河南省南阳市2013-2014学年高二下学期期中质量评估数学理试题 扫描版含答案

河南省郑州一中2013-2014学年高二下学期期中考试物理试卷（带解析）1．以下关于波与相对论的说法，正确的是（ ）A ．无论什么波，只要振幅足够大就可以产生明显的衍射现象B ．根据麦克斯韦的电磁场理论，变化的电场周围一定可以产生电磁波C ．波源与观察者互相靠近或者互相远离时，观察者接收到的频率都会发生变化D ．火车以接近光速行驶时，我们在地面上测得车厢前后距离变小了，而车厢的高度没有变化【答案】 CD 【解析】试题分析: 能否产生产生明显的衍射现象看障碍物与波长的尺寸关系，与振幅无关，当障碍物的尺寸小于波长或与波长差不多时能产生明显的衍射现象；故A 错误；根据麦克斯韦的电磁场理论，变化的电场周围一定可以产生磁场，但不一定能产生电磁波，只有周期性变化的电场周围才一定可以产生电磁波．故B 错误；波源与观察者互相靠近或者互相远离时，会产生多普勒效应，观察者接收到的波的频率都会增大或减小．故C 正确；火车以接近光速行驶时，根据相对论，沿着物体的运动方向，我们在地面上测得车厢前后距离变小了，而车厢的高度没有变化．故D 正确。

考点：机械波2．某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x 随时间t 变化的关系为sin x A t ω=，振动图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．弹簧在第1s 末与第3s 末的长度相同B 第3s 末振子的位移大小为A 22 C 从第3s 末到第5s 末，振子的速度方向发生变化D 从第3s 末到第5s 末，振子的加速度方向发生变化 【答案】 ABD 【解析】试题分析: 在第1s 末与第3s 末的位移相同，故弹簧的长度相同，故A 正确；位移x 随时间t 变化的关系为x=Asin ωt ，第3s 末振子的位移大小为：A A x 2243sin==π，故B 正确；x-t 图象的切线斜率表示速度，从第3s 末到第5s 末，振子的速度方向并没有发生变化，故C 错误；从第3s 末到第5s 末，位移方向改变，故加速度也改变了方向，故D 正确；考点：简谐运动的振动图象3．如图所示，物体 A 置于物体 B 上，一轻质弹簧一端固定，另一端与 B 相连，在弹性限度范围内，A 和 B 一起在光滑水平面上作往复运动（不计空气阻力），均保持相对静止。

高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第一章，第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线的倾斜角为，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4．直线被圆截得的弦长为（ ）ABCD ．5．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．6．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）A ．B ．C ．D ．:80l x -+=αα=120︒60︒30︒150︒221(0)1x y a a a -=>+a 1214131822124x y m m+=--y m ()2,3()3,4()()2,33,4⋃()2,426y x =+22(2)4x y ++=23y x =F P PF 43323422122:1(0)x y C a b a b +=>>1e 22222:1x y C a b-=2e 22122e e +=112e e +=22211e e =+212e e =7．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，，且的周长为10，则双曲线的焦距为（ ）A ．3BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆的标准方程可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，抛物线的焦点为，过抛物线上一点（点在第一象限）作准线的垂线，垂足为为边长为8的等边三角形．则（ ）A ．B ．C ．点的坐标为D ．点的坐标为11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）xOy ()222:()()(0),3,0C x a y a a a A -+-=>-C P 2PA PO =a (]0,1[]1,21,3⎡+⎣⎤⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 2F ,A B 12224BF BF AF ==1ABF △C C C 22149x y +=22195x y +=22194x y +=22159x y +=2:2(0)C y px p =>F C P P l ,H PHF △2p =4p =P (P (222:1(0)3x y C b b-=>12,F F P C P ,A B 22(2)1x y -+=CA ．双曲线的渐近线方程为B ．双曲线的离心率C ．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上D．为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为______．13．已知是圆______．14．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知的顶点坐标为．（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程．16．（本小题满分15分）已知动点到点为常数且的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．（1）求动点的轨迹的方程，并求的值；（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方y x =C e =P C 12PF F △x =PA PB ⋅32()3,1x y (),P m n 22:(4)(4)8C x y -+-=2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 1F C,P Q 222QF PF =21cos 4PF Q ∠=C ABC △()()()1,6,3,1,4,2A B C ---D AC BD AB P (),0(F t t 0)t >x t =-()1,1-P P C t l C ,A B ()2,1M AB l程．17．（本小题满分15分）已知点，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围．18．（本小题满分17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）过定点的动直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等．19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的下顶点，点为椭圆上异于椭圆顶点的动点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．证明：直线与轴垂直．()()2,0,6,0O A -(),P x y 3PA PO =P C Q (),(0)Q t t t >Q y Q C t 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>20x y +=()1-C C ()0,1P l C ,A B ,M N M N AM BN xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>C ,A B C D C P C AP BD M BP AD N MN x2024~2025学年度10月质量检测·高二数学参考答案、提示及评分细则1．C 因为直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得又，．故选C ．2．D，解得．3．A 若方程表示为焦点在轴上的一个椭圆，有解得．4．B 圆心，直线被圆截得的弦长为．故选B ．5．D 设点的坐标为，有，故的最小值为．6．A 由，可得．7．C 设点的坐标为，有，整理为，可化为，若圆上存在这样的点，只需要圆与圆有交点，有，解得C ．8．B 设，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．9．BD 由题意有，故椭圆的标准方程可能为或．10．BD 设抛物线的准线与轴的交点为，由，有:80l x +=k =tan α=0180α︒≤<︒30α=︒=18a =y 20,40,24,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩23m <<()2,0-=P ()00,x y 03344PF x =+≥PF 34222222221222221,1a b b a b b e e a a a a-+==-==+22122e e +=P (),x y =22230x y x +--=22(1)4x y -+=C P C 22(1)4x y -+=22a a -≤≤+13a ≤≤+221,2,4AF m BF m BF m ===13AF m =23410m m m m +++=1m =12AF F △12BF F △224194416048c c c c +-+-+=c =3,2,5a c b ====C 22195x y +=22159x y +=C x Q 60,PHF HFO FQ p ∠=∠=︒=，有，得，点的坐标为．11．ABC 由题意得，对于选项A ：双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1（舍去），又，故A 正确；则，离心率为B 正确；对于选项C ：设的内切圆与轴相切于点，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，故C 正确；对于选项D ：设，则，渐近线方程是，则为常数，故D 错误．故选ABC ．12．或 设在轴、轴上的截距均为，若，即直线过原点，设直线为，代入，可得，所以直线方程为，即；若，则直线方程为，代入，则，解得，所以此时直线方程为；综上所述：所求直线方程为或．13．表示点到原点的距离，由，有的取值范围为．14设椭圆的焦距为，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有．在中，由余弦定理有可得2,HF p HQ ==28p =4p =P (0bx ±=22(2)1x y -+=()2,01,1b ==1-1,b b y x a ===2c ==c e a ===12PF F △x M 122F M F M a -=M x a =I x a =x a ==()00,P x y 222200001,333x y x y -=-=0x ±=3440x y +-=30x y -=x y a 0a =y kx =()3,113k =13y x =30x y -=0a ≠1x ya a+=()3,1311a a+=4a =4x y +=40x y +-=30x y -=⎡⎣P O 28OC r ==OC OP OC -≤≤+OP ≤≤⎡⎣C 222,,2c PF t QF t ==112,22,43PF a t QF a t PQ a t =-=-=-2PQF △2222(43)4a t t t t -=+-45t a =21886,,555QF a PQ a PF a ===22PF Q QPF ∠=∠12PF F △2c ==c e a ==15．解：（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即．16．解：（1）由题意知，动点的轨迹为抛物线，设抛物线的方程为，则，所以，所以抛物线的方程为，故；（2）设点的坐标分别有，可得有，可得，有，可得直线的斜率为，故直线的议程为，整理为．17．解：（1）由得，，整理得，故动点的轨迹的方程为；（2）点的坐标为且圆与轴相切，圆的半径为，圆的方程为，D AC 3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭14103932BD k --==--BD 01(3)9y x 1+=+109210x y -+=167312AB k --==-+AB 27-AB ()2247y x -=--27220x y +-=P C 22(0)y px p =>12p =12p =C 2y x =124p t ==,A B ()()1122,,,x y x y 12124,2,x x y y +=⎧⎨+=⎩211222y x y x ⎧=⎨=⎩222121y y x x -=-212121112y y x x y y -==-+l 12l 11(2)2y x -=-12y x =3PA PO =229PA PO =2222(6)9(2)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦22(3)9x y -+=P C 22(3)9x y -+= Q (),(0)t t t >Q y ∴Q t ∴Q 222()()x t y t t -+-=圆与圆两圆心的距离为，圆与圆有公共点，，即，解得，所以实数的取值范围是．18．（1）解：由渐近线方程的斜率为，有，可得，将点代入双曲线的方程，有，联立方程解得故双曲线的标准议程为；（2）证明：设点的坐标分别为，线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为．设直线的方程为，联立方程解得，联立方程解得，可得，联立方程消去后整理为，∴Q C CQ == Q C 33t CQ t ∴-≤≤+2222|3|(3)(3)t t t t -≤-+≤+012t <≤t (]0,1220x y +=12-12b a -=-2a b =()1-C 22811a b-=222,811,a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩2,1,a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=,,,A B M N ()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y AB D ()55,x y MN E ()66,x y l 1y kx =+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩3221x k =-+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩4221x k =--5212242212141kx k k k ⎛⎫=--=- ⎪+--⎝⎭221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2241880k x kx -++=有，可得，由，可知线段和共中点，故有．19．（1）解：设椭圆的焦距为，由题意有：，解得故椭圆的标准方程为；（2）证明：由（1）知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为（其中，），有，可得，直线的方程为，整理为，直线的方程为，整理为，直线的方程为，联立方程，解得：，故点的横坐标为，直线的方程为， 联立方程，解得：，故点的横坐标为，122841k x x k +=--62441kx k =--46x x =AB MN AM BN =C 2c 22222a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2,1,a b c ===C 2214x y +=A ()2,0-B ()2,0D ()0,1-P (),m n ()()2,00,2m ∈- 2214m n +=2244m n +=BD 121x y +=-112y x =-AD 121x y +=--112y x =--AP ()22ny x m =++()2,2112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=-⎪⎩24422m n x m n ++=-+M ()22222m n m n ++-+BP ()22ny x m =--()2,2112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=--⎪⎩42422n m x m n -+=+-N ()22222n m m n -++-又由，故点和点的横坐标相等，可得直线与轴垂直．()()()()()()22222222222222222222m n m n m n m n m n n m m n m n m n m n +++-+-+--++-+-=-++--++-()()()()()()()222222(2)4(2)42442880222222222222m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n ⎡⎤⎡⎤+-+--+-+-⎣⎦⎣⎦====-++--++--++-M N MN x。

