青岛二中高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-第八讲 函数的最值

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( ) A ．0 B.32C ．2D ．32．函数y ＝kx ＋b 在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k 的值为( )A ．2 B.12C ．－2或2D ．－23．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值－144．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( )A ．(－∞，2]B ．(0，2]C ．[2，＋∞)D ．[0，＋∞)二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2,6]上递增，且f (－4)＜f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 的值为________．三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数y ＝x 2x －3在区间[1,2]上的最大值和最小值． 8．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．尖子生题库☆☆☆9．(10分)某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数y ＝kx ＋b 的关系(如图所示)．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；(2)设公司获得的利润为S 元(利润＝销售总价－成本总价；销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝成本单价×销售量)．①试用销售单价x 表示利润S ；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？。

第2课时 函数的最值知识点 函数的最大值一般地,设函数y ＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足： (1)∀x∈I ,都有f(x)≤M； (2)∃x 0∈I ,使得f(x 0)＝M.那么,我们称M 是函数y ＝f(x)的最大值(maximum value)．状元随笔 最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y ＝－x 2(x∈R)的最大值是0,有f(0)＝0. [教材解难] 1．教材P 80思考函数f(x)的最大值包含“最大”和“值”两方面的含义．“最大”是指没有比它更大的,“值”是指一定是函数值．以f(x)＝－x 2为例,画出其图象(图略)可以发现：所有函数值都不大于1,但1不是f(x)的某个函数值,因而1不是f(x)的最大值；存在x 0使f(x 0)＝－1,即－1是f(x)的某个函数值,但－1不是f(x)的函数值中最大的,因此也不是f(x)的最大值．两项要求均满足的函数值只能是0,即函数f(x)＝－x 2的最大值为0.2．教材P 80思考一般地,设函数y ＝f(x)的定义域为I,如果存在实数m 满足： (1)对于任意的x∈I ,都有f(x)≥m； (2)存在x 0∈I ,使得f(x 0)＝m.那么,我们称m 是函数y ＝f(x)的最小值(minimum value) [基础自测]1．函数f(x)＝1x在[1,＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值解析：函数f(x)＝1x 是反比例函数,当x∈(0,＋∞)时,函数图象下降,所以在[1,＋∞)上f(x)为减函数,f(1)为f(x)在[1,＋∞)上的最大值,函数在[1,＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A2．函数f(x)＝－2x ＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( ) A ．3,5 B ．－3,5C．1,5 D．－5,3解析：因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数,所以当x＝2时,函数的最小值为－3.当x＝－2时,函数的最大值为5.答案：B3．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )A．f(－2),0 B．0,2C．f(－2),2 D．f(2),2解析：由图象知点(1,2)是最高点,故y max＝2.点(－2,f(－2))是最低点,故y min＝f(－2)．答案：C4．函数f(x)＝2x2－4x＋4有最________值,为________．解析：f(x)＝2x2－4x＋4＝2(x2－2x＋1)＋2＝2(x－1)2＋2答案：小 2题型一图象法求函数的最值[经典例题]例1 如图所示为函数y＝f(x),x∈[－4,7]的图象,指出它的最大值、最小值．【解析】观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(－1.5,－2),所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值,最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值,最小值是－2.观察函数图象,最高点坐标(3,3),最低点(－1.5,－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域．解析：y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x≥1，x ＋1，x<1，图象如图所示．由图象知,函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2,没有最小值, 所以其值域为(－∞,2]．利用x 的不同取值先去绝对值,再画图．题型二 利用单调性求函数的最大(小值)[教材P 81例5]例2 已知函数f(x)＝2x －1(x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值．【解析】 ∀x 1,x 2∈[2,6],且x 1<x 2,则 f(x 1)－f(x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由2≤x 1<x 2≤6,得x 2－x 1>0,(x 1－1)(x 2－1)>0, 于是f(x 1)－f(x 2)>0, 即f(x 1)>f(x 2)．所以,函数f(x)＝2x －1在区间[2,6]上单调递减．因此,函数f(x)＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x ＝2时取得最大值,最大值是2；在x ＝6时取得最小值,最小值是0.4.状元随笔由函数f(x)＝2x －1(x∈[2,6])的图象(如图)可知,函数f(x)＝2x －1在区间[2,6]上单调递减．所以,函数f(x)＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.教材反思1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.跟踪训练2 已知函数f(x)＝32x －1,求函数f(x)在[1,5]上的最值． 解析：先证明函数f(x)＝32x －1的单调性,设x 1,x 2是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上的任意两个实数,且x 2>x 1>12, f(x 1)－f(x 2)＝32x 1－1－32x 2－1＝6(x 2－x 1)(2x 1－1)(2x 2－1).由于x 2>x 1>12,所以x 2－x 1>0,且(2x 1－1)·(2x 2－1)>0,所以f(x 1)－f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以函数f(x)＝32x －1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是单调递减的,所以函数f(x)在[1,5]上是单调递减的,因此,函数f(x)＝32x －1在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值, 即最大值为f(1)＝3,最小值为f(5)＝13.(1)判断函数的单调性. (2)利用单调性求出最大(小)值.解题思想方法 利用函数最值或分离参数求解恒 成立问题例 已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax ,x∈[1,＋∞)．(1)当a ＝12时,求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1,＋∞),f(x)>0恒成立,试求实数a 的取值范围． 【解析】 (1)当a ＝12时,f(x)＝x ＋12x ＋2.设1≤x 1<x 2,则f(x 2)－f(x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2,∵1≤x 1<x 2,∴x 2－x 1>0,2x 1x 2>2, ∴0<12x 1x 2<12,1－12x 1x 2>0,∴f(x 2)－f(x 1)>0,f(x 1)<f(x 2)． ∴f(x)在区间[1,＋∞)上为增函数,∴f(x)在区间[1,＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)在区间[1,＋∞)上f(x)>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a>0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a,x∈[1,＋∞),则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1,＋∞)上是增函数． 所以当x ＝1时,y 取最小值,即y min ＝3＋a, 于是当且仅当y min ＝3＋a>0时,函数f(x)>0恒成立, 故a>－3.【反思与感悟】 在解决不等式恒成立问题时,最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理,在分离参数后常使用以下结论：a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max , a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min .