数学第三章导数及其应用测试1新人教A版选修1 1

第三章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1. 已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x －11 D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎦⎤0，π2 ∪2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎡⎦⎤0，2π3 5．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)6．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －27．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋110. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．函数f (x )＝x1－x的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.036 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________________________________________________________________________.14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________________________________________________________________________．15. 如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个．③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？20．(12分)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .(1)当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； (2)设f (x )在[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．21.(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．第三章 导数及其应用(B) 答案1．B [f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )．] 2．B [物体的初速度即为t ＝0时物体的瞬时速度，即函数s (t )在t ＝0处的导数． s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3.]3．B [∵曲线过点(a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1， ∴切点为(1,3)．由导数定义可得y ′＝4ax ＝4x ， ∴该点处切线斜率为k ＝4，∴切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.] 4．B5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0， 则a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.]6．A [∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.] 7．C8．A [f ′(x )＝a cos x －13sin x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0， 即a ·12－13×32＝0，∴a ＝33.]9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数．∴当x ＝π时， y max ＝π.]10．A [由图象看，在图象与x 轴的交点处左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0的点才满足题意，这样的点只有一个B 点．]11．C [∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1， ∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2， x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2.于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024，依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]13．3解析 由切点(1，f (1))在切线y ＝12x ＋2上，得f (1)＝12×1＋2＝52.又∵f ′(1)＝12，∴f ′(1)＋f (1)＝12＋52＝3.14．4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4； 当x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间[－1,0)上单调递增． 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上所述，a ＝4. 15.439解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，0. 点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22 ＝－x34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， 当x ＝23时，f (x )取最大值439.16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 由题意得f (0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan 3π4＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233.根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.x ＝233是极小值点也是最小值点．f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确． 17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立， 且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立． 由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0， 即x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ① 由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0， 即x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ② ∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意， ∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1，令f ′(x )<0，得－23<x <1.所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值， 要使f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解 设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%，y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%.令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．20．解 (1)对函数f (x )求导数，得 f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x .令f ′(x )＝0，得[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ＝0， 从而x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：12当a ≥0时，x 1<－1，x 2≥0.f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数． 而当x <0时，f (x )＝x (x －2a )e x >0；当x ＝0时，f (x )＝0，所以当x ＝a －1＋1＋a 2时，f (x )取得最小值．(2)当a ≥0时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥34.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.21．(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0， 故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x >1时，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明 令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝12x 2－23x 3＋ln x ， ∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x.∵x >1，∴F ′(x )<0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴F (x )<F (1)＝12－23＝－16<0.∴f (x )<g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x【解析】∵y＝sin x＋cos x，∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x．故选D. 【答案】 D2．函数y＝(x＋1)(x－1)的导数等于()A．1B．－12xC.12x D．－1 4x【解析】因为y＝(x＋1)(x－1)＝x－1，所以y′＝x′－1′＝1.【答案】 A3．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为() A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2【解析】 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.故选A. 【答案】 A4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12【解析】 因为y ′＝x 2－3x ，所以由导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．【答案】 A5．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．故选B.【答案】 B二、填空题6．已知f (x )＝52x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________.【导学号：26160079】【解析】 因为f ′(x )＝5x ，g ′(x )＝3x 2，所以5x －3x 2＝－2，解得x 1＝－13，x 2＝2.【答案】 －13或27．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.【解析】 ∵y ＝x －12 ，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·32 a －12 ＝94a 12 ＝18，∴a ＝64. 【答案】 648．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 【解析】 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1.【答案】 1 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝e x ＋1e x －1.【解】 (1)法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1， y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2. 10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．【解】 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ， 所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为：y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.[能力提升]1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A. 1e B ．－1e C ．－eD ．e【解析】 y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.故选D. 【答案】 D2．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x .【答案】 A3．已知f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，则f ′(0)＝________.【解析】 因为f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6， 所以f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋3)(x ＋4)·(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5＝120. 【答案】 1204．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 【导学号：26160080】【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为：y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

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导数及其应用（30分钟50分)一、选择题（每小题3分,共18分)1。

(2016·临沂高二检测）曲线y=—x3+3x2在点（1,2)处的切线方程是( ）A。

y=3x-1 B。

y=—3x+5C.y=3x+5D.y=2x【解析】选A。

y′=—3x2+6x，曲线在点(1,2)处的切线斜率k=-3×12+6×1=3，又切线过点（1，2)，则切线方程为y-2=3（x-1），整理得：y=3x-1.【补偿训练】若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为( ）A。

4x—y—3=0 B.x+4y—5=0C.4x-y+3=0 D。

x+4y+3=0【解析】选A。

与直线x+4y—8=0垂直的直线l为4x—y+m=0,即y=x4在某一点的导数为4。

而y′=4x3,所以y=x4在（1,1）处导数为4，此点处的切线方程为4x-y—3=0.2.设函数f（x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′（x)的图象可能为( )【解析】选D。

原函数的单调性是:当x〈0时,增;当x〉0时，单调性变化依次为增、减、增.故当x<0时，f′(x）>0;当x>0时，f′(x）的符号变化依次为+，-，+。

3.如图所示是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象，则+等于( ）A。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．下列结论不正确的是( )．若＝，则′＝．若()＝＋，则′()＝．若＝－＋，则′＝－＋．若＝＋，则′＝＋【解析】∵＝＋，∴′＝( )′＋( )′＝－．故选.【答案】．函数＝(＋)(－)的导数等于( )．．－．－【解析】因为＝(＋)(－)＝－，所以′＝′－′＝.【答案】．曲线＝在点(－，－)处的切线方程为( )．＝＋．＝－．＝－＋．＝－－【解析】∵′＝＝，∴＝′＝－＝＝，∴切线方程为＋＝(＋)，即＝＋.故选.【答案】．已知曲线＝－的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )．．．【解析】因为′＝－，所以由导数的几何意义可知，－＝，解得＝(＝－不合题意，舍去)．【答案】．函数()＝的斜率等于的切线有( )．条．条．不确定．条【解析】∵′()＝，设切点为(，)，则＝，得＝±，即在点和点处有斜率为的切线．故选.【答案】二、填空题．已知()＝，()＝，若′()－′()＝－，则＝. 【导学号：】【解析】因为′()＝，′()＝，所以－＝－，解得＝－，＝.【答案】－或．若曲线＝－在点(，－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为，则＝.【解析】∵＝－，∴′＝－－，∴曲线在点(，－)处的切线斜率＝－－，∴切线方程为－－＝－－(－)．令＝得＝－；令＝得＝.∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为＝··－＝＝，∴＝.【答案】．已知函数()＝′＋，则的值为．【解析】∵′()＝－′＋，。

