a q a q -=+++,112n n t b b q b q -=+++,其中i a ,i b M ∈,1,2,,i n =⋅⋅⋅.证明：若n n a b <,则s t <.2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(文史类)答案解析此时z的最小值为1213z=+⨯=，故选：B.14S，即(2aFD FA。

2014·天津卷(文科数学)1．[2014·天津卷] i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125iD ．－177＋257i 1．A [解析]7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－25i32＋42＝1－i.2．[2014·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．B [解析]联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝1，可得点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z ＝1×1＋2×1＝3.3．[2014·天津卷] 已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B.∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C.∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1 D.∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤13．B [解析]含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．4．[2014·天津卷] 设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a4．C [解析]∵a ＝log 2π>1，b ＝log 12π<0，c ＝1π2<1，∴b <c <a . 5．[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12D ．－125．D [解析]∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，且S 1，S 2，S 4成等比数列，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.6．[2014·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y 225＝1 6．A [解析]∵b a ＝2，0＝－2c ＋10，∴c ＝5，a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.7．[2014·天津卷] 如图1-1所示，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·F A ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④7．D [解析]∵∠DBC ＝∠DAC ，∠DBF ＝∠DAB ，且∠DAC ＝∠DAB ，∴∠DBC ＝∠DBF ，∴BD 平分∠CBF ，∴△ABF ∽△BDF ，∴AB BD ＝AF BF ＝BFDF，∴AB ·BF ＝AF ·BD ，BF 2＝AF ·DF .故①②④正确．由相交弦定理得AE ·DE ＝BE ·CE ，故③错误．8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π 8．C [解析]∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.9．[2014·天津卷] 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．9．60 [解析]由分层抽样方法可得，从一年级本科生中抽取的学生人数为300×44＋5＋5＋6＝60.10．[2014·天津卷] 一个几何体的三视图如图1-2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.10.20π3[解析]由三视图可知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝π×12×4＋13π×22×2＝20π3. 11．[2014·天津卷] 阅读图1-3S 的值为________．11．－4 [解析]由程序框图易知，2＝－4. 12．[2014·天津卷] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．12．(－∞，0) [解析]函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．13．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．13．2 [解析]建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由BC →＝3BE →，得(1，3)＝3(x 1，y 1＋3)，可得E ⎝⎛⎭⎫13，－233；由DC →＝λDF →，得(1，－3)＝λ(x 2，y 2－3)，可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，3－3.∵AE ·AF ＝⎝⎛⎭⎫43，－233·⎝ ⎛⎪⎫1λ＋1，3－3λ＝10－23＝1，∴λ＝2.14．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．14．(1，2) [解析]在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x |的图像，如图所示，当y ＝a |x |与y ＝f (x )的图像相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＝－x 2－5x －4，a >0，整理得x 2＋(5－a )x ＋4＝0，则Δ＝(5－a )2－4×1×4＝0，解得a ＝1或a ＝1<a <2.15．、[2014·天津卷X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．15．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos2A ·cos π6＋sin2A ·sin π6＝15－38.17．、、[2014·天津卷] 如图1-4所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P -AD -B 为60°.(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC17．解：(1)证明：如图所示，取，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)(i)证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P -AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .(ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故EF ＝112.又BE＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.18．、[2014·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|＝22，求椭圆的方程．18．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2，故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 因为点P 在椭圆上，所以 x 202c 2＋y 20c2＝1.② 由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c .由已知，有|TF 2|2＝|MF 2|2＋r 2.又|MF 2|＝22，故有⎝⎛⎭⎫c ＋23c 2＋⎝⎛⎭⎫0－23c 2＝8＋59c 2，解得c 2＝3，所以所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.19．、[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1，求a 的取值范围．19．解：(1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a >0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎭⎫0，1a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭1a ，＋∞. 当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝13a 2. (2)由f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0及(1)知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32a 时，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫32a ，＋∞时，f (x )<0. 设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （x ）x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B ，显然0∉B .下面分三种情况讨论：(i)当32a >2，即0<a <34时，由f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集． (ii)当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)．由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B ，所以A ⊆B .(iii)当32a <1，即a >32时，有f (1)<0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝⎝⎛⎭⎫1f （1），0，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，32. 20．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t .20．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)qn －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0， 所以s <t .。