一、选择题1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x ＋2 B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：B,C 在[1,4]上均为增函数,A,D 在[1,4]上均为减函数,代入端点值,即可求得最值,故选A. 答案：A2．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7， x∈[－1，1)，2x ＋6， x∈[1，2]，则f(x)的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 解析：当－1≤x<1时,6≤x＋7<8, 当1≤x≤2时,8≤2x＋6≤10. ∴f(x)min ＝f(－1)＝6, f(x)max ＝f(2)＝10.故选A. 答案：A3．函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )A ．－1,3B ．0,2C ．－1,2D ．3,2解析：当x∈[－2,2]时,由题图可知,x ＝－2时,f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x ＝1时,f(x)的最大值为2.故选C.答案：C4．已知函数f(x)＝2x ＋1x －1,x∈[－8,－4),则下列说法正确的是( )A ．f(x)有最大值53,无最小值B ．f(x)有最大值53,最小值75C ．f(x)有最大值75,无最小值D ．f(x)有最大值2,最小值75解析：f(x)＝2x ＋1x －1＝2＋3x －1,它在[－8,－4)上单调递减,因此有最大值f(－8)＝53,无最小值．故选A.答案：A 二、填空题5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x≥1，－x 2＋2，x<1的最大值为________．解析：当x≥1时,函数f(x)＝1x 为减函数,所以f(x)在x ＝1处取得最大值,为f(1)＝1；当x<1时,易知函数f(x)＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值,为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.答案：26．函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． 解析：令x －1＝t,t≥0,则x ＝t 2＋1,所以y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34,当t≥0时,由二次函数的性质可知,当t ＝0时,y min ＝1. 答案：17．函数f(x)＝1x 在[1,b](b>1)上的最小值是14,则b ＝________.解析：因为f(x)在[1,b]上是减函数,所以f(x)在[1,b]上的最小值为f(b)＝1b ＝14,所以b ＝4.答案：4 三、解答题8．已知函数f(x)＝|x|(x ＋1),试画出函数f(x)的图象,并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值． 解析：f(x)＝|x|(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x≤0，x 2＋x ，x>0的图象如图所示．(1)f(x)在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和[0,＋∞) 上是增函数, 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数,因此f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12,[0,＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 .(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14,f(12)＝34,所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34. 9．已知函数f(x)＝2x －1x ＋1,x∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性,并给出证明； (2)求该函数的最大值和最小值．解析：(1)函数f(x)在[3,5]上是单调递增的, 证明：设任意x 1,x 2,满足3≤x 1<x 2≤5. 因为f(x 1)－f(x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝(2x 1－1)(x 2＋1)－(2x 2－1)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1),因为3≤x 1<x 2≤5,所以x 1＋1>0,x 2＋1>0,x 1－x 2<0. 所以f(x 1)－f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2)．所以f(x)＝2x －1x ＋1在[3,5]上是单调递增的．(2)f(x)min ＝f(3)＝2×3－13＋1＝54,f(x)max ＝f(5)＝2×5－15＋1＝32.[尖子生题库]10．已知f(x)＝x 2－2ax ＋2,x∈[－1,1]．求f(x)的最小值．解析：f(x)＝(x －a)2＋2－a 2,对称轴为x ＝a,且函数图象开口向上,如下图所示：当a>1时,f(x)在[－1,1]上单调递减, 故f(x)min ＝f(1)＝3－2a ；当－1≤a≤1时,f(x)在[－1,1]上先减后增, 故f(x)min ＝f(a)＝2－a 2；当a<－1时,f(x)在[－1,1]上单调递增, 故f(x)min ＝f(－1)＝3＋2a. 综上可知,f(x)的最小值为 f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，(a>1)2－a 2，(－1≤a≤1)3＋2a.(a<－1)。

函数的最大值、最小值(15分钟35分)1.函数y=x2+2x-1在[0，3]上的最小值为( )A.0B.-4C.-1D.-2【解析】选C.因为y=x2+2x-1=(x+1)2-2，其图象的对称轴为直线x=-1，所以函数y=x2+2x-1在[0，3]上单调递增，所以当x=0时，此函数取得最小值，最小值为-1.2.函数f(x)=的最大值是( )A. B. C. D.【解析】选D.令t=1-x(1-x)=+≥，所以0<f(x)≤，即f(x)的最大值为.3.(2020·海淀高一检测)设函数f(x)=4x+-1(x<0)，则f(x) ( )A.有最大值3B.有最小值3C.有最小值-5D.有最大值-5【解析】选D.当x<0时，f(x)=4x+-1=-(-4x)+-1≤-2-1=-5.当且仅当-4x=-，即x=-时，上式取等号.所以f(x)有最大值为-5.4.(2020·成都高一检测)函数f(x)=2x-的最小值为_______. 【解析】因为f(x)=2-2=2-，所以f(x)min=f=-.答案：-5.对于函数f(x)，在使f(x)≥M恒成立的所有实数M中，我们把M的最大值M max叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，f(a)=a2-4a+6的下确界为_______.【解析】f(a)=a2-4a+6，f(a)≥M，即f(a)min≥M.而f(a)=(a-2)2+2，所以f(a)min=f(2)=2.所以M≤2.所以M max=2.答案：26.(2020·温州高一检测)已知函数f(x)=x2+.求函数f(x)在区间[-3，-1]上的最值.【解析】∀x1，x2∈[-3，-1]，且-3≤x1<x2≤-1，f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)(x1+x2)-，又由-3≤x1<x2≤-1，得x1-x2<0，-6<x1+x2<-2，4<(x1-1)(x2-1)<16，则有(x1+x2)-<0，则有f(x1)-f(x2)>0，故函数f(x)在区间[-3，-1]上单调递减，故f(x)max=f(-3)=4，f(x)min=f(-1)=-.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量x单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为 ( )A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元【解析】选C.设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15-x)辆，公司获利为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-+30+，所以当x=9或10时，L最大为120万元.2.函数y=x+的最值的情况为( )A.最小值为，无最大值B.最大值为，无最小值C.最小值为，最大值为2D.最大值为2，无最小值【解析】选A.因为y=x+在定义域，+∞上是增函数，所以函数最小值为，无最大值.3.(2020·连云港高一检测)已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是( )A.a2+1B.a+C.a-D.a-【解析】选D.函数f(x)=x2+|x-a|=当x≥a>时，函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；当x<a时，f(x)=x2-x+a的对称轴方程为x=，当x=时函数求得最小值为a-. 因为a2-=a2-a+=>0.所以a2>a-.所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.4.(2020·无锡高一检测)若关于x的不等式x2-mx+4>0在x∈[1，3]上有解，则实数m的取值范围为( )A.(-∞，5)B.(-∞，5]C.(-∞，4)D.(-∞，-4)∪(4，+∞)【解析】选A.关于x的不等式x2-mx+4>0在x∈[1，3]上有解，即m<x+在x∈[1，3]上能成立.设f(x)=x+，则f(x)在(0，2]上单调递减，在[2，+∞)上单调递增，故当x=2时，f(x)取得最小值4，又f(1)=5，f(3)=，故当x=1时，函数f(x)取得最大值.则实数m<5.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.下列关于函数y=ax+1，x∈[0，2]的说法正确的是( )A.当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1B.当a<0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1C.当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1D.当a>0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1【解析】选AD.