选修1-1第三章3.3一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是导学号 92600712 ( )A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案] A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴y max＝12，y min＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)导学号 92600713( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1,1)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为导学号 92600714( )A．18 B．2C．0 D．－18[答案] B[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0,1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为导学号 92600715( )A ．2B ．4C ．18D ．20[答案] D[解析]f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.f (0)＝－a, f (1)＝－2－a, f (3)＝18－a ，∴f (x )max ＝18－a ，f (x )min ＝－2－a ， ∴18－a －(－2－a )＝20.5．下列说法正确的是导学号 92600716( ) A ．函数的极大值就是函数的最大值 B ．函数的极小值就是函数的最小值 C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 [答案] D[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D 正确．6．函数f (x )＝ln x －x 在区间[0，e]上的最大值为导学号 92600717( ) A ．－1 B ．1－e C ．－e D ．0[答案] A[解析]f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0，得0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <e ，∴f (x )在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x ＝1时，f (x )取极大值，这个极大值也是最大值．∴f (x )max ＝f (1)＝－1.二、填空题7．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域是________.导学号 92600718[答案] [0，e][解析]f ′(x )＝2x ·e x －x 2·e x e x 2＝2x －x2e x ， 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.f (－1)＝e, f (0)＝0, f (1)＝1e，∴f (x )max ＝e, f (x )min ＝0， 故函数f (x )的值域为[0，e]． 8．若函数f (x )＝3x －x 3＋a ，－3≤x ≤3的最小值为8，则a 的值是________.导学号 92600719[答案] 26[解析]f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.f (1)＝2＋a ，f (－1)＝－2＋a .又f (－3)＝a ，f (3)＝－18＋a .∴f (x )min ＝－18＋a .由－18＋a ＝8.得a ＝26. 三、解答题9．(2016·某某某某市高二检测)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3ax 在x ＝1时取得极值.导学号 92600720(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立，某某数k 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－4ax ＋3a ， 由题意得f ′(1)＝3－4a ＋3a ＝0，∴a ＝3. 经检验可知，当a ＝3时f (x )在x ＝1时取得极值． (2)由(1)知， f (x )＝x 3－6x 2＋9x ， ∵f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立， ∴k ≥f (x )max 即可．f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝3(x －1)(x －3)，令f ′(x )>0，得3<x <4或0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <3.∴f (x )在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x ＝1时， f (x )取极大值f (1)＝4，当x ＝3时， f (x )取极小值f (3)＝0. 又f (0)＝0，f (4)＝4， ∴f (x )max ＝4，∴k ≥4.一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为导学号 92600721( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析]f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239.2．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上图象连续不断且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为导学号 92600722( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[答案] A[解析] 令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为单调减少的， ∴u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．3．设在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a ，b ]上存在导数，有下列三个命题：①若f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b ]上的极大值； ②若f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b ]上的极小值； ③若f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得． 其中正确的命题个数是导学号 92600723( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] 由于函数的最值可能在区间[a ，b ]的端点处取得，也可能在区间[a ，b ]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．4．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为导学号 92600724( ) A ．[f (0)，f (5)] B ．[f (0)，f (23)]C ．[f (23)，f (5)]D ．[c ，f (5)][答案] C[解析]f ′(x )＝6x －4，令f ′(x )＝0，则x ＝23，0<x <23时，f ′(x )<0，x >23时，f ′(x )>0，得f (23)为极小值，再比较f (0)和f (5)与f (23)的大小即可．二、填空题5．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是________.导学号 92600725[答案] －10[解析]f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2.但x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去，∴x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表，知f (x )max ＝5，f (x )min ＝－15， 所以f (x )max ＋f (x )min ＝－10.6．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.导学号 92600726[答案]103[解析]f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3.1<x <3时，f ′(x )<0,3<x <4时，f ′(x )>0，故x ＝3为极小值点． ∵f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，∴f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ，最大值为f (4)＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.导学号 92600727(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－22a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4.∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )、 f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.8．设f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5.导学号 92600728(1)求函数f (x )的单调递增、递减区间；(2)当x ∈[－1,2]时， f (x )<m 恒成立，某某数m 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23.所以当x ∈(－∞，－23)时f ′(x )>0, f (x )为增函数；当x ∈(－23，1)时， f ′(x )<0, f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )>0, f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为(－23，1)．(2)当x ∈[－1,2]时， f ′(x )<m 恒成立，只需使f (x )在[－1,2]上的最大值小于m 即可．由(1)知f (x )极大值＝f (－23)＝5＋2227，f (x )极小值＝f (1)＝72.又f (－1)＝112， f (2)＝7，所以f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 所以m >7.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3 C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 【解析】 ∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．故选D. 【答案】 D2．函数y ＝(x ＋1)(x －1)的导数等于( ) A ．1 B ．－12xC.12xD ．－14x【解析】 因为y ＝(x ＋1)(x －1)＝x －1，所以y ′＝x ′－1′＝1.【答案】 A3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2【解析】 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.故选A. 【答案】 A4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12【解析】 因为y ′＝x 2－3x ，所以由导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．【答案】 A5．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．故选B. 【答案】 B 二、填空题6．已知f (x )＝52x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________.【解析】 因为f ′(x )＝5x ，g ′(x )＝3x 2，所以5x －3x 2＝－2，解得x 1＝－13，x 2＝2.【答案】 －13或27．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.【解析】 ∵y ＝x －12 ，∴y ′＝－12x －32 ，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32 ，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·32 a －12 ＝94a 12 ＝18，∴a ＝64. 【答案】 648．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 【解析】 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22， 得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1.【答案】 1 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝e x ＋1e x －1.【解】 (1)法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1， y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．【解】 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ， 所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为：y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.[能力提升]1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A. 1e B ．－1e C ．－eD ．e【解析】y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.故选D. 【答案】 D2．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 016(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 016(x )＝f 4(x )＝sin x .【答案】 A3．已知f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，则f ′(0)＝________.【解析】 因为f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6， 所以f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋3)(x ＋4)·(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5＝120.【答案】 1204．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为：y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

第三章单元评估卷(一)限时：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4xD ．－23x 3＋x2．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒3．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值4．一质点做直线运动，由始点经过t s 后与初始位置间的距离为s ＝13t 3－6t 2＋32t ，则速度为0的时刻是( )A ．t ＝4 sB ．t ＝8 sC ．t ＝4 s 或t ＝8 sD ．t ＝0或t ＝4 s5．函数y ＝x 2e x 的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0)6．若曲线f (x )＝x 2－1与g (x )＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0等于( )A.3366 B ．－3366 C.23 D.23或07．已知抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．28．设函数f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是下图中的( )9．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确10．如果圆柱的轴截面周长为定值4，那么圆柱体积的最大值为( )A.827π B.1627π C.89πD.169π11．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的减区间是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(－2，－1)12．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π 答案1．D 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.2．D s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14t 4－4t 3＋16t 2′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t －4)(t －8)，令s ′＝0，则有t (t －4)(t －8)＝0，解得t ＝0或t ＝4或t ＝8.3．C 在(－∞，0)上，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，0)上为增函数，A 错；在x ＝0处，导数由正变负，f (x )由增变减，故在x ＝0处取极大值，B 错；在(4，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，C 对；在x ＝2处取极小值，D 错．4．C 速度为0即s ′＝0，由s ′＝t 2－12t ＋32＝0，得t ＝4或t ＝8，故选C.5．D y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x (x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x 的单调递减区间是(－2,0)．6．A ∵f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝－3x 2， ∴(2x 0)·(－3x 20)＝－1，解得x 0＝3366.7．C 由题意得y ′|x ＝2＝1，又y ′＝－4x ＋b ， ∴－4×2＋b ＝1，∴b ＝9，又点(2，－1)在抛物线上， ∴c ＝－11，∴b ＋c ＝－2，故选C.8．D 由y ＝f (x )图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.9．D f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28＝4(m 2－6m ＋8)≤0，∴2≤m ≤4，故选D.10．A 设圆柱底面半径为r ，高为h ，则4r ＋2h ＝4，即2r ＋h ＝2，则体积V 圆柱＝πr 2h ＝πr 2(2－2r )＝2πr 2－2πr 3，由h ＝2－2r >0得0<r <1，∴V ′＝4πr －6πr 2＝4πr ⎝⎛⎭⎪⎫1－32r ，由V ′＝0得r ＝23.∵当0<r <23时，V ′>0；当23<r <1时V ′<0，∴当r ＝23时V 取得极大值也是最大值，且最大值为8π27，故选A.11．A 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ，f (a )＝2，f (－a )＝6，得a ＝1，b ＝4，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＝3x 2－3<0.即－1<x <1.12．C 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x2π，圆柱体积V ＝π⎝⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)． 当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.————————————————————————————第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)13．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．14．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．15．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上是单调递增函数，则a ，b ，c 满足的关系式为________．16．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝________，b ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)求下列函数的导数． (1)y ＝x sin x －2cos x ； (2)f (x )＝3xsin x －cos x －ln xx； (3)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a )上的最大值．答案13．(－2,15)解析：∵y ′＝3x 2－10＝2，∴x ＝±2.又点P 在第二象限内，∴x ＝－2，∴点P 的坐标为(－2,15)．14.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，令f ′(x )>0得x >a 或x <－a ，令f ′(x )<0得－a <x <a ，∴当x ＝－a 时，f (x )取极大值f (－a )＝2a 3＋a ，∵a >0，∴2a 3＋a >0，当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝a －2a 3，由题意得a －2a 3<0，又a >0，∴1－2a 2<0，∴a >22.15．a >0，且b 2≤3ac解析：由题意可知f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4b 2－12ac ≤0即a >0，且b 2≤3ac . 16．2 3解析：令y ′＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－ 2.又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ，f (2)＝b －4a ，f (0)＝b ，f (－2)＝b －4a .∵⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＝－5，b ＝3.∴a ＝2，b ＝3.17．解：(1)y ′＝(x sin x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x .(2)∵(3x sin x )′＝(3x )′sin x ＋3x (sin x )′ ＝3x ln3sin x ＋3x cos x ＝3x (sin x ln3＋cos x )；⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －ln x x ′＝(cos x －ln x )′x －(cos x －ln x )·1x 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin x －1x x －cos x ＋ln xx 2＝－1－x sin x －cos x ＋ln xx 2. ∴f ′(x )＝3x(sin x ln3＋cos x )＋1＋x sin x ＋cos x －ln x x 2. (3)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋(2x 2＋3)·3＝18x 2－8x ＋9.方法二：∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.18．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3. ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立，则必有a3≤1且f ′(1)＝－2a ≥0，∴a ≤0.即a 的取值范围为(－∞，0]．(2)依题意，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，即13＋23a －3＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝x 3－4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3，则当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：————————————————————————————19.(12分)当0<x <π2时，试证：sin x >x －x 36.20．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．答案19．证明：设函数f (x )＝sin x －x ＋x 36，显然f (0)＝0，则f ′(x )＝cos x －1＋x 22＝x 22－2sin 2x2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝⎛⎭⎪⎫sin x 22. 又因为0<x <π2，x >sin x ，所以x 2>sin x2>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 22>0.故f ′(x )>0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0，即sin x >x －x 36.20．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4.①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由条件得f ′(1)·⎝⎛⎭⎪⎫－19＝－1， 即3a ＋2b ＝9.② 由①②，得a ＝1，b ＝3.(2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2，故由f (x )在[m ，m ＋1]上单调递增，得[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3.————————————————————————————21.(12分)将如图所示的边长为a 的等边三角形铁片，剪去三个四边形，做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x ，容积为V (x )．(1)写出函数V (x )的解析式，并求出函数的定义域； (2)求当x 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．22．(12分)已知函数f (x )＝e x＋1x －a.(1)当a ＝12时，求函数f (x )在x ＝0处的切线方程．(2)函数f (x )是否存在零点？若存在，求出零点的个数，若不存在，说明理由．答案21.解：(1)因为容器的高为x ，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(a －23x )，则V (x )＝34(a －23x )2x ，函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，36a . (2)实际问题归结为求函数V (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a 上的最大值点．先求V (x )的极值点．在开区间⎝⎛⎭⎪⎫0，36a 内，V ′(x )＝93x 2－6ax ＋34a 2. 令V ′(x )＝0，即93x 2－6ax ＋34a 2＝0， 解得x 1＝318a ，x 2＝36a (舍去)．因为x 1＝318a 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，36a 内，x 1可能是极值点． 当0<x <x 1时，V ′(x )>0；当x 1<x <36a 时，V ′(x )<0.因为x 1是极大值点，且在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，36a 内，x 1是唯一的极值点，所以x ＝x 1＝318a 是V (x )的最大值点，并且最大值为V ⎝ ⎛⎭⎪⎫318a ＝154a 3.即当正三棱柱形容器高为318a 时，容器的容量最大为154a 3.22．解：(1)∵f (x )＝e x＋1x －a ， ∴f ′(x )＝e x－1(x －a )2，∴f ′(0)＝1－1a 2. 当a ＝12时，f ′(0)＝－3.又f (0)＝－1，∴f (x )在x ＝0处的切线方程为y －(－1)＝－3(x －0)，即y ＝－3x－1.(2)函数f (x )的定义域为(－∞，a )∪(a ，＋∞)．当x ∈(a ，＋∞)时，e x >0，1x －a>0， ∴f (x )＝e x＋1x －a >0. 即f (x )在区间(a ，＋∞)上没有零点．当x ∈(－∞，a )时，f (x )＝e x ＋1x －a ＝e x (x －a )＋1x －a， 令g (x )＝e x (x －a )＋1.只要讨论g (x )的零点即可．g ′(x )＝e x (x －a ＋1)，g ′(a －1)＝0. 当x ∈(－∞，a －1)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数；当x ∈(a －1，a )时，g ′(x )>0，g (x )是增函数．∴g (x )在区间(－∞，a )上的最小值为g (a －1)＝1－e a －1.显然，当a ＝1时，g (a －1)＝0，∴x ＝a －1是f (x )的唯一的零点； 当a <1时，g (a －1)＝1－e a －1>0，∴f (x )没有零点；当a >1时，g (a －1)＝1－e a －1<0，∴f (x )有两个零点．。