２０１３－２０１４学年下学期期末高二化学试卷（含答案）时量：6 0分钟；总分：100分。

相对原子质量：H—1，C－12，O—16一、选择题(本题有25小题，每小题只有一个正确答案，请将答案序号填入答题栏内。

每小题2分，共50分)151．葡萄糖作为营养剂供给人体能量,在人体内发生主要的反应是A．氧化反应B．取代反应C．加成反应D．聚合反应2．下列物质中的主要成分不属于糖类的是A．棉花B．木材C．豆油D．小麦3．变质的油脂有难闻的哈喇味，这是因为发生了A．氧化反应B．加成反应C．取代反应D．水解反应4．用酒精消毒的原理是A．溶解作用B．变性作用C．盐析作用 D. 还原作用5．蛋白质溶液分别作如下处理后仍不失去生理作用的是A．高温加热B．紫外线照射C．加硫酸钠溶液D．加福尔马林6．缺铁会引起下列哪些症状A．侏儒症B．骨质疏松症C．甲亢D．贫血7．关于维生素C下列说法中，错误的是A．维生素C的分子式是C6H8O6 B．维生素C能增强对传染病的抵抗力C．维生素C分子具有较强的还原性D．人体所需的维生素C主要来自肉类食品8．对食物的酸、碱性判断正确的是A．西瓜是酸性食物B．猪肉是碱性食物C．奶油是酸性食物D．大米碱性食物9．酱油是一种常用的食品添加剂，它属于食品添加剂中的A．着色剂B．防腐剂C．调味剂D．营养强化剂10．阿司匹林又名乙酰水杨酸，推断它不应具有的性质A．与乙酸发生酯化反应B．与金属钠反应C．与NaOH溶液反应D．与乙醇发生酯化反应11．长期吸食或注射毒品会危及人体健康，下列各组中都属于毒品的是A．冰毒、黄连素B．海洛因、黄连素C．大麻、摇头丸D．黄曲霉素、尼古丁12．制造焊锡时，把铅加入锡的主要原因是A．增加抗腐蚀能力B．增加强度C．降低熔点D．增加延展性13．用铜锌合金制成假金元宝欺骗行人事件屡有发生。

下列不易区别其真伪的方法是A．测定密度B．放入硝酸中C．放入盐酸中D．观察外观14．为了防止轮船的船体的腐蚀，应该在船壳下水线位置嵌入一定数量的A．铜片B．锌片C．碳棒D．银片15．钢铁发生吸氧腐蚀的时候，发生还原反应的电极方程式是A．Fe－2e－==Fe2+ B．2H＋＋2e－==H2 ↑C．4OH－－4e－==2H2O＋O2↑ D．2H2O＋O2＋4e－==4OH－16．下列各组物质的主要成分都是硅酸盐的是A．石英玻璃B．光学玻璃C．半导体材料D．陶器和瓷器17．下列物质中，属于人造纤维的是A．腈纶毛线B．兔毛毛线C．光导纤维D．粘胶纤维18．下列物质中，不属于当前空气质量报告中所包含的物质的是A．二氧化氮B．二氧化碳C．二氧化硫D．一氧化碳19．为减少大气污染，许多城市推广清洁燃料，目前使用的清洁燃料主要有两类：一类是压缩天然气(CNG)，另一类是液化石油气。

2014春期期中质量评估高二英语参考答案第一部分听力（共20小题，20分；每小题1分）1-5 CABCB 6-10 ACABA 11-15 CBBCC 16-20ABCBC第二部分阅读理解（共20小题，40分；每小题2分）21-24 BDAB 25-27CDB 28-31DCBA32-35DABC 36-40GFBDA第三部分英语知识应用（共三节，满分55分）第一节完形填空（共20小题，30分；每小题1.5分）41-45 BDACB 46-50 CACDB 51-55 CBDAB 56-60 CBCDA 第二节语法填空（共10小题，15分；每小题1.5分）61. when 62. which 63. of 64. touched 65. belongings66. but(to) 67. if / whether 68. left 69. blew 70. worst第三节完成句子（共10小题，10分；每小题1分）71. permitting. 72. be informed 73. been underlined/stressed/emphasized.74. were absent from 75. equipped with/armed with 76. originally 77.phenomena78. was thankful /grateful to 79. sought 80. fluency第四部分写作（共两节，满分35分）第一节短文改错（共10小题，满分10分；每小题1分）1.was后加an2. aging改为aged3. is改为was4. In 改为On5. which改为where6.in the front去掉the7. better改为well8. So改为But9. voices改为voice 10. forget改为forgotten第二节书面表达（满分25分）Dear Helen,I’m glad that you are interested in the Chinese course of our international class. This course is specially designed for beginners like you exchange students, focusing on listening and speaking practice. There will be only ten students in each class. Besides, we have first-class facilities, accessible to us, offering us places to broaden our views . After class we have varieties of activities which provide us with opportunities to improve ourselves.And the most important is that we have the best teachers as well as schoolmates who are kind and ready to offer help. They often use unique ways of teaching to maketheir classes lively and interesting. We students are encouraged to speak English both in and out of class, thus I do believe that you won’t have any difficulty in communicating with us.I hope it will be helpful. If you need more information, just let me know.附听力录音原文：(Text 1)W: May I have your phone number, please?M: My phone number is 377-765-8679. Oh, I’m sorry— I made a mistake. The last four numbers are 8769.(Text2)W: Both of the hats are pretty. I don’t know which one to buy.M: Take the white one. It matches your dress.(Text3)M: Are you ready for the contest?W: Yes, I prepared well, but I am a little nervous.M: You always do great. I’m sure you’ll win again this time.(Text4)W: I’m going hiking this weekend. Do you want to come?M: That sounds good. Rain or shine, count me in.W: If it’s raining, I’m afraid you are going by yourself, because I’ll be going to visit my grandma.M: I’ll join you no matter what you do.(Text5)W: Jack, Mum told me to tell you that you shouldn’t go to the party tomorrow night. M: You have got to be kidding me. I am 32 years old.W: Linda’s coming tomorrow. Don’t you think you should spend some time with her instead?M: Really? That’s great. I miss her.(Text6)W: What classes are you going to take this term?M: Well, I’m considering taking some art classes.W: Why not take English literature and Roman history? I took those two courses last term. They were really interesting.M: Hmm, those sound like good possibilities. I will think about it. So what are you going to take this term?W: Chemistry.M: Are you kidding? Chemistry is so difficult.（Text7）W: Tom, you seemed bored. Why not join your dad in the sitting room and watch TV? M: He is watching the international news on Channel 11. I don’t like watching news. W: Why? News reports help you know what’s happening around the world.M: But I’m not interested in knowing what’s happening around the world. I’m only ten years old after all. I’d rather watch movies. They are more entertaining.W: Then why not go to Ann’s room? You can watch a movie on her computer.M: Well, she always complains whenever I use her computer. Mum , can you buy me a laptop?W: I’ll buy you one when you are two years older. You are still too young to have a laptop.(Text8)W: Mark, do you ever surf the Internet at work?M: Sure. It helps me relax. I spend some time on Facebook each day at work.W: I read a recent study that said that as much as 80 percent of the time people spend online at work is wasted.M: Really? Well, I read a study the other day that said when people spend time casually browsing the Web at work, they actually end up being more productive and creative.W: Ha…That’s funny. Do you really think that’s true？M: Yes. I can control myself. I don’t spend too much time browsing the Web at work, I surf the Internet just to help me relax. So what about you?W: Well, I’m not good at managing my time. I spend too much time talking with my friends online at work.M: You’d better be careful. That can get you fired.W: Yeah, I do need to stop. I do n’t want to get fired.(Text9)W: Henry, have you heard about the course “Teaching Poetry to Children”?M: Yes, I have. Actually I’m taking that course this term at Texas State Univerity. W: Really, That’s amazing. So how many students are there in the course this term? M: There are fourteen other students and me.W: What do you do?M: We spend Tuesday mornings teaching poetry to students at Crockett Elementary School.W: Why did you want to take the course?M: I love poetry and I love interacting with kids. I want them to appreciate the beauty of poems.W: So what kind of poetry do you think is good?M: I think if a poem shows you the world through the poet’s eyes, then that is a good poem.W: I agree. So who is your favorite poet?M: William Carlos Williams. I taught the kids his Between Walls in class. You know what, they had the most interesting responses to that poem.W: It sounds as if they liked it.(Text10)Benet was one of the most popular writers in the United States during the first half of the 1900s. By the middle of 1920s, Benet had published 5 books of his own. Although Benet was famous, most of the money he earned came from the storiesthat he wrote for popular magazines. The stories were meant to be read quickly and forgotten. He started to think about a greater purpose for his writing. He wanted people to remember the beauty and goodness of America he had seen as a boy. He began to try new things.In 1926, Benet won an award of 2,500 dollars. He used the money to continue his writing. He began to write a poem about America’s Civil War. The poem was published in 1928. it was as thick as a book. It was called John Brown’s Body. The poem was famous for its power and truth. It was so filled with details that professors of history used it to teach their students about the Civil War. It was read on American and British radio. The year after it was published, Stephen Vincent Benet received America’s Pulitzer Prize for Poetry.。

2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题说明: 1.本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共150分。