当a<0时，函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递减，当x=0时，函数取得最大值为1；当x=2时，函数取得最小值为2a+1.当a>0时，函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递增，当x=0时，函数取得最小值为1，当x=2时，函数取得最大值为2a+1.6.函数y=(x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是( )A.最小值为B.最大值为4C.无最大值D.无最小值【解析】选BD.函数y==1+在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，由于x=5取不到，则最小值取不到.三、填空题(每小题5分，共10分)7.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=_______.【解析】根据题意，二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则解得a=-1.答案：-18.(2020·杭州高一检测)对于任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)=2-x2，g(x)=x，则集合{x|f(x)=g(x)}=_______；min{f(x)，g(x)}的最大值是_______. 【解析】由题作出函数f(x)，g(x)的图象，令f(x)=g(x)，即2-x2=x，解得x=-2或x=1，则集合{x|f(x)=g(x)}={-2，1}，由题意及图象得min{f(x)，g(x)}=由图象知，当x=1时，min{f(x)，g(x)}最大，最大值是1.答案：{-2，1} 1四、解答题(每小题10分，共20分)9.若函数y=f(x)=x2-6x+10在区间[0，a]上的最小值是2，求实数a的值.【解析】由题意知，f(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1，(1)若a≥3，f(x)min=f(3)=1，不符合题意；(2)若0<a<3，f(x)在[0，a]上单调递减，所以f(x)min=f(a)=2，所以a=2或a=4，因为0<a<3，所以a=2.综上所述，a=2.10.(2020·太原高一检测)已知函数f(x)=，g(x)=x-1.(1)求解不等式f(x)≥g(x).(2)若x>，求y=3f(x)+2g(x)的最小值.【解析】(1)当x>时，由f(x)≥g(x)，得(2x-1)(x-1)≤3，解得<x≤2. 当x<时，由f(x)≥g(x)，得(2x-1)(x-1)≥3，解得x≤-.所以不等式f(x)≥g(x)的解集为x<x≤2或x≤-.(2)因为y=3f(x)+2g(x)，x>，所以3f(x)+2g(x)=+2-1≥2-1=5，当且仅当4=9，即x=2时取等号，故当x>时，函数y=3f(x)+2g(x)的最小值为5.【补偿训练】已知函数f(x)=ax2+2x+c(a，c∈N*)，满足：①f(1)=5；②6<f(2)<11.(1)求a，c的值.(2)设g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|，求g(x)的最小值.【解析】(1)f(1)=a+2+c=5，f(2)=4a+4+c∈(6，11)，又c=5-2-a=3-a，所以4a+4+3-a=3a+7∈(6，11)，所以-<a<，又a∈N*，所以a=1，c=2.(2)因为f(x)=x2+2x+2，所以g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|=x2+2x+2-2x-3+|x-1|=x2+|x-1|-1，当x≥1时，g(x)=x2+x-2，此时g(x)在[1，+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=1+1-2=0，当x<1时，g(x)=x2-x，g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以g(x)min=g=-=-，又-<0，所以g(x)min=g=-.1.当x∈(1，2)时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是_______.【解析】设f(x)=x2+mx+4，则f(x)图象开口向上，对称轴为x=-.(1)当-≤1时，即m≥-2时，满足f(2)=4+2m+4≤0，所以m≤-4，又m≥-2，所以此时无解.(2)当-≥2，即m≤-4时，需满足f(1)=1+m+4≤0，所以m≤-5，又m≤-4，所以m≤-5.(3)当1<-<2，即-4<m<-2时，需满足此时无解.综上所述，m≤-5.答案：m≤-52.(2020·永州高一检测)已知≤a≤1，若函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的函数解析式.(2)不要证明，请直接写出函数g(a)的单调区间，并求g(a)的最大值.【解析】(1)根据题意，f(x)=ax2-2x+1=a+1-，由≤a≤1得1≤≤3，则N(a)=f=1-，当1≤<2，即<a≤1时，M(a)=f(3)=9a-5；当2≤≤3，即≤a≤时，M(a)=f(1)=a-1，则g(a)=(2)g(a)在上单调递减，在上单调递增，且g(a)的图象连续不断；又g=，g(1)=4，所以g(a)的最大值是g(1)=4.【补偿训练】1.已知函数f(x)=x2+ax+a2+1(a∈R)，设f(x)在[-1，1]上的最大值为g(a)，(1)求g(a)的表达式.(2)是否存在实数m，n，使得g(a)的定义域为[m，n]，值域为[5m，5n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)因为函数f(x)图象的对称轴为x=-，所以当-≤0，即a≥0时，g(a)=f(x)max=f(1)=a2+a+2；当->0，即a<0时，g(a)=f(x)max=f(-1)=a2-a+2.所以g(a)=(2)假设存在符合题意的实数m，n，则由(1)可知，当a∈R时，g(a)∈[2，+∞).所以若a∈[m，n]，有g(a)∈[5m，5n]，则0<m<n.所以g(a)=a2+a+2，且为单调递增函数.所以所以2.对于区间[a，b]和函数y=f(x)，若同时满足：①f(x)在[a，b]上是单调函数；②函数y=f(x)，x∈[a，b]的值域还是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的“不变”区间.(1)求函数y=x2(x≥0)的所有“不变”区间.(2)函数y=x2+m(x≥0)是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】(1)易知函数y=x2(x≥0)单调递增，故有解得a=0或1，b=0或1，又a<b，所以所以函数y=x2(x≥0)的“不变”区间为[0，1].(2)易知函数y=x2+m(x≥0)单调递增，若函数y=x2+m(x≥0)存在“不变”区间，则有b>a≥0，且消去m得a2-b2=a-b，整理得(a-b)(a+b-1)=0.因为a<b，所以a+b-1=0，即b=1-a.又由b>a≥0，得1-a>a≥0，所以0≤a<.所以m=-a2+a=-+，所以0≤m<.综上，当0≤m<时，函数y=x2+m(x≥0)存在“不变”区间.。

新教材必修1 每课讲与练第1讲集合的概念（精讲篇）一、知识点概要二、例题精讲1.集合的概念集合的元素有三个特性：确定性、互异性和无序性，这在解题过程中作为隐含条件必须满足。

例1 下列对象能构成集合的是( )A．高一年级全体较瘦的学生B．sin 60°，sin 45°，cos 30°，1C．全体很小的有理数D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点解由于较瘦与很小没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 60°＝cos 30°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.注构成集合的元素具有确定性，没有明确标准的对象不能构成集合．例2填空题：（1）设集合A={1,2,3,4}，集合B={x∣x=a+b,a∈A,b∈A}，则集合B中元素的个数有________个；(2)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．解（1）B集合中元素是A集合中任意两个元素之和，因此当a=b时，x=2,4,6,8；当a≠b时，1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6，3+4=7，x=3,4,,5,6,7．所以集合B={2,3,4,5,6,7,8}共7个元素．注在求解过程中，元素4,5,6出现两次，根据集合元素要满足互异性，所以不能重复计算，只能算一次。

(2)若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素．所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.注对集合元素满足一定要求，求其中某个字母（参数）值，对求出的值要检验是否满足元素的互异性，有时还要检验是否满足题设其他条件，正是集合元素互异要解题检验不可少例3 下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是( )A. M={π}，N={3.14159}B. M={2,3}，N={(2,3)}C. M={x∣ −1<x≤1,x∈N}，N={1}D. M={1,√3,π}，N={π,1,∣ −√3∣}解对A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，排除。

