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初一 因式分解

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1精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：NJ083605276 年 级：初一 课 时 数：3学员姓名：周峥嵘 辅导科目：数学 学科教师：侯东辰 授课 类型 T 因式分解 C 因式分解 T 能力提高授课日期时段2015年4月6号 10：10--12：10教学内容一、同步知识梳理知识点1：因式分解的定义及与整式乘法的关系(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算就是因式分解． (2)因式分解与整式乘法是互逆运算． 知识点2：因式分解的常用方法(1)提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式． 提公因式法用公式可表示为ma ＋mb ＋mc ＝m(a ＋b ＋c)，其分解步骤为：①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积． ②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． (2)运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式，这种方法叫做公式法，即a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)，a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b)2.2知识点3：因式分解的一般步骤(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； (2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解； (3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．二、同步题型分析题型1：定义例1：下列由左到右的变形，是因式分解的是( )A ．(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2B ．x 2＋x －2＝x(x ＋1)－2C ．x 2－2x ＋1＝(x －1)2D ．x 2＋5x ＋4＝x(x ＋5＋4x)例2：下列从左到右的变形中，是因式分解的是( )A ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9B ．x 2－9＋x ＝(x ＋3)(x －3)＋xC ．3x 2－3x ＋1＝3x(x －1)＋1D ．a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2例3：多项式6a 3b 2－3ab 2－18a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是( )A ．3a 2bB ．3ab 2C ．3a 3b 3D ．3a 2b 2题型2：提取例1：分解因式：x 2－x ＝______.例2：（1）2abc abd a b +- （2）155ax xy --3例3：多项式()()322x x x ---分解因式正确的是 ( )A. ()()231x x -- B ．()()231x x -- C. ()()231x x -+ D ．()()231x x -+三、课堂达标检测检测题1：因式分解与____________________是两个互为相反的变形过程．检测题2：因式分解：()()2368a a b a b ---=_________________.检测题3: ()()()()a a x x b ab a x b x ---+--的公因式是（ ）A a -B ()()a a x x b ---C ()a a x -D ()a a x --检测题4:下列由左边的变形, 哪些是因式分解，哪些是整式乘法？（1）()3226332a a b a a b -=-； （2）()2321x x x x -+=--；（3）()()2233a b a ab b a b -++=-；（4）()()22356x x x x --=-+；（5）()222369a b a ab b -=-+；（6）()22222233a b c a b a bc -=-（7）()()()()222a b a b a b a b ---=--- （8）()()22555x x x -=+-【知识梳理】提取公因式的步骤“一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；“二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式.【注意】1、如果多项式的首相是负数时，一般应先提出“﹣”号，使括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式；2、利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”.就是说当一个多项式提出公因式后，剩下另一个因式中应该已经也没有可以提取的公因式了；若发现还有公因式必须要再次提取，否则因式分解就不彻底，没有完成；3、注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式的项数应与原多项式的项数一致.4、多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式.当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意统一字母的排列顺序，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现符号上的错误.5、提取的公因式应是各项系数最大的公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.6、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.1．公式法的定义：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．2．平方差公式：运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：(1)公式左边必须是一个二项式，且符号相反；(2)两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式；(3)右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；(4)公式中字母“a”和“b”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．53．完全平方公式：．运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：(1)公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；(2)其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的2倍；(3)右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第三项的符号相同； (4)公式中字母“a ”和“b"既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式． 4．公式法的几点注意：(1)运用公式法分解因式时要注意观察，首先观察项数，如果是二项考虑用平方差公式；如果是三项考虑用完全平方公式．其次观察所需分解的多项式的各项与相应公式中各项如何对应，什么是公式中的“a ”，什么是公式中的“b ”，然后才能运用此公式进行分解因式．(2)分解因式一定要彻底(3)公式中的“a ”、“b ”可以表示多项式，使用公式时要注意符号的使用，但分解后的结果中不能含有中括号． (4)合理变形，巧妙运用公式是本节的一大难点一、专题精讲题型一：提公因式法 例1因式分解：（1）32a a a ++； （2）1m m a a +- （3）34256686a x a x ax -+ （4） ()()22x a b a b -+-例2多项式()()322x x x ---分解因式正确的是 ( )A. ()()231x x -- B ．()()231x x -- C. ()()231x x -+ D ．()()231x x -+例3因式分解：6（1）23432243a b c a b c a b c +- （2）54352321624a b a b a b -+（3）876563273a a a a +-- （4）333324243234x y z x y z x y z x y z --+-【巩固练习】（1）()()23a p q a q p --- （2）()()3226181p x p x ---题型二：提公因式法的应用例4利用因式分解方法计算：72.56553656530.56521⨯-⨯-⨯+⨯【巩固练习】1．当0.5a =时,求多项式()()()()()()22123123132a a a a a a +-++--+-的值题型三： 公式法例5 下列分解因式是否正确： （1）－x 2－y 2=(x+y)(x －y) （2）9－25a 2=(3+25a)(3+25b) （3）－4a 2+9b 2=(－2a+3b)(－2a －3b)7例6 下列各式的因式分解中,有错误的是( ). A.()()()22424634631629x b a x b a x b a -+++=-+;B.()()()[]()()()11123--+--=-----a b a b a b a b a b b a ;C.()222374914y x x xy y x x -=+-;D.()()23222234239696--=+--=-+-ab b ab b a b b ab b a .题型四：公式法的应用例7已知：225,13x y x y +=+=.求代数式32232x y x y xy ++的值.【巩固练习】 把下列各式因式分解;(1)()()()43222y x y x a y x a -+-+-; (2)()222224y x y x -+;例8 22843842-【巩固练习】1．把下列各式因式分解:8(1)0.042481.0y x -; (2)n n xy x 212-+;2．运用公式法计算下列各题:(1)22198202+; (2)2005200320042⨯-;二、专题过关检测题一：填空题：1. 22233224812x y a x a x y +-的公因式是_____________________. 2．()2n x y -=___________()2n y x -；()21n x y +-=__________()21n y x +-.3．因式分解：()()2368a a b a b ---=_________________. 4．因式分解：21364x -=_____________________. 5．因式分解：1193636n n n xx x +--+=_____________________.检测题二：选择题：1. ()()()()a a x x b ab a x b x ---+--的公因式是（ ）A a -B ()()a a x x b ---C ()a a x -D ()a a x --2.多项式43322462a b a b a b --除以各项的公因式后，所得的商应当是 （ ） A 22231a b ab -+ B 22231a b ab -- C 3223a b b -- D 2223a b ab -3．分解因式()()()22a b a ab b ab b a --+--为 ( )9A.()()22a b a b -+ B.()()2a b a b -+C.()3a b - D. ()22a b a b -++4．下列各多项式的因式分解正确的是 ( ) A ．()()()22222224a ba b a b a b +-=-+ B. ()221116136936a a a ++=+ ()2432212366a a a a a +-=- D.()()()2422484162a a a a a -+-+=-5.326169ab a b -+因式分解为 ( ) A ．()()1313ab ab -+ B.()2331ab -C ．()2313ab+ D. ()()331313ab ab -+检测题三：简答题： 1.利用因式分解计算。