第三章 导数及其应用 单元测试一、选择题 1. 函数()323922y x x x x =---<<有（ ） A. 极大值5，极小值27−B. 极大值5，极小值11−C. 极大值5，无极小值D. 极小值27−，无极大值2. 若'0()3f x =−，则000()(3)lim h f x h f x h h→+−−=（ ） A. 3− B. 6−C. 9−D. 12−3. 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A. (1,0)B. (2,8)C. (1,0)和(1,4)−−D. (2,8)和(1,4)−−4. ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ）A. ()f x =()g xB. ()f x −()g x 为常数函数C. ()f x =()0g x =D. ()f x +()g x 为常数函数5. 函数xx y 142+=单调递增区间是（ ） A. ),0(+∞ B. )1,(−∞ C. ),21(+∞ D. ),1(+∞6. 函数x x y ln =的最大值为（ ） A. 1−e B. e C. 2e D.310 二、填空题1. 函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 . 2. 函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________.3. 函数32x x y −=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________.4. 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 .5. 函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________.三、解答题1． 已知曲线12−=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值.2. 如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？3. 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =−（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间.4. 平面向量133,1),(,)22a b =−=r r ，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2(3),,x a t b y ka tb =+−=−+r r r r r r 且x y ⊥r r ，试确定函数()k f t =的单调区间.参考答案[综合训练B 组]一、选择题1. C '23690,1,3y x x x x =−−==−=得，当1x <−时，'0y >；当1x >−时，'0y < 当1x =−时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值2. D '0000000()(3)()(3)lim 4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+−−+−−===− 3. C 设切点为0(,)P a b ，'2'2()31,()314,1f x x k f a a a =+==+==±，把1a =−，代入到3()2f x x x =+-得4b =−；把1a =，代入到3()2f x x x =+-得0b =，所以0(1,0)P 和(1,4)−−4. B ()f x ,()g x 的常数项可以任意5. C 令3'222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x −=−=>−++>> 6. A 令'''22(ln )ln 1ln 0,x x x x x y x e x x −⋅−====，当x e >时，'0y <；当x e <时，'0y >，1()y f e e==极大值，在定义域内只有一个极值，所以max 1y e = 二、填空题1. 36+π '12sin 0,6y x x π=−==，比较0,,62ππ处的函数值，得max 36y π=+ 2. 37− '2'3()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7f x x f f y x y x =+==−=−==−时 3. 2(0,)3 2(,0),(,)3−∞+∞ '22320,0,3y x x x x =−+===或 4. 20,3a b ac >≤且 '2()320f x ax bx c =++>恒成立，则220,0,34120a a b ac b ac >⎧><⎨∆=−<⎩且 5. 4,11− '2'2()32,(1)230,(1)110f x x ax b f a b f a a b =++=++==+++=22334,,3119a b a a b b a a b +=−=−=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==−++=⎩⎩⎩或，当3a =−时，1x =不是极值点 三、解答题1. 解：00'''2'210202,|2;3,|3x x x x y x k y x y x k y x ========331200361,61,6k k x x =−=−=−. 2. 解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x −，宽为52x − 32(82)(52)42640V x x x x x x =−−=−+'2'10125240,0,1,3V x x V x x =−+===令得或，103x =（舍去） (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值，18V ∴=最大值3. 解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =， '3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)−，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)−得591,,22a b c a b ++=−==−得 4259()122f x x x =−+ （2）'3310310()1090,0,f x x x x x =−>−<<>或 单调递增区间为310310(,0),(,)1010−+∞ 4. 解：由13(3,1),(,)22a b =−=r r 得0,2,1a b a b ===r r r r g 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +−−+=−+−−+−=r r r r r r r r r r g g g33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t −+−==−=− '233()0,1,144f t t t t =−><−>得或；2330,1144t t −<−<<得 所以增区间为(,1),(1,)−∞−+∞；减区间为(1,1)−.。