青岛二中2019-2020学年第一学期第一学段期中高一模块考试---(数学)试题一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的选项中，第1至10题，只有一项是符合题目要求的：第11至13题，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）1.已知集合A ＝{﹣1，2，3}，B ＝{x ∈Z|﹣1＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A. {0} B. {2}C. {0，1，3，4}D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算进行求解即可 【详解】集合{}0,1,2B =，则{}2A B =故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题 2.已知实数0＜a ＜1，则下列正确的是（ ） A.1a>a >a 2 B. a >a 21a>C. a 21a>>a D.1a>a 2>a 【答案】A 【解析】 【分析】可采用作差法两两作比较【详解】先比较1a 与a 的大小，可用()()21111a a aa a a a+---==，()0,1a ∈，10a ∴->，10a a ->，1a a >；同理()210a a a a -=->，2a a ∴>，21a a a∴>> 故选：A【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小，属于基础题3.已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣6，1]，则函数g （x ）()212f x x +=+的定义域是（ ）A. （﹣∞．﹣2）∪（﹣2，3]B. [﹣11，3]C. [72-，﹣2] D. [72-，﹣2）∪（﹣2，0] 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数对应关系和分式性质求解定义域即可【详解】由题可知，对应的x 应满足[]216,120x x ⎧+∈-⎨+≠⎩，即(]7,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭故选：D【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于基础题4.已知f （x ）()1221112x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩，，，则f （14）+f （76）＝（ ） A. 16-B. 116C.56D. 56-【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的特点，先确定每个自变量符合的表达式，再分别代入即可【详解】1112442f ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，77141116663f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故1711466f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B【点睛】本题考查分段函数具体函数值的求法，属于基础题 5.“|x ﹣1|<3”是“x <4“的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先将绝对值不等式化简，再判断充分和必要条件即可【详解】1331324x x x -<⇒-<-<⇒-<<， 244,424x x x x -<<⇒<<-<<¿，故 “|x ﹣1|<3”是“x <4“的充分不必要条件 故选：A【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断6.已知函数f （x ）214mx mx =++的定义域是一切实数，则m 的取值范围是（ ）A. 0＜m ＜16B. 0＜m ＜4C. 0≤m ＜16D. m ≥16【答案】C 【解析】 【分析】 由定义域实数对分母进行分类讨论，结合二次函数性质即可求解【详解】由题可知，当0m =时恒成立；当0m ≠时，∆<0，即()21600,16m m m -<⇒∈ 所以016m ≤< 故选：C【点睛】本题考查由函数定义域范围确定参数范围，二次函数图像与判别式的关系，属于基础题7.函数f （x ）231x x-=的图像可能是（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】结合函数奇偶性和特殊值法可快速求解是【详解】()231x f x x--=-，()()f x f x -=-，所以函数为奇函数，排除,B C ；当0x +→时，()0f x >，故A 项正确 故选：A【点睛】本题考查函数图像的识别与奇偶性的应用，属于中档题8.函数f （x ）＝x ） A. 54-B. 12-C. ﹣1D. 0【答案】A 【解析】 【分析】采用换元法代换成关于二次函数的表达式，再求值域即可【详解】令0t t =≥，则21x t =-，则()2215124f t t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，故函数的最小值在12t =取到，则()min 54f t =-，故选：A【点睛】本题考查换元法求解析式，二次函数在给定区间的最值的求法，属于中档题9.关于x 的不等式x 2﹣（a +1）x +a ＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a 的取值范国是（ ）A. [2，4）B. [3，4]C. （3，4]D. （3，4）【答案】C 【解析】 【分析】结合因式分解法先求得两根，再结合解集中恰有两正根，可进一步判断a 的取值范围【详解】()()()21010x a x a x a x -++<⇔--<，因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为()1,x a ∈，两正整数为2,3，故(]3,4a ∈故选：C【点睛】本题考查由解集分布情况来求解参数范围，一元二次不等式的解法，易错点为在端点处等号取不取，能不能精确判断的问题，要避免此类错误可采取试值法，把端点值代入检验即可，属于中档题10.已知函数f （x ）21020x x x x x -+≤⎧=⎨-+>⎩，，，则方程f 2（x ）﹣bf （x ）＝0，b ∈（0，1）根的个数是（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】 可将()()20fx bf x -=转化为()()()0f x f x b -=，再画出分段函数图像，采用数形结合法求解即可【详解】()()()()()200f x bf x f x f x b -=⇒-=，方程的根有两种情况：()0f x =和()f x b =，当2x =时，()0f x =；可令()h x b =，画出分段函数图像，如图：要求()f x b =解的个数，即等价于判断()f x 与()h x 对应的交点的个数，由图可知交点个数有两个； 综上所述，()()20fx bf x -=的根的个数为3个故选：B【点睛】本题考查函数与方程的根的个数求解，数形结合思想的应用，属于中档题 11.下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A. (),()f x x g x ==B2()()f x g x ==C. 21(),()11x f x g x x x -==+-D. ()()f x g x ==【答案】A 【解析】【详解】A 项，的定义域为，的定义域为，且该组函数表达式相等，故A 项正确；B 项，的定义域为，的定义域为，故该组函数定义域不同，非相等函数，故B 项错误； C 项，的定义域为，的定义域为，故该组函数定义域不同，非相等函数，故C 项错误； D 项，的定义域为，的定义域为，故该组函数定义域不同，非相等函数，故D 项错误， 故选A. 12.若关于x一元二次方程()()23x x m --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中错误的是A. 当0m =时，122,3x x ==.B. 14m >-C. 当0m >时，1223x x <<<D. 二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0） 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数()()23y x x =--的图像，然后对四个选项逐一分析，由此得出错误结论的选项. 【详解】画出二次函数()()23y x x =--的图像如下图所示，当0m =时，122,3x x ==成立，故A 选项结论正确.根据二次函数图像的对称性可知，当 2.5x =时，y 取得最小值为14-.要使()()23y x x m =--=有两个不相等的实数根，则需14m >-，故B 选项结论正确.当0m >时，根据图像可知122,3x x <>，故C 选项结论错误.由()()23x x m --=展开得2560x x m -+-=，根据韦达定理得12125,6x x x x m +=⋅=-.所以()()()2121212y x x x x m x x x x x x m=--+=-+++()()25623x x x x =-+=--，故()()12y x x x x m =--+与x 轴的交点坐标为()()2,0,3,0.【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质，考查二次函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.13.已知函数y ＝f （x ）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，若f （0）＝M ，f （2）＝N （M ＞0，N ＞0），那么下列四个命题中是真命题的有（ ） A. 必存在x ∈[0，2]，使得f （x ）2M N+=B. 必存在x ∈[0，2]，使得f （x）=C. 必存在x ∈[0，2]，使得f （x）=D. 必存在x ∈[0，2]，使得f （x ）211M N=+ 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题可知函数图像为[]0,2上连续的增函数，再结合每个选项和不等式性质验证合理性即可 【详解】因函数y ＝f （x ）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，()()0,2f M f N ==，所以()[],f x M N ∈；对A ，若()2f x M N +=成立，则2M N M N +<<，即22222M M N N+<<，显然成立；对B ，若()f x =成立，则M N <<<，显然成立；对C ，若()f x =M N <<，先证M <22121022M M M N M N <-+⇒-<，即221181180416416N N M M ++⎛⎫⎛⎫--<⇒-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，如9,34M N ==时，不成立，则C 不成立；对D ，若211M NM N<<+成立，则化简后为：2MNM N M N<<+，即222M MN MN MN N +<<+，左侧化简后2M MN <成立，右侧化简后2MN N <成立，故D 成立 故选：ABD【点睛】本题考查函数增减性的应用，不等式性质的应用，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在答题纸的横线上14.设集合P ＝{x |y ，Q ＝{x |x 2＜4}，则P ∩Q ＝_____．【答案】[)1,2 【解析】 【分析】先将集合,P Q 中x 取值范围求出，再根据交集定义求解即可【详解】集合P 中应满足：2430x x -+-≥，即[]1,3x ∈，集合Q 中应满足：()2,2x ∈-，则[)1,2P Q =故答案为：[)1,2【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题15.