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环形自由振荡简正模的计算

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维普资讯
第 ２ 卷第４ ７ 期
２００ ８月 ７年
大 地 测 量 与 地 球 动 力 学
Ｊ ＵＲＮ Ｅ Ｏ ＡＬ ＯＦ Ｇ ＯＤＥ Ｙ ＡＮＤ Ｇ ＤＹＮ Ｓ ＥＯ ＡＭＩ Ｓ Ｃ
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ４ １２ ． Ａｕ ．， ０ ７ ｇ ２０
，
ｔａ ｓ ｅ ｓ ｉｐ ａ ｅ ｎ ｓ ａ ｄ ｈ ｅｇ ｎ ｅ ｉ ｄ ａ ｇ ｒ ｒ ｎ ｖ ｒｅ ｄ ｓ ｌｃ ｍｅ ｔ ｎ ｔｅ ｉ ｅ ｐ ｒｏ ｓ ｌ ｒｅ
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１０４ ００９
／
摘 要 采用传统的四阶龙格库塔（ ｕｇ—ｕａ 法， Ｒ ｎｅ ｔ ） 基于 Ｐ Ｅ Ｋ ｔ Ｒ Ｍ模型解算了地球内部横向位移和地表环形自Ｅ ｈ
振荡 ， 给出所有周期大于 ２０ ｓ ０ 的各阶主简正模 以及各次 的泛音 。为了检验地球 内部不 同层面上 的刚度和 密度变 化对简正模周 期的影响 ， 研究 了横 向位移在地幔中 的变 化特征 。结果表 明 ： 获得的高 阶主简正模 主要受上地 幔物 理参数变化的影响 ， ０次以上泛音 主要受下地幔参数的影响 ， Ｄ ｉ ｏ ｓｉ Ａ ｄｒ ｎ结果 比较 ， 期的相对误 ２ 与 ｚ ｗ ｎｋ 和 ｎｅｓ ｅ ｏ 周
ｅ ）， ｉｅ ｆ ｑ ｅ ｃ １ ｅｇ ｎｒ ｕ ｎ ｙ ｅ
１ 引言
研 究表 明 ， 大地 震 能 激发 产生 涉 及地 球 局 部运
种 独立 于地震 体波研 究地球 内部 物理参 数 随深度 变
化 的方法 。地球 自由振荡 频率 与地球 内部 的结构有 密切 的关 系 。如果 我 们对 于这 种 结构 ， 就 是 说对 也 于地球 内部 的密度 和拉梅参 数有 比较 详细而 可靠 的
ｔａ ｓ ｅ ｓ ｓ ｌｃ ｍｅ ｔ ｒ ｎ ｌｚ ｄ ｔ ｅｅ ｍｉｅ ｔｅ ｅ ｆｃ ｆｄ ｎ ｉ ｎ ｉｉ ｉ ｏ ｅ ｇ ｎ ｅ ｉｄ ｔｄｉ ｅ ｅ ｔｌｙ ｒ ｎ ｖ ｒｅ ｄｉｐ ａ ｅ ｎ ｓ ａｅ ａ ａｙ ｅ ｏ ｄ ｔ ｒ ｎ ｈ ｆｅ ｔｏ ｅ ｓｔ ａ ｄ ｒｇ ｄ ｔ ｔ ｉｅ ｐ ｒｏ ｓ ａ ｆ ｒ ｎ ａ － ｙ ｙ ｆ
差在 ０２ ％以内。 ．５
关键 词 地球 自由振荡 简正模
龙格库塔法 Ｐ Ｅ Ｒ Ｍ模型 本征频率
中图分类 号 ：３ ５ ５ Ｐ １ ．
文献 标识码 ： Ａ
ＣｏＭ ＰＵＴＡＴＩ ｏＮ ＯＦ ＮｏＲＭ ＡＬ ｏ ＤＥＳ ｏＦ Ｍ ＴｏＲｏ Ｉ ＤＡＬ ｏＳＣＩ ＬＬＡＴＩ Ｎ ｏ
文章 编 号 ：６ １ ９ ２ ２０ ）４０ ３ －６ １７ － ４ （０ ７ ０ －０ ８ ５ ０
环 形 自由振 荡 简 正 模 的计 算
杨 兆 ’ 孙 和 平 雷湘 鄂
４ ０７ 、 ３０ ７
， ）中国科学院测量与地球物理研究所Байду номын сангаас， １ 武汉
＼ ）中国科学院研究生院 ， ２ 北京
Ｙａ ｇ Ｚ ａ ． ｕ ｅ ｉ ｇ ａ ｅ ａ ｇ’ ｎ ｈ ｏ ， Ｓ ｎ Ｈ ｐ ｎ ｎｄ Ｌ ｉＸｉｎ ｅ
／ ）Ｉｓｔｔ ｏ ｅｄｓ ｎ ｏｈｓ ｓ Ｃ Ｓ １ ｎｔｕｅ ｆＧ ｏｅ ａ ｄ Ｇ ｐ ｙｉ ，Ａ ，Ｗｕ ａ ４ ０ ７ ｉ ｙ ｅ ｃ ｈ ｎ ３０７