2.将第I 卷选择题答案代号用2B 铅笔填在答题卡上，第II 卷的答案或解答过程写在答题卷指定位置3.考试结束，只交答题卷。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项只有一项正确.1.复数 231iz i-=+ 对应的点位于 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 曲线2212-=x y 在点)23,1(-处的切线的倾斜角为（ ） A.2πB.4πC.54π D. 4π- 3. 函数 31()13f x x ax =++ 在 (,1)-∞- 上为增函数，在 (1,1)- 为减函数，则 (1)f 的值为（ ） A. 13 B. C. 73D. 1-4. 函数xxy ln = 的最大值为 （ ）A. 1e -B. eC. 2eD. 1035. 计算11(2)x x e dx -+⎰等于 ( )A. 1e e -B. 1e e + C. 0 D. 2e 6．曲线2y x =与3y x =围成的图形的面积为 ( )A ．16 B. 13 C. 112 D. 7127．观察下列各式：567853125,515625,578125,5390625==== 得到20115的末位四位数字为 ( )A. 3125B. 5625C. 0625D. 8125 8. 若三角形的一边长为 a ，这条边上的高为 h ，则12S ah ∆= 类比三角形有扇形弧长为，半径为 r ，则面积=S 扇 ( ) A.221r B. 221l C. lr 21D. 以上都不对9.已知a , b 是不相等的正数，设x =，y = ( ) A. y x > B. x y > C. y x 2> D. 不确定10. 5 位志愿者和他们帮助2位老人排成一排照相，要求这2位老人相邻，但不排在两端，则不同排法有( )种A. 1440B. 960C. 720D. 480 11.甲乙两人从 4 门课程中选修 2 门，则甲乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 ( )种A. 6B. 12C. 30D. 3612. 用数学归纳法证明公式*()(1)(2)()()f n n n n n n N =+++∈ 时，从 ""n k = 到"1"n k =+ 时，等式左边(1)f k +可写成()f k 再乘以式子 ( ) A. 21k + B. 22k +C. (21)(22)k k ++D. (21)(22)1k k k +++第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（5分×4=20分）13. 若二项式 9()ax x- 展开式中 3x 系数为84-, 则 a = .14. 5 名同学去听 3 个课外讲座，且每个学生只能选一个讲座，不同的选法有 种． 15. 若124adx x=⎰，则 a =_____16. 若函数()3axf x e x =+有大于零的极值点，则 a 的取值范围是_____三、解答题17.（本小题满分10分）已知 c bx ax x f ++=2)( 且(1)2,f -=(0)f '=0,1()2f x dx =-⎰, 求,,a b c 的值.18.（本小题满分12分）现有 7 名男生，5 名女生中（1）选出5人，其中A, B 两名学生必须当选，有多少种不同的选法？ （2）选出5人，其中A, B 两名学生都不当选，有多少种不同的选法？ （3）选出5人，其中至少有两名女生当选，有多少种不同的选法？（4）选出5人，分别去担任语、数、外、理、化五科科代表，但语文科代表由男生担任，外语科代表由女生担任，有多少种不同的选派方法？19.（本小题满分12分）已知函数 32()33f x x ax bx =-+ 与直线0112=-+y x 相切于点(1, -11)（Ⅰ）求 b a , 的值；（Ⅱ）讨论函数 ()f x 的单调性.20.（本小题满分12分）已知函数 21()ln 2f x x x =+ （Ⅰ）求函数 ()f x 在区间[1,]e 上的最大值及最小值；（Ⅱ）求证：在区间 (1,)+∞ 上()f x 的图像在函数32()3g x x =的图像的下方.21（本小题满分12分） 已知函数)10(ln 1)(≠>=x x xx x f 且 （Ⅰ）求函数 ()f x 的单调区间；（Ⅱ）对于(0,1)x ∀∈ 都有12axx >，求a 的取值范围.22（本小题满分12分）已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f（Ⅰ）若()xf x '21x ax ≤++， 求 a 的取值范围. （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥.高二理数参考答案一、选择题二、填空题三、解答题18.（1）310120C=…………………………………………………………………..3分（2）510252C=……………………………………………………………………6分（3）551412757596C C C C--=或23324155757575596C C C C C C C+++=…………9分（4）113751025200C C A=…………………………………………………………..12分20. 1）由已知1()[1,]()0f x x x e f x x'=+∈>()f x 在[1,]e 上递增…………………………………………………………….3分21=()1(1)22e yf e y f ∴=+==最大最小…………………………………………5分 2）构造函数2312()()()ln 23F x f x g x x x =-=+- 221(1)(21)()2x x x F x x x x x -++'=+-=…………………………………………..8分 (1,)()0x F x '∈+∞∴<()F x 在(1,)+∞递减，且1(1)06F =-<所以在(1,)+∞上，()(1)0F x F <<………………………………………………..10分 所以()()f x g x <，即()f x 图像在()g x 图像下方…………………………………12分22. 1）解：11()ln 1ln x f x x x x x+'=+-=+ 由()ln 1xf x x x '=+又由2()1xf x x ax '≤++ 得ln a x x ≥-………………………………….2分 令()ln g x x x =- 则 1(1)(1)()x x g x x x x-+-'=-=……………………………………………..3分 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<1x ∴= 是最大值点………………………………………………………….4分 a 的范围是[1,)-+∞…………………………………………………………6分。

2014年春期南阳市期末质量检测高二数学（理科）答案一、选择题（共12个小题，每小题5分）1—5 BADCA 6—10 BBDDC 11—12 DA二、填空题（共4小题，每题5分） 13.2π 14. q 15. (][),16 2.-∞-+∞ 16. ①③三、解答题17. 解：（1）2532150330m m m m m m ⎧==-⎧--=⇒⎨⎨≠-+≠⎩⎩或 ∴Z 是实数时，m=5.……………………………………（5分）（2）222150303260m m m m m m m ⎧--≠⎪+≠⇒==-⎨⎪--=⎩或 3m ∴=当，=12Z i -；当2m =-时，=7Z i - ……………………………………（10分）18. 解：（1）由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的概率为111812131510795050100+++++=+ ，据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率为79100P = ………………（6分） (2)非常了解 一般了解 合计 男生30 20 50 女生25 25 50 合计55 45 100根据列表数据得 ()2210030252025 1.010 1.32350505545K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以，没有75%的把握人物对莫言作品的了解程度与性别有关.…………（12分）19. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得 ()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=即22kb +=……①. 当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1221111,1,1,223a a a ==+=++()33g ∴=，即33k b +=……②，由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分） 下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明；……………………………………（6分）（2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++ ()()=11k k k k a a k a k -+=+-，……………………（8分） 又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++，111k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭， ∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分） 由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-都成立.…………………………（12分） 20. 解：（1）()2212'1a a f x x x -=+-，依题意有：()'20f =，即21104a a -+-= 解得：32a = 检验：当32a =时，()()()2222122332'1=x x x x f x x x x x ---+=+-= 此时：函数()f x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，满足在2x =时取得极值 综上：32a = ……………………………………（6分） （2）依题意：()0f x ≥对任意[)1,+x ∈∞恒成立等价转化为()min 0f x ≥在[)1,+x ∈∞恒成立的必要条件是(1)0f ≥ ，即220a -≥，所以1a ≤………………（8分）因为()()()()()2222211221212'1x a x x ax a a a f x x x x x ----+--=+-== 令()'0f x =得：121x a =-，21x = …………………………………………（10分）1a ≤∴211a -≤，此时，函数()'0f x ≥在[)1,+∞恒成立，则()f x 在[)1,+∞单调递增，于是()()min =1220f x f a =-≥，解得：1a ≤，此时：1a ≤综上所述：实数a 的取值范围是1a ≤ …………………………………………………（12分）.21. 解：（1）设“选出的3种商品中至少有一种是日用类商品”为事件A ，则方法一：()1221345454393742C C C C C P A C ++==; 方法二：()353937142C P A C =-=. 即选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率为3742.……………………（6分） （2）ξ的可能取值为0,,2,3x x x ，则()111101112228P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2131131228P x C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ()22311321228P x C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()111132228P x ξ==⨯⨯=， ∴ ξ的分布列为 ξ 0 x 2x 3x P 18 3838 18故13313=02388882E x x x x ξ⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 根据题意，得31802x ≤，解得120x ≤， 即x 至多为120元时，此促销方案使商场不会亏本。

2014年春期高中二年级期中质量评估语文参考答案与评分标准1.A（原文中没有“畏”的意思。

）2.B（“不要不懂装懂”属于偷换概念，原文是“不懂的不要故作矜持”。

）3.D（“这是选择书的标准”说法错误。

）4.C（可：同意）5.B6.D（“年富身边的人委婉地劝阻他不要任职”理解错）7.（1）边疆的士兵和马匹，需要供应的（粮草）数量巨大，军民因远途运输而疲乏，强横狡诈之徒趁机做违法之事来牟取利益。

（关键词“三边”“因缘”“奸利”各1分，句意2分。

）（2）年富斟酌赢利和亏欠，严格支出和收入，亲自计算，官吏们不能欺瞒他。

（关键词“赢缩”“出纳”“会计”各1分，句意2分）8.（5分）这首诗描写出了小村遭水灾之后萧条破败、百姓生活困顿的凄苦景象。

（2分）大水过后，农家的篱笆门破烂不堪，鸡在寒风中觅食，无衣可穿的老人抱着孙子，用自身体温为孙子取暖；被人弃置的船只破破烂烂，只剩下断了的缆绳，干枯的桑树被洪水冲得只剩下高高的树根。

小村到处呈现出萧条冷落、荒败不堪的景象。

（3分）9.（6分）尾联的意思是：唉！百姓生活状况已经如此凄苦，但还是被错误地编入缴纳租税的户籍。

（3分）这两句表达了诗人对百姓苦难处境、悲惨遭遇的深切同情，委婉地嘲讽了官府不顾百姓死活、横征暴敛的罪恶行径。

（3分）10.（1）士不可以不弘毅仁以为己任（2）廊腰缦回檐牙高啄（3）人道寄奴曾住气吞万里如虎（每句1分，句中有误不得分）11.（1）选D给3分，选B给2分，选C给1分，选A、E不得分。