若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 【答案】5 【解析】【详解】试题分析：1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=，()13133121334345555555x y x y x y y x y x⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x yy x=，即21x y ==时取等号． 考点：基本不等式16.已知偶函数f （x ），且当x ∈[0，+∞）时都有（x 1﹣x 2）[f （x 2）﹣f （x 1）]＜0成立，令a ＝f （﹣5），b ＝f （12）．c ＝f （﹣2），则a ，b ，c 的大小关系是_____．（用“＞”连接） 【答案】a ＞c ＞b 【解析】 【分析】先判断函数在[)0,+∞的增减性，再根据偶函数性质画出拟合图像，结合图像判断大小即可 【详解】当x ∈[0，+∞）时都有（x 1﹣x 2）[f （x 2）﹣f （x 1）]＜0成立，∴()f x 在x ∈[0，+∞）单调递增，又f （x ）为偶函数，画出符合题意的图像（不唯一），如图：由图可知，当自变量距离y 轴距离越近，则函数值越小，即1252<-<-，则()()1252f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，即a c b >> 故答案为：a c b >>【点睛】本题考查由函数奇偶性与增减性比较大小关系，属于中档题17.若函数f （x ）211x x -=+在区间[m ，+∞）上为增函数，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】（﹣1，+∞） 【解析】 【分析】可采用分离常数法化简，再根据函数图像平移法则画出大致图像，通过图像判断即可 【详解】()()2132132111x x f x x x x +---===++++，根据函数图像平移法则，可理解为()f x 是由()3h x x-=图像向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到，如图：要使函数f （x ）211x x -=+在区间[m ，+∞）上为增函数，则需满足()1,m ∈-+∞ 故答案为：()1,-+∞【点睛】本题考查根据函数的增减性求参数范围，属于中档题三、解答題（本大题共6小题，共82分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式x 2﹣2x ﹣1≥m 2﹣3m 恒成立，命题q ：存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤2x ﹣1；（Ⅰ）若命题p 为真命题，求m 的取值范围； （Ⅱ）若命題q 为假命题，求m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1≤m ≤2；（Ⅱ）m ＞1 【解析】 【分析】（Ⅰ）要使不等式恒成立，则需满足()22min213x x m m --≥-，先求函数()221f x x x =--在[]0,1x ∈的最小值，再解关于m 的不等式即可；（Ⅱ）先求命题q 为真命题时m 的范围，再取相反的范围即可【详解】（Ⅰ）若命题p 为真命题，即x ∈[0，1]，不等式x 2﹣2x ﹣1≥m 2﹣3m 恒成立，令f （x ）＝x 2﹣2x ﹣1＝（x ﹣1）2﹣2，则f （x ）∈[﹣2，﹣1]，即m 2﹣3m ≤﹣2，解得1≤m ≤2； （Ⅱ）若命題q 为真命题，存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤2x ﹣1，令g （x ）＝2x ﹣1， 则g （x ）∈[﹣3，1]，∴m ≤1， ∴￢q 为：m ＞1；【点睛】本题考查根据命题的真假求参数范围，双变量不等式的解法，二次函数最值的求法，属于中档题19.已知函数f（x）=的定义域为集合A，不等式mx2﹣5x+2＞0的解集是M，且满足2∈M，1∉M的m的取值集合为B，集合C＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）求A∪B；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．【答案】（1）A∪B＝(]1,3；（2）(]1,2【解析】【分析】根据题意，集合A中自变量应满足3010xx-≥⎧⎨-⎩＞；集合B中应满足2x=时，不等式成立，1x=时不等式不成立；（1）根据并集定义求解即可；（2）由A∩C＝C可确定C⊆A，再根据C＝∅和C≠∅两种具体情况求解即可【详解】（1）f（x）=3010xx-≥⎧⎨-⎩＞，所以A＝(]1,3，满足2∈M，1∉M，所以48030mm-⎧⎨-≤⎩＞，所以B＝（2，3]，所以A∪B＝(]1,3；（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，当C＝∅时，m＞2成立；当C≠∅时，21121113m mmm-≤+⎧⎪-⎨⎪+≤⎩＞，解得1＜m≤2，综上：m的取值范围为(]1,2．【点睛】本题考查集合的并集运算，由集合的包含关系求解参数取值范围，易错点为忽略集合作为子集时，取到空集的情况，属于中档题 20.已知函数f （x ）21mx n x +=+是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （12）25=．（Ⅰ）求实数m ，n 的值，并用定义证明f （x ）在（﹣1，1）上是增函数；（Ⅱ）设函数g （x ）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，当x ∈[0，1）时，g （x ）＝f （x ），求函数g （x ）的解析式．【答案】（Ⅰ）m ＝1，n ＝0，见解析；（Ⅱ）()22011101xx x g x x x x ⎧≤⎪⎪+=⎨-⎪-⎪+⎩＜＜＜ 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据奇函数的性质，f （0）＝0，求得n ，再根据f （12）25=，求得m ，再结合增减函数的定义证明即可；（II ）可设﹣1＜x ＜0，则0＜﹣x ＜1，将x -代入x ∈[0，1）时对应的表达式，再结合偶函数定义即可求解；【详解】（Ⅰ）因为f （x ）21mx nx+=+是定义在（﹣1，1）上的奇函数，所以f （0）＝0，即n ＝0， 又因为f （12）25=，所以221514m=+，解得m ＝1，所以m ＝1，n ＝0，经检验成立；因为﹣1＜x 1＜x 2＜1，()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 因﹣1＜x 1＜x 2＜1，所以x 1﹣x 2＜0，1﹣x 1x 2＞0，所以f （x 1）＜f （x 2）所以f （x ）在（﹣1，1）上是增函数；（Ⅱ）因为函数g （x ）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，且当x ∈[0，1）时，g （x ）＝f （x ）21xx =+， 令﹣1＜x ＜0，则0＜﹣x ＜1，g （﹣x ）21xx -==+g （x ）， 所以()22011101xx xg x x x x⎧≤⎪⎪+=⎨-⎪-⎪+⎩＜＜＜．【点睛】本题考查奇偶函数性质，函数单调性的证明方法，由奇偶性求解函数解析式，属于中档题 21.若二次函数f （x ）满足f （x +1）﹣f （x ）＝4x +6，且f （0）＝3． （Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）设g （x ）＝f （x ）+（a ﹣2）x 2+（2a +2）x ，g （x ）在[﹣2，+∞）单调递增，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）f （x ）＝2x 2+4x +3；（Ⅱ）[0，3]【解析】 【分析】（I ）采用待定系数法即可求解；（II ）先将()g x 表达式化简，得()2263g ax x a x +++=（），再对参数a 进行分类讨论，分为一次函数和二次函数两种情况求解，当函数为二次函数时，结合开口和对称轴的关系判断即可【详解】（I ）设f （x ）＝ax 2+bx +c ，（a ≠0），∵f （x +1）﹣f （x ）＝4x +6，且f （0）＝3，∴a （x +1）2+b （x +1）+c ﹣（ax 2+bx +c ）＝4x +6，且c ＝3，整理可得，2ax +a +b ＝4x +6， ∴2a ＝4，a +b ＝6，c ＝3，∴a ＝2，b ＝4，c ＝3，∴f （x ）＝2x 2+4x +3；（II ）由（Ⅰ）可知，g （x ）＝f （x ）+（a ﹣2）x 2+（2a +2）x ＝ax 2+（2a +6）x +3，当a ＝0时，g （x ）＝6x +3在[﹣2，+∞）单调递增，符合题意，当a ≠0时，对称轴x 3a a +=-，由g （x ）在[﹣2，+∞）单调递增可得，032a a a⎧⎪+⎨-≤-⎪⎩＞，解可得，0＜a ≤3，综上可得，a 的范围[0，3]．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数在指定区间增减性求参数范围，属于中档题22.设f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意实数x ，有f （x ﹣2）＝x 2﹣3x +3．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若{x |f （x ﹣2）＝﹣（a +2）x +3﹣b }＝{a }，求a 和b 的值．【答案】（Ⅰ）f （x ）＝x 2+x +1；（Ⅱ）1319a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】（Ⅰ）采用换元法，令x ﹣2＝t ，即可求得解析式；（Ⅱ）先将表达式化简，再结合{x |f （x ﹣2）＝﹣（a +2）x +3﹣b }＝{a }可得()22(1)4010a b a a a b ⎧=--=⎪⎨+-⋅+=⎪⎩，解方程可求a 和b 的值【详解】（Ⅰ）依题意，令x ﹣2＝t ，则x ＝t +2，∴f （t ）＝（t +2）2﹣3（t +2）+3＝t 2+t +1，∴f （x ）＝x 2+x +1；（Ⅱ）依题意，方程x 2﹣3x +3＝﹣（a +2）x +3﹣b 有唯一解a ，即方程x 2+（a ﹣1）x +b ＝0有唯一解a ，∴()22(1)4010a b a a a b ⎧=--=⎪⎨+-⋅+=⎪⎩，解得1319a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查换元法求解析式，根据集合相等求解参数，一元二次方程有唯一解的等价条件的转化，属于中档题23.