2014年全国普通高等学校招生统一考试文科（天津卷）数学试题1、【题文】是虚数单位，复数（）A．B．C．D．2、【题文】设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53、【题文】已知命题（）A．B．C．D．4、【题文】设则（）A．B．C．D．5、【题文】设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（）A．2 B．-2C．D．6、【题文】已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7、【题文】如图，是圆的内接三角行，的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分；②；③；④.则所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④8、【题文】已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（）C．D．A．B．9、【题文】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取名学生.10、【题文】一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.11、【题文】阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为________.12、【题文】函数的单调递减区间是________.13、【题文】已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，.若，则的值为________.14、【题文】已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______15、【题文】某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）用表中字母列举出所有可能的结果设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率.16、【题文】在中，内角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的值.17、【题文】如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.（1）证明平面；（2）若二面角P-AD-B为，①证明：平面PBC⊥平面ABCD②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.18、【题文】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M，=.求椭圆的方程.19、【题文】已知函数（1）求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围20、【题文】已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合，(1)当时，用列举法表示集合A；(2)设其中证明：若则.。

2014天津文第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（同理１）i 是虚数单位,复数13i1i-=-( )． 啊．2i - 不．2i + 才．12i -- D ．12i -+【解】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ． 2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )．A ．4-B ．0C ．43的．4 【解】画出可行域为图中的ABC ∆的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为( )．A ．0.5B ．1C ．2D ．4【解】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--=73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2． 故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解】{}02A B x x x =∈<>R 或，(){}{}2002C x x x x x x =∈->∈<>R R 或所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ． 5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【解】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>．所以a c b >>．故选Ｂ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-，所以4p =．又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =． 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==，焦距2c =7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，ππϕ-<≤．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数【解】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 其增区间满足π222332x k k ππππ-+≤+≤+，k ∈Z ． 解得5π6ππ6π2k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 取0k =得5ππ2x -≤≤，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【解】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，()2,B ，()1,1C --，()1,2D --．从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．第Ⅱ卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．【解】3．解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=． 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m ．【解】4．几何体是由两个长方体组合的．体积为 1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n +∈N ．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．【解】110．设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为 ． 【解】18．因为22log log 1a b +≥，则2log 1ab ≥，2ab ≥，24a b ⋅≥3918a b +≥=≥≥=，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．（同理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．【解．因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =． 由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ⋅=⋅==⋅， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE =⋅=⋅=．所以CE =． 14．(同理14) 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【解】5．解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．35PA PB += ，当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．解法2 ． 以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得()533332P A P B D A D P P C C B D AP CD P +=-++=+-． 又P 是腰DC 上的动点，即与共线，于是可设λ=，有)13(253-+=+λ． 所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⋅⎣⎦即[]213(25)13(DP -+=-+=+λλ．由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即DP PC 31=时，所以3PA PB +有最小值5．解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB的F中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -= ．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，于是()22252544PE a b =+-≥ ，于是25PE ≥ ，当且仅当a b =时，等号成立．由式①，325PA PB PE +=≥， 所以3PA PB +有最小值5．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，复数=++ii437（ ） A. i -1 B. i +-1 C.i 25312517+ D. i 725717+- 2. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 53. 已知命题为则总有p e x x p x⌝>+>∀,1)1(,0:（ ）A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x ex x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有4. 