（A项“变卖……兑换成碎金”说法错；E项“小说讴歌了这种伟大的母爱”说法不当，小说主旨不在于此；C项“希望大旦今后不要忘本”说法不妥。

）（2）①金丝鞋垫寄寓着两旦娘对两个儿子的牵挂、关爱和希望儿子们走好今后人生之路的愿望；（或:象征着母爱和母亲的希望。

）②金丝鞋垫是大旦外出谋生的依靠，是激励小旦克服困难、顽强奋斗、走向成功的精神动力；③金丝鞋垫是作者塑造人物形象、表达小说主旨的重要凭借；④金丝鞋垫是小说故事情节发展的线索，小说主要情节围绕金丝鞋垫展开。

2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l 的方程为（ ） A ．﹣x +y ＝1B ．x +y ﹣5＝0C ．y ＝3D ．x ＝22．二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（ ） A ．x =−14aB ．x =−a 4C ．y =−14aD ．y =−a 43．已知三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（ ） A ．k 3＜k 1＜k 2B ．k 1＜k 2＜k 3C ．k 2＜k 3＜k 1D ．k 3＜k 2＜k 14．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，小椭圆的短轴长为10cm ，则小椭圆的长轴长为（ ）cm ．A ．30B ．20C ．10√3D ．105．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√58．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2 10．已知方程x 27−t +y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 ．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 ． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 ；|PF 1|2|PF 2|的最小值为 ．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝ ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l的方程为（）A．﹣x+y＝1B．x+y﹣5＝0C．y＝3D．x＝2解：∵直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，∴直线l的方程为x＝2．故选：D．2．二次函数y＝ax2（a≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（）A．x=−14aB．x=−a4C．y=−14a D．y=−a4解：将二次函数y＝ax2（a≠0）化为抛物线标准式得x2=1ay，所以准线方程为y=−14a．故选：C．3．已知三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（）A．k3＜k1＜k2B．k1＜k2＜k3C．k2＜k3＜k1D．k3＜k2＜k1解：若γ＞90°＞β＞α，则tanβ＞tanα＞0＞tanγ，A成立，若α＜β＜γ＜90°，则tanα＜tanβ＜tanγ，B成立，若α＜90°＜β＜γ，则tanα＞0＞tanγ＞tanβ，C成立，故选：D．4．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（）cm．A．30B．20C．10√3D．10解：扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，大椭圆a1=20，b1=10，c1=√202−102=10√3，离心率为e1=√32，小椭圆b 2＝5，离心率e 2=e 1=√32=√a 22−25a 2，解得a 2＝10，故长轴长为20．故选：B ．5．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）解：直线y ＝kx +1恒过点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上， 即024+12m≤1，解得m ≥1，又m ≠4，则m 的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．故选：B ．6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），抛物线y 2＝4x ，则F （1，0）， 因为焦点F 恰好是△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 3＝3×1＝3， 故|F A |+|FB |+|FC |＝x 1+1+x 2+1+x 3+1＝6． 故选：D ．7．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√5解：x 2+y 2＝1，则圆心C （0，0），半径r ＝1， |2x +y ﹣5|=√5|2x+y−5|√2+1，√22+12表示圆上的点到直线2x +y ﹣5＝0的距离，该距离的最小值为√22+12−r =√5−1，故|2x +y ﹣5|的最小值是：√5×(√5−1)=5−√5． 故选：C ．8．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解：不妨设P （x 0，y 0），则过点P 的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{x 2a 2−y 2b 2=1y −y 0=k(x −x 0)，消去y 并整理得（b 2﹣a 2k 2）x 2﹣2a 2k （y 0﹣kx 0）x −a 2[(y 0−kx 0)2+b 2]，因为过点P 的切线方程与双曲线只有一个交点，所以Δ＝0，解得(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0，易知k AP ，k BP 为关于k 的方程(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0的两个根，且k AP •k BP ＝﹣1，所以y 02+b 2x 02−a 2=−1，整理得x 02+y 02=a 2−b 2，所以点P 的轨迹方程为x 02+y 02=a 2−b 2（a ＞b ），可得双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的轨迹方程为x 2+y 2＝3， 所以r =√3，则该蒙日圆的面积S ＝πr 2＝3π． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2解：A 中，两条直线平行时，则a （a +1）＝2×1，且a ×（﹣1）≠﹣1×1，解得a ＝﹣2，所以A 不正确；B 中，a =−23时，a •1+2•（a +1）=−23+23=0，即两条直线垂直，所以B 正确； C 中，直线l 1：ax +2y ﹣1＝0可得恒过定点（0，12），直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0整理可得ay +x +y ﹣1＝0，恒过定点（1，0），所以C 不正确；D 中，由A 可知，两条直线平行时a ＝﹣2，此时直线l 1：﹣2x +2y ﹣1＝0，即x ﹣y +12=0， 直线l 2：x ﹣y ﹣1＝0，所以两条直线的距离d =|12−1|√1+(−1)=√24，所以D 不正确．故选：ACD ． 10．已知方程x 27−t+y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 解：当方程x 27−t+y 23+t=1是椭圆时，则{7−t ＞03+t ＞07−t ≠3+t，解得﹣3＜t ＜2或2＜t ＜7，∴A 错误，当方程x 27−t+y 23+t =1是双曲线时，则（7﹣t ）（t +3）＜0，解得t ＜﹣3或t ＞7，∴B 正确；若方程x 27−t +y 23+t =1是焦点在x 轴上的椭圆，则{7−t ＞3+t 3+t ＞0，解得﹣3＜t ＜2，∴C 正确； 若方程x 27−t+y 23+t=1是焦点在y 轴上的双曲线，则 {3+t ＞07−t ＜0，解得t ＞7，∴D 正确．故选：BCD ． 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a解：对于A ，易知|OP |∈[b ，a ]，故A 错误； 对于B ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m +n ＝2a ，根据余弦定理，（2c ）2＝m 2+n 2﹣2mn cos60°，解得mn =4a 2−4c 23=4b23，所以S △F 1PF 2=12mnsin60°=√3b 23，故B 错误；对于C ，若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°， 则c ⩾b ，所以c 2⩾a 2﹣c 2，即c 2a 2⩾12，所以e ∈[√22，1)，故C 正确；对于D ，若PF 1的中点在y 轴上，则PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|=b2a，故D 正确．故选：CD ．12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18解：A ．由抛物线的方程可得焦点F （p2，0），准线方程为：x =−p2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB 的中点M （x 1+x 22，y 1+y 22），利用焦点弦的性质可得|AB |＝x 1+x 2+p ，而AB 的中点M 到准线的距离d =x 1+x 22−（−p 2）=12（1+x 2+p ）=12|AB |，∴以AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A 正确；B ．设直线AB 的方程为x ＝my +p 2，k =1m ＞0，联立{x =my +p2y 2=2px ， 整理可得：y 2﹣2mpy ﹣p 2＝0， 可得y 1+y 2＝2mp ，y 1y 2＝﹣p 2， ∵AF →=2FB →，∴y 1＝﹣2y 2， 解得y 2＝﹣2mp ，y 1＝4mp ， ∴﹣8m 2p 2＝﹣p 2，解得m 2=18， ∴k =√1m 2=2√2，因此B 不正确； C ．设M （x ，y ），结合A ，B 可得：y =y 1+y 22=mp ，x =x 1+x 22=m(y 1+y 2)2+p 2=m 2p +p 2，消去m 可得：2y 2＝2px ﹣p 2，因此C 不正确； D ．若p ＝4，则抛物线C ：y 2＝8x ，不妨设x 1＞x 2＞0，x 1x 2=(y 1y 2)264=4，∴|AF |+4|BF |＝x 1+4x 2+10=4x 2+4x 2+10≥4×2√1x 2⋅x 2+10＝18，当且仅当x 2＝1，x 1＝4时取等号，因此D 正确． 故选：AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y轴上且a 2﹣b 2＝1） ． 解：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）． 故答案为：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 11 ． 解：由题意知E （﹣9，﹣4），F （1，3），如图，设圆E 关于y ＝x 的对称圆为圆G ，点Q 与点Q '关于y ＝x 轴对称，则圆G 的方程为（x +4）2+（y +9）2＝1，G （﹣4，﹣9），所以（|AP |+|AQ |）min ＝（|AP |+|AQ ′|）min ≥|PQ ′|，当且仅当P ，A ，Q ′三点共线时取得最小值， 此时|PQ ′|＝|FG |﹣1﹣1=√(−4−1)2+(−9−3)2−1﹣1＝11，所以AP |+|AQ |的最小值为11． 故答案为：11． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 3 ； |PF 1|2|PF 2|的最小值为 8 ． 解：已知椭圆x 281+y 272=1的离心率e 1=√1−7281=13，而c =√81−72=3， 因为双曲线C 与椭圆x 281+y 272=1的离心率互为倒数，所以双曲线C 的离心率e 2＝3，① 因为双曲线C 的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，所以双曲线C 的半焦距c ＝3，② 又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③，解得a ＝1，b ＝2√2，则双曲线C 的方程为x 2−y 28=1，若F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点， 可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ＝2， 即|PF 1|＝2+|PF 2|， 所以|PF 1|2|PF 2|=(2+|PF 2|)2|PF 2|=4+4|PF 2|+|PF 2|2|PF 2|=4|PF 2|+|PF 2|+4，因为|PF 2|≥c ﹣a ＝1， 所以4|PF 2|+|PF 2|+4≥2√4|PF 2|⋅|PF 2|+4=8， 当且仅当4|PF 2|=|PF 2|，即|PF 2|＝2时，等号成立，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为8．故答案为：3；8．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝79．解：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，|NQ |＝a +c ，|QR |＝a ﹣c 由题意可得P （0，4），R （﹣3，0），则PR ：4x ﹣3y +12＝0，k PR =43， 设M （n ，1），Q （n ，0）， 则M 到PR 的距离d =|4n−3+12|√4+3=1，解得n ＝﹣1（舍去）．n =−72，则|QR |=72−3=12=a ﹣c ， 又设PN ：kx ﹣y +4＝0，由d =|−72k−1+4|√1+k =1，得45k 2﹣84k +32＝0．∴k PR •k PN =3245，则k PN =815，得x N =−152， ∴2a =152−3=92，a =94，解得c =74． ∴椭圆的离心率e =ca =79． 故答案为：79．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点．（1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程． 解：（1）由题意可得k AB =7−11−(−2)=2，由平行四边形可得CD ∥AB ，所以直线CD 的斜率为2，所以直线CD 的方程为y ﹣（﹣2）＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣4＝0； （2）设所求直线为l ．设点C 的坐标为（m ，n ），则DC →=(m −1，n +2)， 由题意AB →=DC →，又AB →=(3，6)，故{m −1=3n +2=6，解得m ＝4，n ＝4，即C （4，4）， 点E 是线段CD 的中点，则E(52，1)， 直线BC 的斜率为k BC =7−41−4=−1，由于直线BC 与l 垂直，故直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为y −1=x −52， 即2x ﹣2y ﹣3＝0．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，所以e =√1+b 2a2=32，①因为焦点到其中一条渐近线的距离为√5， 所以d =√a 2+b=b =√5，②联立①②，解得a ＝2， 则双曲线的标准方程为y 24−x 25=1；（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝kx +3，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{y =kx +3y 24−x 25=1，消去y 并整理得（5k 2﹣4）x 2+30kx +25＝0，由韦达定理得x 1+x 2=−30k 5k 2−4，x 1x 2=255k 2−4，假设在y 轴上存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立， 不妨设点T （0，t ），此时k TM +k TN ＝0， 即y 1−t x 1+y 2−t x 2=x 2(y 1−t)+x 1(y 2−t)x 1x 2=x 2(kx 1+3−t)+x 1(kx 2+3−t)x 1x 2=2k +(3−t)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +(3−t)−30k 5k 2−4255k 2−4=0，解得t =43，则点T 的坐标为(0，43)．综上，y 轴上存在点T(0，43)，使∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．解：（1）证明：圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0，即x 2+y 2﹣10+λ（3x ﹣y ﹣10）＝0， 令{3x −y −10=0x 2+y 2−10=0，解得{x =3y =−1， 把（3，﹣1）代入圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0成立， 所以圆过定点（3，﹣1）．（2）当λ＝1时，圆C 的方程为：x 2+y 2+3x ﹣y ﹣20＝0． 假设存在直线l 符合题意，直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x +m ，与圆C 联立{y =x +mx 2+y 2+3x −y −20=0，化简整理可得，2x 2+2（m +1）x +m 2﹣m ﹣20＝0，Δ＝4（m +1）2﹣4×2×（m 2﹣m ﹣20）＞0①， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） x 1+x 2＝﹣（m +1），x 1x 2=m 2−m−202， 若以AB 为直径的圆经过原点，则OA ⊥OB ，OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+m)(x 2+m)=2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=m m 2﹣m ﹣20﹣m （m +1）+m 2＝m 2﹣2m ﹣20＝0，解得m =1±√21，均满足①，故直线l 的方程为y =x +1−√21或y =x +1+√21． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值． 解：（1）选①：由题意得{2a =42b 2a =3，解得{a =2b =√3．所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选②：椭圆x 213+y 212=1的焦点坐标为（±1，0），则c ＝1，又2a ＝4，得a ＝2，由a 2＝b 2+c 2得，b 2＝4﹣1＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选③：由题意得2b 2a=3，因为F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成等边三角形， 所以b =√3c ，又a 2＝b 2+c 2，得a ＝2，b =√3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）【解法一】：由题知F 2（1，0）， 设直线l 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6m 3m 2+4)2−−363m 2+4=12√m 2+13m 2+4， 设t =√m 2+1≥1，则S △F 1MN =12t 3t 2+1=123t+1t，因为函数y =3t +1t在t ∈[1，+∞）上单调递增， 所以函数y =123t+1t在t ∈[1，+∞）上单调递减， 所以当t ＝1时，y max =123×1+1=3（此时m ＝0，直线为x ＝1）， 所以△F 1MN 面积的最大值为3． 【解法二】：由题知F 2（1，0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，此时M （1，32），N （1，−32）或M （1，−32），N （1，32），所以|MN |＝3，所以△F 1MN 的面积为12|F 1F 2|⋅|MN|=3，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以x 1+x 2=8k23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，所以y 1+y 2=−6k3+4k 2，y 1y 2=−9k23+4k2，所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6k 3+4k2−4⋅−9k23+4k2)=12√k 2(k 2+1)3+4k 2，设t ＝3+4k 2＞3，则k 2=t−34，所以S =12√(t−34)2−t−34t 2=3√1−2t −3t2（其中0＜1t ＜13），所以当1t→0时，S →3，综上所述：△F 1MN 面积的最大值为3．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 解：（1）因为动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切， 所以|MA |＝|x +2|，即点M 到点A （2，0）的距离与到直线x ＝﹣2的距离相等，由抛物线定义知圆心M 的轨迹C 为抛物线，且焦点为（2，0），准线方程为x ＝﹣2， 所以曲线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：易知过点P 的切线斜率存在，且不为0； 因为P 为直线x ＝﹣2上任意一点，不妨设P （﹣2，t ），切线方程为x +2＝m （y ﹣t ），联立{x +2=m(y −1)y 2=8x ，消去x 并整理得y 2﹣8my +8mt +16＝0，此时Δ＝64m 2﹣4（8tm +16）＝64m 2﹣32tm ﹣64＝0， 因为过点P 存在两条切线，所以关于m 的方程有两个不相等的实数根m 1，m 2， 由韦达定理得m 1m 2＝﹣1，不妨设切线PE 、PF 的斜率分别为k 1，k 2， 此时k 1k 2=1m 1⋅1m 2=−1，故PE ⊥PF ．22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．解：（1）不妨设点P （x ，y ），因为过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89， 所以k PA ⋅k PB =yx+3⋅yx−3=−89， 整理得x 29+y 28=1(x ≠±3)；（2）证明：不妨设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =my −1x 29+y 28=1，消去x 并整理得（8m 2+9）y 2﹣16my ﹣64＝0，由韦达定理得y 1+y 2=16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9， 则k 1k 2=y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=x 2y 1−3y 1x 1y 2+3y 2=(my 2−1)y 1−3y 1(my 1−1)y 2+3y 2=my 1y 2−4y 1my 1y 2+2y 2=−64m8m 2+9−4y 1−64m 8m 2+9+2(16m8m 2+9−y 1)=−64m8m 2+9−4y 1−32m8m 2+9+2y 1=2．综上，k 1k 2为定值2．。