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第一章因式分解

第一章因式分解

第一章因式分解 （第1.3节第1课时）【学习目标】1、知识与技能：运用平方差公式因式分解。

2、过程与方法：经过逆用乘法公式因式分解的过程，培养逆向思维能力。

3、情感态度、价值观：通过独立思考，合作交流，能较快的运用平方差公式因式分解，体裣学习的成功，掌握平方差公式的特点及运用此公式因式分解【使用说明与学法指导】通过预习教材P12—P14的内容，完成下列各题。

【自学导航】1、写出平方差公式：------------------2、把平方差公式从右到左使用，可将多项式24a -29b 因式分解为----------------------3、因式分解中哪一种方法叫公式法？举例说明。

4、你能把下列式子因式分解吗？试试看！【合作探究】教学点1 用平方差公式因式分解例1 把 1）4y 2-9 因式分解。

例2把(2)(x+p)2－p 2 因式分解例3把 ()()224c b a c b a +--++ 因式分解学生展示：运用公式法因式分解： （1）2249n m +- （2）x 2-14（3） 86273y x - （4）881y x - （5）53287mn n m- (6)()()m m y x y x +-++2 教学点2 平方差公式的识别(1)22x y -- (2)22a b -+ (3)()2229m n x --(4)22x y x --例4下列多项式是否能用平方差公式因式分解（1）x 2 + y 2 （2）x 2 － y 2（3）－x 2 +y 2 （4）-x 2 — y 2， ， （5）a 2-(-b) 2学生展示：2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？说说你的理由。