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07 结构力学——结构动力学4

07 结构力学——结构动力学4


k2
X(3) X(2)
m g
i 3 i
3
第八节 频率和振型的实用计算法
2、多自由度体系
所设近似位移要满足体系的约束条件，计算 精度取决于近似位移与真实振型的接近程度， 当它们完全相等时，计算结果就是精确解。 如果假设的质点位移是某种外力引起的位移， 其产生的变形能也可用外力功来计算。
第八节 频率和振型的实用计算法
2、多自由度体系
体系的第一阶振型的形状通常可以根据经验给出 较为准确的假设。
结构力学
第八节 频率和振型的实用计算法
根据能量守恒原理，线性体系作无阻尼振动 时，由于没有能量的输入和耗散，因此在任意时 刻体系的总能量保持不变。
V ( t) T ( t) const
变形能＋动能＝常数
第八节 频率和振型的实用计算法
1、单自由度体系 体系的位移 体系的速度
y ( t ) A sin( t )
1 T T Y M Y 1 , m a x 1 1 2
m0 1 . 5 l 1 1 . 51 . 0 2 2 4 E I 0 m 1 . 0
3
2
13 l m 8 24 EI
3
2
精确解 =10.050rad/s-1
由最大变形能等于外力功
1 l3 V 1 A 1 ,m a x 1 2 3 2 E I
V EI 1 , m ax 144 1 10 . 312 s 1 3 T 13 m l 1 , m ax
误差2.6%
解法二
将运动质量对应的重量沿振动方向作用在结构上， 取由此产生的静位移作为近似的第一振型。 3 2mg mgl A 3 2 1 .25 mgl k2 12 EI Y 1 3 12 EI 1 .0 mg 5 mgl A 1 A 2 k 48 EI 1
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)

第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)

第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。

当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。

在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。

本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。

§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。

该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。

由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。

§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。

多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。

当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。

四结构自振周期和振型的计算

四结构自振周期和振型的计算


体系按弯曲振动时 T1 1.6 T
剪切型
T1 1.8 T
弯剪型
T1 1.7 T
顶点位移 单位为米,
可用于计算一般多高层框架结构的基本周期，顶点位移 的计算，按照框架在集中于楼盖的重力荷载作为水平作用产 生的顶点位移.
弯曲型
剪切型
弯剪型
弯曲型变形：以弯矩产生的变形为主，如剪力墙结构
已知体系无阻尼自由振动的位移和速度为：
{x(t)} {X}sin(t ) {x(t)} {X}cos(t )
体系的最大位能：
1
多质点体系 Umax 2 F max
xn (t)
1 {X }T [K ]{X }
xi (t)
2
体系的最大动能：
多质点体系
Tmax

1 2
v2 max
ui—将各质点的重力荷载视为水平荷载产生的位移（m） Gi—质点i的重力荷载(KN)
2、折算质量法
原理：在计算多质点体系的基本频率时， 用一个单质点体系代替原体系，使这个单质点 体系的自振周期与原体系的基本频率相等或接 近，这个单质点体系的质量就称为折算质量。 这个单质点体系的约束条件和刚度应与原体系 的完全相同。
m
1 2{ X }T [M ]{ X }
2
体系按基本频率1作自由振动，相应的基本振型取一 种近似形式，即假设各质点的重力荷载Gi作为水平作用产 生的弹性变形曲线.
Gn
Gi
G2
G1
Gn
un
Gi
ui
G2
u2
G1
u1
u2
u1
ui
un
在振动过程中xi (，t) 质 u点i sii的n(瞬1t时位1移) 为xi (t) ui sin(1t 1 ) 速度为 xi (t ) ui1 cos(1t 1 ) xi (t ) ui1 cos(1t
简谐震动简正坐标(0301)

简谐震动简正坐标(0301)

声学
在声学领域，声音的传播和辐射都 可以看作是简谐震动的叠加，因此 简谐震动理论也是声学研究的重要 基础。
02
简正坐标的概念
什么是简正坐标
• 简正坐标是一种描述系统振动的坐标方式，它将复 杂的振动问题简化为简单的数学模型，以便于分析 和求解。在简正坐标下，系统的振动形式被分解为 一系列正弦和余弦函数，每个函数代表一种独立的 振动模式。
简谐震动
简谐震动是物理学中一个基本而重要的概念，它描述的是一个振动系统在平衡 位置附近做周期性的往复运动。简谐震动可以用数学公式表示，其运动规律具 有特定的周期性和振幅。
简正坐标
简正坐标是用来描述简谐震动的坐标系，它能够将复杂的振动问题简化，方便 分析和计算。简正坐标系的选择取决于系统的具体形式和物理特性。
实例二：单摆的简谐震动
总结词
单摆在摆角较小的情况下，做近似于简谐振动的往复运动。
详细描述
单摆由一根长度为摆长的细线悬挂着一个质量块组成，在重 力作用下产生往复运动。当摆角较小（小于5度）时，单摆的 运动可以近似看作是简谐振动。在简正坐标系下，单摆的振 动形式可以表示为正弦或余弦函数。
实例三：电磁振荡器的简谐震动
教育教学
在高等教育中，简谐震动和简正坐标是物理学、工程学等专业的重要教学内容。通过深入 学习和理解简谐震动和简正坐标的理论基础，可以培养学生的逻辑思维和分析能力，提高 他们的科学素养。
THANKS
感谢观看
简正坐标的应用
1. 振动分析
简正坐标广泛应用于振动分析 领域，用于研究系统的振动特
性和响应。
2. 结构优化
在结构优化设计中，简正坐标 可以帮助分析结构的振动模态 和频率，从而优化结构的设计 。
3. 声学研究