2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故3．14．解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故21．15．解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝2...+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故8．16．解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故②③④．三．解答题（共6小题）17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣......+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．解：（Ⅰ）由得，故，∵an＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。

2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l 的斜率为− 3，则直线l 的一个方向向量的坐标为( )A. (−1,− 3)B. ( 3,−1)C. (− 3,−1)D. ( 3,−3)2.抛物线C ：y = 2x 2的焦点坐标为( )A. ( 22,0)B. ( 24,0)C. (0, 28)D. (0, 24)3.已知▵ABC 三个顶点的坐标分别为A (3,−1)，B (−5,2)，C (7,4)，则BC 边上的中线所在直线的方程为( )A. x +2y−1=0B. 2x +y−5=0C. 2x−y−7=0D. x−2y−5=04.已知双曲线C 以两个坐标轴为对称轴，且经过点(2, 3)和(− 5,−2)，则C 的渐近线方程为( )A. y =± 22xB. y =±xC. y =± 2xD. y =±2x5.“a =−3”是“直线ax +2ay−3=0与(a−1)x−(a +1)y +13=0垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l 经过点P (2,1)，且与圆C ：(x +1)2+(y−2)2=9相交于A ，B 两点，若|AB |=4 2，则直线l 的方程为( )A. y =1或3x +4y−10=0B. y =1或4x +3y−11=0C. 4x +3y−11=0或3x +4y−10=0D. 4x−3y−5=0或3x−4y−2=07.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于l 位置时，拱顶离水面的高度为2.5m ，水面宽度为8m ，当水面上涨0.9m 后，水面的宽度为( )A. 6.4mB. 6mC. 3.2mD. 3m 8.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，若P 与F 1恰好关于C 的一条渐近线y =2x 对称，且|PF 2|=2，则▵PF 1F 2的面积为( )A. 2B. 22C. 23D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