（1）b 2 + a 2 （2）m 2 － n 2（3）－b 2 +a 2 （4）-m 2 — n 2【能力提升】1.（1）分解因式x 4-y 4 （2）a 3b-ab通过这几题，你能归纳因式分解的步骤吗？2.计算:2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----3. 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，试证明()2222224b a c b a --+的值一定是负数。

初一数学《因式分解》练习题

初一数学《因式分解》练习题

例1、下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（5个式子均不是） （1）()()1122+-+=+-y x y x y x ； （2）()()2122--=+-x x x x ； （3）232236xy xy y x ⋅=；（4）()()()()221a y x a x y y x --=-+-； （5） .96962⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++x x xy y xy y x 1. 提公因式法——形如ma mb mc m a b c ++=++() 2. 运用公式法——平方差公式：a b a b a b 22-=+-()()，完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±()()2222222a b c ab bc ca a b c +++++=++3. 十字相乘法 x p q x pq x p x q 2+++=++()()()()()()22a p q ab p qb a pb a qb +++⋅=++4. 分组分解法 （适用于四次或四项以上，①分组后能直接提公因式 ②分组后能直接运用公式）。

例2、因式分解（本题只给出最后答案）(1) ;823x x -2(2)(2)x x x =+-(2) .9622224y y x y x +-222(3)y x =-(3) ;6363223abc c a b a a --+3()(2)a a c a b =-+(4) ().4222222a c b c b -+-()()()()b c a b c a b c a b c a =-+++--+--(5) 121164+--n n a b a=14(2)(2)n ab a b a -+-(6) ;361222422y xy y y x +--2(6)(6)y x y x y =-+--(7) .2939622++-+-y x y xy x(31)(32)x y x y =----例3、因式分解（本题只给出答案） 1、()();742--+x x =(3)(5)x x +-2、()();563412422++---x x x x22(44)(45)x x x x =----3、()()()()566321+--+-x x x x22(44)(45)x x x x =----4、().566)67(22+--+-x x x x22(44)(45)x x x x =----小结：1、 因式分解的意义 左边 = 右边 ↓ ↓ 多项式 整式×整式（单项式或多项式）3、多项式有因式乘积项 → 展开 → 重新整理 → 分解因式 因式分解练习： 1、;25942n m -22(35)(35)m n m n =+-2、;4482--a a24(21)a a =-- 24(21)a a =--+ 24(1)a =--3、()();44y x y x --+2222[()()][()()]x y x y x y x y =++-+-- 22(22)4x y xy =+⋅ 228()xy x y =+4、;12222c b a ab +--222(2)a ab b c =--++ 22()a b c =--+()()c a b c a b =+--+5、()();2222b acd dc ab +++2222abc abd cda cdb =+++2222()()abc cda abd cdb =+++()()ac bc ad bd ad bc =+++ ()()bc ad ac bd =++6、;4215322222y a xy a x a --2223(514)a x xy y =-- 23(2)(7)a x y x y =+-7、;186323b ab b a b a -+-32(6)(318)a b ab a b b =+-+ 22(6)3(6)ab a b a =+-+2(6)(3)b a a =+-8、.41422a b a -+-22(414)a a b =--+++ 22(21)a b =-++(21)(21)b a b a =++--9、()().20158122-++-a a a(1)(1)(3)(5)20a a a a =+-++-因式分解 强化练习 答案1. 填写下列各式的空缺项，使它能用完全平方公式分解因式。

初一六次多项式的因式分解例题

初一六次多项式的因式分解例题

初一六次多项式的因式分解例题题目：初一六次多项式的因式分解例题一、初一六次多项式的概念初一六次多项式是指最高次幂为6的多项式，一般形式为ax^6 +bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g。

初一六次多项式的特点是其最高次幂为6，其中a、b、c、d、e、f、g为常数项。

二、初一六次多项式的因式分解例题我们以一个具体的例题来演示初一六次多项式的因式分解：例题：将6x^6 - 11x^5 + 6x^4 + 9x^3 - 4x^2 - 9x + 2进行因式分解。

