高考数学圆锥曲线复习策略一.圆锥曲线高考大纲文科（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（2）了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）（3）了解抛物线的的定义、儿何图形、标准方程，知道其简单的儿何性质（范围、对称性、顶点、离心率）（4）理解数形结合的思想。
（5）了解圆锥曲线的简单应用。
理科.（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单儿何性质.（范围、对称性、顶点、离心率）（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.（4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.锥曲线知识网络'对称轴兀轴 住占 八、、八、、标准方程y 2=2P x\顶点 离心率 准线 （卩>0）二.试题趋势近年來圆锥1111线在高考中比较稳定，解答题往往以屮档题或以押轴题形式出现，主要考察学 生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。
但圆锥曲线在新 课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2011年高考对本讲的考察，主要考察热点有:（1） 圆锥Illi 线的定义及标准方程； （2） 与圆锥曲线有关的轨迹问题；（3） 与圆锥曲线有关的最值、定值问题；（4） 与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题（1）圆锥曲线的定义及标准方程;1. （2010北京文理）（13）已知双曲线二—1的离心率为2,焦点与椭圆—= 1的a 2b 225 9焦点相同，那么双Illi 线的焦点坐标为 _______ ；渐近线方程为 ________ o定义：:椭圆l + IF2PI=2a(2a >1 F.F 2 I)标准方程召+令(a > b > 0)2 f 2a =b +对称轴 兀轴，长轴长为2d y 轴，短轴长为2b隹占 八、、八、、定义：:< 双曲线{lIFfl —IF2PII=2a(2a<F }F 2 I)2 2 标准方程才*卄严轴卜轴，实轴长为2d 对称轴彳I 》轴，虚轴长为"隹占八、、JW\（Q 〉O,b 〉O ）彳顶点21 2 a +b =c离心率 渐近线定义• 抛物线 <・\MF\=d答案：（±4,0）= 02 ,22.（2010天津文数）（13）已知双Illi线罕―仝=1«〉0上〉0）的一条渐近线方程是a b厶y = ^x ,它的一个焦点与抛物线r =16x的焦点相同。
高中数学 平面解析几何——圆锥曲线与方程一、单选题1．若双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．√3B ．2C ．12D ．2√332．已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线C 1与曲线C 2：x 2+y 2−b 2=0在第二象限的交点为M ，且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13，则双曲线C 1的离心率为( ) A ．√32B ．3C ．√3D ．323．抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点为 F ，点 A(6,y 0) 是 C 上一点， |AF|=2p ,则 p =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．经过点 M(2√3,2√2) 且与双曲线 y 24−x 23=1 有共同渐近线的双曲线方程为（ ）A ．x 26−y 28=1B ．y 26−x 28=1C ．x 28−y 26=1D ．y 28−x 26=15．过双曲线 E ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线 E 交于A ，B 两点，与双曲线 E 的渐近线交于C ，D 两点，若 |AB|=√32|CD| ，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ） A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±2xD ．y =±2√3x6．若双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 的一条渐近线经过点 (3,4) ,则此双曲线的离心率为( )A ．√73B ．54C ．43D ．537．双曲线x 2a 2−y 2b2=1的离心率为√3，则它的渐近线方程是（ ）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y =±2xD ．y =±12x8．已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A(0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√55MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p 的值等于（ ）A ．18B ．2C ．14D ．49．椭圆x 29+y 24−k =1的离心率为45，则k 的值为（ ）A．－21B．21C．−925或21D．925或2110．曲线x 210−m+y26−m=1(m<6)与曲线x25−m+y29−m=1(5<m<9)的（）A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．准线相同11．已知双曲线Γ过点M(3,4)且其渐近线方程为y=±2√33x，ΔABC的顶点A,B恰为Γ的两焦点，顶点C在Γ上且|AC|>|BC|，则sin∠BAC−sin∠ABCsin∠ACB=（）A．−2√77B．2√77C．−2D．212．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线13．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（）A．4.25米B．4.5米C．3.9米D．4.05米14．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以OF2为直径的圆M与双曲线C相交于A，B两点，其中O为坐标原点，若AF1与圆M相切，则双曲线C的离心率为 A ．√2+3√62B ．√2+√62C ．3√2+√62D ．3√2+2√6215．已知椭圆 y 2a 2 + x 2b2 =1(a>b>0)与直线 y a −x b =1 交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．√5−12B ．√3−12C ．√3+14D ．√5+1416．