2013～2014学年第二学期期中质量调研八年级物理试题一、选择题（共30分，每小题2分．下列各题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题意的，请将正确答案前的序号填写在下列表格中）1．物质的微粒直径在1～l00nm 之间时，就可以称为纳米材料．纳米技术在研制电学材料、光学材料等方面有广泛的应用前景．纳米是下列哪个物理量的单位? A ．长度B ．体积C ．密度D ．速度2．托盘天平横梁上都有标尺和游码，向右移动游码的作用是 A ．相当于向左调节平衡螺母 B ．代替指针用来指示天平是否平衡 C ．相当于在左盘中加小砝码 D ．相当于在右盘中加小砝码 3．如图所示，电工钢丝钳用钢铁浇铸而不用塑料，是利用钢铁A. 较好的导电性B. 较大的硬度C. 良好的绝缘性D. 良好的导热性4．机场安检过程中，防暴犬功不可没．即使隔着多层包装，防暴犬也能嗅出炸药的气味，这说明组成炸药的分子 A ．一直处于静止状态 B ．处于永不停息的运动中 C ．相互之间存在排斥力 D ．相互之间存在吸引力5．下列关于微观粒子的说法，正确的是A ．固体的分子间只存在吸引力B ．用手捏海绵，海绵的体积变小了，说明分子间有间隙C ．卢瑟福提出了原子的核式结构模型D ．摩擦起电过程创造了电荷6．2011年11月3日凌晨，中国第一个目标飞行器“天宫一号”与神州八号飞船顺利对接，中国建立了首个空间实验室．随着航天员在空间实验室内停留时间的增加，进行必要的体育锻炼将成为航天员需要完成的一项重要工作．下列适合航天员在轨道舱中进行体育锻炼的运动项目是A ．举哑铃B ．跳绳C ．踢毽子D ．拉弹簧拉力器7．2011年11月9日，俄罗斯“福布斯－土壤”火星探测器在地球近地轨道上因主发动机启动失败而无法变轨．经查，是太空中的带电粒子对机载计算机系统产生影响导致程序出错．下列粒子中，因不带电首先可以排除的是A ．电子B ．原子核C ．中子D ．质子2014.4 18．为了研究受到拉力时弹簧长度的增加量与弹簧自身因素的关系，选取弹簧和测力计进行实验， 在实验过程中应控制不变的量是A ．弹簧长度B. 弹簧材料C. 弹簧伸长量D. 拉力9．2010年度诺贝尔物理学奖由成功研制石墨烯的海姆和诺沃肖洛夫两位科学家获得．石墨烯是目前世上最薄最坚硬的纳米材料，作为导体，它有着和铜一样出色的导电性；作为热导体，它比目前任何其他材料的导热效果都好．而且它几乎是完全透明的，只吸收2.3%的光．根据上述材料所提供的石墨烯的物理特性，下列说法不正确的是 A ．石墨烯具有良好的导电性 B ．石墨烯具有良好的隔热效果 C ．石墨烯具有良好的透光性D ．石墨烯具有良好的硬度10．用带正电的物体去接触不带电的验电器的金属球时，金属球也带上正电荷，其原因是A ．金属球上的一些正电荷转移到带正电的物体上B ．金属球上的一些电子转移到带正电的物体上C ．带正电的物体上的电子转移到金属球上D ．带正电的物体上的正电荷转移到金属球上11．如图是描述地球上不同位置的人释放手中石块的四个示意图，图中的虚线表示石块下落的路径，则对石块下落路径的描述最接近实际的示意图是12．一个质量为0.25 kg 的玻璃瓶，盛满水时称得质量是1.5kg ，若盛满某液体时称得质量是1.75kg ，那么这种液体的密度是A ．1.0×103kg/m 3B ．1.16×103kg/m 3C ．1.2×103kg/m 3D ．1.75×103kg/m 313．装载500t 散装甘油的货轮抵达常州港，然后由油罐车队装载运输至光辉油漆厂．已知甘油密度为1.25×103kg/m 3，每辆油罐车可装载12m 3的甘油，油罐车队一次就将500t 甘油装载运输完毕，则该油罐车队至少拥有的油罐车数量为A ．41B ．42C ．33D ．3414．已知冰的密度为0.9×103kg/m 3，一定体积的水凝固成冰后，其体积将A ．增加101B ．减少101 C ．增加91 D ．减少91 15．小星和小华分别购买了两只不同品牌的乒乓球，为了比较两只乒乓球的弹性大小，他们设计了几种方案，你认为能够解决这个问题的最好方案是 A ．把两球向墙掷去，比较它们反弹后离墙的距离B ．让两球置于乒乓桌面上方同一高度自由落下，比较它们反弹的高度C ．用乒乓球拍分别击打两球，比较两球飞出去的距离D ．用手捏乒乓球，比较它们的硬度A B C D二、填空作图题（共28分，每空格1分，每图2分）16．槐树开花时，空气中弥漫着槐花的香味，说明分子处在中；两滴水银靠近时能自动结合成一滴较大的水银，说明分子间存在，但两块光滑干燥的玻璃紧贴在一起不能结合成一整块，是因为．17．将一带电的有机玻璃棒靠近带正电的泡沫塑料小球时，相互作用情况如图所示，由此可知：有机玻璃棒带电，这是因为电荷相互．18．如图所示，正在使用的弹簧测力计指针指在某一位置．这个弹簧测力计的量程是N，分度值是N．图中所测物体的重力是N．19．2011年5月，法国科学家发现行星“葛利斯581d”较适合地球生命居住，且同一物体在“葛利斯581d”行星表面所受重力大小是在地球表面的两倍．设想宇航员从地球携带标有“100g”字样的方便面、天平和弹簧测力计飞至行星“葛利斯581d”，若用天平和弹簧测力计分别测量该方便面，则天平示数为g，弹簧测力计示数为N．（g=10N/kg）20．2013年1月中上旬，全国中东部地区陷入严重的雾霾天气，雾霾天气形成的主要原因是PM2.5超标．PM2.5粒径小，富含大量的有毒、有害物质，在空气气流作用下输送距离远，因而对人体健康和大气环境质量的影响很大．世界卫生组织认为，PM2.5浓度小于0.01mg／m3是安全值，而中国的部分地区高于0.05 mg／m3．据统计，每个人每天平均要吸入约1万升的空气，若PM2.5浓度上升到0.05 mg／m3，则每人每天约吸入g的PM2.5；空气中PM2.5的远距离输送（能/不能）说明分子的运动．21．测量小石块密度的实验如图所示，请回答下列问题：⑴如图甲所示，小明在使用天平过程中的错误是．⑵小明纠正错误后继续实验，天平平衡时，右盘中所加砝码和游码的位置如图乙所示，把小石块放入装有10mL水的量筒中，量筒内液面的位置如图丙所示，则小石块的密度是kg／m3．22．2008年北京奥运会三大标志性建筑物之一的“水立方”，外层采用了一种叫做ETFE（四氟乙烯）新型环保节能的膜材料．这种膜材料质地轻巧，而且在外力作用下能拉长到它的长度的3倍而不失去弹性．万一出现外膜破裂，只要8h就可修复或更新．由于采用了这样一种膜结构，使得场馆每天能够利用自然光的时间达到9.9h，一年下来，将节约大量的电力资源．从高空远远看去，“水立方”是一个水蓝色的建筑，宛如一潭蓝色的湖水．站在“水立方”旁边，它更像一个透明“冰块”，游泳中心内部设施尽收眼底．根据以上内容可知：“水立方”外层采用的ETFE膜材料必须具有、、的物理属性．23．已知酒精的密度是0.8×103kg／m3，某工厂生产酒精，要求含水量（按质量计算）不超过10％，他们用抽测密度的方法对产品进行检查，则合格酒精的密度应在kg／m3至kg／m3范围内（不考虑酒精与水混合后的体积变化）．24．小雨在自家厨房发现了两包糖，一包是颗粒极小的细砂糖，一包是颗粒较大的冰糖．小雨想测出这两种糖的密度，于是他进行了如下操作：⑴分别取适量的细砂糖和冰糖用天平称量，称得细砂糖质量为54g，称冰糖时天平中砝码和游码如图所示，则冰糖的质量为________g．⑵将称得的细砂糖全部倒入量筒，摇平后如图甲所示，再将称得的冰糖全部埋入量筒中的细砂糖，摇平后如图乙所示．⑶计算得出细砂糖的密度为kg／m3，冰糖的密度为kg／m3．⑷你认为小雨测得的密度中，（细砂糖／冰糖）的密度误差相对较大．25．如图所示，手用10N的力压气球，气球会变形，画出气球对手的弹力的示意图．26．如图所示，水平地面一质量为1kg的快速运动的物体，当它遇到表面粗糙的斜坡时，它将冲上斜坡并滑行一段距离，请在图中画出该物体在斜坡上滑行时所受重力的示意图．三、解答探究题（第27小题5分，第28小题6分，第29小题6分、第30题7分，第31题10分，第32题8分，共42分）计算型问题解答时要有必要的文字说明、公式和运算过程，直接写出结果的不能得分．27．小明文具盒的质量是400g，能否用测量范围是0～5N的弹簧测力计测量其重力？请通过计算说明．（g=10N/kg）28．在上海杜莎夫人蜡像馆中，有按照与真人1:1比例制成的篮球明星姚明的蜡像，如图所示，这是目前该馆内“最高大”的蜡像．已知姚明身高229cm，质量约为140kg，其蜡像的平均密度为0.9×103kg/m3，人体的平均密度约等于水的密度，g取10N/kg，则姚明蜡像的质量大约是多少？29．1827年，布朗把花粉放入水中，然后放在显微镜下观察，发现花粉小颗粒在水中像着了魔似的不停运动，而且每个小颗粒的运动方向和速度大小都改变得很快，不会停下来．这些小颗粒实际上是由上万个分子组成的分子团，由于受液体分子的不平衡撞击，从而表现出无规则运动的状况．这就是著名的布朗运动．⑴布朗运动中花粉颗粒的运动是（）A．分子运动B．原子运动C．物体运动⑵分子很小，看不见摸不着，但正如布朗运动一样，我们可以通过一些直接感知的现象，经过合理的推测来认识．下列推测既合理又符合事实的是（）A．现象：压缩密闭在注射器内的空气，感觉越推越吃力；推测：分子之间只有斥力没有引力．B．现象：用毛皮摩擦过的橡胶棒能吸引纸屑；推测：分子间有引力作用．C．现象：等体积水和酒精混合，总体积变小；推测：分子之间有空隙．D．现象：将墨水滴入水中，可以看到墨水在沿途拉成一长串墨迹；推测：分子在永不停息地运动．⑶小明将烧杯放在酒精灯上加热，在加热过程中发现花粉颗粒的运动加剧并上下翻滚，于是小明推理得出：温度越高，分子的运动越剧烈．你认为小明得出的结论（可靠/不可靠），原因是．30．下面是关于“测食用油密度”的实验讨论，请回答以下问题：⑴小明的方案：①用已调节平衡的天平测出空烧杯的质量m1；②向烧杯内倒入适量食用油，测出烧杯和食用油的总质量m2；③把烧杯内的食用油全部倒入量筒内，读出量筒内食用油的体积为V；④测得的食用油密度的表达式是：ρ油= ．⑵为了研究实验中食用油残留对测量结果的具体影响，老师做了如下实验：在各种规格的烧杯中倒入适量的食用油，放置一会儿，将全部的油沿杯口倒出，实验测得如下数据：若小明实验使用的是100 mL的烧杯，则小明测量食用油质量的数据需要（加／减）g，否则其测得的密度值（偏大/偏小）．⑶为了减小实验误差，请你写出改进后的测食用油密度的方案：①用已调节平衡的天平测出；②把烧杯内的食用油倒入量筒内一部分，读出量筒内食用油的体积为V；③；④测得的食用油密度的表达式是：ρ油= ．31．某课外兴趣小组同学做实验，他们将塑料小桶中分别装满已知密度的四种不同液体后，用弹簧测力计测它们的重，记录数据如下表．⑴通过分析此表，小丽同学发现液体密度与弹簧测力计的示数之间有一定规律，如图所示，能正确反映这一规律的图像是（）⑵若小桶中盛满密度未知的某种液体时弹簧测力计的示数为2.3 N，请你推算该液体的密度，并写出推算过程．32．课余，五星科技小组同学探究弹簧的伸长与所受拉力大小的关系；红花科技小组同学探究橡皮15 10 20 25 3035 Δl /cm O0.511.522.5 F /N 20 30 35 /cm OΔl ＇⑴ 请根据实验数据在左边的直角坐标系中作出弹簧的伸长Δl 与拉力F 的关系图像．⑵ 请根据实验数据在右边的直角坐标系中作出橡皮筋的伸长Δl ＇与拉力F 的关系图像．（用光滑曲线顺次连接各点）⑶ 根据所作的图像确定：当各自所受的拉力F 均为 1.25N 时，弹簧的伸长Δl = cm ，橡皮筋的伸长Δl ＇= cm ．。

