考研高数总复习不定积分的概念与性质(讲义)

微积分II Calculus II§6.1 不定积分的概念和性质§6.2 积分基本公式§6.3 换元积分法第六章不定积分§6.4 分部积分法6.1 不定积分的概念和性质一原函数与不定积分原函数1)()(x f x F ='dxx f x dF )()(=设定义在区间上的函数，如果存在函数，使得对区间上的任意点都有)(x f I I )(x F 定义一I )(x f )(x F 则称函数是函数在区间上的一个原函数。

或(sin )cos ,x x '=(sin )x C '+cos ,x =C 其中为任意常数。

sin x cos x 是的一个原函数。

所以因为又因为也是sin x C +cos x 的原函数。

所以例如若函数在某区间上连续，则在该区间上必存在原函数.()f x ()f x 定理一如果函数是函数在某区间上的一个原函数，则（1）对任意常数, 也是函数的原函数.（2）的任意两个原函数之间相差一个常数.C ()F x ()f x ()f x ()F x C +()f x 定理二⎰积分号()f x 被积函数()f x dx 被积表达式x 积分变量若函数在某区间上存在原函数，则原函数的全体称为在该区间上的不定积分.()f x ()f x 不定积分的定义2⎰dx x f )(记为：()f x由不定积分的定义有：()()f x dx F x C =+⎰()()F x f x '=其中，C 为任意常数.解例求⎰dx x 2321()3x x '=因为2313x dx x C =+⎰所以求1dx x ⎰1ln ,0dx x C xx =+≠⎰因为1(ln)'=x x C 为任意常数.所以解例不定积分表示的是一族函数，从几何上看，代表一族曲线，称为积分曲线族。

曲线(),(y F x C C =+为任意常数)在的切线的斜率为)(0x f '不定积分的几何意义200(,)x y 0=x x设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.()f x ()y f x =2dyx dx =()2f x x'=即，由题意知2x C=+2xdx =⎰又曲线通过点（1，2），得1C =2()1f x x =+此曲线的方程为21y x =+设所求曲线方程为：o xy 1221y x =+[()]()f x dx f x '=⎰()()d f x dx f x dx =⎰()()F x dx F x C '=+⎰()()dF x F x C =+⎰求不定积分的运算与求导数运算是互逆的.二不定积分的性质性质一[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx±=±⎰⎰⎰两个函数代数和的不定积分等于它们各自不定积分的代数和.()()(0)kf x dx k f x dx k =≠⎰⎰求不定积分时，被积函数中的非零常数可以提到积分号外面.三小结与思考本次课学习了原函数，不定积分的定义，不定积分的性质。

f (x) 的全体原函数为：{F( x) C | C }
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx.
如果 F (x) 是 f (x) 在 I 上的其中一个原函数，则
f ( x)dx F ( x) C
说明：以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例 10 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的 切线斜率为sec2 x sin x ，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程. 解 dy sec2 x sin x,
dx
y sec2 x sin xdx
y F(x)c y F(x) 2
• 在同一点 x 对应的积分曲线簇上，切线平行 • 若给定平面上一个点 M ( x0 , y0 )
则能唯一确定一条通过该点的积分曲线。
二、 不定积分的性质
（一）求不定积分与求导数或微分互为逆运算
（1） f (x) d x ' f ( x) 或 d f (x) d x f (x) d x
51
x2 51C
2
x
7 2
7
C.
2
x
dx
x 1
1
C
例6
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx.
1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
1
1 x
2
dx

第四章 不定积分
12 四、基本积分表 （1）kdx （2）dxx （3）xdx （4）dxax ；dxex （5）21xdx （6）21xdx
持之以恒，厚积薄发
13 （7）xdxcos （8）xdxsin （9）xdxdxx22seccos1 （10）xdxdxx22cscsin1 （11）xdxxtansec （12）xdxxcotcsc
持之以恒，厚积薄发
23 （5）dxxx21； （6）xdxtan； 【答案】（5）()322113xC； （6）ln|cos|xC
第四章 不定积分
24 （7）)ln21(xxdx； （8）xdxx52cossin； 【答案】（7）ln||1122xC； （8）sinsinsin357121357xxxC
第四章 不定积分
44 2211=()dxdxaxbxcaxhk公式求解 =2222(2)221ln||22mmbaxbnmxnaadxdxaxbxcaxbxcmmbaxbxcndxaaaxbxc
持之以恒，厚积薄发
45 【例1】求下列不定积分 （1）2239dxxx ； 【答案】（1）21ln|23|ln|3|99xxC
第四章 不定积分
46 （2）322xxdx Caxaxadxarctan122； 【答案】（2）11arctan22xC
持之以恒，厚积薄发
47 （3）2(31)23xdxxx； 【答案】（3）231ln|23|2arctan22xxxC
第四章 不定积分
48 （4）321xdxxx 【答案】（4）212321arctan233xxxC
持之以恒，厚积薄发
3 原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若)(xf在I上连续，则必存在)(xF，使得当xI时，)()(xfxF。 【例1】设)(xF是)(xf在(,)ab上的一个原函数，则()()fxFx在(,)ab上（ ） （A）可导 （B）连续 （C）存在原函数 （D）是初等函数 【答案】（C）

y
y x2 c
y = x2+1
o
x
那么 y = F (x) 一般，若 y = F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 所表示的曲线称为 f (x) 的一条积分曲线. 由于不定积分
个，因此，不定积分表示为一族积分曲线 y = F (x)
+C，称它为f (x)的积分曲线族. 这就是不定积分 的几何意义．
例9. 求
2
2
1 - cos x 1 dx 1 - cos x dx 解: 原式 = 2 2 1 ( x - sin x) C. 2
例8. 求 解:
x 2 x 2 2 tan x dx 2 dx tan xdx 2x sec2 x - 1 dx ln 2

dx
2
arctanx C ;
(4) 因为 (e x ) e x , 所以得
e x dx e x C .
二、 基本积分公式
(1) (2)
利用逆向思维
k dx x
x
kx C
1 x 1 1
( k 为常数)

dx
C
( -1)
dx (3) ln x C x
1 6 ò x dx = 6 x + C x a x ò a dx = ln a + C (a > 0,a
5
1)
二、拓展练习
求下列函数的全体原函数 （1）
f ( x) 5
2
（2）
f ( x) -2 x
1 g ( x) x
（3） g ( x )
（4）
三、不定积分的性质
从不定积分定义可知: d 性质1 f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx dx 性质2 F ( x) dx F ( x) C 或 d F ( x) F ( x) C 从此可见, 微分运算(以记号d表示)与求不定积分的 运算(简称积分运算,以记号 表示)是互逆的. 当记号 与d连在一起时, 或者抵消,或者抵消后差一个 常数.