设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >>5. 设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ）A.2B.-2C.21 D .216. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 7. 如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FAFD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④ 8. 已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2πB.23πC.πD.2π二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12. 函数()3lg f x x =的单调递减区间是________.13. 已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AE ⋅=，则λ的值为________.14. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.16、（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin = （1）求A cos 的值； （2）求)62cos(π-A 的值.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，，,分别是棱的中点. （1） 证明平面； （2） 若二面角P-AD-B 为，① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18、（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为 B.已知=.（1） 求椭圆的离心率；（2） 设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.19. （本小题满分14分）已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围20.（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-，（1）当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ； （2）设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t qa q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，复数=++ii437（ ） A. i -1 B. i +-1 C.i 25312517+ D. i 725717+- 2. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 53. 已知命题为则总有p e x x p x⌝>+>∀,1)1(,0:（ ）A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x ex x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有4. 设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >>5. 设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ）A.2B.-2C.21 D .216. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 7. 如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④ 8.已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2πB.23πC.πD.2π二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12. 函数()3lg f x x =的单调递减区间是________.13. 已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AE ⋅=，则λ的值为________.14. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.16、（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin = （1）求A cos 的值； （2）求)62cos(π-A 的值.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，，,分别是棱的中点. （1） 证明平面； （2） 若二面角P-AD-B 为，① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18、（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为 B.已知=.（1） 求椭圆的离心率；（2） 设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.19. （本小题满分14分）已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围20.（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-，（1）当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ； （2）设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t qa q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014天津,文1)i是虚数单位,复数7+i3+4i=().A.1-iB.-1+iC.17 25+3125i D.-177+257i答案:A解析:7+i3+4i =(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=21-28i+3i+425=1-i.2.(2014天津,文2)设变量x,y满足约束条件{x+y-2≥0,x-y-2≤0,y≥1,则目标函数z=x+2y的最小值为().A.2B.3C.4D.5 答案:B解析:作出约束条件的可行域如图中阴影所示.∵z=x+2y,∴y=-12x+12z.∴直线y=-12x+12z在y轴上的截距越小,z就越小.作直线l0:x+2y=0,平移l0,当过A点时,直线y=-12x+12z在y轴上的截距最小.由{y=1,x+y-2=0,解得A(1,1),∴z min=1+2×1=3.3.(2014天津,文3)已知命题p:∀x>0,总有(x+1)e x>1,则 p为().A.∃x0≤0,使得(x0+1)e x0≤1B.∃x0>0,使得(x0+1)e x0≤1C.∀x>0,总有(x+1)e x≤1D.∀x≤0,总有(x+1)e x≤1答案:B解析:由全称命题∀x∈M,p(x)的否定为∃x0∈M, p(x),可得 p:∃x0>0,使得(x0+1)e x0≤1.故选B.4.(2014天津,文4)设a=log2π,b=lo g12π,c=π-2,则().A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a答案:C解析:∵a=log2π>log22=1,b=lo g12π<lo g121=0,c=π-2=1π2∈(0,1),∴a>c>b.故选C.5.(2014天津,文5)设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=().A.2B.-2C.12D.-12答案:D解析:由题意知S 22=S 1·S 4,则(a 1+a 1-1)2=a 1(4a 1-6),解得a 1=-12.故选D .6.(2014天津,文6)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ).A.x 25−y 220=1 B.x 220−y 25=1 C.3x 225−3y 2100=1 D.3x 2100−3y 225=1 答案:A解析:由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±b ax.∵一条渐近线平行于直线y=2x+10, ∴b a=2.①对直线y=2x+10,令y=0,解得x=-5. ∴由题意知c=5.②又∵a 2+b 2=c 2,③联立①②③,解得a 2=5,b 2=20, ∴所求双曲线的方程为x 25−y 220=1.故选A .7.(2014天津,文7)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF ;②FB 2=FD ·FA ;③AE ·CE=BE ·DE ;④AF ·BD=AB ·BF.则所有正确结论的序号是( ).A.①②B.③④C.①②③D.①②④答案:D解析:如右图,在圆中,∵∠1与∠3所对的弧相同,∴∠1=∠3.又BF 为圆的切线,则∠2=∠4. 又∵AD 为∠BAC 的平分线, ∴∠1=∠2.∴∠3=∠4. ∴BD 平分∠CBF.故①正确. 在△BFD 和△AFB 中,∵∠F 为公共角,且∠4=∠2, ∴△BFD ∽△AFB.∴BF AF=DF BF=BD AB. ∴BF 2=AF ·DF ,BF ·AB=BD ·AF. 故②正确,④正确.由相交弦定理可知③不正确,故选D .8.(2014天津,文8)已知函数f (x )=√3sin ωx+cos ωx (ω>0),x ∈R .在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f(x)的最小正周期为( ).A.π2B.2π3C.πD.2π答案:C解析:f (x )=√3sin ωx+cos ωx=2sin (ωx +π6).设距离最小的相邻两交点的横坐标分别为x 1,x 2,且x 1<x 2,则x 2-x 1=π3.∴ωx 1+π6=2k π+π6,k ∈Z 或ωx 2+π6=2k π+56π,k ∈Z .∴ω(x 2-x 1)=56π-π6=23π.∴ω3π=23π.∴ω=2.∴T=2π2=π. 第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2014天津,文9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 答案:60 解析:300×44+5+5+6=60(名).10.(2014天津,文10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3.