2024-2025学年河南省南阳市高二上学期期中适应性考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线y =100−3x 的倾斜角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘2.已知直线l 1:ax−(a−6)y +2=0，直线l 2:x +ay +1=0.若l 1//l 2，则a =( )A. −3B. −2C. 2D. 2或−33.已知椭圆C:x 2m +y 2m 2=1的短轴长为4，则m =( )A. 2B. 4C. 8D. 164.如图，吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一部分，宽6m ，高1m ，根据图中的坐标系．可得这条抛物线的准线方程为( )A. y =−92B. y =−94C. y =−9D. y =−35.已知圆C:(x +2)2+(y−3)2=9，过直线l:3x +4y +19=0上一点P 向圆C 作切线，切点为Q ，则|PQ |的最小值为( )A.5B. 4C. 5D. 66.已知椭圆C:x 29+y 24=1，则椭圆C 上的点到直线l:x+2y−25=0的距离的最大值为( )A. 35B. 45C. 55D. 657.已知圆C:(x +1)2+(y−2)2=2，直线l:3x−4y−14=0，M 为圆C 上一动点．N 为直线上一动点，定点P(1,−2)，则|MN |+|PN |的最小值为( )A.2B. 22C. 32D. 428.已知P 为曲线C:x = 1+y22上任意一点，A(− 3,0)，B(0, 22)，则|PA |+|PB |的最小值为( )A. 2+15B. 5C. 43 D. 7二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知双曲线C:y 216−x 24=1，下列选项正确的是( )A. 双曲线C的渐近线方程为y=±12x B. 双曲线C的实轴长为8C. 双曲线C的焦距为25D. 双曲线C的离心率为5210.已知直线l经过点(−3,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是( )A. x+y+1=0B. x−y+5=0C. x+3y−3=0D. 2x+3y=011.在平面直角坐标系xOy中，▵ABC的顶点A(−1,0)，B(2,0)，且sin∠CBA=2sin∠CAB，记▵ABC的顶点C 的轨迹为E，则下列说法正确的是( )A. 轨迹E的方程为(x−3)2+y2=4B. ▵ABC面积的最大值为3C. AC边上的高的最大值为355D. 若▵ABC为直角三角形，则直线BC被轨迹E截得的弦长的最大值为855三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（）A. 的共轭复数为B. 的虚部为C. D. 在复平面内对应的点在第一象限【答案】D【解析】,的共轭复数为,的虚部为, ,在复平面内对应的点为,故选D.2．设，，都是正数，则三个数，，（）A. 都大于2B. 至少有一个大于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于2【答案】C【解析】分析：利用均值不等式，求解，即可得到结论．详解：由题意都是正数，则，当且仅当时，等号是成立的，所以中至少有一个不小于，故选C．点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，其中解答中构造均值不等式的条件是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．3．当在上变化时，导函数的符号变化如下表：14-则函数的图像大致形状为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据上表中导函数的取值，得到函数的单调性，即可选出图象．详解：由上表可知，当时，，所以函数在单调递减；当时，，所以函数在单调递增，所以函数如选项C所示，故选C．点睛：本题主要考查了函数的导数与函数图象的关系，正确理解导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．4．直线与曲线相切于点，则的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】由直线与曲线相切于点，则点满足直线的方程，即，即由，则，则，解得，故选A．5．已知函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C. -2或 D. -2【答案】B【解析】分析：由函数，求得，根据函数在处取得极大值，得方程组，即可求解的值，进而得到的值．详解：由函数，可得，因为函数在处取得极大值，则，即，解得或，经验证，当时，时取得极小值，不符合题意（舍去）所以，故选B．点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用，其中利用题设条件，列出方程组是解答的关键，其中对的值进行验证是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．6．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】D【解析】试题分析：时左面为，时左面为，所以增加的项数为【考点】数学归纳法7．若曲线与曲线在交点处由公切线，则（）A. -1B. 0C. 2D. 1【答案】D【解析】分析：由曲线与曲线在交点出有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解．详解：由曲线，得，则，由曲线，得，则，因为曲线与曲线在交点出有公切线，所以，解得，又由，即交点为，将代入曲线，得，所以，故选D．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．8．若函数（）有最大值-4，则的值是（）A. 1B. -1C. 4D. -4【答案】B【解析】分析：由函数，得，要使得函数有最大值，则，进而得函数的单调性，得当时，函数取得最大值，即可求解．详解：由函数，则，要使得函数有最大值，则，则当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，即，解得，故选B．点睛：本题主要考查了导数在函数问题中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9．函数在上有最小值，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由函数，得，得到函数的单调性，再由，令，解得或，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围；详解：由函数，得，当时，，所以在区间单调递增，当时，，所以在区间单调递减，又由，令，即，解得或，要使得函数在上有最小值，结合函数的图象可得，实数的取值范围是，故选C．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数研究函数的单调性和极值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．10．将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（）A. 第一列B. 第二列C. 第三列D. 第四列【答案】C【解析】分析：由题意，得数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，得第个奇数位于第行的第2个数，即可判定，得到结论．详解：由题意，令，解得，即数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，则，则第个奇数位于第行的第2个数，所以位于第三列，故选C．点睛：本题主要考查了归纳推理和数列知识的应用，其中认真审题，读懂题意是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．11．设定义在上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意的，设，则，所以函数在上为单调递增函数，由，即可得到结果．详解：由定义在上的函数的导函数满足，则，即，设，则，所以函数在上为单调递增函数，则，即，所以，故选A．点睛：本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中根据题意构造新函数，利用导数得到新函数的单调性，利用单调性比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．12．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由题意，按“前进步，然后再后退步”的步骤，发现机器人每秒为周期的移动方式，解出相应的数值，根据规律推导，即可得到结果．详解：由题意可知，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步，然后再后退步的规律移动，所以机器人的移动方式具有以秒为周期的移动方式，且每秒前进个单位，所以是正确的；由，，所以是正确的；由，，所以是不正确，故选D．点睛：本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中得到机器人的移动方式具有以秒为周期，且每秒前进个单位的移动规律是解答的关键，同时注意数轴上点的移动规律“左减右加”，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．二、填空题13．__________．【答案】【解析】分析：先根据定积分的几何意义求出，再根据定积分计算出的值，即可求解结果．详解：因为表示以为圆心，以为半径的圆的四分之一，所以，所以．点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14．我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________．【答案】【解析】类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，得棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，如图，不妨设O为正四面体ABCD外接球球心，F为CD中点，E为A在平面BCD上的射影，由棱长为a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a－OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2＝BE2＋OE2，把数据代入得到OE＝a，所以棱长为a的正四面体内任一点到各个面的距离之和为4×a＝a15．已知函数（），若函数在上为单调函数，则的取值范围是__________．【答案】∪[1，＋∞)【解析】分析：求出原函数的导数，由函数在上为单调函数，得到时，或恒成立，分类参数引入新函数，即可求解．详解：由函数，得，因为函数在上为单调函数，所以时，或恒成立，即或在上恒成立，且，设，因为函数在上单调递增，所以或，解得或，即实数的取值范围是．点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．16．定义：如果函数在区间上存在，（），满足，，则称函数在区间上市一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据题意得到，即方程在区间上有两个解，利用二次函数的性质即可求出的取值范围．详解：因为，所以，因为函数是区间上的双中值函数，所以区间上存在满足，所以方程在区间上有两个不相等的解，令，则，解得，所以实数的取值范围是．点睛：本题主要考查了函数的解得个数问题的应用，考查了导数在函数中的综合应用，把函数是区间上的双中值函数，方程在区间上有两个不相等的解是解答关键，着重考查了转化与化归思想，及函数与方程思想与推理与论证能力，试题有一定难度，属于中档试题．三、解答题17．已知是虚数单位，复数满足.（1）求；（2）若复数的虚部为2，且是实数，求.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）根据题意，利用复数的除法运算，求解复数，进而求得复数的模；（2）设,由是实数，求解的值，即可求解复数．详解：（1）．（2）设,则,是实数∴．∴．点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数相等、复数的模等问题，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18．设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为，，如图所示.（1）当时，求点的坐标；（2）当有最小值时，求点的坐标.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）设点的横坐标为，得点的坐标，利用定积分求解，利用，求得的值，即可求得点的坐标．（2）由（1）可求当，化简后，为的函数，再利用导数求得的最小值．详解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），直线OP的方程为y=txS1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，因为S1=S2，，所以，点P的坐标为（2）S=S1+S2=S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0所以，当t=时，S1＋S2有最小值，P点的坐标为．点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．19．已知函数在与时都取得极值.（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由，求得，由，求得的值，得到函数的解析式，利用导数即可求解函数的单调区间．（2）由题意，设，分和两种情况分类讨论，即可求解实数的取值范围．详解：（1）由，得，随着变化时，的变化情况如下表：↑所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，得当时，由（1）知在上的最大值为所以只需要，解得所以综上所述，的取值范围为点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的奇迹诶，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．20．已知数列，，…，，为该数列的前项和.（1）计算，，，；（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题中所给的条件计算可得：；(2)由题意归纳推理猜想，然后利用数学归纳法证得该结论成立即可.试题解析：（1）．（2）猜想，用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想成立；② 假设当时，猜想成立，即，当时，故当时，猜想成立．由①②可知，对于任意的，都成立．21．已知函数.（1）证明；（2）如果对恒成立，求的范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得，又由，即可证得；由题意知恒成立，设，求得，可分和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围．详解：（1）证明：故由题意知恒成立，设，则，符合题意，即，单调递减，不合题意，综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数求函数的单调性与最值(极值)，是解决函数的恒成立与有解问题常考点，同时注意数形结合思想的应用．22．已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；(2).【解析】分析：（1）确定函数的定义域，求到数，利用导数的正负，即可求解函数的单调区间；（2）假设存在，使得成立，则，分类讨论求最值，即可求实数的取值范围．详解：(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，∴.①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；③当0<t<1时，若x∈[0，t)，φ′(x)<0，φ(x)在[0，t)上单调递减，若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，即2·<max{1，}．()由(1)知，g(t)＝2·在[0,1]上单调递减，故≤2·≤2，而≤≤，∴不等式()无解．综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－，＋∞)，使得命题成立．点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的最值及其应用，本题解答中把使得成立，转化为是解答的难点，着重考查了分类讨论的数学思想，及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．。