2021年高中数学 第三章 导数及其应用章末检测 新人教A 版选修1-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(C)A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒解析：根据瞬间速度的意义，可得 3 s 末的瞬时速度是v ＝s ′||t＝3＝（－1＋2t ）t ＝3＝5.2．在(a ，b )内f ′(x )>0是f (x )在(a ，b )内单调递增的(C) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：该题一般都认为是选A ，依照教科书上的结论：“一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内有导数，如果在这个区间内y ′>0，那么y ＝f (x )为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′<0，那么y ＝f (x )为这个区间内的减函数．”导致错误的原因是没有准确理解上述这段话的逻辑关系，事实上这是一个充分非必要条件．例如，函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)是单调递增的，然而却有f ′(x )＝0.3．函数y ＝x cos x －sin x 在下列哪个区间内是增函数(C) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B.()π，2π C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D.()2π，3π 解析：求导得，y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x cos x ，于是，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2时，y ′＞0.4．若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是(B) A ．m >0 B ．m <0 C ．m >1 D ．m <1解析：求导得y ′＝e x＋m ，由于e x>0，若y ＝e x＋mx 有极值则必须使y ′图象有正有负，故m <0.5．函数f (x )＝x 2＋x －ln x 的零点的个数是(A) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：由f ′(x )＝2x ＋1－1x ＝2x 2＋x －1x＝0，得x ＝12或x ＝－1＜0(舍去)．当0＜x ＜12时，f ′(x )＜0，f (x )递减；当x ＞12时，f ′(x )＞0，f (x )递增．则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34＋ln 2＞0为f (x )的最小值，所以无零点．6. 过曲线y ＝x ＋1x2(x >0)上横坐标为1的点的切线方程为(B)A ．3x ＋y －1＝0B ．3x ＋y －5＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：∵y ′＝x 2－2x （x ＋1）x 4＝－x 2－2xx4，∴该切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－3.故所求的切线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －5＝0，故选B.7．f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如下图所示，则f (x )的图象只可能是(D)解析：如题图可知，f ′(x )在前半段递增，后半段递减，这表明f (x )先递增幅度大，后递增幅度小.8．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为(A) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0解析：与直线x ＋4y －8＝0垂直的直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点的导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x －y －3＝0.9．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(B)A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4解析：曲线切线的斜率等于曲线该点处的导数值k ＝tan α＝3x 2－1≥－1，解得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是(D)A ．(－3，0)∪(3，＋∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)解析：∵当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0， 即[f (x )g (x )]′＞0，∴当x ＜0时，f (x )g (x )为增函数，又g (x )是偶函数且g (3)＝0，∴g (－3)＝0， ∴f (－3)g (－3)＝0故当x ＜－3时，f (x )g (x )＜0；由于f (x )g (x )是奇函数，当x ＞0时， f (x )g (x )为增函数，且f (3)g (3)＝0，故当0＜x ＜3时，f (x )g (x )＜0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________．解析：直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，将y ＝x －1代入抛物线方程得ax 2－x ＋1＝0，∴Δ＝1－4a ＝0，则a ＝14.答案：14点评：本题亦可利用导数的几何意义求解，但解题过程较长．12．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：依题意，f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0在R 上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝62＋4×3a ≤0，∴a ≤－3.答案：(－∞，－3]13．化简：f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x －cos x ＝________． 解析：f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ＋sin x ， f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3＋sin π3， 解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3，于是f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π614．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：(1)函数y ＝f (x )在区间(3，5)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； (3)函数y ＝f (x )在区间(－3，2)内单调递增；(4)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值；(5)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值．则上述判断中正确的序号是________________． 解析：依据导数与单调性的关系可知(3)成立． 答案：(3)三、解答题(本大题共6小题，共80分)15．(xx·韶关二模)(12分)设函数f (x )＝ax 3－(a ＋b )x 2＋bx ＋c ，其中a >0，b 、c ∈R ，若f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，求f (x )的单调区间． 解析： (1)由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得a ＝b . 故f (x )＝ax 3－2ax 2＋ax ＋c .由f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝0，得x 1＝13，x 2＝1.列表：由表可得，函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13及(1，＋∞)，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1. 16．(12分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆的月租金为2 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加1辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为2 800元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：(1) 当每辆车的月租金定为2 800元时，未租出的车辆为2 800－2 00050＝16，所以，这时租出的车为84辆．(2)设未租出车的有x 辆，租赁公司的月收益为y 元，则每辆车的月租金为(2 000＋50x )元，由题意得，y ＝(2 000＋50x )(100－x )－150(100－x )－50x ，即y ＝－50x 2＋3 100x ＋185 000，则y ′＝－100x ＋3 100，由y ′＝0，得x ＝31.因为函数只有一个极值点，所以x ＝31为所求．所以当每辆车车月租金定为3 550元时，租赁公司月收益最大，为233 050元．17．(14分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线y ＝－3x －2，试求函数的极大值与极小值的差．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (x )在x ＝2处有极值，所以f ′(2)＝0，即12＋4a ＋b ＝0.①因为f ′(1)＝－3，所以2a ＋b ＋3＝－3.② 由①②，得a ＝－3，b ＝0.所以f (x )＝x 3－3x 2＋c .令f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x 1＝0，x 2＝2. 当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，所以f (0)是极大值，f (2)是极小值， 所以f (0)－f (2)＝4.18．(14分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R . (1)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值．(2)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)． 因为f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0，解得a ＝3. 经检验知，当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点． (2)令f ′(x )＝6(x －a )(x －1)＝0，解得x 1＝a ，x 2＝1.当a ＜1时，若x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数，故当0≤a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数；当a ≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在(－∞，0)上为增函数．综上所述，当a ∈[0，＋∞)时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 19．(14分) 已知函数f (x )＝6ln x (x ＞0)和g (x )＝ax 2＋8x －b (a ，b 为常数)的图象在x ＝3处有公共切线．(1)求a 的值；(2)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的极大值和极小值；(3)若关于x 的方程f (x )＝g (x )有且只有3个不同的实数解，求b 的取值范围．解析：(1)因f ′(x )＝6x，g ′(x )＝2ax ＋8，依题意，得f ′(3)＝g ′(3)，解得a ＝－1.(2)F (x )＝f (x )－g (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋b .则F ′(x )＝6x＋2x －8＝0，得x ＝1或x ＝3.∴当0＜x ＜1时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增； 当1＜x ＜3时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减； 当x ＞3时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增． ∴F (x )的极大值为F (1)＝b －7；F (x )的极小值为F (3)＝b －15＋6ln 3. (3)根据题意，F (x )＝f (x )－g (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋b 的图象应与x 轴有三个公共点．即方程f (x )＝g (x )有且只有3个不同的实数解的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧F （1）＞0，F （3）＜0.解得7＜b ＜15－6ln 3.∴b 的取值范围为(7，15－6ln 3)20．(14分)设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (常数a ，b 满足0<a <1，b ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间、极值；(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －3a )·(x －a )，则当x ＝a 时，f (x )极小＝b －43a 3，当x ＝3a 时，f (x )极大＝b .(2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2， ∵0＜a ＜1，∴对称轴x ＝2a ＜a ＋1，∴f ′(x )在[a ＋1，a ＋2]上单调递减．∴f ′max ＝－(a ＋1)2＋4a (a ＋1)－3a 2＝2a －1， f ′min ＝－(a ＋2)2＋4a (a ＋2)－3a 2＝4a －4.依题设，|f ′(x )|≤a ⇔|f ′max |≤a ，|f ′min |≤a ， 即|2a －1|≤a ，|4a －4|≤a .解得，45≤a ≤1，又0＜a ＜1，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1. 章末过关检测卷(三)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列求导运算正确的是(B)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2，(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3xln 3， (x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2(－sin x )．2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1是减函数的区间为(C) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(0，2) D ．