答案:203π解析:由三视图知该几何体上面为圆锥,下面为圆柱.V=13π×22×2+π×12×4=203π.11.(2014天津,文11)阅读下边的框图,运行相应的程序,输出S 的值为 .答案:-4解析:初始时,S=0,n=3;第1次运作,S=0+(-2)3=-8,n=3-1=2; 第2次运作,S=-8+(-2)2=-4,n=2-1=1,此时满足n ≤1,输出-4.12.(2014天津,文12)函数f (x )=lg x 2的单调递减区间是 . 答案:(-∞,0)解析:函数f (x )=lg x 2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).∵f (x )=lg x 在(0,+∞)上为增函数,y=x 2在[0,+∞)上为增函数,在(-∞,0]上为减函数, ∴f (x )=lg x 2的单调减区间为(-∞,0).13.(2014天津,文13)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC=3BE ,DC=λDF ,若AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则λ的值为 . 答案:2解析:∵四边形ABCD 为菱形,且边长为2,∠BAD=120°,∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .由题意得AE⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗, AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +1λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(1λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =1λ×4+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13×4 =4λ+(1+13λ)×2×2×(-12)+43=1. ∴4λ-2-23λ+43=1. ∴1λ(4-23)=3-43.∴λ=2. 14.(2014天津,文14)已知函数f (x )={|x 2+5x +4|,x ≤0,2|x -2|,x >0,若函数y=f (x )-a|x|恰有4个零点,则实数a 的取值范围为 .答案:(1,2)解析:分别作出函数y=f (x )与y=a|x|的图象,由图知,a<0时,函数y=f (x )与y=a|x|无交点;a=0时,函数y=f (x )与y=a|x|有三个交点,故a>0.当x>0,a ≥2时,函数y=f (x )与y=a|x|有一个交点;当x>0,0<a<2时,函数y=f (x )与y=a|x|有两个交点;当x<0时,若y=-ax 与y=-x 2-5x-4(-4<x<-1)相切,则由Δ=0得a=1或a=9(舍).因此当x<0,a>1时,函数y=f (x )与y=a|x|有两个交点;当x<0,a=1时,函数y=f (x )与y=a|x|有三个交点;当x<0,0<a<1时,函数y=f (x )与y=a|x|有四个交点.所以当且仅当1<a<2时,函数y=f (x )与y=a|x|恰有4个零点.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)(2014天津,文15)X ,Y ,Z ,其年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发生的概率. 分析:(1)用列举法写出从6人中选2人的所有结果.(2)先写出事件M 发生时所含的所有结果,再运用古典概型概率公式求解.解:(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ,B },{A ,C },{A ,X },{A ,Y },{A ,Z },{B ,C },{B ,X },{B ,Y },{B ,Z },{C ,X },{C ,Y },{C ,Z },{X ,Y },{X ,Z },{Y ,Z },共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ,Y },{A ,Z },{B ,X },{B ,Z },{C ,X },{C ,Y },共6种.因此,事件M 发生的概率P (M )=615=25.16.(本小题满分13分)(2014天津,文16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a-c=√66b ,sin B=√6sin C.(1)求cos A 的值; (2)求cos (2A -π6)的值.分析:(1)利用条件中角的关系,利用正弦定理化为边的形式,结合已知,用c 表示出a ,b ,运用余弦定理求解cos A.(2)由(1)可先求sin A ,再用二倍角公式求sin 2A ,cos 2A 的值,利用两角差的余弦公式求解. 解:(1)在△ABC 中,由b sinB=c sinC, 及sin B=√6sin C ,可得b=√6c.又由a-c=√66b ,有a=2c.所以,cos A=b 2+c 2-a 22bc=6c 2+c 2-4c 22√6c 2=√64. (2)在△ABC 中,由cos A=√64,可得sin A=√104.于是cos 2A=2cos 2A-1=-14,sin 2A=2sin A ·cos A=√154.所以,cos (2A -π6)=cos 2A ·cos π6+sin 2A ·sin π6=√15-√38.17.(本小题满分13分)(2014天津,文17)如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,BA=BD=√2,AD=2,PA=PD=√5,E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点.(1)证明:EF ∥平面PAB ; (2)若二面角P-AD-B 为60°.①证明:平面PBC ⊥平面ABCD ;②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.分析:(1)由线线平行证明线面平行.从而在平面PAB 中,寻求过A 点与EF 平行的直线即可.可借助于中位线构造平行四边形求证.(2)①由线面垂直可证面面垂直.先由二面角定义找出二面角P-AD-B 的平面角,结合长度在△PEB 中,运用勾股定理,证明BE ⊥PB.再证明BE ⊥BC ,进而证明BE ⊥平面PBC ,再证得平面PBC ⊥平面ABCD.②由①易知∠EFB 为所求角.再在△EBF 中,利用EF 与BE 的边长求正弦值. (1)证明:如图,取PB 中点M ,连接MF ,AM.因为F 为PC 中点,故MF ∥BC 且MF=12BC.由已知有BC ∥AD ,BC=AD.又由于E 为AD 中点,因而MF ∥AE ,且MF=AE , 故四边形AMFE 为平行四边形,所以EF ∥AM. 又AM ⊂平面PAB ,而EF ⊄平面PAB. 所以EF ∥平面PAB. (2)①证明:连接PE ,BE.因为PA=PD ,BA=BD ,而E 为AD 中点,故PE ⊥AD ,BE ⊥AD. 所以∠PEB 为二面角P-AD-B 的平面角. 在△PAD 中,由PA=PD=√5,AD=2,可解得PE=2. 在△ABD 中,由BA=BD=√2,AD=2,可解得BE=1. 在△PEB 中,PE=2,BE=1,∠PEB=60°. 由余弦定理,可解得PB=√3,从而∠PBE=90°,即BE ⊥PB. 又BC ∥AD ,BE ⊥AD ,从而BE ⊥BC ,因此BE ⊥平面PBC. 又BE ⊂平面ABCD ,所以,平面PBC ⊥平面ABCD. ②解:连接BF.由①知,BE ⊥平面PBC , 所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角. 由PB=√3及已知,得∠ABP 为直角. 而MB=12PB=√32,可得AM=√112,故EF=√112.又BE=1,故在直角三角形EBF 中,sin ∠EFB=BE EF=2√1111.所以,直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为2√1111. 18.(本小题满分13分)(2014天津,文18)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,右顶点为A ,上顶点为B.已知|AB|=√32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点F 1,经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ,|MF 2|=2√2.求椭圆的方程.分析:(1)由条件求出|AB|,|F 1F 2|,用a ,b ,c 表示,结合平方关系,求出离心率e=ca的值.(2)利用(1)中离心率的值,可将椭圆方程中a 2,b 2用c 2表示,设出P 点坐标(x 0,y 0),表示出F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,利用以线段PB 为直径的圆过点F 1,可得F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得出x 0,y 0的关系,结合P 在椭圆上,解出x 0,y 0用c 表示.从而求出圆心、半径,并用c 表示,再利用l 与圆相切及|MF 2|=2√2,结合勾股定理求出c ,得椭圆方程.解:(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ,0).由|AB|=√32|F 1F 2|,可得a 2+b 2=3c 2,又b 2=a 2-c 2,则c 2a 2=12.所以,椭圆的离心率e=√22.(2)由(1)知a 2=2c 2,b 2=c 2. 故椭圆方程为x 22c 2+y 2c 2=1. 设P (x 0,y 0).由F 1(-c ,0),B (0,c ), 有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+c ,y 0),F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c ,c ).由已知,有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(x 0+c )c+y 0c=0. 又c ≠0,故有x 0+y 0+c=0.① 因为点P 在椭圆上,故x 022c 2+y 02c2=1.②由①和②可得3x 02+4cx 0=0.而点P 不是椭圆的顶点,故x 0=-43c , 代入①得y 0=c3,即点P 的坐标为(-4c 3,c 3). 设圆的圆心为T (x 1,y 1),则x 1=-43c+02=-23c ,y 1=c 3+c 2=23c ,进而圆的半径r=√(x 1-0)2+(y 1-c )2=√53c.由已知,有|TF 2|2=|MF 2|2+r 2,又|MF 2|=2√2,故有(c +23c)2+(0-23c)2=8+59c 2,解得c 2=3. 