2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，文1)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D解析：z ＝i(－2－i)＝1－2i ，在复平面上的对应点为(1，－2)，在第四象限，故选D. 2．(2013江西，文2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )．A ．4B ．2C ．0D ．0或4 答案：A解析：当a ＝0时，显然不成立；当a ≠0时．由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4.故选A.3．(2013江西，文3)若sin23α=，则cos α＝( )． A ．23-B ．13-C ．13D ．23答案：C解析：cos α＝212sin 2α-21123=-⨯=⎝⎭.故选C. 4．(2013江西，文4)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )．A ．23 B ．12 C ．13 D ．16答案：C解析：从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为2163=.故选C. 5．(2013江西，文5)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．答案：D解析：所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D. 6．(2013江西，文6)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )． A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1，＋∞) 答案：A解析：原不等式等价于230,1,x x x >⎧⎨<<⎩①或230,1,x x x <⎧⎨>>⎩② ①无解，解②得x ＜－1.故选A.7．(2013江西，文7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )．A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜11 答案：B解析：i ＝2，S ＝5；i ＝3，S ＝8；i ＝4，S ＝9，结束．所以填入的条件是“S ＜9”．故选B. 8．(2013江西，文8)一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )．A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π 答案：A解析：由三视图可知，该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成．所以体积V ＝4×10×5＋12×π·32·2＝200＋9π.故选A. 9．(2013江西，文9)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )．A ．2．1∶2 C ．1．1∶3 答案：C解析：射线FA 的方程为x ＋2y －2＝0(x ≥0)．如图所示，知tan α＝12，∴sin α＝5.由抛物线的定义知|MF |＝|MG |，∴||||sin||||5FM MG MN MN α====故选C. 10．(2013江西，文10)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图像大致为( )．答案：B解析：假设经过t 秒后，圆心移到O 1，则有∠EO 1F ＝2∠AO 1F ，且cos ∠AO 1F ＝1－t .而x＝1·∠EO1F，∴y＝cos x＝cos ∠EO1F＝cos 2∠AO1F＝2cos2∠AO1F－1＝2(1－t)2－1＝2t2－4t＋1＝2(t－1)2－1，t∈[0,1]．故选B.第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013江西，文11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案：2解析：切线斜率k＝2010--＝2，又y′＝αxα－1在点(1,2)处，y′|x＝1＝α，故α＝2.12．(2013江西，文12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．答案：6解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n＝21212n(-)-＝2(－1＋2n)≥100，∴2n≥51，∴n≥6.13．(2013江西，文13)设f(x)sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．答案：[2，＋∞)解析：∵f(x)sin 3x＋cos 3x＝2sinπ36x⎛⎫+⎪⎝⎭∈[－2,2]，又∵|f(x)|≤a恒成立，∴a≥2.14．(2013江西，文14)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．答案：22325 (2)24 x y⎛⎫-++=⎪⎝⎭解析：圆心在直线x＝2上，所以切点坐标为(2,1)．设圆心坐标为(2，t)，由题意，可得4＋t2＝(1－t)2，∴32t=-，半径2254r=.所以圆C的方程为22325 (2)24 x y⎛⎫-++=⎪⎝⎭.15．(2013江西，文15)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案：4解析：作FO⊥平面CED，则EO⊥CD，FO与正方体的侧棱平行，所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行，而与其他四个面相交．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，文16)(本小题满分12分)正项数列{a n }满足：2n a －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令1(1)n nb n a =+，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由2n a －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，1(1)n n b n a =+，则11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪(+)+⎝⎭，111111*********n T n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭L 111212(1)nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．(2013江西，文17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sinB ＋sin B sinC ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若2π3C =，求ab的值． 解：(1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B ， 因为sin B ≠0，所以sin A ＋sinC ＝2sin B . 由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列． (2)由2π3C =，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ， 即有5ab －3b 2＝0，所以35a b =. 18．(2013江西，文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X ＞0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X ＜0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有2OA u u u u r ·5OA u u u u r，共1种；数量积为－1的有1OA u u u r ·5OA u u u u r ，1OA u u u r ·6OA u u u u r ，2OA u u u u r ·4OA u u u u r ，2OA u u u u r ·6OA u u u u r ，3OA u u u u r ·4OA u u u u r ，3OA u u u u r ·5OA u u u u r，共6种；数量积为0的有1OA u u u r ·3OA u u u u r ，1OA u u u r ·4OA u u u u r ，3OA u u u u r ·6OA u u u u r ，4OA u u u u r ·6OA u u u u r，共4种；数量积为1的有1OA u u u r ·2OA u u u u r ，2OA u u u u r ·3OA u u u u r ，4OA u u u u r ·5OA u u u u r ，5OA u u u u r ·6OA u u u u r，共4种．