第5讲 几何中的计数问题(2)

【备战2014高考数学专题讲座】 第5讲：数学思想方法之分类思想探讨数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。

通常混称为“数学思想方法”。

常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。

数学中的所谓分类，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。

它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。

分类思想解题的过程（思维、动因和方法）我们把它归纳为WHDS 四个方面：W （WHI ）即为什么要进行分类。

一般地说，高考数学中，当我们研究的问题是下列五种情形时可以考虑使用分类的思想方法来解决问题：（1）涉及到分类定义的概念，有些概念是分类定义的，如绝对值的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法。

（2）直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则，如等比数列的求和公式就分为1q =和1q ≠两种情况；对数函数的单调性就分为11a a ＞，＜两种情况；直线方程分为斜率存在与不存在等，当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时，如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法。

（3）问题中含有的参变量的不同取值（如分段函数）会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。

（4）几何问题中几何图形的不确定（如两点在同一平面的同侧、异侧）而需要对其进行分类讨论；（5）由数学运算引起的分类讨论，如排列组合的计数问题，概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究。

H （HOW ）即如何进行分类。

• 4×8+5×16+6×4+10×4+8×4+11×4+16×1
=268(个)．
• 例6、(1)、图1－70(a)中有多少个三角形？ • (2)、图1－70(b)中又有多少个三角形？
• 解： • (1) 图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直
线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交 于同一点，那么，它们就不能围成三角形了． • 从6条直线中选3条， • 有 6 5 4 20 种选法(见说明)，
有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)， • 所以最小的三角形不是21个而是24个． • 于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)． • 图中共有三角形59×2=118(个)．
• 例5、图1－69中有多少个等腰直角三角形？
• 解：图1－69中有5×5+4×4=41个点．在每点标 一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三 角形的个数．因此，共有等腰直角三角形
• (1)、若点Pn在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原 小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三， 即增加了两个小三角形；
• (2)、若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．
• 则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分 别一分为二，即也增加了两个小三角形．
• 4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．
• 5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．
• 所以，5个圆最多将平面分成22个部分．
• 说明：用上面类似的方法，我们可 以计算出n个圆最多分平面的部分 数为：
• 2+1×2+2×2+…+(n-1)×2

几何图形中的计数问题（临泉田家炳实验中学 安庆旺 236400）将两个计数原理（分类加法计数原理、分步计数原理）与几何图形相结合，解决几何图形中的计数问题。

这类问题是在知识的交汇点处设计问题，具有一定的综合性和灵活性，是高考和竞赛考试的热点问题。

能较好地考查学生对两个原理的理解与应用，同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。

下面举例说明。

1 适当分类例1 （1998高中数学联赛）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（ ）)(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37解析：按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有2827828=⨯=C 个； ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182312=⨯个； ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有3216=⨯个 且没有其他的共线三点组，所以共线三点组共有4932818=++个.例2 在图1的86⨯方格中,点A,则以这些直线为边,且过点A 的矩形共有多少个？解析：构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边，在本题中，可根据点A 所在的位置进行分成三类：①当点A 为所选矩形的顶点时，必选水平的边4n 和竖直的边3m ，再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有116848C C ⋅=个矩形；②当点A 在水平的边上，且不为顶点时，水平的边4n 必选，而竖直的边3m 不选，否则，A 为顶点，n6n5n4n3n2n1再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12,m m 任选一条，456789,,,,,m m m m m m 任选一条，一共有11162672C C C ⋅⋅=个矩形； ③当点A 在竖直的边上，且不为顶点时，水平的边4n 不选，而竖直的边3m 必选，再从另外的水平边123,,n n n 任选一条，从567,,n n n 中任选一条，从竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有11133872C C C ⋅⋅=个矩形； 所以，以这些直线为边,且过点A 的矩形共有 487272192++=个。

巧数图形第一级下有趣的平面图形本讲中认识各种平面图形的特点，然后通过简单的图形计数问题，初步培养学生数图形的好习惯．第三级上巧数图形本讲通过一些趣味不规则的图形计数问题，让学生进一步理解乘法的应用问题．第三级下我会数图形本讲学习平面图形的计数方法，培养学生分类计数的好习惯．第三级上巧数图形第一级下有趣的平面图形（一年级秋季第三讲）第三级下我会数图形（二年级秋季第一讲）第3级上·超常班·教师版猜谜语一数真离奇，自己加自己；自己减自己，自己乘自己；自己除自己，得数在一起；相加八十一，猜猜它是几？小朋友们很想知道答案吧！答案就藏在讲义中，仔细找一找．第3级上·超常班·教师版火眼金睛考眼力课前复习下图是由14个小正方形组成的图形．在这个图形中包含有苹果的正方形，共有多少个？猜一猜下图每个图中看不见的小方块有几个？第3级上·超常班·教师版【例题分析】课前通过这两个题的铺垫，让学生很快融入到学习中．第一道题，我们要注意引导学生在数图形的时候不重复、不遗漏，那么在这个图形中包含苹果的正方形一共有6个，包含在1个小正方形里面的有1个，包含在4个小正方形里面的有3个，包含在9个小正方形里面的有2个，一共有6个．第二道题中要求我们数出我们看不见的小正方体，主要培养学生的空间想象能力．在这二个图形中第一个图形看不见的小正方体有3个，第二个图形看不见的小正方体有4个．小朋友们都是数数的小能手，在生活中有很多需要我们通过数数来解决的问题，在解决问题时数数的方法有很多，你会用什么方法来数呢？今天这节课就让我们这些小能手们再次来比试一下吧！小朋友们，请你数一数下面的图形里面有多少个第3级上·超常班·教师版【例题分析】在数的过程中，我们要按顺序来计数．首先我们来看横行，每一横行能数出3个．再来看竖行，每一竖行能数出3个．这样在这个图形中，一共能数出121224+=个第3级上·超常班·教师版【例题分析】⑴摆出一个长方形，一共用了多少根小棒？可以这样数横着的小棒有8216⨯=（根）竖着的小棒一共有9根，合起来一共有16925+=（根）。