(－∞，0)解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＜0，得0＜x ＜2，即函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的减区间为(0，2)．3．函数y ＝ax 3＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝(D) A.18 B.14 C.1627 D.427解析：可设切点为(x 0，x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝ax 30＋1，3ax 20＝1，解得a ＝427. 4．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝(D) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：依题意，得f ′(－3)＝30－6a ＝0，则a ＝5.5．曲线y ＝sin xx在点M (π，0)处的切线方程为(A)A ．x ＋πy －π＝0B ．πx ＋y －π＝0C ．x －πy －π＝0D ．πx －y －π＝0 解析：先求导，y ′＝（sin x ）′x －x ′sin x x 2＝x cos x －sin x x2， 根据导数的几何意义得到切线的斜率k ＝y ′|x ＝π＝－1π，代入直线的点斜式方程，得y －0＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.6．给出下列四个命题：①函数f (x )＝x 2－5x ＋4(－1≤x ≤1)的最大值为10，最小值为－94；②函数f (x )＝2x 2－4x ＋1(－2＜x ＜4)的最大值为1，最小值为－1；③函数f (x )＝x 3－12x (－3＜x ＜3)的最大值为16，最小值为－16；④函数f (x )＝x 3－12x (－2＜x ＜2)既无最大值，也无最小值． 其中正确命题的个数有(B)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：分别计算四个函数的最值，得知③④正确．7．过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为(D) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0解析：y ′＝2x ＋1，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为2x 0＋1，且y 0＝x 20＋x 0＋1， 于是切线方程为 y －x 20－x 0－1＝(2x 0＋1)(x －x 0)， 因为点(－1，0)在切线上，可解得 x 0＝0或－2，代入可验证D 正确．8．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如右图所示[其中f ′(x )是函数f (x )的导函数]，则y ＝f (x )的图象大致是下面四个图象中的(C)解析：由函数y ＝xf ′(x )的图象可知：当x ＜－1时，xf ′(x )＜0，f ′(x )＞0，此时f (x )递增； 当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，f ′(x )＜0，此时f (x )递减； 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，f ′(x )＜0，此时f (x )递减；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，f ′(x )＞0，此时f (x )递增．9．若0＜x ＜π2，则2x 与3sin x 的大小关系(D)A ．2x ＞3sin xB ．2x ＜3sin xC ．2x ＝3sin xD ．与x 的取值有关解析：令f (x )＝2x －3sin x ，则f ′(x )＝2－3cos x .当cos x >23时，f ′(x )＜0；当cos x ＝23时，f ′(x )＝0；当cos x <23时，f ′(x )＞0.即当0＜x ＜π2时，f (x )先递减再递增，而f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－3＞0. 故f (x )的值与x 取值有关，即2x 与sin x 的大小关系与x 取值有关．10．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D)A.94e 2 B ．3e 2 C ．e 2D.e 22解析：可以求得切线方程是y －e 2＝e 2(x －2)，则得切线与两坐标轴的交点分别是(1，0)以及(0，－e 2)，所以，所求三角形的面积为e 22.11．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac ＋2b 的值为(A)A ．－3B ．0C ．1D ．3解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2b 1a＋c ＝0，∴3a ＋2ba＋c ＝0，∴ac ＋2b ＝－3，故选A.12．曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为(C)A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：设B (x 0，x 30)，由于y ′＝3x 2，故切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，令y ＝0得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 03，0， 由|OA |＝|AB |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 032＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－2x 032＋(x 30－0)2， 当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 40＝13，故x 20＝33，直线l 的斜率为3x 20＝3， 故直线l 的倾斜角为60°.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．y ＝x cos x 在x ＝π3处的导数值是__________．解析：直接计算，即知所求的导数值为12－36π.答案：12－36π14．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是____________、__________．解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.故f (x )的极大值、极小值分别为 f (－1)＝3，f (1)＝－1， 而f (－3)＝－17，f (0)＝1.故函数f (x )＝x 3－3x ＋1在[－3，0]上的最大值、最小值分别是3、－17. 答案：3 －1715．若曲线y ＝h (x )在点P (a, h (a ))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则h ′(a )与0的大小关系是h ′(a )________0(填“>”、“<”、“＝”)．解析：∵曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处的切线的斜率为h ′(a )，而已知切线方程为2x ＋y ＋1＝0，即斜率为－2，故h ′(a )＝－2，∴h ′(a )＜0.答案：<16．已知函数f (x )＝3x ＋ax ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：由题可知，函数f (x )＝3x ＋ax ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以其导函数f ′(x )＝3（x ＋2）－（3x ＋a ）（x ＋2）2＝6－a （x ＋2）2在(－2，＋∞)上小于零，解得a ＞6.答案：(6，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1，1]的最值．解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3＞0， ∵f ′(x )在[－1，1]内恒大于0， ∴f ′(x )在[－1，1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )min ＝－12； x ＝1时，f (x )max ＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.18．(12分)已知曲线f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋3在x ＝－1处的切线恰好与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标．解析：∵f (－1)＝2，∴曲线y ＝f (x )上的切点为A (－1，2)．∵f ′(x )＝3x 2＋2x ＋1，∴f ′(－1)＝2. ∴切线方程为y －2＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋4.设抛物线上的切点为B (x 0，y 0)，显然抛物线上的切点在抛物线的上支．抛物线上支的方程为y ＝2px ，则y ′＝2p2x，∴y ′|x ＝x 0＝2p 2x 0＝2，得p ＝8x 0.①又∵点B 在切线上，∴2px 0＝2x 0＋4.② 由①②求得p ＝16，x 0＝2，∴y 0＝8.故所求抛物线方程为y 2＝32x ， 所求的切点为(2，8)．19．(12分)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1处取得极值－2，试用c 表示a 和b ，并求f (x )的单调区间．解析：依题意有f (1)＝－2，f ′(1)＝0，而f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 故⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋c ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－2c －3.从而f ′(x )＝3x 2＋2cx －(2c ＋3)＝ (3x ＋2c ＋3)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－2c ＋33.由于f (x )在x ＝1处取得极值，故－2c ＋33≠1，即c ≠－3.(1)若－2c ＋33<1，即c >－3，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2c ＋33时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ＋33，1时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.从而f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2c ＋33和[1，＋∞)；单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ＋33，1.(2)若－2c ＋33＞1，即c ＜－3，同上可得，f (x )的单调增区间为(]－∞，1，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2c ＋33，＋∞；单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2c ＋33. 20．(12分)已知函数f (x )＝23x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－3ax －92(a ∈R )．(1)若函数f (x )图象上点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，求m 的值； (2)若函数f (x )在(1，2)内是增函数，求a 的取值范围．解析：(1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3. 则过P (1，m )的切线斜率为 k ＝f ′(1)＝－1－4a .又∵切线方程为3x －y ＋b ＝0， ∴－1－4a ＝3.即a ＝－1.∴f (x )＝23x 3＋2x 2－3x .∵P (1，m )在f (x )的图象上，∴m ＝－13.(2)∵函数f (x )在(1，2)内是增函数，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3≥0对于一切x ∈(1，2)恒成立，即4ax ≤2x 2－3，∴a ≤x 2－34x，由于x 2－34x在(1，2)上单调递增，∴x 2－34x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，58，即a ≤－14.∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14. 21．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋a －22x 2－2ax －3，g (a )＝16a 3＋5a －7.(1)a ＝1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在区间[－2，0]上不单调，且x ∈[－2，0]时，不等式f (x )＜g (a )恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－12x 2－2x －3，定义域为R ，f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)． 令f ′(x )＞0，得x ＜－1，或x ＞2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)f ′(x )＝x 2＋(a －2)x －2a ＝(x ＋a )(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2，或x ＝－a . ∵函数f (x )在区间[－2，0]上不单调， ∴－a ∈(－2，0)，即0＜a ＜2. 又∵在(－2，－a )上，f ′(x )＞0， 在(－a ，0)上，f ′(x )＜0，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )在[－2，0]上有唯一的极大值点x ＝－a . ∴f (x )在[－2，0]上的最大值为f (－a )．∴当x ∈[－2，0]时，不等式f (x )＜g (a )恒成立，等价于f (－a )＜g (a )．∴－13a 3＋a －22×a 2＋2a 2－3＜g (a )．∴16a 3＋a 2－3＜16a 3＋5a －7. ∴a 2－5a ＋4＜0，解得1＜a ＜4. 综上所述，a 的取值范围是(1，2)．22．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3是否恒成立，并说明理由．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由题意得f ′(x )＝x －ax(x ＞0)，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝（x －a ）（x ＋a ）x.∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0， 当x ＞a ，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x (x ＞1)则g ′(x )＝2x 2－x －1x.∵当x ＞1时，g ′(x )＝（x －1）（2x 2＋x ＋1）x＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数．∴g (x )＞g (1)＝16＞0.