化归法与递推法

小学数学教材中的化归法及其教学方法《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出课程内容要反映社会的需求、数学的特点,要符合学生的认知规律。

它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。

”ra化归法是最重要、最基本的数学思想方法之一。

化归即转化归结的意思，化归法就是把当前有待解决的问题，通过转化，归结为已经解决或容易解决的问题吒匈牙利著名数学家罗莎?彼得在她的名著《无穷的玩艺》中写到“数学往往不是对问题进行正面攻击，而是不断对它进行变形，直到把它转化成能够解决的问题”。

我国关于化归法最早的研究，起源于东汉时期成书的数学巨著《九章算术》，书中很多问题的解答都体现了化归法。

纵观小学数学教材，化归法贯穿于一年级到六年级始末，有着广泛应用。

化归法符合小学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握。

化归法有利于小学生形成完整的知识结构,从而提高自学能力。

学生领会了化归法后，不仅能解决学习上碰到的问题，更能在生活中灵活运用。

如何进行化归法的教学,提高学生分析和解决问题的能力呢？本文在系统梳理和总结人教版小学数学教材中蕴含的化归法的基础上，化归法进行分类，并提出一些化归法的教学策略。

一、小学数学教材中的化归法分类举隅化归的原则是以巳知的、简单的、具体的、特殊的和基本的知识为基础，将未知的化为已知的、复杂的化为简单的、抽象的化为具体的、一般的化为特殊的、非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。

鉴于小学生的年龄和学习特点，小学数学教材中的化归法主要分为三类。

1.化抽象为具体化抽象为具体,通俗地说就是把抽象枯燥的数学概念转化为具体形象的东西来理解的方法。

这种方法在小学数学教材中普遍存在。

众所周知，数学是研究数量关系和空间形式的科学，它的研究对象都是抽象的。

比如数，现实生活中是没有1、2、3等数存在的，它是人脑抽象的产物,但一年级学生在认识100以内数的时候，并没有遇到障碍和困难，而是非常自然地接受和认识了这些数,这是因为教材巳经用化归法把抽象的数转化为生活中具体的物体个数了。

“化归法”在高等数学教学中的应用1. 引言1.1 什么是化归法化归法，顾名思义，即将一个复杂问题或命题通过逐步简化，逐步化归而变得易于解决的方法。

在数学领域中，化归法是一种常用的证明方法，特别在高等数学教学中有着重要的应用价值。

通过化归法，我们可以将复杂的证明问题简化为一系列易于验证的命题，从而更加系统地推导出结论。

在化归法中，最重要的思想是将复杂问题分解为更简单的子问题，并逐步解决这些子问题，最终得到原问题的解答。

通过逐步化归，可以清晰地呈现问题的逻辑结构，帮助学生更好地理解问题的本质，并掌握解决问题的方法。

化归法不仅在数学中有着广泛的应用，而且在其他领域，如计算机科学、逻辑学等领域也有着重要的地位。

通过化归法，我们可以解决各种复杂的问题，提高问题的可解性和可验证性。

在高等数学教学中，化归法的应用可以帮助学生培养逻辑推理能力，拓展思维广度，提高问题解决能力。

化归法在高等数学教学中具有不可替代的重要性。

通过系统地讲解化归法的基本原理、步骤和方法，并结合实际应用举例，可以更好地帮助学生理解和掌握化归法，为他们将来的学习和工作打下坚实的基础。

1.2 化归法在高等数学教学中的重要性在高等数学教学中，化归法能够帮助学生更好地理解抽象概念和理论，通过将问题化归为更简单的形式，使学生能够更好地把握问题的本质，从而更好地掌握相关知识点。

