一、计算题（一）函数部分1、已知1)1(2++=-x x x f ,求⎪⎭⎫⎝⎛-11x f . 解 令u x =-1,得()33111)(22++=++++=u u u u u f , 所以()31311112+-+-=⎪⎭⎫⎝⎛-x x x f . 2. 已知()x x x f +=+21,求()x f .解法1 因为()()()()x x x f x x x f -=⇒+-+=+22111.解法2 令1+=x t ,则1-=t x ,得()()()()x x x f t t t t t f -=⇒-=-+-=22211.3. 设函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=.0,21sin ,0,sin x x x x x x x f ϕϕ其中()⎩⎨⎧<-≥=.1,1,1,1x x x ϕ,求函数()x f 的表达式.解 将ϕ在[)1,0区间和[)+∞,1上的表达式给出,代入f 的表达式中即得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--<≤-≥+=.0,21sin ,10,1sin ,1,1sin x x x x x x x f .4. 已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,求()x f . 解 因为2111222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x f ,所以()22-=x x f .5. (1) 已知()()212x x f x f =-+,求()x f 的表达式;(2) 已知0,112>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x f ,求()x f ;(3) 已知()212121sin cos cos sin x x x x x x f +=+,求()x f . 解 (1) 令t x =-1代入方程得()()()2112t t f t f -=+-,因而有方程组()()()()()⎩⎨⎧-=+-=-+2211212x x f x f x x f x f .解此方程组得()3132312-+=x x x f . (2) 令x t 1=代入方程得()t t t t t tt t f 2221111111++=++=++=,所以 ()xx x f 211++=. (3) ()()()x x f x x x x x x x x f sin sin sin cos cos sin 21212121=⇒+=+=+. 6. 考察下列函数的奇偶性: (1) ()()1ln 2++=x x x f ; (2) ()()x xe e xf --=21; (3) ()()x x e e x f --=21的反函数; (4) ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21121x x f y ,其中()x f 为奇函数; (5) ()xx xx ee e e xf ---+=. 解 (1) ()()()()x f x x x x x x x f -=++-=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=-1ln 11ln1ln 222,所以f 是奇函数.(2) ()()()()x f e e e e x f x x x x -=--=-=-----2121)(,所以f 是奇函数. (3) ()()x x e e x f --=21为偶函数,故()()xx e e x f --=21反函数为奇函数.(4) 因为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--21121121212112221121x x x x x x f x f x f x f 所以()⎪⎭⎫⎝⎛-+=21121xx f y 是偶函数. (5) ()()x f e e e e x f xxxx -=-+=---.所以f 是奇函数. 7. 求函数1122+-=x x e e y 的值域.解 因为反函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=y y x 11ln 21的定义域为1<y ,所以函数1122+-=x x e e y 的值域为1<y .8. 设有方程⎩⎨⎧==.1ln ,1ln a a a x x其中1>a .求解x 与a . 解 由方程组得x x xx a x x xa x a 11ln ln 1ln =⇒==⇒=,代入1ln 1ln =⇒=x a x ,所以ee a e x 1=⇒=.9. 若函数()x f y =的图形有对称中心()0,a 及()a b b >,0,,试证()x f y =为周期函数,并求出周期T .解 由于()x f y =的图形有对称中心()0,a 及()0,b ,于是有()()()()x b f x b f x a f x a f +-=-+-=-,.进而有()()x a f x f --=2且()()()()x b f x a f x b f x f -=-⇒--=222,令x a t -=2,由上式便得到()()()()a b t f b a t f t f -+=+-=222.由周期函数的定义,注意到a b >,因此()x f y =是以()02>-=a b T 为周期的周期函数.10、设函数()x f 在()+∞∞-,内有定义,且对任意的实数y x ,,有()()()()y f x f xy f x f ⋅=≠,0,求()x f .解 由于()()()()000f x f x f f =⋅=,且()()100=⇒≠x f f .11、若函数()x f 对其定义域内的一切x ,恒有()()x a f x f -=2,则称函数()x f 对称于a x =.证明:如果函数()x f 对称于a x =及()ab b x >=,则()x f 必定是周期函数.证 若()()x a f x f -=2及()()⇒-=x b f x f 2()[]()()()x f x a f x a b f a b x f =-=--=-+2]22[2所以()x f 是以()a b T -=2为最小周期的周期函数.12. 若()x f y =的图形有对称轴a x =和对称中心()()b a b <0,,求证()x f y =为周期函数.证 因为a x =是()x f y =的对称轴,故()()x a f x f -=2,而()0,b 是()x f y =的对称中心,故()()()()()()x b f x a f x b f x f x b f x b f --=-⇒--=⇒+-=-222令x a t -=2,得()()()()()a b t f t a b f t f -+-=---=222???? 13. 讨论下列函数的增减性: (1) ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,0,cos πx e x f x ; (2) ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=-2,0,sin πx e x f x; (3) ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,0,sin sin πx x x f ; (3) ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,0,sin cos πx x x f （二）极限部分1．()22111lim--→x x x ；解：()∞=-+=--→→11lim11lim1221x x x x x x 。