即23x 3－12x 2－ln x ＞0， ∴12x 2＋ln x ＜23x 3， 故当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1. 0＜x ＜1是0＜x 2＜1的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若0＜x ＜1，则0＜x 2＜1；若0＜x 2＜1，则0＜x ＜1或－1＜x ＜0，所以0＜x ＜1是0＜x 2＜1的充分不必要条件．2．双曲线x 22－y 24＝－1的渐近线方程为(A)A ．y ＝±2xB ．x ＝±2yC ．y ＝±22xD ．x ＝±22y解析：渐近线方程为y x ＝±22，即y ＝±2x . 3．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为(C) A ．(1，0) B ．(2，8)C ．(1，0)或(－1，－4)D ．(2，8)或(－1，－4)解析：设点P 0的坐标为(x 0，y 0)，依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝y 0，f ′（x 0）＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋x 0－2＝y 0，3x 20＋1＝4，解得，x 0＝1，y 0＝0，或者x 0＝－1，y 0＝－4. 即P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．4．在一椭圆中以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于(B)A.12B.22C.32D.25解析：由已知有b＝c，∴e＝ca ＝22.5．函数f(x)＝13x3＋ax＋1在(－∞，－1)上为增函数，(－1，1)上为减函数，则f(1)的值为(A)A.13B．1C.73D．－1解析：依题意，f′(－1)＝0，又f′(x)＝x2＋a，∴a＝－1，即f(x)＝13x3－x＋1，则f(1)＝13.6．命题“∀x∈R，x2－2x＋4≤0”的否定为(B)A．∀x∈R，x2－2x＋4≥0 B．∃x0∈R，x20－2x0＋4＞0C．∀x∉R，x2－2x＋4≤0 D．∃x0∉R，x20－2x0＋4＞0解析：因为全称命题的否定是特称命题．7．如右图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(B)A．y2＝32x B．y2＝3xC．y2＝92x D．y2＝9x解析：如下图所示，过点A，B分别作AM⊥l，BN⊥l，垂足分别为M，N.设准线与x轴的交点为E，则|AM|＝|AF|＝3，|BN|＝|BF|＝12|BC|，于是，∠BCN＝30°，所以，|AC|＝6，即点F为AC的中点，所以CF＝3，因而p＝|EF|＝32，得到抛物线的方程是y2＝3x.8．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为(D)A ．±1B ．－1C ．1D ．0解析：依题意可设f (x )＝x 4－2x 2＋c ，易知c ＝－5.令f ′(x )＝4x 3－4x ＝0，得x ＝0，±1，可以证明，当f (x )取得极大值－5时，x ＝0.9．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2，3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是(A)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，22解析：因为|PF 1→|·|PF 2→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1→|＋|PF 2→|22＝a 2，依题意，得2c 2≤a 2≤3c 2，解得，33≤e ≤22. 10．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于零的可导函数，且满足f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＞0，则当a ＜x ＜b 时有(B)A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b )B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x )C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x )D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a ) 解析：由f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＞0得， f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2＞0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）g （x ）′＞0，则函数f （x ）g （x ）在区间(a ，b )上递增，所以f （a ）g （a ）＜f （x ）g （x ）＜f （b ）g （b ）， 即f (x )g (a )＞f (a )g (x )．11．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是(A)A ．－19B ．－1 C.19 D.12解析：由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝（2a ）2－（2c ）2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝9，∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c(c2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是(B)A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析：设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|PA |，则|PA |＝2ab c ，又|PA |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a 2c ＝c 4－a 4c2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca＝ 3.选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．椭圆4x 2＋y 2＝64的焦点坐标为______________________，离心率为__________． 解析：将椭圆方程4x 2＋y 2＝64化为标准方程y 264＋x 216＝1，得a ＝8，b ＝4，c ＝a 2－b 2＝43，∴焦点坐标为(0，43)，(0，－43)，离心率e ＝c a ＝32. 答案：(0，43)，(0，－43)3214．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上最大值为________，最小值为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－6x －12＝0得，x ＝2或x ＝－1(舍去)． 因为f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，所以，f (x )max ＝f (0)＝5，f (x )min ＝f (2)＝－15. 答案：5 －1515．双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为(2，0)，则此双曲线的方程是______________________．解析：由于c ＝2，c a＝2，所以，a ＝1，b ＝3，则x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝116．设m ∈Z ，n ∈Z ，有四个命题：(1)∀n ，n 2≥n ；(2)∀n ，n 2＜n ；(3)∀n ，∃m ，m 2＜n ；(4)∃n ，∀m ，mn ＝m .其中真命题的序号是__________(把你认为符合的命题序号都填上)．解析：通过举反例可以否定(2)、(3)；对于(1)，分n ≥0，n ＜0，即可证明；对于(4)，存在n ＝1.所以，填(1)、(4)．答案：(1)(4)三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：f (x )＝43x3－2mx 2＋(4m －3)x －m 在(－∞，＋∞)上单调递增．若(綈p )∧q 为真，求m 得取值范围．解析：p 真时，m ＞2.q 真时，f ′(x )＝4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立．Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，1≤m ≤3. ∵(綈p )∧q 为真，∴p 假，q 真． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1≤m ≤3，即1≤m ≤2. ∴m 的取值范围为[1，2]．18．(12分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解析：本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1，1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.② ∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′|x ＝2＝4a ＋b ＝1，③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝a x(a ＞0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0，3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解析：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (a ＞0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x ＞0)，∵a ＞0，由F ′(x )＞0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )＜0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0＜x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0＜x 0≤3)恒成立，即a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 20＋x 0max， 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，∴a ≥12，∴a max ＝12.20．(12分)设函数f (x )＝－x 3＋3x ＋2分别在x 1、x 2处取得极小值、极大值．xOy 平面上点A 、B 的坐标分别为(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))，该平面上动点P 满足PA →·PB →＝4，点Q 是点P 关于直线y ＝2(x －4)的对称点．(1)求点A 、B 的坐标； (2)求动点Q 的轨迹方程．解析：(1)令f ′(x )＝(－x 3＋3x ＋2)′＝－3x 2＋3＝0，解得x ＝1或x ＝－1， 当x ＜－1时，f ′(x )＜0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0. 所以，函数在x ＝－1处取得极小值，在x ＝1取得极大值，故x 1＝－1，x 2＝1，f (－1)＝0，f (1)＝4，所以， 点A 、B 的坐标为A (－1，0)，B (1，4)． (2) 设P (m ，n )，Q (x ，y )， PA →·PB →＝(－1－m ，－n )·(1－m ，4－n )＝m 2－1＋n 2－4n ＝4，k PQ ＝－12，所以y －n x －m ＝－12，又知PQ 的中点在y ＝2(x －4)上，所以y ＋n 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m 2－4， 消去m ，n 得(x －8)2＋(y ＋2)2＝9.21．(12分)在实数集R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(x ＋a )(1－y )，若f (x )＝x 2，g (x )＝x ，若F (x )＝f (x )⊗g (x )．(1)求F (x )的解析式．(2)若F (x )在R 上是减函数，求实数a 的取值范围．(3)若a ＝53，F (x )的图象上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．解析：(1)F (x )＝(x 2＋a )(1－x )＝－x 3＋x 2－ax ＋a .(2)∵F ′(x )＝－3x 2＋2x －a ，因为当x ∈(－∞，＋∞)上时，F (x )单调递减，∴ F ′(x )＝－3x 2＋2x －a ≤0在x ∈(－∞，＋∞)上恒成立．∴ Δ＝4－12a ≤0, 解得：a ≥13.∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. (3)若a ＝53时，F (x )＝－x 3＋x 2－53x ＋53，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是F (x )曲线上的任意两点，∵ F ′(x )＝－3x 2＋2x －53＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋43＜0，∴ F ′(x 1)F ′(x 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－132＋43·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－132＋43＞0.∴ F ′(x 1)F ′(x 2)＝－1不成立．∴F (x )的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4，1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解析：(1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2. 又椭圆过点M (4，1)，所以16a 2＋1b2＝1， 则可得b 2＝5，a 2＝20， 故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得 5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)＞0，得－5＜m ＜5.设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205.k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝（y 1－1）（x 2－4）＋（y 2－1）（x 1－4）（x 1－4）（x 2－4）.上式分子＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)·(x1－4)＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)＝2（4m2－20）5－8m（m－5）5－8(m－1)＝0，即k1＋k2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．33167 818F 膏-22620 585C 塜39502 9A4E 驎39587 9AA3 骣 21365 5375 卵23959 5D97 嶗30657 77C1 矁33782 83F6 菶25661 643D 搽421727 54DF 哟+。