化归法还可以帮助学生提高解决问题的效率，通过逻辑推理和归纳总结，找到问题的解决方案。

化归法在高等数学教学中的重要性不言而喻。

它不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以培养学生的思维能力和解决问题的能力。

通过学习化归法，学生可以更好地应对数学学习中的各种难题，为未来的学习和工作奠定良好的基础。

2. 正文2.1 化归法的基本原理化归法是一种重要的数学方法，其基本原理是将一个复杂的问题转化为一个或多个简单的问题，通过解决这些简单问题来解决原始问题。

通过分解问题、找到规律和逐步推导等方法，化归法能够将问题化简为易于处理的形式，从而解决复杂的数学难题。

数学解题思想【数学解题中的化归思想】一、化归的基本思想“化归”就是转化与归结的简称.化归方法是数学上解决问题的一般方法，其基本思想是：在解决问题数学问题时，常常将有待解决的问题P，通过某种转化手段，归结为另一个问题Q，而问题Q是一个相对比较容易解决或者已有明确解决方法的问题，且通过对问题Q的解决可以联想到问题P的解决.用框图可以直观表示如下：其中，问题P常被称作化归对象，问题Q常被称作化归目标或方向，其转化的手段也就被称作化归途径或者化归策略.二、化归的基本原则在处理数学问题的过程中，常将有待解决的陌生、不熟悉的问题通过转化，将它归结为一个或几个比较熟悉或者比较简单的问题来解决.这样就可以充分运用我们已有的知识、经验与方法来帮助我们处理和解决问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际的问题转化为数学问题；将不同数学分支的知识相互转化，较多见于平面与空间、解析与三角、代数与几何，等等，从而使问题易于解决.三、化归的基本类型1.常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，可以选取原来是常量或参数看做“主元”，而把原来的变元看做“常量”，从而简化其运算的策略.例1.已知方程ax+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数，问a何值时，原方程至少有一个整数根.分析：若采用方程求根公式x=来讨论x的整数值，显然十分复杂.在原方程中，x是变元，a是参数，不妨把a与x的位置换一下，把a看做变元，x看做参数来处理.解：将原方程以a作变元，重新整理，得a（x+2）=2x+7①显然，当x=-2时，①式不成立.因此，有a=（x≠-2）②若要a为正整数，则须2x+7≥（x+2）解得-3≤x≤1（x∈Z，x≠-2），因此x只能在-3，-1，0，1中取值.分别代入②式中即知，仅当x=-3，x=-1和x=1时能使a 为正整数，此时分别有a=1和a=5，即当a为1或5时原方程至少有一个整数根.2.数与形之间的转化数与形是数学的两个主要研究对象，通过数与形的转化，可以利用数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量之间的关系.例2.求函数f（x）=的值域.分析：本题的难点在于根号难以处理，若使用单纯换元法难以奏效.结合直线的斜率的几何意义，可以构造半圆来处理根号.解：设y=，则f（x）==，于是所求y的值域就是求定点A（1，-2）与半圆y=即（x-2）+y=1（y≥0且x≠1）上的动点P（x，y）所确定的直线PA的斜率的范围.由图1知直线PA的A（1，-2）斜率为［1，+∞），即f（x）的值域为［1，+∞）.图13.一般与特殊的转化若要处理的数学问题从正面不易找到着手点时，一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性的问题来解决；反过来，特殊性难以解决的问题，也可以考虑从一般性的问题来解决.例3.设f（n）=++。

数学证明方法与技巧总结在数学学习过程中，证明是重要而不可忽视的一部分。

通过证明，我们能够理解数学概念的本质，培养逻辑推理和问题解决的能力。

本文将总结一些数学证明的方法与技巧，帮助读者提升证明的能力。

一、直接证明法直接证明法是证明中最常见和基础的方法之一。

其基本思路是根据已知条件和数学定理，逐步推导出结论。

例如，要证明一个命题P，可以通过列出前提条件和已知定理，然后使用推理规则一步步推导出结论P。

这种方法通常具有清晰的逻辑思路和简洁的推理过程。

二、反证法反证法是通过假设所要证明命题的否定是成立的，然后推导出矛盾的结论，从而否定了原先的假设。

例如，要证明一个命题P，可以先假设P的否定是成立的，然后根据已知条件和数学定理，推导出与已知矛盾的结论。

这种方法通常用于证明一些唯一性命题和存在性命题。

三、归纳法归纳法常用于证明与自然数相关的命题，其基本思想是通过证明命题在某个特定情况下成立，并证明在对应情况成立的基础上，下一个情况也成立。

具体来说，可以通过以下步骤进行归纳证明：1.首先证明基础情况，即证明命题在一个特定的初始情况下成立。

2.假设在第n个情况下命题成立，然后利用这一假设证明在第n+1个情况下命题也成立。

3.根据数学归纳法的原理，由1和2可得，对于所有情况，命题都成立。

四、向前推进法向前推进法适用于证明具有递推关系的数列、数学关系或数学算法等问题。

其基本思路是利用已知条件和数学定理，通过一步一步向前推导的方式，最终得到所要证明的结论。

这种方法通常需要分析问题的性质和规律，并找出递推关系，然后利用关系推导出结论。

五、结构对应法结构对应法常用于证明几何图形的性质，其主要 relies on the concept of mapping of a structure onto a com相关思想是将所要证明的结构通过一个映射关系，对应到另一个已知的结构，然后利用已知结构的性质证明原结构的性质。

例如，要证明两个三角形具有相似性质，可以找到一个映射关系，将一个三角形的各个元素对应到另一个三角形的相应元素，然后利用已知三角形的性质证明原三角形的性质。

举例说明化归三个方法化归是数学中常用的一种方法，用于将问题转化为更简单的形式，从而更容易解决。

下面举例说明化归的三种常见方法：代换法、递推法和对称法。

一、代换法代换法是指通过引入新的变量或函数，将原问题转化为一个等价的、更易解的问题。

例1：求解方程x^3-4x^2+5x+2=0的根。

解：我们可以使用代换法将该方程转化为一个更简单的形式。

设y=x-2，则有x=y+2、将x的表达式代入原方程，得到(y+2)^3-4(y+2)^2+5(y+2)+2=0。

化简后得到y^3+2y-8=0。

这是一个更易解的方程，我们可以直接求解它得到y的解，再将y的解带回原方程中求得x的解。

例2：证明任意正整数都可以表示为4个整数的平方和。

解：我们可以使用代换法将该问题转化为一个更易证明的形式。

设n=4k+r，其中k为非负整数，r为0、1、2或3、我们可以证明，对于r=0,1,2,3的情况，都存在一组整数a、b、c、d使得n=a^2+b^2+c^2+d^2、进一步地，我们可以利用代换法证明r=0的情况，然后利用模4的性质证明r=1,2,3的情况。