设双曲线 C ： x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，点 P 在 C 上，且满足 |PF 1|=3a .若满足条件的点 P 只在 C 的左支上，则 C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．(2,+∞)C ．(2,4]D ．(4,+∞)17．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若|MN|=|F 1F 2|，2√2|MF 2|=|NF 2|，则C 的离心率为（ ） A ．√24B ．12C ．6√2−37D ．3√2−37二、填空题18．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)上一点P （点P 在第一象限），过双曲线C 中心O 且与坐标轴不平行的直线l 交双曲线C 左右两支于A ，B 两点（点A ，B 异于点P ），设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1k 2=14，则双曲线C 的离心率为 .19．过点(2√3，√3)且渐近线与双曲线C ：y 2−x 22=1的渐近线相同的双曲线方程为 .20．已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点， P 为 C 上的一点，若 |PF|=3 ，则点 P 的坐标为 21．已知点 (1,2) 在抛物线 y 2=2px 上，则该抛物线的焦点坐标为 ． 22．已知抛物线 y 2=2ax 的准线方程为 x =−2 ，则 a = ． 23．抛物线x 2=−2y 的焦点到准线的距离为 ．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2=8x 上一点P 到点A （4，0）的距离等于它到准线的距离，则PA= ．25．椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 上的任意一点 P (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点 B 1,B 2的连线交 x 轴于点 M 和 N ，则 |OM|+|ON| 的最小值是 ．26．已知抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 27﹣Y 29=1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的焦点为K ，点A 在抛物线上，且|AK|=√2|AF|，则△AFK 的面积为27．如图从双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 （其中 b >a >0 ）的左焦点F 引圆 x 2+y 2=a 2 的切线，切点为T ，延长 FT ，交双曲线右支于P ，若M 为线段 FP 的中点，O 为原点，则 |MO|−|MT| 的值为（用 a 、b 表示） ．28．设F 为抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点，过F 作倾斜角为 60° 的直线交C 于A ，B 两点，若 |AF|−|BF|=4 ，则 |AB|= .29．已知椭圆E ： x 2a 2+y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的焦距为2c （c ＞0），左焦点为F ，点M 的坐标为（﹣2c ，0）．若椭圆E 上存在点P ，使得PM= √2 PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ．30．已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：(x −3)2+y 2=4相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为 ．31．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为 F ．过点 M(−1，0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 FA ⊥FB ，则直线 l 的斜率为 ．32．过双曲线x 2- y 215=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x-4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2-|PN|2的最小值为 ．33．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0) ， B(1,√3) ，动点 P 满足 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 |x|+|y|=1 ，则动点 P 形成的轨迹长度为 .34．已知F 是抛物线 C ：y 2=2px(p >0) 的焦点，抛物线C 上的点 A ，B 满足 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 A ，B 在准线上的射影分别为 M ，N ，且 △MFN 的面积为5，则 |AB|=三、解答题35．某海域有 A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是 A 、B 两岛．曾有渔船在距A 岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在 A 、B 两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同）， A 、B两岛收到鱼群反射信号的时间比为 5：3 ．你能否确定鱼群此时分别与 A 、B 两岛的距离？ 36．已知直线l 的参数方程为 {x =2+ty =√3t (t 为参数)， P(2,0) ，曲线C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ=1 .（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长 |AB| 以及 |PQ| .37．已知 F 1 ， F 2 分别是椭圆 E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左，右焦点， |F 1F 2|=6 ，当 P在 E 上且 PF 1 垂直 x 轴时， |PF 2|=7|PF 1| .（1）求 E 的标准方程；（2）A 为 E 的左顶点， B 为 E 的上顶点， M 是 E 上第四象限内一点， AM 与 y 轴交于点 C ， BM 与 x 轴交于点 D . 求证：四边形 ABDC 的面积是定值.38．