步骤一：因式分解的第一步是要尝试提取公因式，观察多项式中各项的系数，尝试找出它们的公因式。

在这个例子中，我们可以提取出公因式x-1，得到(x-1)(6x^6 - 5x^5 + 6x^4 + 9x^3 - 4x^2 - 9x + 2)。

步骤二：接下来，我们需要对括号中的多项式进行进一步的因式分解。

为了简化计算，我们可以利用常见多项式的因式公式进行分解，或者采用其他因式分解的方法。

在这个例子中，我们可以通过分组法或其他方法，将多项式进一步分解为两个或多个一次或二次多项式的乘积。

步骤三：继续对得到的一次或二次多项式进行因式分解，直到无法再进行因式分解为止，即得到多项式的全部因式分解式。

三、初一六次多项式因式分解的重要性初一六次多项式的因式分解是代数学中非常重要的一部分，它可以帮助我们更好地理解多项式的结构和性质，进一步提高我们的代数运算能力。

通过因式分解，我们可以简化复杂的多项式表达式，找到多项式的根和零点，解决方程和不等式，求出多项式的最值和极值点等问题，为数学问题的求解提供了便利和方法。

四、个人观点和理解初一六次多项式的因式分解是一项需要耐心和技巧的任务，但掌握了因式分解的方法和技巧，就可以轻松解决复杂的代数问题。

我认为初一六次多项式的因式分解是非常重要的，它不仅可以帮助我们更好地理解代数知识，还可以提高我们的数学解题能力。

初一数学因式分解题讲义

初一数学因式分解题讲义

初一因式分解（奥数题）进行因式分解：①x³-19x+30（奥数常考题，因式分解技巧解答）考知识点：①会读题②会拼凑拆分首先，明确我们的目标，我们需要把上面的各个数值累加变成各个因数的累乘。

下面我们来看一下各类解法：一、解法1x³-19x+30从题目中，我们可以看到，这一道因式分解题，最高的次方根是三次方，最低的是一次方，而且仅有两个带方根的函数。

这时候，我们开始对数值进行拆分，把19x拆分成10x+9x，这一步是解本题最难的部分，很多人都不容易想到，为什么要这样拆分？x³-19x+30= x³-9x-10x+30=x（x²-9）-10（x-3）到这一步之后，我们下一步是要再次找到公因式，我们可以看到（x-3）是公因式，因为（x²-9）可以分解成（x+3）（x-3）。

这一步的重点是，我们要看得到（x-9）是可以分解的。

即x（x²-9）-10（x-3）=x（x-3）（x+3）-10（x-3）=（x-3）（x+3x-10）到这一步之后，我们就需要对（x+3x-10）进行再次分解，可以采用以下方法：把x 和10进行拆分：x -2x 5于是得出：x+3x-10=（x-2）（x+5）这一步计算方法是运用了排列知识，需要一定的口算能力，就是把x 拆成两个x，运用排列知识，进行拆分，对角的数的乘积和等于3x，排列上上，下下对应的数值乘积分别等于x 和10。

所以说，本题解法1的答案就是：x³-19x+30=（x-3）（x-2）（x+5）解法1重点：①排列的应用②拆分、拼数③找到公因式二、解法2x³-19x+30跟解法1相同的是，还是读题，再拆分。

不过解法2的拆分跟解法1拆分不同，解法2是拆30这个数。

30我们可以拆成（57-27），为什么这么拆呢？因为我们需要找到公因式，（x-3）即：x³-19x+30= x³-27-19x+57=（x³-3³）-19（x-3）（x³-3³）我们可以进行分解，提取出公因式（x-3）得（x³-3³）=（x-3）（x+3x+9）所以（x³-3³）-19（x-3）=（x-3）（x+3x+9）-19（x-3）=（x-3）（x+3x-10）剩下的解法就跟解法1一样了，所以得出值：x³-19x+30=（x-3）（x-2）（x+5）解法2重点：①会拆分②拆分、拼数③找到公因式解法1和解法2不同的是，拆分的对象不同，一个拆19x，一个拆30，但是它们的共同点都是找到公因式（x-3）。