苏教版数学高二-【学案导学设计】 选修2-1试题 3.2.1直线方向向量与平面法向量

3．2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．[知识链接]1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答：相互平行．2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答：不惟一，它们相互平行，但不一定相等．[预习导引]1．直线的方向向量直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．2．平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n ⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量.要点一直线的方向向量及其应用例1设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________.答案2解析由题意，得a⊥b，所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，所以m ＝2.规律方法若l1⊥l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1∥l2，则l1与l2的方向向量平行．跟踪演练1若直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，则l1与l2的位置关系是________．答案垂直解析因为a·b＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b，从而l1⊥l2.要点二求平面的法向量例2 已知点A (a,0,0)、B (0，b,0)、C (0,0，c )，求平面ABC 的一个法向量． 解 设坐标原点为O ， 由已知可得：AB →＝OB →－OA →＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a ，b,0)，AC →＝OC →－OA →＝(0,0，c )－(a,0,0)＝(－a,0，c )． 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·AB →＝(x ，y ，z )·(－a ，b,0)＝－ax ＋by ＝0， n ·AC →＝(x ，y ，z )·(－a,0，c )＝－ax ＋cz ＝0. 于是得y ＝a b x ，z ＝acx .不妨令x ＝bc ，则y ＝ac ，z ＝ab .因此，可取n ＝(bc ，ac ，ab )为平面ABC 的一个法向量．规律方法 平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可，构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保证所求法向量非零，本题中法向量的设法值得借鉴．跟踪演练2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．解 ∵AD 、AB 、AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →、AB →、AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示坐标系，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝(12，0,0)是平面SBA 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，有n ⊥DC →，n ⊥DS →， 则n ·DC →＝(1，λ，u )·(12，1,0)＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·(－12，0,1)＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝(1，－12，12)．要点三 证明平面的法向量例3 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．求证：D 1F →是平面ADE 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，E (1,1，12)，F (0，12，0)，所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →＝(0，12，－1)，AE →＝(0,1，12)，所以AD →·D 1F →＝(－1,0,0)·(0，12，－1)＝0，AE →·D 1F →＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0，所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →，又AD ∩AE ＝A ， 所以D 1F →⊥平面ADE ，从而D 1F →是平面ADE 的法向量．规律方法 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．跟踪演练3 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在BC 、DD 1上是否存在点E 、F ，使B 1E →是平面ABF 的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E 、F 满足的条件；若不存在，请说明理由．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)， 设F (0,0，h )，E (m,1,1)，则AB →＝(0,1,0)，B 1E →＝(m －1,0,1)，F A →＝(1,0,1－h )．∵AB →·B 1E →＝0，∴AB ⊥B 1E .若B 1E →是平面ABF 的法向量，则B 1E →·F A →＝m－1＋1－h ＝m －h ＝0，∴h ＝m .即E 、F 满足D 1F ＝CE 时，B 1E →是平面ABF 的法向量．故存在，且E 、F 满足D 1F ＝CE .1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.2．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为________． 答案 (1,2,3)解析 ∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．3．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是________． ①(0,1,2) ②(3,6,9) ③(－1，－2,3) ④(3,6,8) 答案 ②解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m ＝________.答案 －8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为(1，12，2)，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.1.直线的方向向量的应用利用方向向量可以确定空间中的直线．若有直线l ，点A 为直线上的点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使AP →＝tAB →，这样，点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置还可以具体地表示出直线l 上的任意点． 2．平面的法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(3)根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量．一、基础达标1．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列向量中不是y 轴方向向量的序号是________． ①(0,1,0)；②(0，－1,0)；③(0,2,0)；④(0,1,1)． 答案 ④解析 y 轴方向向量可以表示为(0，k,0)(k ≠0)，所以只有④(0,1,1)不是y 轴方向向量． 2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________. 答案 4解析 α∥β⇒(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， ∴λ＝－2，k ＝4.3．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面xOy 的一个法向量是________． 答案 (0,0,1)解析 答案不惟一，只要与向量(0,0,1)平行的非零向量都可以．4．在空间直角坐标系Oxyz 中，法向量(1,0,0)对应的坐标平面是________． 答案 yOz 平面解析 因为向量(1,0,0)平行于x 轴，所以对应的坐标平面是垂直于x 轴的平面．5．在空间直角坐标系Oxyz 中，设平面α经过点P (1,0,0)，平面α的法向量为e ＝(1,0,0)，M (x ，y ，z )为平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系是________． 