南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，代替，分布列如下：则（ ）1234560.210.200.100.10A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.652. 若等比数列各项均为正数，且成等差数列，则（ ）A. 3B. 6C. 9D. 183. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）A. 异面 B.平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 300种5. 的展开式中的常数项为（ ）A. B. 240C. D. 1806. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ）A B. C. D. 7. 若双曲线C ：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C 的离心的.(),N y x y ∈()31123P X <<=X i=()P X i =0.5x 0.1y{}n a 5761322a a a ，，10482a a a a ++()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D AB CD 63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭240-180-1e 2e 3e 4e 1243e e e e <<<2134e e e e <<<3412e e e e <<<4312e e e e <<<()222210,0x y a b a b-=>>()2223x y -+=率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 8 设，，，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（ ）A. B. C. D.10. 法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ）A. 圆的方程为 B. 四边形面积的最小值为4C. 的最小值为 D. 当点为时，直线的方程为11. 已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是（ ）A. 方程的判别式B.C. 若，则在区间上单调递增D. 若且，则是的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列满足．且，若，则________．13. 已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数取值范围是__________．14. 某校课外学习社对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中有的学生喜欢网络游戏，女生中有的学生喜欢网络游戏，若有超过的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有_____________人.附：，其中.0.050.013.8416.635四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..的∞⎫+⎪⎪⎭()2,+∞()1,2⎛ ⎝ln1.5a =0.5b =ππcos 0.522c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c <<b a c <<c<a<b c b a<<A BCD -ABD BCD ()2,1,1n =-()1,1,2m = A BD C --π6π32π35π622:13x C y +=M :40l x y --=P MA B M 223x y +=PAMB PA PB ⋅12-P (1,3)-AB 340x y --=()()23023a b cf x a x x x=---≠()0,∞+x c =()f x 20ax bx c ++=Δ0>1ac b +=-a<0()f x (),c +∞0a >1ac >x c =()f x {}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-1232024b b b b ++++= ()24ln 2x f x x =-()1,4a a -+a 453595%99%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k15. 已知函数在处有极值36．（1）求实数a ，b 的值；（2）当时，求的单调递增区间．16. 在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，.（1）证明：平面；（2）若，M 为棱上一点，满足，求点到平面的距离.17. 某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.（1）求某顾客摸出红球的概率；（2）设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望.18. 已知椭圆经过点和．（1）求的方程；（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．19. 对于项数为有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.（3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.的()322f x x ax bx a =+++3x =-0b >()f x P ABCD -ABCD 60ABC ∠=︒PB PD =PA AC ⊥BD ⊥PAC 3PA =PC 23CM CP =A MBD Y Y ()E Y 2222:1(0)x y E a b a b +=>>P ⎛ ⎝()2,0A -E ,M N A E 0AM AN ⋅=MN m {}n a n b ()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}n b {}n a {}n a {}n a {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1,2,,n m =⋅⋅⋅()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅1,2,,m ⋅⋅⋅{}n c {}n c {}n c参考答案1. B2. C.3. B4. C5. C6. A ．7. B ．8. A9. BC 10. BD 11. ABD 12. 202413. 14. 45，或50，或55，或60，或6515. （1）或 （2），16. （1）证明：在四棱锥中，连接交于，连接，如图，因为底面是菱形，则，又是的中点，，则，而平面，所以平面.（217. （1）（2）192（元）.18. （1）（2）（方法一）由 题意可知均有斜率且不为0，设直线的方程为，联立方程组消去得，可得，解得，所以点的坐标为．[)1,339a b =⎧⎨=-⎩69a b =⎧⎨=⎩(),3-∞-()1,-+∞P ABCD -BD AC O PO ABCD BD AC ⊥O BD PB PD =BD PO ⊥,,AC PO O AC PO =⊂ PAC BD ⊥PAC 22452214x y +=,AM AN AM ()2y k x =+()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()222214161640k x k x k +++-=22164214M k x k--=+()222284,21414M M M k kx y k x k k -==+=++M 222284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为，所以直线的斜率为，同理可得点．当时，有，解得，直线的方程为．当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，即，直线过定点．又当时，直线也过点．综上，直线过定点．（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组消去得，，即．设，则，．因为，所以，即，，，化简得，解得或，所以直线的方程为或（过点A ,不合题意，舍去），所以直线过定点．0AM AN ⋅= AN 1k -222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭M N x x =22222828144k k k k --=++21k =MN 65x =-M N x x ≠MN ()()22222422442011442828161144M N MN M N k k k k y y k k k k k x x k k k ++-++====-----++()2541k k -MN ()N MN N y y k x x -=-()()()2222222252845528444414141k k k k k k y x x k k k k k k⎛⎫--=--=-⋅- ⎪+++---⎝⎭()2245441k k x k k =-+-()()()22225624565415441k k k x k k k --⎛⎫⋅=+ ⎪-+-⎝⎭()256541k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭M N x x =65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x MN y kx m =+22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222148440k x kmx m +++-=()()()222222Δ644144416140k m k m m k =-+-=--->2214m k <+()()1122,,,M x y N x y 2121222844,1414km m x x x x k k--+==++()22121212y y k x x km x x m =+++0AM AN ⋅=()()1212220x x y y +++=()()()2212121240kx x km x x m++++++=()()2222244812401414m km k km m k k --⎛⎫+++++= ⎪++⎝⎭()()()()()2222144824140k mkm km m k +--++++=22516120m km k -+=65m k =2m k =MN 65y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()2y k x =+MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线垂直于轴时，设它的方程为，因为，所以．又，解得或（过点A ,不合题意，舍去），所以此时直线的方程为，也过点．综上，直线过定点．19.（1）由题意，，，，，所以数列有六种可能：；；；；；．（2）证明：因为，，所以，所以控制数列是不减的数列，是的控制数列，满足，是常数，所以，即数列也是不减的数列，，那么若时都有，则，若，则，若，则，又，由数学归纳法思想可得对，都有；（3）因为控制数列为等差数列，故.设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于，当是数列中间某项时，不可能是等差数列，所以或，若，则（），是等差数列，此时只要，是的任意排列均可．共个，，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列，由此有，即就是，只有一种排列，综上，个数是．的MN x 1x x =0AM AN ⋅= ()221120x y +-=221114x y +=165x =-12x =-MN 65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭12a =23a =34a =46a =56a ≤{}n a 2,3,4,6,12,3,4,6,22,3,4,6,32,3,4,6,42,3,4,6,52,3,4,6,612max{,,,}n n b a a a = 1121max{,,,,}n n n b a a a a ++= 1n n b b +≥{}n b {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1n n a a +≥{}n a 123m a a a a ≤≤≤≤ n k ≤n n b a =1121max{,,,,}k k k b a a a a ++= 1k k a a +>11k k b a ++=11k k a b ++=11k k k k b b a a ++===11b a =1,2,,n m = n n b a =3m ≥{}n c {}n b {}n b {}n b m m {}n b {}n b 1b m =m b m =1b m =n b m =1,2,,n m = {}n b 1c m =23,,,m c c c 1,2,3,,1m - (1)!m -m b m =1b m ≠{}n b n b n =n c n ={}n c 1,2,3,,m {}n c (1)!1m -+。

高二年级春学期期中学情调研数学试题（理科）一、填空题（每题5分，共70分） 1．在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为 ▲ 。

2．要证明<可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 ▲ 。

（填序号）①反证法 ②分析法 ③综合法3．若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 的值为 ▲ 。

4．已知数列{}n a 满足13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则5a = ▲ 。

5．已知/()f x 是函数31()533f x x x =++的导数，则/(1)f -= ▲ 。

6．下面几种推理是合情推理的是 ▲ 。

（填序号）①由圆的性质类比出球的性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是1800，归纳得出所有三角形的内角和为1800；③小王某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形的内角和是1800，四边形内角和是3600，五边形的内角和是5400，由此得凸n边形的内角和是0(2)180n -. 7．已知函数x x x f 1)(+=(1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)，则函数)(x f 的值域为 ▲ 。

8．已知矩阵10102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的逆矩阵为 ▲ 。

9．函数3()3f x x x =-的单调减区间是 ▲ 。

10．已知变换100M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += ▲ 。

11．函数3()2f x x ax =+-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

12．已知圆22:4C x y +=在矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应伸压变换下变为一个椭圆，则此椭圆方程为 ▲ 。

13．已知函数()f x 的定义域为R ，/()f x 为()f x 的导函数，函数/()y f x =的图象如图所示，且(2)1f -=，(3)1f =，则不等式()1f x >的解集为 ▲ 。