注重解题反思提高数学解题能力

注重解题反思提高解题能力作者：陈丽玉（桂林师范高等专科学校2005级初等教育专业，广西，桂林541001）[论文摘要]新课程标准非常重视学生良好学习方式的形成以及注重培养数学的数学素养。

因此培养解题的能力极其重要，如何提高学生的解题能力我主要从三方面出发，如何指导学生在解题前、解题过程中、解题后进行反思，使学生养成解题反思习惯，从而提高数学解题能力，并学会通过反思探索解题的思维过程，从解题中挖掘知识要点和所应用的数学思想方法。

[关键词] 解题悟性创立目标意识剖析思维过程在实习期间，经过我认真地的观察发现有很多学生对课本习题、复习题非常熟练，解答顺利。

在做题的时候有部分同学做完一道题不假思索，能快速地做其余的题目。

照常规，他们的成绩应该是很理想的，但却出乎意外，成绩很平常，甚至出现低分。

这到底是什么原因呢？“熟能生巧”这句古语究竟是否是数学学习的一条规律？……这一系列的问题促使我挖空心思，不断探索研究，由此我猜想：“解题与思维能力提高之间一定存在一个重要的环节，那就是解题后的反思环节，它是减轻学生课业负担的同时提高学生数学思维能力的必由之路。

”最后，我还发现这其中的奥妙：其实学生在一个数学问题的解决时不单单是只会解这道题目，而应该更深一步去挖掘题目隐含的条件、命题的目的、以及所涉及的知识要点和数学思想方法，从而进一步探讨自己在解题过程的思维方式是否正确、合理、严谨，解决问题的策略是否巧妙，还有其他的解法吗？本题的解法和结论能否进一步推广？我认为应该倡导和______________________________________________________________________________ [作者简介] 陈丽玉（1986—）女，广西桂林人，学生，桂林师范高等专科学校教育与管理系学生训练学生进行有效的解题反思.培养学生反思意识、形成反思习惯，更好地发挥解题的作用。

著名数学家波利亚在《怎样解题》中对数学解题划分为四个阶段：弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾，这个过程也包括解题反思，那什么是解题反思呢？所谓解题反思是指对整个解题活动深层次的思考，是再发现、再创造的过程。

我主要从三方面出发，探讨如何指导学生在解题前、解题过程中、解题后进行反思，使学生养成解题反思习惯。

一、解题前的反思，培养解题觉悟。

解题前反思指的是处理一道题目时，能通过联想、反思，寻找解题思路.通过解题前反思能培养学生的解题悟性。

不少学生解题贪多，没有经过内化，有些题目一旦稍加修改，就茫茫然不知如何入手。

良好的解题悟性可以诱导学生的解题思维，找到解题的突破口，并制定有效的解题策略，从而巩固和拓展解题的思路、方法。

例1：若有m 个人，每个人都等可能分配到n 间房子中任意一间去住，则有m 间房子各住1人的概率是多少?学生解决问题时，教师引导学生联想、反思我们做过的分房问题。

设有4个人，每个人都等可能分配到10个房间中任意一间去住，则恰好有4个房间各住1人的概率，就容易找到问题切入口.数学解题思路灵活多变，解决方法途径众多。

如何选择最佳思路、最简捷的方法。

通过解题反思，形成解题策略，掌握解题的规律，探求其中的共性，再由共性指导我们去解决碰到的类似问题，便可迎刃而解，可以发挥多题同解的作用，有利于培养学生思维的灵活性和敏捷性。

例2 ：从0到9这10个数中，每次任选5个，组成没有重复数字的5位数，问这个5位数是奇数的概率是多少?学生思考:因为五位奇数，首位不能为零，故样本空间是499A ,样本数为381815A A C ，所以所求概率为：493818159A A A C P 。

拓展：从0到9这10个数中，每次任选5个，组成没有重复数字的5位奇数的概率是多少？学生一看这两道题，开始解法没什么区别，老师再强调答案一样吗？学生解题前反思，这两题的样本空间一样吗？我们不能因为五位奇数首位不能为零而束缚任意排列，回避这种情况就意味着不公平，故所求的五位奇数的概率是510381815A A A C P 。

在解题后可以进行推广：一幢11层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上4位乘客，电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上的乘客在同一层离开的概率是多少?解题前反思，让学生对题目深入地分析研究，从学生的生活经验和已经有的知识出发，起到巩固旧知识的作用，寻找新解题方法。

二、解题过程的反思，确立目标意识。

教师要多创造教学情景，创造有兴趣的教学情景，从现实生活中引入新的数学问题，让学生带着生活问题进入课堂，使得他们觉得数学问题与生活息息相关，使数学问题生活化了。

解题是学生学习数学的必由之路，但不同的解题指导就有不同的效果。

引导学生，让学生观察、操作、猜想、发现等一系列数学活动，经历从问题情景中获取数据、建立数学模型、发现规律、运用规律解决实际问题的过程与体验，养成对解题进行反思的良好习惯，形成自己对数学知识的理解。

解题活动中应把解题着眼点放在分析解题的目标上，以目标为指导，寻找解题思路，挖掘深层次的条件，提高思维的敏捷性，从而使知识得以内化，方法得以迁移，能力得以提高。

如在初解直角三角形的“应用举例”这一节时，先让学生在老师的引导下完成4个题目:1、在高为2cm ，倾斜角为302、如图，梯形石坝的斜坡AB 的坡度为i=1:3,坝高BC=2米，求斜坡AB 的长。