2021年09月30日试卷一、单选题(共25题；共0分)1、(0分)函数 f (x )的图象在点 x =5处的切线方程是 y =−x +8 ， 则 f (5)+f′(5)等于( )A. 1B. 2C. 0D. 32、(0分)过点 M (1,1)且与曲线 y =x 3+1相切的直线方程是( ) A. 27x −4y −23=0 B. 23x −3y −12=0或 y =3C. 5x −17y +9=0D. 27x −4y −23=0或 y =13、(0分)函数y= cosx 1−x的导数是（ ）A. cosx+sinx+xsinx(1−x)2B. cosx-sinx+xsinx(1−x)2C.cosx-sinx+xsinx1−xD.cosx+sinx-xsinx(1−x)24、(0分)曲线 y =e x2在点 (4,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A. 92e 2B. 4e 2C. 2e 2D. e 25、(0分)设 a ∈R ， 函数 f (x )=e x +ae −x 的导函数是 f′(x ) ， 且 f′(x )是奇函数，若曲线 y =f (x )的一条切线的斜率是 32 ， 则切点的横坐标为（ ）A. −ln22B. −ln2C. ln2D.ln226、(0分)已知函数f(x)=x 33+12ax 2+2bx +c 的两个极值分别为f(x 1)和f(x 2)，若x 1和x 2分别在区间(−2,0)与(0,2)内，则b−2a−1的取值范围为（ ） A. (−2,23)B. [−2,23]C. (−∞,−2)∪(23,+∞)D. (−∞,−2]∪[23,+∞)7、(0分)对于三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx +d(a ≠0)，给出定义：设f ′(x)是函数y =f(x) 的导数，f ″(x)是f ′(x)的导数，若方程f ″(x)=0有实数解x 0，则称点(x 0,f(x 0))为函数y =f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=13x 3−12x 2+3x −512，则g(12019)+g(22019)+⋅⋅⋅+g(20182019)=( )A. 2016B. 2017C. 2018D. 20198、(0分)定义在(0,π2)上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f′(x)tanx成立，则（）A. √3f(π6)<f(π3) B. f(1)<2f(π6)sin1C. √2f(π6)>f(π4) D. √3f(π4)>√2f(π3)9、(0分)设函数f(x)=lnx+a2x2−bx，若x=1是函数f(x)的极大值点，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (−∞,0)D. (−∞,0]10、(0分)已知函数的导函数为，且满足，则（）A.B.C. D.11、(0分)已知f(x)=x3−ax2+4x有两个极值点x1,x2、且f(x)在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值范围是（）A. a>72B. a≥72C. a<72D. a≤7212、(0分)设函数y=f(x),x∈R的导函数为f′(x)，且f(−x)=f(x)，f′(x)<f(x)，则下列成立的是（）A. f(0)<e1f(1)<e2f(2)B. e2f(2)<f(0)<e1f(1)C. e2f(2)<e1f(1)<f(0)D. e1f(1)<f(0)<e2f(2)13、(0分)已知函数y=f(x)的定义域为R，满足(x−2)f′(x)>0且函数y=f(x+2)为偶函数，a=f(2),b=f(log0.23),c=f(2√5)，则实数a,b,c的大小关系是（）A. a>B>cB. c>b>aC. b>c>aD. c>a>b14、(0分)设函数F(x)=f(x)e x是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)< f(x)对于x∈R恒成立，则（）A. f(2)>e2f(0),f(2012)>e2012f(0)B. f(2)<e2f(0),f(2012)>e2012f(0)C. f(2)<e2f(0),f(2012)<e2012f(0)D. f(2)>e2f(0),f(2012)<e2012f(0)15、(0分)已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)=−3，且对任意x∈R总有f′(x)< 3，则不等式f(x)<3x−15的解集为( )A. (−∞,4)B. (−∞,−4)C. (−∞,−4)∪(4,+∞)D. (4,+∞)16、(0分)已知，若，则a的值等于（）A. B.C. D.17、(0分)已知，则等于（）A. B.C. ln 2D.18、(0分)函数c=√2在a=1处的导数是( )A. 0B. 1C. b2=c2−a2=1D. x2−y2=119、(0分)已知函数f(x)=6−x3,g(x)=e x−1，则这两个函数的导函数分别为( )A. f′(x)=6−3x2,g′(x)=e xB. f′(x)=−3x2,g′(x)=e x−1C. f′(x)=−3x2,g′(x)=e xD. f′(x)=6−3x2,g′(x)=e x−120、(0分)函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )A. k1>k2B. k1<k2C. k1＝k2D. 不确定，则（）21、(0分)函数f(x)=lnxxA. x=e为函数f(x)的极大值点B. x=e为函数f(x)的极小值点C. x=1为函数f(x)的极大值点e为函数f(x)的极小值点D. x=1e22、(0分)已知函数f(x)=x2−ax的图像在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y+2=0垂直，若数列{1f(n)}的前n项和为S n，则S2013的值为( )A. 20102011B. 20112012C. 20122013D. 2013201423、(0分)设函数f(x)=e x(sinx−cosx)(0≤x≤2012π)，则函数f(x)的各极小值之和为（）A. −e 2π(1−e2012π)1−e2πB. −e2π(1−e1006π)1−eπC. −e 2π(1−e1006π)1−e2πD. −e2π(1−e2010π)1−e2π24、(0分)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，A在曲线y=x2sinx+xcosx,x∈[π3,2π3]上，则曲线y=f(x)的切线的斜率的最大值是（）A. 3π4B. 32C. 3√3π4+34D. 3√3π4−3425、(0分)已知函数f(x)=x3+mx2+(m+n)x+12的两个极值点分别为x1,x2，且x1∈(0,1)，x2∈(1,+∞)，点p(m,n)表示的平面区域为D，若函数y=log a(x+4)(a>1)的图像上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）A. (1,3]B. (1,3)C. (3,+∞)D. [3,+∞)二、填空题(共10题；共0分)26、(0分)设函数f（x）=（1﹣2x）10，则f′（1）= _____________ ．27、(0分)y= 1−e x1+e x的导数为_____________ ．28、(0分)已知圆C:x2+(y−1)2=r2与曲线y=sinx有唯一的公共点，且公共点的横坐标为α，若2sin2α−4cosα=λ⋅α，则λ=．29、(0分)函数y=f(x)图象上不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)处的切线的斜率分别是k A,k B，规定φ(A,B)=|k A−k B||AB|2叫做曲线y=f(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”.设曲线y=e x+x上不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1−x2=1，则φ(A,B)的取值范围是．30、(0分)垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x 3+3x 2﹣5相切的直线方程是_____________31、(0分)函数f（x）=x 3+x 2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围为_____________32、(0分)函数f(x)=axlnx+1,(a∈R)，若满足limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=2，则a=．33、(0分)曲线f(x)=1x+2x在x=1处的切线方程为．34、(0分)y=-x3-x在（4，1）处的导数为。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列是函数f (x )在[a ，b ]上的图象，则f (x )在(a ，b )上无最大值的是( )【解析】 在开区间(a ，b )上，只有D 选项中的函数f (x )无最大值． 【答案】 D2．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174D ．22＋12【解析】 由f ′(x )＝1x －1x 2＝x 32－1x 2＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1]时，f ′(x )<0；x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 【答案】 B3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值为( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. 因为f (0)＝2，f (－1)＝－2，f (1)＝0， 所以M ＝2，m ＝－2. 所以M －m ＝4. 【答案】 C4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )A ．0≤a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜12【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0得x 2＝a . ∴x ＝±a .又∵f (x )在(0,1)内有最小值， ∴0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.故选B. 【答案】 B5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．0【解析】 ∵f ′(x )＝3ax 2， ∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2＞0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20， ∴c ＝4. 【答案】 B 二、填空题6．函数f (x )＝3x ＋sin x 在x ∈[0，π]上的最小值为________． 【解析】 f ′(x )＝3x ln 3＋cos x .∵x ∈[0，π]时，3x ln 3＞1，－1≤cos x ≤1， ∴f ′(x )＞0.∴f (x )递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1. 【答案】 17．已知函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (a ，b 为实数，且a ＞1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－1，则a ＝________，b ＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3ax ＝3x (x －a )， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝a . ∵a ＞1，∴当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：f (－1)＝－3a 2，f (1)＝2－3a2， f (－1)＜f (1)， ∴－3a 2＝－1，∴a ＝23. 【答案】 23 18．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________. 【导学号：26160094】【解析】 ∵x ∈(0,1]， ∴f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4. 令g ′(x )＝0，得x ＝12. 当 0<x <12时，g ′(x )>0； 当12<x ≤1时，g ′(x )<0.∴g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，它也是最大值，故a ≥4. 【答案】 [4，＋∞) 三、解答题9．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]； (2)y ＝5－36x ＋3x 2＋4x 3，x ∈(－2,2)．【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f ′(x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.(2)y ′＝－36＋6x ＋12x 2，令y ′＝0，即12x 2＋6x －36＝0，解得x 1＝32，x 2＝－2(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，32时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，f ′(x )＞0，函数单调递增． ∴函数f (x )在x ＝32时取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2834，无极大值，即在(－2,2)上函数f (x )的最小值为－2834，无最大值．10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．【解】 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a ；令29＋2a >0，得a >－19.所以，当a >－19时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a 2. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)，所以f (x )在[1,4]上的最小值为 f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.[能力提升]1．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )【解析】 令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为减函数，∴u (x )在[a ，b ]上的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )． 【答案】 A2．设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln 3) B.13ln 3 C ．1＋ln 3D ．ln 3－1【解析】 由题意知，|MN |＝|x 3－ln x |.设h (x )＝x 3－ln x ，h ′(x )＝3x 2－1x ，令h ′(x )＝0，得x ＝313，易知，当x ＝313时，h (x )取得最小值，h (x )min ＝13－13ln 13＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 13>0，故|MN |min ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 13＝13(1＋ln 3)．【答案】 A3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2(a >0)，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：26160095】【解析】 由f (x )≥2，得a ≥2x 2－2x 2ln x . 设g (x )＝2x 2－2x 2ln x ， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )， 令g ′(x )＝0，得x ＝e 12或x ＝0(舍去)，因为当0<x <e 12 时，g ′(x )>0；当x >e 12 时，g ′(x )<0. 所以当x ＝e 12时，g (x )取得最大值g (e 12)＝e ，故a ≥e.【答案】 a ≥e4．设23＜a ＜1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b 的值．【解】 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 由题意可知当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：而f (0)＞f (a )，f (1)＞f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小． 因为f (0)－f (1)＝32a －1＞0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ，所以b ＝1， 又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)＜0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ， 所以－32a ＝－62，所以a ＝63. 综上，a ＝63，b ＝1.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( )A ．－3B ．2C ．3D ．－2【解析】 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ，则Δy Δx ＝( ) A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3 【解析】 ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2，∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx .故选D. 【答案】 D3．若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．81【解析】因为ΔsΔt＝3(3＋Δt)2－3×32Δt＝18Δt＋3(Δt)2Δt＝18＋3Δt，所以limΔt→0ΔsΔt＝18.【答案】 B4.如图3－1－1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()图3－1－1A．1 B．－1C．2 D．－2【解析】ΔyΔx＝f(3)－f(1)3－1＝1－32＝－1.【答案】 B5．已知函数f(x)＝13－8x＋2x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为() A．0 B．3C．3 2 D．6 2【解析】f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝lim Δx→0[13－8(x0＋Δx)＋2(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋2x20)Δx＝limΔx→0－8Δx＋22x0Δx＋2(Δx)2Δx＝limΔx→0(－8＋22x0＋2Δx)＝－8＋22x0＝4，所以x0＝3 2. 【答案】 C二、填空题6．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.【解析】 Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt ＝7Δt ＋14t 0，当lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t 0＝114.【答案】 1147．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．【解析】 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝2－(2＋Δx )2(2＋Δx )＝－Δx2(2＋Δx )，∴Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx )，即k ＝Δy Δx ＝－12(2＋Δx ).∴当Δx ＝1时，k ＝－12×(2＋1)＝－16.【答案】 －168．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(2)＝________.【解析】 lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝limΔx →0 －Δx2(2＋Δx )Δx＝limΔx →0 －12(2＋Δx )＝－14.【答案】 －14三、解答题9．求y ＝x 2＋1x ＋5在x ＝2处的导数． 【解】 ∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5 ＝4Δx ＋(Δx )2＋－Δx 2(2＋Δx )， ∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋Δx －14＋2Δx＝4＋0－14＋2×0＝154. 10．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围. 【导学号：26160069】【解】 因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， 所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．[能力提升]1．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ， k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx . 因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定．【答案】 D2．设函数在x ＝1处存在导数，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝( ) A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)【解析】 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13f ′(1)． 【答案】 C3．如图3－1－2是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．图3－1－2【解析】 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为：f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 【答案】 344．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2(s 的单位是：m ，t 的单位是：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2 s 时的瞬时速度；(3)求t ＝0 s 到t ＝2 s 时的平均速度. 【导学号：26160070】【解】 (1)s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt . 当Δt →0时，s (Δt )－s (0)Δt→3， 所以v 0＝3.(2)s (2＋Δt )－s (2)Δt＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)Δt＝－Δt －1. 当Δt →0时，s (2＋Δt )－s (2)Δt →－1， 所以t ＝2时的瞬时速度为－1.(3)v ＝s (2)－s (0)2＝6－4－02＝1.。