已知二次函数g （x ）＝ax 2+c （a ，c ∈R ），g （1）＝1且不等式g （x ）≤x 2﹣x +1对一切实数x 恒成立．（Ⅰ）求函数g （x ）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设函数h （x ）＝2g （x ）﹣2，关于x 的不等式h （x ﹣1）+4h （m ）≤h （x m）﹣4m 2h （x ），在x ∈[32，+∞）有解，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）g （x ）21122x =+；（Ⅱ）[，0）∪（0【解析】 【分析】（Ⅰ）先将g （1）＝1代入得a +c ＝1，再由g （x ）≤x 2﹣x +1对一切实数x 恒成立转化为 （a ﹣1）x 2+x +c ﹣1≤0对一切实数x 恒成立，分类讨论即可求解；（Ⅱ）先将不等式作变形处理，可得21m -4m 2≥1223x x --. 在x ∈[32，+∞）有解，即等价于21m -4m 2≥（1223x x -- ）min ，设y ＝1223x x--，求得y 的最小值，再解关于m 的不等式即可； 【详解】（Ⅰ）∵二次函数g （x ）＝ax 2+c （a ，c ∈R ），g （1）＝1；∴a +c ＝1①；又∵不等式g （x ）≤x 2﹣x +1对一切实数x 恒成立；∴（a ﹣1）x 2+x +c ﹣1≤0对一切实数x 恒成立；当a ﹣1＝0时，x +c ﹣1≤0不恒成立，∴a ＝1不合题意，舍去；当a ﹣1≠0时，要使得（a ﹣1）x 2+x +c ﹣1≤0对一切实数x 恒成立，需要满足：()()1014110a a c -⎧⎨=---≤⎩＜；②，∴由①②解得a 12=，c 12=；故函数g （x ）的解析式为：g （x ）21122x =+． （Ⅱ）把g （x ）21122x =+代入函数h （x ）＝2g （x ）﹣2；得h （x ）＝x 2﹣1； 则关于x 的不等式h （x ﹣1）+4h （m ）≤h （xm ）﹣4m 2h （x ）在x ∈[32，+∞）有解， 得，21m -4m 2≥1223x x --. 在x ∈[32，+∞）有解； 只要使得21m -4m 2≥（1223x x --）min ；设y ＝1223x x --，x ∈[32，+∞）， 则y ＝﹣3（113x +）243+，（0，23]，∴当123x =时，y min 53=-；所以，21m -4m 253≥-， 解得0＜m 234≤；∴≤m ＜0或0＜m ≤ 故实数m 的取值范围为[，0）∪（0． 【点睛】本题考查二次函数解析式的求法，二次函数恒成立问题的转化，双变量问题求解参数范围，解题关键在于能对恒成立和能成立问题作等价转化，属于难题附加题24.响应国家提出全民健身运动，青岛二中甲、乙两位学生在周末进行体育锻炼．他们同时从学校到五四广场，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度相同，跑步速度也相同．试分析比较两个人谁先到达五四广场？（写出必要的分析步骤） 【答案】乙先到达五四广场【解析】 【分析】根据题意，先设甲用时间为T ，乙用时间为2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，再分别表示出甲乙所用时间的关系式，采用作差法进一步判断大小即可【详解】设甲用时间为T ，乙用时间为2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T222s s sa sb a b ab+=+=， ta +tb ＝s ，∴2t 2sa b=+， ∴T ﹣2t 22sa sb s ab a b +=-=+s ×（22a b ab a b+-+）＝s •()2()2a b ab a b -+＞0， ∴乙先到达五四广场．【点睛】本题考查不等关系在生活中的实际应用，学会表达式，有效表达出时间关于速度的关系式是解题的关键，作差法常用于比较两个数的大小关系，属于中档题。

专题4.3 对数函数知识储备1.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)2.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.3.常用结论（1）.换底公式的两个重要结论(1)loga b＝1logba；(2)logam b n＝nmlogab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m ，n∈R.（2）在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.（3）对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，函数图象只在第一、四象限.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·全国高一课时练习）函数2log (2)y x =-的定义域是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．(2,)+∞D ．[)4,+∞【答案】C【解析】由对数函数的定义域只需20x ->，解得2x >，所以函数的定义域为(2,)+∞ . 故选：C2．（2020·江西东湖�南昌二中高二期末（文））已知2log 0.7a =，0.12b =，ln 2c =，则( ) A ．b c a << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】B【解析】因为2log 0.7a =2log 10<=，0.10221b =>=，ln1ln 2ln 1c e <=<=， 所以a c b <<.故选：B.3．（2020·安徽宿州�高一期末）函数()()()log 201a f x x a =+<<的图象必不过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由01a <<可判断()()log 2a f x x =+为减函数，再根据函数平移法则，()()log 2a f x x =+应由()log a f x x =向左平移两个单位，如图，故()()()log 201a f x x a =+<<的图象必不过第一象限故选：A4．（2020·全国高一课时练习）函数2log ||y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数2log y x =是偶函数，且在()0,∞+上为增函数，结合各选项可知A 正确． 故选A5．（2020·浙江高一课时练习）函数2()log 31()x f x =+的值域为（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】30x >，311x ∴+>，()2log 310x∴+>，∴函数()f x 的值域为(0,)+∞.故选：A6．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）若函数()y f x =与10x y =互为反函数，则()22y f x x =-的单调递减区间是（ ）A ．(2,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞【答案】D【解析】函数()y f x =与10x y =互为反函数，∴()lg y f x x ==，则()()222lg 2y f x x x x =-=-，根据同增异减的性质，可设()lg f t t =，22t x x =-，可知外层函数为增函数，则内层函数应在定义域内取对应的减区间，即2202x x x ->⇒>或0x <，应取0x < 故选：D7．（多选）（2019·广东南沙�高一期中）若实数,a b 满足log 2log 2a b <，则下列关系中可能成立的有（ ） A ．01b a <<< B ．01a b <<< C ．1a b >> D ．01b a <<<【答案】ABC【解析】当01b a <<<时，22log log 0b a <<，即110log 2log 2b a <<，故log 2log 2a b <，A 正确；当01a b <<<时，log 20b >，log 20a <，故log 2log 2a b <，B 正确； 当1a b >>时，22log log 0a b >>，即110log 2log 2a b >>，故log 2log 2a b <，C 正确； 当01b a <<<时，log 20b <，log 20a >，故log 2log 2a b >，D 错误； 故选：ABC .8．（多选）（2019·山东滕州市第一中学新校高一月考）已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >，则()0f x >D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.【答案】ACD【解析】由题2log 4,2a a ==,故()2log f x x =. 对A,函数为增函数正确. 对B, ()2log f x x =不为偶函数.对C,当1x >时, ()2210log log f x x =>=成立. 对D,因为()2log f x x =往上凸,故若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立.故选：ACD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020·上海高三专题练习）若2log 13<a，则实数a 的取值范围是_______。