所以,所求椭圆的方程为x 26+y 23=1. 19.(本小题满分14分)(2014天津,文19)已知函数f (x )=x 2-23ax 3(a>0),x ∈R . (1)求f (x )的单调区间和极值;(2)若对于任意的x 1∈(2,+∞),都存在x 2∈(1,+∞),使得f (x 1)·f (x 2)=1.求a 的取值范围.分析:(1)第一步:求导,解f'(x )=0的根,第二步:列表,判断函数f (x )的单调性求出极值,第三步:结论.(2)设集合A={f (x )|x ∈(2,+∞)},B={1f (x )|x ∈(1,+∞),f (x )≠0},则可将已知条件转化为A ⊆B 的问题.由(1)知f (x )=0的根为x=32a,再讨论32a与1,2的大小关系,进而分三种情况分别讨论“A ⊆B”是否成立,求出a 的范围. 解:(1)由已知,有f'(x )=2x-2ax 2(a>0).令f'(x )=0,解得x=0或x=1a.当x 变化时,f'(x ),f (x )所以,f (x )的单调递增区间是(0,1a); 单调递减区间是(-∞,0),(1a,+∞). 当x=0时,f (x )有极小值,且极小值f (0)=0; 当x=1a时,f (x )有极大值,且极大值f (1a)=13a 2.(2)由f (0)=f (32a )=0及(1)知,当x ∈(0,32a )时,f (x )>0; 当x ∈(32a,+∞)时,f (x )<0. 设集合A={f (x )|x ∈(2,+∞)},集合B={1f (x )|x ∈(1,+∞),f (x )≠0}.则“对于任意的x 1∈(2,+∞),都存在x 2∈(1,+∞),使得f (x 1)·f (x 2)=1”等价于A ⊆B ,显然,0∉B. 下面分三种情况讨论:①当32a>2,即0<a<34时,由f (32a)=0可知,0∈A ,而0∉B ,所以A 不是B 的子集.②当1≤32a≤2,即34≤a ≤32时,有f (2)≤0,且此时f (x )在(2,+∞)上单调递减,故A=(-∞,f (2)),因而A ⊆(-∞,0); 由f (1)≥0,有f (x )在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞,0),则(-∞,0)⊆B ,所以,A ⊆B. ③当32a<1,即a>32时,有f (1)<0,且此时f (x )在(1,+∞)上单调递减,故B=(1f (1),0),A=(-∞,f (2)),所以A 不是B 的子集.综上,a 的取值范围是[34,32].20.(本小题满分14分)(2014天津,文20)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n-1,x i ∈M ,i=1,2,…,n }. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A ;(2)设s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,其中a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n.证明:若a n <b n ,则s<t. 分析:(1)先由已知写出M ,及描述法的集合A ,再对x i 值的情况讨论,写出A 的列举法表示.(2)证明s<t ,可用作差法,即判断s-t<0.作差后利用放缩法,将差式转化为等比数列求和判断差的符号. (1)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M ,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n 及a n <b n ,可得s-t=(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n -b n )q n-1 ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1 =(q -1)(1-q n -1)1-q-q n-1=-1<0. 所以,s<t.。

2014年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i 是虚数单位，复数=（ ） A ．1﹣iB ．﹣1+iC ．+i D ．﹣+i2．（5分）设变量，y 满足约束条件，则目标函数=+2y 的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．53．（5分）已知命题p ：∀＞0，总有（+1）e ＞1，则￢p 为（ ） A ．∃0≤0，使得（0+1）e ≤1 B ．∃0＞0，使得（0+1）e ≤1C ．∀＞0，总有（+1）e ≤1D ．∀≤0，总有（+1）e ≤1 4．（5分）设a=log 2π，b=log π，c=π﹣2，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a5．（5分）设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ． D ．﹣ 6．（5分）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1 D ．﹣=17．（5分）如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④8．（5分）已知函数f（）=sinω+cosω（ω＞0），∈R，在曲线y=f（）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为．12．（5分）函数f（）=lg2的单调递减区间是．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为．14．（5分）已知函数f（）=，若函数y=f（）﹣a||恰有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学，Y，，其年级情况如表：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|=2，求椭圆的方程．19．（14分）已知函数f （）=2﹣a 3（a ＞0），∈R ． （Ⅰ）求f （）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，求a 的取值范围．20．（14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q ﹣1}，集合A={|=1+2q+…+n q n ﹣1，i ∈M ，i=1，2，…n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A ；（Ⅱ）设s ，t ∈A ，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．证明：若a n ＜b n ，则s ＜t ．2014年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）设变量，y满足约束条件，则目标函数=+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由=+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时最小．此时的最小值为=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）已知命题p ：∀＞0，总有（+1）e ＞1，则￢p 为（ ） A ．∃0≤0，使得（0+1）e ≤1 B ．∃0＞0，使得（0+1）e ≤1C ．∀＞0，总有（+1）e ≤1D ．∀≤0，总有（+1）e ≤1【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为∃0＞0，使得（0+1）e≤1，故选：B ．【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．4．（5分）设a=log 2π，b=log π，c=π﹣2，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a ，b ，c 的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log 2π＞1，log π＜0，0＜π﹣2＜1，即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1， ∴a ＞c ＞b ，故选：C ．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ． D ．﹣【分析】由等差数列的前n 项和求出S 1，S 2，S 4，然后再由S 1，S 2，S 4成等比数列列式求解a 1．【解答】解：∵{a n }是首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和， ∴S 1=a 1，S 2=2a 1﹣1，S 4=4a 1﹣6， 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得：， 即，解得：．故选：D ．【点评】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1 D ．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2+10，可得=2，结合c 2=a 2+b 2，求出a ，b ，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选：D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．8．（5分）已知函数f（）=sinω+cosω（ω＞0），∈R，在曲线y=f（）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】根据f（）=2sin（ω+），再根据曲线y=f（）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于f（）的周期的倍，求得函数f（）的周期T的值．【解答】解：∵已知函数f（）=sinω+cosω=2sin（ω+）（ω＞0），∈R，在曲线y=f（）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（）的周期的倍，设函数f（）的最小正周期为T，则=，∴T=π，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ω+φ）的图象特征，得到正好等于f （）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60 名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为﹣4 ．