答案 x ＝1解析 由题意可知e ·PM →＝0，代入坐标计算即可得x ＝1.6．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________________． 答案 (33，33，33)或(－33，－33，－33) 解析 设单位法向量n 0＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)． 由n 0·AB →＝0，且n 0·AC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，y －x ＝0，z －x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝33，y ＝33，z ＝33，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33，y ＝－33，z ＝－33.7．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． 解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝0.令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 二、能力提升8．已知点A 、B 、C 的坐标分别是(0,1,0)、(－1,0,1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则点P 的坐标为________． 答案 (13，0，－23)解析 ∵A (0,1,0)，B (－1,0,1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )， ∴AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，P A →＝(－x,1，－z )． ∵P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，∴P A →·AB →＝(－x,1，－z )·(－1，－1,1)＝0， P A →·AC →＝(－x,1，－z )·(2,0,1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝13，z ＝－23，∴点P 的坐标为(13，0，－23)．9．若不重合的两个平面的法向量分别是a ＝(3，－3，－3)，b ＝(－1,1,1)，则这两个平面的位置关系是________． 答案 平行解析 因为a ＝－3b ，所以a ∥b ，所以这两个平面平行．10．不重合的直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，则l 1，l 2的位置关系是________． 答案 平行解析 因为b ＝－3a ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.11．△ABC 中，A (1，－1,2)，B (3,3,1)，C (3,1,3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 上任一点． (1)求平面ABC 的一个法向量； (2)求x ，y ，z 满足的关系式．解 (1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )， ∵AB →＝(2,4，－1)，AC →＝(2,2,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0，n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ，a ＝－32b . 故可取n ＝(－3,2,2)．∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3,2,2)． (2)∵点M (x ，y ，z )是平面ABC 上任一点， ∴－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0. ∴3x －2y －2z －1＝0.这就是所求的x 、y 、z 满足的关系式．12．如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1→是平面B 1D 1C 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)．所以AC 1→＝(－1,1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)，CB 1→＝(1,0,1)， 所以AC 1→·D 1B 1→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0，AC 1→·CB 1→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0， 所以AC 1→⊥D 1B 1→，AC 1→⊥CB 1→， 又B 1D 1∩CB 1＝B 1，所以AC 1→是平面B 1D 1C 的法向量． 三、探究与创新13.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点． (1)求BN 的长；(2)求BA 1→与CB 1→夹角的余弦值；(3)求证：BN →是平面C 1MN 的一个法向量． (1)解 如图所示，以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C —xyz . 依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)， ∴|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2 ＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)解 依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.(3)证明 依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，N (1,0,1)． ∴M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)， BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋1×0＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0. ∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →，又C 1M ∩C 1N ＝C 1，∴BN →⊥平面C 1MN .∴BN →是平面C 1MN 的一个法向量．。

_3.2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量[对应学生用书P63]a1，a2，a3…a n是一组非零共线向量，表示向量a1的有向线段所在直线与直线l平行．问题1：表示向量a2，a3，…a n的有向线段所在直线与直线l的关系怎样？提示：平行或重合．问题2：如何表示a1，a2…a n与直线l的关系呢？提示：利用一个向量来表示直线l的方向，a1，a2，…a n与该向量共线．直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线．问题1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直？提示：垂直．因为这些直线与l平行或重合．问题2：直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？提示：垂直．1．如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．2．与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量，它们共线．一个平面有无数个法向量，它们也共线．2．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．3．给定一点A 和一个向量a ，那么过点A ，以向量a 为法向量的平面是惟一的．[对应学生用书P63][例1] 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系： (1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； (2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝(2,2，－1)． [思路点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [精解详析] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝(－1,1，－2)·⎝⎛⎭⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥v ，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [一点通]1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．