第1课时匀速圆周运动的数学模型及函数y=Asin(ωx+φ)的图象分层演练综合提升A级基础巩固1.函数y=3sin 3x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到( )A.横坐标不变,纵坐标变为原来的13B.横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的3倍C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍D.横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的13答案:B2.为得到函数y=cos x-π3的图象,只需将函数y=sin x的图象( )A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度答案:A3.把函数y=sin2x-π4的图象向右平移π8个单位长度,所得图象对应的函数是( )A.非奇非偶函数B.既是奇函数又是偶函数C.奇函数D.偶函数答案:D4.函数y=12sin 2x-π4的图象可以看成是把函数y=12sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度得到的.5.已知函数f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,首先将横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度,这样得到的图象与y=12sin x 的图象相同,求f(x)的解析式.解:y=12sinx 的图象y=12sin(x-π2)的图象y=12sin(2x-π2)的图象,即f(x)的解析式为f(x)=12sin(2x-π2). B 级 能力提升6.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,且x 1+x 5=3π2,则x 2+x 4等于 ( )A.π2 B.π C.3π2D.2π解析:由五点法作图原理,知x 2-x 1=x 3-x 2=x 4-x 3=x 5-x 4=T4,故x 1与x 5的中点是x 3,x 2与x 4的中点是x 3,所以x 2+x 4=2x 3=x 1+x 5=3π2.答案:C7.将函数f(x)=lg x 的图象记为C 1;将函数y=cos 2x-π6的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)的图象,记为C 2.(1)在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图象. (2)判断方程f(x)=g(x)解的个数. 解:(1)作出图象C 1和C 2,如图所示.(2)由图象可知两个图象共有7个交点, 即方程f(x)=g(x)解的个数为7.8.(1)利用“五点法”作出函数y=sin 12x+π6在长度为一个周期的闭区间上的简图.(2)说明该函数图象是由y=sin x(x ∈R)的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的. 解:(1)先列表,然后描点作图.12x+π6 0π2 π 3π2 2π x -π3 2π3 5π3 8π3 11π3 y1-1(2)把y=sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度,得到y=sin(x+π6)的图象,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=Sin(12x+π6)的图象.或把y=sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin 12x 的图象,再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y=sin[12(x+π3)],即y=sin(12x+π6)的图象.C 级 挑战创新9.多选题将函数f(x)=sin 2x+π3的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)的图象,则下列判断正确的是( )A.函数g(x)的最小正周期是πB.g(x)的图象关于直线x=7π12对称 C.函数g(x)在区间-π6,π3上单调递减 D.g(x)的图象关于点π3,0对称解析:函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度,得到g(x)=sin(2x-π+π3)=sin(2x-2π3)的图象.所以函数的最小正周期为2π2=π;当x=7π12时,函数的值为g(7π12)=sin(7π6-4π6)=1,所以g(x)的图象关于直线x=7π12对称; 当-π6≤x≤π3时,-π≤2x -2π3≤0,故g(x)在区间 [-π6,π3]上先减后增;当x=π3时, g(π3)=0,所以g(x)的图象关于点(π3,0)对称. 综上,A 、B 、D 项正确. 答案:ABDy=sin 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x=π6对称,则φ的最小值为5π12;若得到的图象关于原点对称,则φ的最小值为π2.解析:平移后函数解析式为y=sin(2x-2φ),因为图象关于直线x=π6对称,所以2×π6-2φ=kπ+π2(k ∈Z),所以φ=-kπ2-π12(k ∈Z).又因为φ>0,所以当k=-1时,φ的最小值为5π12;若得到的图象关于原点对称,则2×0-2φ=kπ(k∈Z),所以φ=-kπ2(k ∈Z).又因为φ>0,所以当k=-1时,φ的最小值为π2.。

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课时提升卷(十一)函数的最大值、最小值（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设函数f(x)的定义域为R,以下三种说法:①若存在常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M是f(x)的最大值;②若存在x0∈R,使得对任意x∈R,且x≠x0有f(x)<f(x0),则f(x0)是f(x)的最大值;③若存在x0∈R,使得对任意x∈R,且x≠x0有f(x)≤f(x0),则f(x0)是f(x)的最大值.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.32.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值是( )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对3.函数y=|x+1|+2的最小值是( )A.0B.-1C.2D.34.函数y=x+的值域是( )A.[0,+∞)B.[2,+∞)C.[4,+∞)D.[,+∞)5.如果函数y=x2+a在区间(-∞,-2]上有最小值10,则a=( )A.10B.2C.6D.无法确定二、填空题(每小题8分,共24分)6.构造一个满足下面两个条件的函数实例,①函数在(-∞,-1)上递减;②函数有最小值为1; .7.函数y=|-x2+2x+3|在区间[0,4]上的最大值是.8.函数f(x)=的最大值是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·安庆高一检测)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1),若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值.10.在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置.生产x 台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润等于收入与成本之差.(1)求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x).(2)求出的利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x)是否具有相同的最大值.(3)写出你认为本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.11.(能力挑战题)已知f(x)=x2+4x+3,求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t).答案解析1.【解析】选C.对于①,M不一定在函数f(x)的值域内,所以不正确;对于②③,所取x0在其定义域内,f(x0)在函数f(x)的值域内,f(x0)为函数f(x)的最大值,故正确.2. 【解析】选A.f(x)=2x+6,x∈(1,2]的最大值是10,无最小值,且f(x)>8; f(x)=x+7,x∈[-1,1]的最大值是8,最小值是6,所以f(x)的最大值、最小值是10,6.3.【解析】选C.y=|x+1|+2的图象如下:所以最小值为2.4.【解析】选B.函数y=x+在[2,+∞)上单调递增,所以最小值为2.5. 【解析】选C.y=x2+a在区间(-∞,-2]上为减函数,所以x=-2时取最小值10,4+a=10,得a=6.6.【解析】结合条件可知,满足条件的函数有很多个,如函数y=(x+1)2+1.答案:y=(x+1)2+1(答案不唯一)7.【解析】由y=知,此函数在[0,3]上的最大值为4,在[3,4]上的最大值为5,所以在[0,4]上的最大值为5.答案:58.【解析】f(x)==≤.答案:9.【解析】∵f(x)开口向上,对称轴x=a>1,∴f(x)在[1,a]上是减函数, ∴f(x)的最大值为f(1)=6-2a,f(x)的最小值为f(a)=5-a2,∴6-2a=a,5-a2=1,∴a=2.10.【解析】(1)p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2 500x-4 000,x∈[1,100],x∈N,Mp(x)=p(x+1)-p(x)=[-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000]-(-20x2+2 500x-4 000),=2480-40x,x∈[1,100],x∈N.(2)p(x)=-20(x-)2+74 125,x∈[1,100],x∈N,故当x=62或63时,p(x)max=74 120(元).因为Mp(x)=2 480-40x为减函数,当x=1时有最大值2 440,故不具有相同的最大值.(3)边际利润函数取最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.11.【解析】因为抛物线的对称轴是x=-2,所以分类讨论.(1)①当t+1<-2,即t<-3时,g(t)=f(t+1);②当t≤-2≤t+1,即-3≤t≤-2时,g(t)=f(-2);③当t>-2时,g(t)=f(t).(2)①当-2-t≥(t+1)-(-2),即t≤-时,h(t)=f(t);②当-2-t<(t+1)-(-2),即t>-时,h(t)=f(t+1).综上所述:g(t)=h(t)=【拓展提升】二次函数闭区间上最值的求法第一步确定函数图象开口方向;第二步判断-是否属于[m,n],若-∉[m,n],利用单调性求最值,若-∈[m,n],f(-)为一最值,结合图形求另一个最值.关闭Word文档返回原板块。