【分析】写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．【解答】解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查循环结构，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力．12．（5分）函数f（）=lg2的单调递减区间是（﹣∞，0）．【分析】先将f（）化简，注意到≠0，即f（）=2lg||，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再判断．【解答】解：方法一：y=lg2=2lg||，∴当＞0时，f（）=2lg在（0，+∞）上是增函数；当＜0时，f（）=2lg（﹣）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（）=lg2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（）=lg2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（）=lg2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lg2=2lg||中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg||的图象，得到函数的递减区间．13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为 2 ．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【解答】解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（5分）已知函数f（）=，若函数y=f（）﹣a||恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．【分析】由y=f（）﹣a||=0得f（）=a||，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（）﹣a||=0得f（）=a||，作出函数y=f（），y=a||的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y=a||与f（）有三个交点，当a=1时，当＜0时，f（）=﹣2﹣5﹣4，由f（）=﹣2﹣5﹣4=﹣得2+4+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣与f（）相切，此时y=a||与f（）有五个交点，∴要使函数y=f（）﹣a||恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学，Y，，其年级情况如表：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，）、（A，Y）、（A，）、（B，C）、（B，）、（B，Y）、（B，）、（C，）、（C，Y）、（C，）、（，Y）、（，）、（Y，），共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，）、（B，）、（B，）、（C，）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【分析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理证；（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可；（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B﹣DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii ）由（i ）知，PB ⊥BD ，PB ⊥BA ， ∵BA=BD=，AD=2，∴BD ⊥BA ，∴BD ，BA ，BP 两两垂直，以B 为坐标原点，分别以BD ，BA ，BP 为，Y ，轴，建立如图所示的空间直角坐标系B ﹣DAP ， 则有A （0，，0），B （0，0，0），C （，﹣，0），D （，0，0），P（0，0，）， ∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC 的法向量为，∵，∴，令=1，则y=1，=0，故=（1，1，0），∵E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点， ∴E （，，0），F （，﹣，），∴=（0，，），∴sin θ====﹣，即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．18．（13分）设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|=2，求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）分别用a ，b ，c 表示出|AB|和|F 1F 2|，根据已知建立等式求得a 和c 的关系，进而求得离心率e ．（Ⅱ）根据（1）中a 和c 的关系，用c 表示出椭圆的方程，设出P 点的坐标，根据PB 为直径，推断出BF 1⊥PF 1，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sin θ和cos θ，表示出P 点坐标，利用P ，B 求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB|，|OF 2|，利用勾股定理建立等式求得c ，则椭圆的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知=•2c ，∵b 2=a 2﹣c 2，∴a 2+b 2=2a 2﹣c 2=3c 2， ∴a 2=2c 2， ∴e==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a 2=2c 2， ∴b 2=a 2﹣c 2=c 2， ∴椭圆方程为+=1，B （0，c ），F 1（﹣c ，0）设P 点坐标（csin θ，ccos θ），以线段PB 为直径的圆的圆心为O ，∵PB 为直径， ∴BF 1⊥PF 1，∴BF1•PF1=•=﹣1，求得sin θ=﹣或0（舍去）， 由椭圆对称性可知，P 在轴下方和上方结果相同，只看在轴上方时，cos θ==，∴P 坐标为（﹣c ，c ）， ∴圆心O 的坐标为（﹣c ，c ），∴r=|OB|==c ，|OF 2|==c ，∵r 2+|MF 2|2=|OF 2|2， ∴+8=c 2，∴c 2=3， ∴a 2=6，b 2=3， ∴椭圆的方程为+=1．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得a 和c 的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P 点坐标是关键．19．（14分）已知函数f （）=2﹣a 3（a ＞0），∈R ． （Ⅰ）求f （）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f （）的单调区间，从而求出函数的极值； （Ⅱ）由f （0）=f （）=0及（Ⅰ）知，当∈（0，）时，f （）＞0；当∈（，+∞）时，f （）＜0．设集合A={f （）|∈（2，+∞）}，集合B={|∈（1，+∞），f （）≠0}，则对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，等价于A ⊆B ，分类讨论，即可求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）f ′（）=2﹣2a 2=2（1﹣a ），令f ′（）=0，解得=0或=． 当变化时，f ′（），f （）的变化情况如下表：，（所以，f （）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当=0时，有极小值f （0）=0，当=时，有极大值f （）=；（Ⅱ）由f （0）=f （）=0及（Ⅰ）知，当∈（0，）时，f （）＞0；当∈（，+∞）时，f （）＜0．设集合A={f （）|∈（2，+∞）}，集合B={|∈（1，+∞），f （）≠0}，则对于任意的1∈（2，+∞），都存在2∈（1，+∞），使得f （1）•f （2）=1，等价于A ⊆B ，显然A ≠∅ 下面分三种情况讨论： ①当＞2，即0＜a ＜时，由f （）=0可知，0∈A ，而0∉B ，∴A 不是B 的子集； ②当1≤≤2，即时，f （2）≤0，且f （）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f （2）），∴A ⊆（﹣∞，0）；由f （1）≥0，有f （）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B ，∴A ⊆B ； ③当＜1，即a ＞时，有f （1）＜0，且f （）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f （2）），∴A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[]．【点评】利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．20．（14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q ﹣1}，集合A={|=1+2q+…+n q n ﹣1，i ∈M ，i=1，2，…n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A ；（Ⅱ）设s ，t ∈A ，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．证明：若a n ＜b n ，则s ＜t ．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={|=1+2•2+3•22，i ∈M ，i=1，2，3}．即可得到集合A ．（Ⅱ）由于a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ，可得a n ﹣b n ≤﹣1．由题意可得s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+（a n ﹣1﹣b n ﹣1）q n ﹣2+（a n ﹣b n ）q n ﹣1≤（q ﹣1）+（q ﹣1）q+…+（q ﹣1）q n ﹣2﹣q n ﹣1 再利用等比数列的前n 项和公式即可得出． 【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={|=1+2•2+3•22，i ∈M ，i=1，2，3}． 