故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为1715p；因为去唱歌的概率为24 15p=，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝411 11515 -=.19．(2013江西，文19)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE.在Rt△CFB中，BC.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，所以BE⊥平面BB1C1C.(2)解：三棱锥EA 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·111A B C S ∆.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1同理，EC 1，A 1E故11A C E S ∆＝设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1A 1C 1E 的体积V ＝13·d ·11A C E S ∆，=5d =.20．(2013江西，文20)(本小题满分13分)椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的离心率e =a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．解：(1)因为ce a==， 所以a =，b =.代入a ＋b ＝3，得c =a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)方法一：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)10,2k k ⎛⎫≠≠± ⎪⎝⎭，① ①代入2214x y +=，解得P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线AD 的方程为：112y x =+.② ①与②联立解得M 424,2121k k k k +⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 由D (0,1)，P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，N (x,0)三点共线知222410141820041k k k x k ---+=---+，解得N 42,021k k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以MN 的斜率为m ＝22404212121424222122142121k k k k k k k k k k k -(+)+-==+-(+)-(-)--+， 则2m －k ＝21122k k +-=(定值)． 方法二：设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则002y k x =-， 直线AD 的方程为：1(2)2y x =+，直线BP 的方程为：00(2)2y y x x =--， 直线DP 的方程为：0011y y x x --=，令y ＝0，由于y 0≠1可得N 00,01x y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 联立0012,22,2y x y y x x ⎧=(+)⎪⎪⎨⎪=(-)-⎪⎩解得M 00000004244,2222y x y y x y x ⎛⎫+- ⎪-+-+⎝⎭， 因此MN 的斜率为m ＝000000000422424221y y x y x x y x y -++-+-+- ＝002200000414844y y y y x y x (-)-+-+ ＝00220000041484444y y y y x y y (-)-+-(-)+ ＝000122y y x -+-， 所以2m －k ＝0000021222y y y x x (-)-+-- ＝0000000021222222y x y y x y x x (-)(-)-(+-)(+-)(-)＝20000000021222222y x y y x y x x (-)(-)--(-)(+-)(-)＝2000000001212(4)22222y x x y x y x x (-)(-)---(-)(+-)(-)＝12(定值)．21．(2013江西，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝1,0,11, 1.1x x a a x a x a⎧≤≤⎪⎪⎨⎪(-)<≤⎪-⎩a 为常数且a ∈(0,1)．(1)当12a =时，求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为f (x )的二阶周期点．证明函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；(3)对于(2)中的x 1，x 2，设A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (a 2,0)，记△ABC 的面积为S (a )，求S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：(1)当12a =时，1233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1222213333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)f (f (x ))＝22222210,1(),(1)1()1(1)1(1)1 1.(1)x x a a a x a x a a a x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤⎪-⎩，，，，， 当0≤x ≤a 2时，由21x x a =解得x ＝0， 因为f (0)＝0，故x ＝0不是f (x )的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++∈(a 2，a )， 因2222111111a a a f a a a a a a a a a ⎛⎫=⋅=≠ ⎪-++-++-++-++⎝⎭， 故21a x a a =-++为f (x )的二阶周期点： 当a ＜x ＜a 2－a ＋1时，由211a (-)(x －a )＝x 解得12x a=-∈(a ，a 2－a ＋1)， 因111112122f a a a a⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 故12x a=-不是f (x )的二阶周期点；当a 2－a ＋1≤x ≤1时， 由1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++∈(a 2－a ＋1,1)，因211f a a ⎛⎫ ⎪-++⎝⎭＝2221111(1)111a a a a a a a a ⎛⎫⋅-=≠ ⎪--++-++-++⎝⎭， 故211x a a =-++为f (x )的二阶周期点． 因此，函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++. (3)由(2)得A 22,11a a a a a a ⎛⎫ ⎪-++-++⎝⎭， B 2211,11a a a a ⎛⎫ ⎪-++-++⎝⎭， 则221(1)()21a a S a a a -=⋅-++，32221(222)'()2(1)a a a a S a a a --+=⋅-++， 因为a ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有a 2＋a ＜1， 所以32221(222)'()2(1)a a a a S a a a --+=⋅-++ ＝22221[111]>021a a a a a a a (+)(-)+(--)⋅(-++). (或令g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2， g ′(a )＝3a 2－4a －2＝22333a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因a ∈(0,1)，g ′(a )＜0，则g (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为15028g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 故对于任意a ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2＞0， 32221(222)'()02(1)a a a a S a a a --+=⋅>-++)， 则S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11333S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最大值为11220S ⎛⎫= ⎪⎝⎭.。