新教材必修1每课讲与练第2讲集合的关系（训练篇）A组一、选择题1. 设集合M={x∣x>−2}，则下列选项正确的是( )A. {0}⊆MB. {0}∈MC. ∅∈MD. 0⊆M2. 下列四个说法中，正确的有( )①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若∅⊆A，则A=∅；④任何集合至少有两个子集．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3. 已知集合A={1,2,3}，则下列可以作为A的子集的是( )A. 1，2B. {1,2,4}C. {1,4}D. {1,2}4. 下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}={2,0,1}，其中错误的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 已知集合A={0,a}，B={x∣ −1<x<2}，且A⊆B，则a可以是( )A. −1B. 0C. 1D. 26. 满足{1,2}⊆P⊊{1,2,3,4}的集合P的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 设S={x∣ x=2n,n∈Z}，P={x∣ x=4n+2,n∈Z}，则下列关系正确的是( )A. S⊆PB. S=PC. S⫌PD. S⫋P8. 已知两个集合M={x∈R∣ y=1x }，N={y∈R∣ y=1x}，这两个集合的关系是( )A. M=NB. M∈NC. M⫋ND. M⫌N9. 已知集合A={x∣ −1<x<0}，B={x∣ x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为( )A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. (−∞,0)D. (0,+∞)10. 已知集合M={x∣ x2=1}，N={x∣ ax=1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为( )A. {1}B. {−1,1}C. {1,0}D. {−1,1,0}二、填空题1. 已知A⊆B，A⊆C，B={0,1,2,3,4}，C={0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A的个数是．2. 已知集合A={1,x−12}，B={0,1,2}，若A⊆B，则x=．3. 已知集合A={1,cosθ}，B={12,1}，若A=B，则锐角θ=．4. 若集合A=(−∞,m]，B={x∣−2<x≤2}，且B⊆A，则实数m的取值范围是．5. 设集合A={x∣ 1≤x<4}，B={x∣ 2a≤x<3−a}．若B⊆A，则实数a的取值范围．6. 满足{1}⊆A⫋{1,2,3}的集合A的个数是．7. 设集合M={x∣∣x=k2+14,k∈Z}，N={x∣∣x=k4+12,k∈Z}，则集合M，N的关系用符号表示为．8. 已知集合A={a,ba,1}，B={a2,a+b,0}，若A⊆B且B⊆A，则a=，b=9. 满足条件{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是．10. 若集合A={x∣ x=3m−2,m∈Z}，B={x∣ x=3m+1,m∈Z}，C={x∣ x=6m+1,m∈Z}，则集合A，B，C的关系是．三、解答题1. 已知M={x∣ x=a2+1,a∈N∗}，P={y∣ y=b2−6b+10,b∈N}，试判断集合M与P之间的关系．2. 若集合A={−1,3}，集合B={x∣ x2+ax+b=0}，且A=B，求实数a，b．3. 已知集合A={x∣ −2<x<4}，B={x∣ x−a<0}，若A⫋B，求实数a的取值范围．4. 设集合A={x∣ x2−3x+2=0}，集合B={x∣ x2−4x+a=0}．若B⊆A，求实数a的取值范围．5. 设S是非空集合，且满足两个条件：①S⊆{1,2,3,4,5}；②若a∈S，则6−a∈S．那么S的个数是多少?6. 已知M={a−3,2a−1,a2+1}，N={−2,4a−3,3a−1}，若M=N，求实数a的值．新教材必修1每课讲与练第2讲集合的关系（训练篇）B组一、选择题1.下列四个命题中，正确的有( )①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若∅⊆A，则A=∅；④任何集合至少有两个子集．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 满足关系{1,2}⊆B⫋{1,2,3,4,5,6,7}的集合B个数为( )A. 10个B. 30个C. 31D. 32个3. 设集合P={立方后等于自身的数}，那么集合P的真子集个数是（）A. 3B. 4C. 7D. 84. 下列关系正确的是( )A. 3∈{y∣ y=x2+π,x∈R}B. {(a,b)}={(b,a)}C. {(x,y)∣ x2−y2=1}⫋{(x,y)∣ (x2−y2)2=1}D. {x∈R∣ x2−2=0}=∅5. 设集合M={x∣ ∣x∣≤2,x∈R}，N={x∣ x2≤4,x∈N}，则( )A. M=NB. M⫋NC. M⫌ND. M⊆N6. S(A)表示集合A中所有元素的和，且A⊆{1,2,3,4,5}，若S(A)能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是( )A. 10B. 11C. 12D. 137. 已知A={2,3,4}，B={x∣ x⊆A}，则集合A与集合B之间的关系为( )A. A⊆BB. B⊆AC. A∈BD. B∈A8. 已知集合A={x∈R∣ x2+x−6=0}，B={x∈R∣ ax−1=0}，若B⊆A，则实数a的值为( )A. 13或−12B. −13或12C. 13或−12或0 D. −13或12或09. “A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B．”那么“A不是B的子集”可以用数学语言表达为( )A. 若对任意的x∈A但x∉B，则称A不是B的子集B. 若存在x∈A但x∉B，则称A不是B的子集C. 若存在x∉A但x∈B，则称A不是B的子集D. 若对任意的x∉A但x∈B，则称A不是B的子集10. 已知集合M={x∣ x=m+16,m∈Z}，N={x∣ x=n2−13,n∈Z}，P={x∣ x=p2+16,p∈Z}，则M，N，P的关系( )A. M=N⫋PB. M⫋N=PC. M⫋N⫋PD. N⫋P⫋M二、填空题1. 若A={x∣a−1≤x≤a+2}，B={x∣3<x<5}，则使A⊇B成立的实数a的取值范围是．2. 已知集合 A ={x∣ 0<x <3}，集合 B ={x∣ m <x <4−m }，且 B ⊆A ，则实数 m 满足的条件是 ．3. 若 {a,0,1}={c,1b ,−1}，则 a = ，b = ，c = ．4. 设集合 A ={0,−4}，B ={x∣ x 2+2(a +1)x +a 2−1=0,x ∈R }．若 B ⊆A ，则实数 a 的取值范围是 ．5. 已知集合 A ⫋{1,2,3}，且 A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有 个．6. 设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a ，b ∈P ，都有 a +b 、 a −b 、ab 、 a b ∈P （除数 b ≠0），则称 P 是一个数域，例如有理数集 Q 是数域，有下列命题：①数域必含有 0，1 两个数；②整数集是数域；③若有理数集 Q ⊆M ，则数集 M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上）7. 设方程 ∣ax −1∣=x 的解集为 A ，若 A ⫋[0,2]，则实数 a 的取值范围是 ．8. 已知A={0,1},B={x|x ⊆A},则B=____________,A 与B 之间的关系是_____9．设集合，．若，则实数的取值集合为________．10. 已知集合 {a,b,c }={0,1,2}，且下列三个关系：① a ≠2；② b =2；③ c ≠0 有且只有一个正确，则 100a +10b +c 等于 ．11.设集合A ＝{1，2，3，…，10}，则集合A 的所有非空子集元素的和为____________．三、解答题1. 设集合{|32,}A a a n n Z 集合{|31,}B b b k k Z ，试证明集合A B .2. 已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.(1)是否存在实数a 的值，使得对于任意实数b 都有A ⊆B?若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由；(2)若A ⊆B 成立，求出对应的实数对（a,b ）.3. 已知集合{,,2}A x x y x y ,2{,,}B x xm xm 其中0x 且A B 求m 的值.4. 已知集合 A ={0,1}，B ={x∣ x ∈A }，C ={x∣ x ⊆A }，试判断 A 、 B 、 C 之间的关系．{}28150A x x x =-+={}10B x ax =-=B A ⊆a5. 已知函数y= f (x )=x 2−4x +a +3，a ∈R ，当x 取x 0时的函数值记作f(x 0).（1）若函数 y =f (x ) 的图象与 x 轴无交点，求 a 的取值范围；（2）设函数 g (x )=bx +5−2b ，b ∈R ．当 a =0 时，若对任意的 x 1∈[1,4]，总存在 x 2∈[1,4]，使得 f (x 1)=g (x 2)，求 b 的取值范围．新教材必修1每课讲与练 第2讲 集合的关系（训练篇）C 组一、选择题1.设集合 M ={1,2,3,4,5,6}，S 1,S 2,⋯,S k 都是 M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 S i ={a i ,b i }，S j ={a j ,b j }，(i ≠j,i,j ∈{1,2,3,⋯,k })，都有 min {a i b i ,b i a i }≠min {a j b j ,bj a j }（min {x,y } 表示两个数 x,y 中的较小者），则 k 的最大值是 ( )A. 10B. 11C. 12D. 132.已知是由个正数组成的集合．若中存在三个不同的元素可构成三角形的三边，则称为“三角数集”．设有连续的正整数组成的集合，它的所有元子集都是三角数集，则的最大可能值是 （ ）A.1003B.503C.253D.103二、填空题1.若规定E=的子集为E 的第k 个子集，其中k=，则（1）是E 的第 个子集；（2）E 的第211个子集是_______2.设有限集合{|,,,}i A x x a i n i n +==≤∈∈+N N ，则1ni i a =∑叫做集合A 的和，记作.A S 若集合{|21,,4}P x x n n n +==-∈≤N ，集合P 的含有3个元素的全体子集分别为12k P P P 、、，则1i kp i S =∑= ．3．设集合 S n ={1,2,3,⋯,n }，若 X ⊆S n ，把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量（若 X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为 0）．若 X 的容量为奇（偶）数，则称 X 为 S n 的奇（偶）子集．若 n =4，则 S n 的所有偶子集的容量之和为 ．三、解答题1. 以集合U=的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）a 、b 都要选出；S (3)n n ≥S S {}4,5,,m 10m {}1,210...a a a {}12...,n k k k a a a 1211222n k k k --+++{}1,3,a a {}a b c d ，，，（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有.求共有多少种不同的选法。