可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s ，t ∈A ，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M ，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ，∴s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+（a n﹣1﹣b n ﹣1）q n ﹣2+（a n ﹣b n ）q n ﹣1≤（q ﹣1）+（q ﹣1）q+…+（q ﹣1）q n ﹣2﹣q n ﹣1 =（q ﹣1）（1+q+…+q n ﹣2）﹣q n ﹣1=﹣q n ﹣1=﹣1＜0． ∴s ＜t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数7＋i 3＋4i ＝( ).A ．1﹣iB ．﹣1＋iC ．1725＋3125i D ．﹣177＋257i答案：A 解析：7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3﹣4i )(3＋4i )(3﹣4i )＝21﹣28i ＋3i ＋425＝1﹣i .2.设变量x ，y 满足约束条件{x ＋y ﹣2≥0，x ﹣y ﹣2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( ).A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B解析：作出约束条件的可行域如图中阴影所示.∵z ＝x ＋2y ，∴y ＝﹣12x ＋12z.∴直线y ＝﹣12x ＋12z 在y 轴上的截距越小，z 就越小.作直线l 0：x ＋2y ＝0，平移l 0，当过A 点时，直线y ＝﹣12x ＋12z 在y 轴上的截距最小.由{y＝1，x＋y﹣2＝0，解得A(1，1)，∴z min＝1＋2×1＝3.3.已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则 p为().A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案：B解析：由全称命题∀x∈M，p(x)的否定为∃x0∈M， p(x)，可得 p：∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1.故选B．4.设a＝log2π，b＝lo g12π，c＝π﹣2，则().A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>b>a答案：C解析：∵a＝log2π>log22＝1，b＝lo g12π<lo g121＝0，c＝π﹣2＝1π2∈(0，1)，∴a>c>B．故选C．5.设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝().A．2B．﹣2C．12D．﹣12答案：D解析：由题意知S22＝S1·S4，则(a1＋a1﹣1)2＝a1(4a1﹣6)，解得a1＝﹣12.故选D．6.已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为().A．x25−y220＝1B．x220−y25＝1C．3x225−3y2100＝1D．3x2100−3y225＝1答案：A解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±bax.∵一条渐近线平行于直线y＝2x＋10，∴ba＝2.①对直线y＝2x＋10，令y＝0，解得x＝﹣5.∴由题意知c＝5.②又∵a2＋b2＝c2，③联立①②③，解得a2＝5，b2＝20，∴所求双曲线的方程为x 25−y220＝1.故选A．7.如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ;②FB 2＝FD ·F A ;③AE ·CE ＝BE ·DE ;④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( ).A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④答案：D解析：如右图，在圆中，∵∠1与∠3所对的弧相同，∴∠1＝∠3.又BF 为圆的切线，则∠2＝∠4. 又∵AD 为∠BAC 的平分线， ∴∠1＝∠2.∴∠3＝∠4. ∴BD 平分∠CBF .故①正确. 在△BFD 和△AFB 中，∵∠F 为公共角，且∠4＝∠2，∴△BFD ∽△AFB ．∴BFAF＝DF BF ＝BDAB . ∴BF 2＝AF ·DF ，BF ·AB ＝BD ·AF . 故②正确，④正确.由相交弦定理可知③不正确，故选D ．8.已知函数f (x )＝√3sinωx ＋cosωx (ω>0)，x ∈R.在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( ).A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π答案：C解析：f (x )＝√3sinωx ＋cosωx ＝2sin (ωx ＋π6).设距离最小的相邻两交点的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2﹣x 1＝π3.∴ωx 1＋π6＝2k π＋π6，k ∈Z 或ωx 2＋π6＝2k π＋56π，k ∈Z . ∴ω(x 2﹣x 1)＝56π﹣π6＝23π. ∴ω3π＝23π.∴ω＝2.∴T ＝2π2＝π.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生. 答案：60 解析：300×44＋5＋5＋6＝60(名).10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________m 3.答案：203π解析：由三视图知该几何体上面为圆锥，下面为圆柱.V ＝13π×22×2＋π×12×4＝203π.11.阅读下边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为__________.答案：﹣4解析：初始时，S ＝0，n ＝3;第1次运作，S ＝0＋(﹣2)3＝﹣8，n ＝3﹣1＝2; 第2次运作，S ＝﹣8＋(﹣2)2＝﹣4，n ＝2﹣1＝1， 此时满足n ≤1，输出﹣4.12.函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是__________. 答案：(﹣∞，0)解析：函数f (x )＝lg x 2的定义域为(﹣∞，0)∪(0，＋∞).∵f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，y ＝x 2在[0，＋∞)上为增函数，在(﹣∞，0]上为减函数， ∴f (x )＝lg x 2的单调减区间为(﹣∞，0).13.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，若AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝1，则λ的值为__________. 答案：2解析：∵四边形ABCD 为菱形，且边长为2，∠BAD ＝120°，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB⃗⃗⃗⃗⃗ .由题意得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋1λAB⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(1λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ＝1λ×4＋AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋13λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋13×4＝4λ＋(1＋13λ)×2×2×(﹣12)＋43＝1.∴4λ﹣2﹣23λ＋43＝1.∴1λ(4﹣23)＝3﹣43.∴λ＝2. 14.已知函数f (x )＝{|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x ﹣2|，x >0，若函数y ＝f (x )﹣a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为__________.答案：(1，2)解析：分别作出函数y ＝f (x )与y ＝a|x|的图象，由图知，a<0时，函数y ＝f (x )与y ＝a|x|无交点;a ＝0时，函数y ＝f (x )与y ＝a|x|有三个交点，故a>0.当x>0，a ≥2时，函数y ＝f (x )与y ＝a|x|有一个交点;当x>0，0<a<2时，函数y ＝f (x )与y ＝a|x|有两个交点;当x<0时，若y ＝﹣ax 与y ＝﹣x 2﹣5x ﹣4(﹣4<x<﹣1)相切，则由Δ＝0得a ＝1或a ＝9(舍).因此当x<0，a>1时，函数y ＝f (x )与y ＝a|x|有两个交点;当x<0，a ＝1时，函数y ＝f (x )与y ＝a|x|有三个交点;当x<0，0<a<1时，函数y ＝f (x )与y ＝a|x|有四个交点.所以当且仅当1<a<2时，函数y ＝f (x )与y ＝a|x|恰有4个零点.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)某校夏令营有X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.分析：(1)用列举法写出从6人中选2人的所有结果.(2)先写出事件M 发生时所含的所有结果，再运用古典概型概率公式求解.解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种.因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.16.(本小题满分13分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知a ﹣c ＝√66b ，sin B ＝√6sin C ． (1)求cos A 的值; (2)求cos (2A ﹣π6)的值.分析：(1)利用条件中角的关系，利用正弦定理化为边的形式，结合已知，用c 表示出a ，b ，运用余弦定理求解cos A ．(2)由(1)可先求sin A ，再用二倍角公式求sin2A ，cos2A 的值，利用两角差的余弦公式求解. 解：(1)在△ABC 中，由bsinB ＝csinC ，及sin B ＝√6sin C ，可得b ＝√6C ． 又由a ﹣c ＝√66b ，有a ＝2C ． 所以，cos A ＝b 2＋c 2﹣a 22bc 2222√6c 2√64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝√64，可得sin A ＝√104. 