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b2=1(a >0，b >0)的离心率为√174，抛物线D ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，准线为l ，l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，ΔMNF 的面积为8. （1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）求抛物线D 的方程.39．已知B ，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．40．已知函数 y =2x 2 ，函数图象上有两动点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) .（1）用 x 1 表示在点 A 处的切线方程；（2）若动直线 AB 在 y 轴上的截距恒等于 1 ，函数在 A 、 B 两点处的切线交于点 P ，求证：点 P 的纵坐标为定值.41．已知双曲线 x 2−y 23=1 ，抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点与双曲线的一个焦点相同，点 P(x 0,y 0) 为抛物线上一点. （1）求双曲线的焦点坐标；（2）若点 P 到抛物线的焦点的距离是5，求 x 0 的值.42．已知圆C 的方程为：x 2+(y +1)2=r 2(r >0)（1）已知过点M(12，−52)的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若r =1，|AB|=√3，求直线l 的方程；（2）如图，过点N(−1，1)作两条直线分别交抛物线y =x 2于点P ，Q ，并且都与动圆C 相切，求证：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标.43．已知椭圆 C ： x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左､右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，且 |F 1F 2|=2 ，点M(√3，√32) 在椭圆 C 上.（1）求椭圆 C 的标准方程.（2）P 为椭圆 C 上一点，射线 PF 1 ， PF 2 分别交椭圆 C 于点 A ， B ，试问 |PF 1||AF 1|+|PF 2||BF 2| 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 44．已知双曲线C ： x 2a 2−y 2b2 ＝1(a ，b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，其中c>0，M(c ，3)在C 上，且C 的离心率为2. （1）求C 的标准方程；（2）若O 为坐标原点，△F1MF2的角平分线l 与曲线D ： x 2c 2+y 2b2 ＝1的交点为P ，Q ，试判断OP 与OQ 是否垂直，并说明理由.45．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）分别是椭圆C ： x 2a2+y 23 =1（a ＞0）的左、右焦点． （△）求椭圆C 的方程；（△）若A ，B 分别在直线x=﹣2和x=2上，且AF 1△BF 1． （△）当△ABF 1为等腰三角形时，求△ABF 1的面积； （△）求点F 1，F 2到直线AB 距离之和的最小值．46．已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的离心率为 √33 ，且经过点 (32,√22) .（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若△OAB的面积为4√617，求直线l的方程.47．已知抛物线E:y2=2px的焦点F恰好是椭圆C:x2+2y2=2的右焦点.（1）求实数p的值及抛物线E的准线方程；（2）过点F任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B和M、N点，求两条弦的弦长之和|AB|+|MN|的最小值．48．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，点P为椭圆上异于A、B的点，且直线PA和PB的斜率之积为−3 4 .（1）求C的方程；（2）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM//AP交椭圆于点M，试探究|AP|⋅|AQ||OM|2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.49．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个顶点分别为点A(−2,0)，B(2,0)，离心率为√32.（1）求椭圆C的方程；（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.证明：△BDE与△BDN的面积之比为定值.50．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为2√55，且|BF|=√5．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP//BF，求直线l的方程．答案解析部分1．【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，所以b a=√3，所以该双曲线的离心率为e =c a =√1+(b a )2=2。
圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是平面上的一类曲线，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。
1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC < 0，则为椭圆。
椭圆是一个封闭的曲线，其特点是到两个焦点的距离和固定。
椭圆在几何中有重要的应用，如椭圆的焦点在天文学中用于描述行星和卫星的轨道。
2. 双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC > 0，则为双曲线。
双曲线有两个分支，其特点是到两个焦点的距离差固定。
双曲线在几何中也有广泛的应用，如描述光线在反射和折射中的路径。
3. 抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC = 0，则为抛物线。
抛物线是一个开口向上或向下的曲线，与焦点的距离等于到准线的距离。
抛物线在物理学、工程学和建筑学等领域中有重要的应用，如描述抛物面的形状。
4. 圆锥曲线的性质：(i) 对称性：圆锥曲线可以关于x轴、y轴、z轴和原点对称。
(ii) 焦点：圆锥曲线有1个或2个焦点，焦点是与曲线特定性质相关的重要点。
(iii) 准线：圆锥曲线有1条或2条准线，准线是与曲线特定性质相关的重要线。
(iv) 渐近线：双曲线有两条渐近线，抛物线有一条渐近线。