3、数学课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽,如图某生在A 测对岸C ，C 在A北偏西45°的方向上，沿河岸向北行20米到B ， B 在C 的正对面，求河的宽度。

4、小明测量电线杆AB 的长度，AB 与地面所成60°的角，他发现杆的影长，恰好落在地面AC 和斜坡CD 上，CD 与地面成30°的角，量得AC ＝12米，CD ＝6米，且此时高为3米的竖杆影长为4米，求电线杆的长度。

教师启发学生对4个题目的解题过程进行类比性反思，教师并出示四个题目。

(1)请同学们归纳概括这四道题目在解题过程中有什么相同点？(2)通过类比反思你发现了什么？在教师的引导下，同学们发现这四道题目，表面上虽有许多不同之处，但有如下几点相同：(1)都是实际问题。

(2)运用方程求解。

(3)运用三角函数的定义。

(4)运用几何知识。

在此基础上，教师归纳并板书反思过程：实际问题——几何化——方程化——三角函数定义。

通过对四个题目的反思求解，学生对解决这类问题更加清晰明了，并对反思的对象和方法有了初步的认识，使学生进一步理解和掌握反思的规律。

三、解题后的反思,剖析思维过程。

罗增儒教授把解题后缺乏反思、评价的现象称为“进宝山而空手返”。

通过学生对已完成的思维过程进行周密且具有批判性的思考，进一步探讨知识的内涵和外延，从中领悟数学思想方法，形成良好的认知结构，提高元认知水平，完善知识体系。

例1已知20≤-≤b a 42≤+≤b a ,求b a 26-的范围。

解：由于20≤-≤b a 42≤+≤b a 则31≤≤a 20≤≤b 得14266≤-≤b a 。

上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但实际上答案是错误的。

什么呢？ 反思1：看不等式 b a 266-≤，什么时候等号成立呢？由上述解题过程可知，当0,3==b a 时，才取等号，而此时20≤-≤b a 不能成立.同理1426≤-b a 等号也无法取到。

反思2：为什么会出现这样的错误呢？原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原C B A D 30°C BA不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形。

上解法为了求得b a 、范围，多次应用了这一性质，必然使所求范围扩大了，从而揭示问题的隐蔽性。

反思3：那什么时候可以多次应用同向不等式相加这一性质呢？可以采用特定系数法、换元法、数形结合法等。

问题是思维的核心，从提出问题中培养思维能力。

教师在平时的教学中要有理论高度，把数学心理学等其他教育理论贯穿于教学过程中，用数学启发法去剖析解题思路的发现和结论的猜想。

在例题教学中，要经常从解题后的反思出发，启发学生进行猜想、提炼，并及时给予表扬和鼓励。

例如：在讲解四边形内角和时，给出下面的问题：1、图（1）中作对角线AC 、BD能求出四边形ABCD 的内角和吗？2、图（1）中如果在四边形ABCD 的内部任取一点P ，结PA 、PB 、PC 、PD 能得到几个三角形？根据这些三角形，能求出四边形ABCD 内角和吗？利用这两个问题，引导学生思考、探索并解答，最后在反思的基础上进一步提炼，不断的开发学生的思维，提出新的问题，从根本上提高数学能力。

通过思考很快得以解决，教师进一步引导学生“图中的点P 可不可以移动，移动后是否还可以推出四边形内角和？”教室一片寂静，突然，一个学生兴奋的喊到：老师，我做出来了！紧接着，学生都举起了手，纷纷发表自己的做法，出乎意料，学生又说出了下面五种解法：方法1:如图（2）在AB 上任取一点P ，连结DP 、CP∠A ＋∠B+∠BCD+∠ADC ＝(∠A+∠1+∠7)+(∠2+∠3+∠6)+(∠4+∠B ∠5)-(∠5+∠6+∠7)＝180°+ 180°+ 180°- 180°＝360°B CD A BC D A 图2 P 1 2 3 4 56 7 图1方法2：如图(3)在四边形外任取一点，连结AP 、BP 、CP 、DP∠BAD ＋∠ABC+∠BCD+∠ADC＝(∠DAB+∠8+∠7+∠1)+(∠2+∠3+∠6)+(∠4+∠CBA+∠9+∠5)-(∠8+∠9++∠5+∠6+∠7)＝180°+ 180°+ 180°- 180°＝360°方法3：如图(4)在AB 延长线上取一点P ，连结DP 、CP∠A ＋∠ABC+∠BCD+∠ADC＝∠A+∠3+∠4+∠5+∠5+∠BCD+∠1+∠2＝(∠A+∠1+∠5)+(∠2+∠3+∠4+∠BCD)＝180°+ 180°＝360°方法4：如图(5)在DB 延长线上取一点P∠A ＋∠ABC+∠C+∠ADC＝∠A+∠4+∠3+∠C+∠2+∠1＝(∠A+∠1)+(∠2+∠C)+∠3+∠4＝∠6+∠5+∠3+∠4＝360°方法5：如图(6)延长AB 、DC 交于P∠A ＋∠ABC+∠BCD+∠D＝∠A+(∠1+∠P)+(∠2+∠P)+∠D＝180°+ 180°＝360° 如果我们对上面解法仅停留在“一题多解”操作面上，那就是“进宝山而空还”，错过提BC DA 图3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9BCD A 图4 1 2 3 4 5 P B C D A 图5 1 2 3 4 5 P 6 B C D A 图61 2 P炼精华的大好时机，甚至还会使部分学生在众多信息的干扰之下。