于是cos2A ＝2cos 2A ﹣1＝﹣14，sin2A ＝2sin A ·cos A ＝√154. 所以，cos (2A ﹣π6)＝cos2A ·cos π6＋sin2A ·sin π6＝√15﹣√38. 17.(本小题满分13分)如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝√2，AD ＝2，P A ＝PD ＝√5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点.(1)证明：EF ∥平面P AB ;(2)若二面角P ﹣AD ﹣B 为60°. ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ;②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.分析：(1)由线线平行证明线面平行.从而在平面P AB 中，寻求过A 点与EF 平行的直线即可.可借助于中位线构造平行四边形求证.(2)①由线面垂直可证面面垂直.先由二面角定义找出二面角P ﹣AD ﹣B 的平面角，结合长度在△PEB 中，运用勾股定理，证明BE ⊥PB ．再证明BE ⊥BC ，进而证明BE ⊥平面PBC ，再证得平面PBC ⊥平面ABCD ．②由①易知∠EFB 为所求角.再在△EBF 中，利用EF 与BE 的边长求正弦值. (1)证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM.因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ．又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE ，且MF ＝AE ， 故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM. 又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ． 所以EF ∥平面P AB ． (2)①证明：连接PE ，BE.因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ． 所以∠PEB 为二面角P ﹣AD ﹣B 的平面角.在△P AD 中，由P A ＝PD ＝√5，AD ＝2，可解得PE ＝2. 在△ABD 中，由BA ＝BD ＝√2，AD ＝2，可解得BE ＝1. 在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°.由余弦定理，可解得PB ＝√3，从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ． 又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ． 又BE ⊂平面ABCD ，所以，平面PBC ⊥平面ABCD ． ②解：连接BF .由①知，BE ⊥平面PBC ， 所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角. 由PB ＝√3及已知，得∠ABP 为直角. 而MB ＝12PB ＝√32，可得AM ＝√112，故EF ＝√112. 又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BEEF ＝2√1111. 所以，直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为2√1111. 18.(本小题满分13分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ．已知|AB|＝√32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|＝2√2.求椭圆的方程.分析：(1)由条件求出|AB|，|F 1F 2|，用a ，b ，c 表示，结合平方关系，求出离心率e ＝ca 的值.(2)利用(1)中离心率的值，可将椭圆方程中a 2，b 2用c 2表示，设出P 点坐标(x 0，y 0)，表示出F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用以线段PB 为直径的圆过点F 1，可得F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得出x 0，y 0的关系，结合P 在椭圆上，解出x 0，y 0用c 表示.从而求出圆心、半径，并用c 表示，再利用l 与圆相切及|MF 2|＝2√2，结合勾股定理求出c ，得椭圆方程.解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0).由|AB|＝√32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2， 又b 2＝a 2﹣c 2，则c2a ＝12. 所以，椭圆的离心率e ＝√22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c ＋y 2c ＝1. 设P (x 0，y 0).由F 1(﹣c ，0)，B (0，c )， 有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(c ，c ).由已知，有F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 因为点P 在椭圆上，故x 022c 2＋y 02c 2＝1.②由①和②可得3x 02＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝﹣43c ， 代入①得y 0＝c3，即点P 的坐标为(﹣4c 3，c3).设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝﹣43c ＋02＝﹣23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝√(x 1﹣0)2＋(y 1﹣c )2＝√53C ． 由已知，有|TF 2|2＝|MF 2|2＋r 2，又|MF 2|＝2√2，故有(c ＋23c)2＋(0﹣23c)2＝8＋59c 2，解得c 2＝3.所以，所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.19.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2﹣23ax 3(a>0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值;(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值范围.分析：(1)第一步：求导，解f'(x )＝0的根，第二步：列表，判断函数f (x )的单调性求出极值，第三步：结论.(2)设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，B ＝{1f (x )|x ∈(1，＋∞)，f (x )≠0}，则可将已知条件转化为A ⊆B 的问题.由(1)知f (x )＝0的根为x ＝32a ，再讨论32a 与1，2的大小关系，进而分三种情况分别讨论“A ⊆B”是否成立，求出a 的范围.解：(1)由已知，有f'(x )＝2x ﹣2ax 2(a>0).令f'(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a .当x变化时，f'(x)，f(x)所以，f(x)的单调递增区间是(0，1a);单调递减区间是(﹣∞，0)，(1a，＋∞).当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0;当x＝1a 时，f(x)有极大值，且极大值f(1a)＝13a2.(2)由f(0)＝f(32a )＝0及(1)知，当x∈(0，32a)时，f(x)>0;当x∈(32a，＋∞)时，f(x)<0.设集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝{1f(x)|x∈(1，＋∞)，f(x)≠0}.则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1”等价于A⊆B，显然，0∉B．下面分三种情况讨论：①当32a >2，即0<a<34时，由f(32a)＝0可知，0∈A，而0∉B，所以A不是B的子集.②当1≤32a ≤2，即34≤a≤32时，有f(2)≤0，且此时f(x)在(2，＋∞)上单调递减，故A＝(﹣∞，f(2))，因而A⊆(﹣∞，0);由f(1)≥0，有f(x)在(1，＋∞)上的取值范围包含(﹣∞，0)，则(﹣∞，0)⊆B，所以，A⊆B．③当32a <1，即a>32时，有f(1)<0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故B＝(1f(1)，0)，A＝(﹣∞，f(2))，所以A不是B的子集.综上，a的取值范围是[34，32].20.(本小题满分14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M＝{0，1，2，…，q﹣1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n﹣1，x i∈M，i＝1，2，…，n}.(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A;(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n﹣1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.分析：(1)先由已知写出M，及描述法的集合A，再对x i值的情况讨论，写出A的列举法表示.(2)证明s<t，可用作差法，即判断s﹣t<0.作差后利用放缩法，将差式转化为等比数列求和判断差的符号.(1)解：当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，3}.可得，A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}.(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n﹣1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n﹣1，a i，b i∈M，i＝1，2，…，n及a n<b n，可得s﹣t＝(a1﹣b1)＋(a2﹣b2)q＋…＋(a n﹣1﹣b n﹣1)q n﹣2＋(a n﹣b n)q n﹣1≤(q﹣1)＋(q﹣1)q＋…＋(q﹣1)q n﹣2﹣q n﹣1﹣q n﹣1＝﹣1<0.＝(q﹣1)(1﹣q n﹣1)1﹣q所以，s<t.。