二、递推法递推法是指通过已知的几个或一些特殊情况的解，推导出问题的一般解。

例3：求解斐波那契数列。

解：斐波那契数列是以递推方式定义的数列，其中每一项都等于前两项的和。

已知第一项F(1)=1、第二项F(2)=1，我们可以使用递推法求解其余的项。

根据递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)，可以依次计算出F(3)、F(4)、F(5)等，得到整个数列的解。

例4：求解汉诺塔问题。

解：汉诺塔问题是一个经典的递推问题，要求将n个盘子从一根柱子移动到另一根柱子，且在移动过程中要满足一个规则：任意时刻都不能将较大的盘子放在较小的盘子上。

已知当n=1时，只需要进行一次移动。

根据这个特殊情况的解，我们可以通过递推的方式求解出移动n个盘子的总步数和移动路径。

三、对称法对称法是指通过寻找问题中的其中一种对称关系，将问题转化为一个与之对称的更易解的问题。

举例说明化归三个方法化归是数学中常用的思维方法之一，用于简化问题的求解过程。

化归方法的核心是将原问题转化为等价的、更简单的问题来求解。

在数学中，常见的化归方法有代入法、递推法和反证法。

一、代入法代入法是将未知量或变量替换为已知量或常量的一种方法。

通过找到适当的代入值，可以简化问题的复杂性。

代入法常用于方程求解、函数定义、等式验证等问题中。

举例：1.方程求解假设有一个一元二次方程：$ax^2+bx+c=0$，其中$a \neq 0$。

为了求解该方程的解，可以使用代入法。

假设$x_1$为方程的一个解，将$x_1$代入方程中，得到$a{x_1}^2 + bx_1 + c = 0$。

根据这个等式，可以将$b$和$c$表示为$x_1$和$a$的函数，从而化简方程的求解过程。

2.函数定义假设有一个函数$f(x)$的定义为$f(x)=2x+1$。

为了求解$f(x)$在其中一特定点$x_0$处的值，可以使用代入法。

将$x_0$代入函数定义中，得到$f(x_0)=2x_0+1$，从而得到函数在$x_0$点处的值。

二、递推法递推法是通过已知规律的数列或关系式，利用前一项或前几项来确定后一项的方法。

递推法常应用于数列、递归和动态规划等问题中。

举例：1.斐波那契数列斐波那契数列是一个典型的可以使用递推法求解的数列。

该数列的规律是，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

即$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$，其中$F(1)=0$，$F(2)=1$。

通过递推方法，可以依次求解出数列中的每一项。

2.动态规划动态规划是一种用于解决具有最优子结构性质的问题的方法。

动态规划的核心思想是将问题分解为多个子问题，并通过当前子问题的解来推导出更大规模问题的解。

通过递推的方式逐步求解子问题，在每一步选择最优的解，最终得到原问题的最优解。

三、反证法反证法是一种证明方法，利用推理的反向思维来证明一些命题的方法。

反证法通常通过假设命题的否定，推导出与已知事实或已有定理矛盾的结论，从而推翻假设命题的否定，进而证明了原命题。

化归方法一、化归方法在小学数学教学中的体现在小学数学教学中，小数乘法、除法分别化归为整数乘法、除法；异分母加法、减法化归为同分母加法、减法，进而又化归为整数（分子）的加法、减法；平行四边形、三角形、梯形、圆的面积公式及圆柱的体积公式都是通过化归得到的；组合图形的面积计算也是通过化归的方法进行计算的；因此，化归方法在小学数学教学中有相当多的体现。

二、化归方法的基本知识1、一个未必真实的故事据说有人给一位数学家和一位物理学家同时提了如下的两个问题：问题1 假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它是空的）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？问题2假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它盛满了水）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？对于问题在1，两人的回答是一致的：在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。

而对于问题2，两人的回答却大相径庭，物理学家的回答是：点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。

数学家的回答是：倒掉壶中的水，把问题2转化为问题1，由于问题1已经解决，所以问题2也随之解决。

这个故事或许太夸大了，但它却形象地说明了数学家思维方式的重要特征。

2、化归方法的含义从字面上看，“化归”即转化和归结的意思。

“化归方法”一般是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。

简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。

例1平行四边形面积学生不会求，但通过剪拼的方法把平行四边形转化为长方形，而长方形的面积学生是会求的，再通过原平行四边形和转化所得的长方形关系的比较，得到求平行四边形面积的一般方法。

化归是解决数学问题的一种极为重要的思想方法，它甚至被称为是数学家的思想。

从宏观上看，化归思想是解决数学问题形成数学构想的方法论依据。

解析几何就是把几何问题化归为代数问题，函数图像是把代数问题化归为几何问题来解决的工具。

从微观方面看，数学问题的解决过程就是不断地发现问题、分析问题，直到化归为熟悉问题的过程。