圆
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圆（一）
一、圆的基础知识 1、圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2、与圆有关的概念
弦、直径、弧、半圆、圆心角、圆周角、弦心距、三角形的外接圆和内切圆。
3、圆的有关性质
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心 （3）不在同一条直线上的三点确定一个圆
（4）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
4、有关定理及推论
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：
ⅰ、①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
ⅱ、圆的两条平行弦所夹的弧相等。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（3）圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径。
5、圆中的相关计算 （1）圆的有关计算：
①弧长公式：L = n R 180π ②扇形的面积：S 扇形 = 2
1n R R 2360
π=
③弓形面积 ：S 弓形=S 扇形 ±S △AOB
（2）圆锥的侧面积：S r π=
二、练习题 1、如图, ⊙O 的半径OA=6, 以A 为圆心,OA 为半径的弧交⊙O 于B 、C 两点, 则BC= ( )
A. 36
B. 26
C. 33
D. 23
2、如图，⊙O 的半径OC=5cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于A 、B 两点，AB=8cm ，则l 沿OC 年在直线向下平移 cm 时与⊙O 相切。
A ．
1 B ．
2 C ．
3 D ．4
图
(3)
C
3、如图，AB O 是⊙的直径，
弦30CD AB E CDB O ⊥∠=于点，°，⊙，则弦CD 的长为（ ）
A ．3
cm 2 B ．3cm C
． D ．9cm
4、如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边BC 交于点D ，则AD 的长为（ ）。
A 、55
2 B 、55
4 C 、35
2 D 、
35
4
5、已知，如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝450。
给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.50，；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE ＝BC 。
其中正确结论的序号是 。
6、如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是( ).
7、如图，在平面直角坐标系中，A ⊙与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交A ⊙于M 、N 两点，若点M 的坐标是
(42)--，，则点N 的坐标为（ ）
A ．(12)--，
B ．(12)-，
C ．(152)--．，
D ．(1.52)-，
第3题 C A
B O E
D 第4题
第5题
8、如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
A ．6cm B
．cm C ．8cm D
．9、如图，扇形OAB ，∠AOB=90︒，⊙P 与OA 、OB 分别相切于点F 、E ，并且与弧AB 切于点C ，则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比是 ．
10、如图，ABC ∆内接于O ，90,B AB BC ∠==， D 是O 上与点B 关于圆心O 成
中心对称的点，P 是BC 边上一点，连结AD DC AP 、、．已知8AB =， 2CP =，Q 是线段AP 上一动点，连结BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP BR =，则
BQ
QR
的值为_______________． 11、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则P A ＋PB 的最小值为( )
(C)1 (D)2
12、如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED ＝45º．
（1）试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由．
（2）若⊙O 的半径为3cm ，AE ＝5 cm ．求∠ADE 的正弦值．
（第8题）
剪去
（第9题）
第10题
第11题图
N
13、已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C .
（Ⅰ）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.
14、如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．
A
图①
A
D
图②
O
B
15、如图，点P 在O 的直径BA 的延长线上，AB ＝2PA ，PC 切O 于点C ，连结BC 。
（1）求P ∠的正弦值；
（2）若O 的半径r ＝2cm ，求BC 的长度。
16、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC 的延长线于点E ，连结BC 。
(1)求证：BE 为⊙O 的切线；
(2)如果CD ＝6，tan ∠BCD ＝1
2
，求⊙O 的直径。
17、如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若AEC ODB ∠=∠．
（1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明； （2）当108AB BC ==，时，求BD
的长．
18、如图，ABC
△是O的内接三角形，AC BC
=，D为O中AB上一点，延长DA至点E，使CE CD
=．
（1）求证：AE BD
=；
（2）若AC BC
⊥
，求证：AD BD
+=．
19、已知：如图，直径为OA的M
⊙与x轴交于点O A
、，点B C
、把OA分为三等份，连接MC并延长交y轴于点(03)
D，．
（1）求证：OMD BAO
△≌△；
（2）若直线l：y kx b
=+把M
⊙
的面积分为二等份，求证：
0 b
+=．
Ｅ
20、如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．
21、如图，A是以BC为直径的O上一点，AD BC
⊥于点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点E G
，是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF EF
=；
（2）求证：PA是O的切线；
（3）若FG BF
=，且O
的半径长为BD
和FG的长度．
C。