阶段质量检测（三） 导数及其应用(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos x C ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数． 2．曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋3 B ．y ＝－3x ＋1 C ．y ＝－3D ．x ＝2解析：选C 因为y ′＝f ′(x )＝3x 2－6x ，则曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝3×22－6×2＝0， 所以切线方程为y ＝－3.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦⎤0， 22 B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0， 22 D.⎣⎡⎭⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎤0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12C ．0D ．－1解析：选A f ′(x )＝3－12x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1， ∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．已知物体的运动方程是S (t )＝t 2＋1t (t 的单位：s ，S 的单位：m)，则物体在时刻t ＝2时的速度v 与加速度a 分别为( )A.154 m/s ，94 m/s 2 B.152 m/s ，92 m/s 2C.92 m/s ，154m/s 2 D.94 m/s ，154m/s 2解析：选A S ′(t )＝2t －1t 2，∴v ＝S ′(2)＝2×2－14＝154 (m/s)．令g (t )＝S ′(t )＝2t －1t 2，∴g ′(t )＝2＋2t －3，∴a ＝g ′(2)＝94(m/s 2)．8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时， g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3， y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)， f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数， ∴x ＝6时y 取得最大值．11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B.⎣⎡⎦⎤0，253 C.⎣⎡⎭⎫253，＋∞ D ．[9，＋∞) 解析：选C ∵f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上是增函数， ∴f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上恒成立， ∵f ′(x )＝2x ＋a －1x 2在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上递增， ∴f ′⎝⎛⎭⎫13＝23－9＋a ≥0，∴a ≥253.故选C. 12．定义在(0，＋∞)上的可导函数f (x )满足f ′(x )·x ＜f (x )，且f (2)＝0，则 f (x )x ＞0的解集为( )A ．(0,2)B ．(0,2)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．∅解析：选A ∵⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝f ′(x )·x －f (x )x 2＜0，∴f (x )x在(0，＋∞)上为减函数． 又∵f (2)＝0，∴f (2)2＝0. ∴f (x )x＞0的解集为0＜x ＜2，故选A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝x 2－2 f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23.答案：2314．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为__________． 解析：y ′＝12x－1＝1－2x 2x，令y ′＝0得x ＝14.∵0＜x ＜14时，y ′＞0；x ＞14时，y ′＜0.∴x ＝14时，y max ＝14－14＝14. 答案：1415．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b 16．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解：(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a >0)． (1)若a ＝1，求函数f (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝f (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x ， 定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)由(1)知f ′(x )＝x －ax 2(0<x ≤3)， 则k ＝f ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立， 即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max . 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， 所以a ≥12，所以a 的最小值为12.19．(本小题满分12分)已知某厂生产x 件产品的成本C ＝25 000＋200x ＋140x 2 (单位：元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品？ 解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x 40，y ′＝－25 000x 2＋140，令y ′＝0，得x ＝1 000或x ＝－1 000(舍去)．当在x ＝1 000附近左侧时y ′＜0，当在x ＝1 000附近右侧时y ′＞0，故当x ＝1 000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y ′＝0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数L ＝500x －⎝⎛⎭⎫25 000＋200x ＋x240 ＝300x －25 000－x 240.L ′＝300－x 20， 令L ′＝0，解得x ＝6 000.当在x ＝6 000附近左侧时L ′＞0，当在x ＝6 000附近右侧时L ′＜0， 故当x ＝6 000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值， 故函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R.∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0， ∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增，由g ′(x )<0得x <0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. ∴f (x )在R 上单调递增．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (x ∈R)．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3是否恒成立，并说明理由．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由题意得f ′(x )＝x －ax (x ＞0)， 当a ≤0时，f ′(x )＞0恒成立， ∴f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x， ∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0； 当x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (2)当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立，理由如下：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x (x ＞1)，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴g (x )＞g (1)＝16＞0.即23x 3－12x 2－ln x ＞0，∴12x 2＋ln x ＜23x 3， 故当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3恒成立．22．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，所以f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点， 所以－43＜k ＜283.所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－43，283.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( )A ．－3B ．2C ．3D ．－2【解析】 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a＝3.故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ，则ΔyΔx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3【解析】 ∵Δy ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2，∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx .故选D. 【答案】 D3．若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54D ．81【解析】因为ΔsΔt＝3(3＋Δt)2－3×32Δt＝18Δt＋3(Δt)2Δt＝18＋3Δt，所以limΔt→0ΔsΔt＝18.【答案】 B4.如图3－1－1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()图3－1－1A．1 B．－1C．2 D．－2【解析】ΔyΔx＝f(3)－f(1)3－1＝1－32＝－1.【答案】 B5．已知函数f(x)＝13－8x＋2x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为() A．0 B．3C．3 2 D．6 2【解析】f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝lim Δx→0[13－8(x0＋Δx)＋2(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋2x20)Δx＝limΔx→0－8Δx＋22x0Δx＋2(Δx)2Δx＝limΔx→0(－8＋22x0＋2Δx)＝－8＋22x0＝4，所以x0＝3 2. 【答案】 C二、填空题6．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.【解析】 Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt＝7Δt ＋14t 0， 当lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t 0＝114. 【答案】 1147．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．【解析】 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝2－(2＋Δx )2(2＋Δx )＝－Δx 2(2＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－Δx 2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx )，即k ＝Δy Δx ＝－12(2＋Δx ).∴当Δx ＝1时，k ＝－12×(2＋1)＝－16.【答案】 －168．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(2)＝________. 【解析】 lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝limΔx →0 －Δx 2(2＋Δx )Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14.【答案】 －14 三、解答题9．求y ＝x 2＋1x ＋5在x ＝2处的导数．【解】 ∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5 ＝4Δx ＋(Δx )2＋－Δx2(2＋Δx )，∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx ，∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋Δx －14＋2Δx＝4＋0－14＋2×0＝154.10．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围.【导学号：26160069】【解】 因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx ＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ， 所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又因为Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．[能力提升]1．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ， k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx . 因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定． 【答案】 D2．设函数在x ＝1处存在导数，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.13f ′(1)D ．f ′(3)【解析】 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)． 【答案】 C3．如图3－1－2是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．图3－1－2【解析】 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为：f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.【答案】 344．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2(s 的单位是：m ，t 的单位是：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2 s 时的瞬时速度；(3)求t ＝0 s 到t ＝2 s 时的平均速度. 【导学号：26160070】 【解】 (1)s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt . 当Δt →0时，s (Δt )－s (0)Δt→3， 所以v 0＝3. (2)s (2＋Δt )－s (2)Δt＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)Δt ＝－Δt －1. 当Δt →0时，s (2＋Δt )－s (2)Δt →－1， 所以t ＝2时的瞬时速度为－1. (3)v ＝s (2)－s (0)2＝6－4－02＝1.。