1．若两条直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．解析：∵b ＝－2a ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2或e 1与e 2重合． 答案：平行或重合2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解：(1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a ·b ＝8－6－2＝0， ∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)， ∴v ＝－3u ， ∴v ∥u ，即α∥β.(3)∵a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)， ∴a ·u ≠0且a ≠k u (k ∈R )，∴a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直． (4)∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)， ∴a ·u ＝－3＋4－1＝0， ∴a ⊥u ，即l ⊂α或l ∥α.[例2] 已知点A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，求平面ABC 的一个单位法向量． [思路点拨] 可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量． [精解详析] 由于A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)， 所以AB ＝(－3,4,0)，AC ＝(－3,0,5)． 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有n ·AB ＝0，且n ·AC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋5z ＝0.取z ＝1，得x ＝53，y ＝54，于是n ＝⎝⎛⎭⎫53，54，1.又|n |＝76912， 所以平面α的单位法向量是n 0＝±⎝⎛⎭⎫20769，15769，12769. [一点通]求平面的法向量的方法与步骤：(1)求平面的法向量时，要选取两相交向量AC 、AB . (2)设平面法向量的坐标为n ＝(x ，y ，z )．(3)联立方程组⎩⎨⎧n ·AC ＝0，n ·AB ＝0.并解答．(4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标．(常数不能为0)3．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解：∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)． 设平面α的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )． 依题意应有n ·AB ＝0且n ·AC ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0，且x ＝2y . 令x ＝2，则y ＝1∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．4.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且 SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC ＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 由题意易知向量AD ＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC ＝12x ＋y ＝0，n ·DS ＝－12x ＋z ＝0.即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．5.如图所示，四棱锥V －ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有：AB 、BA 、CD 、DC 四个．(2)∵底面ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC . ∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA ，又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC ，所以平面VAC 的法向量有BD 、DB 两个．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直．(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量．[对应课时跟踪训练(二十三)]1．若直线l ⊥平面α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫12，1，2，则m 为________．解析：∵l 的方向向量与平面α的法向量平行．∴m 12＝21＝42.∴m ＝1.答案：12．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM ·n ＝0的点M 的轨迹是________．解析：AM ·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念． 答案：过点A 且与向量n 垂直的平面3．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.解析：∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0.∴m ＝－12.答案：－124．在空间中，已知平面α过点A (3,0,0)和B (0,4,0)及z 轴上一点C (0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.解析：平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，AB ＝(－3,4,0)，AC ＝(－3,0，a )，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1， 故cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a216＋1＝22. 又∵a >0，∴a ＝125.答案：1255．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.解析：由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3y ，解得x ＝12，y ＝9.答案：12 96．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2，－2)， (1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC 是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任一点，试写出x 、y 、z 满足的关系式．解：(1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)， ∴BC ＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量． (2)由题意AM ＝(x －2，y －2，z －2)， ∵BC ⊥平面α，AM ⊂α，∴BC ⊥AM . ∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0. ∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0. 化简得x －y ＋z －2＝0.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面A 1BC 1的一个法向量；(3)若M 为CD 的中点，求平面AMD 1的一个法向量．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a .(1)∵平面ABCD 即为坐标平面xOy ，∴n 1＝(0,0,1)为其一个法向量．(2)∵B 1D ⊥平面A 1BC 1，又∵1B D ＝(0，a,0)－(a,0，a )＝(－a ，a ，－a )， ∴n 2＝1a 1B D ＝(－1,1，－1)为平面A 1BC 1的一个法向量．(3)设n ＝(x 0，y 0，z 0)为平面AMD 1的一个法向量， ∵AM ＝⎝⎛⎭⎫a2，a ，0，1AD ＝(0，a ，a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM ＝(x 0，y 0，z 0)·⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0＝a 2x 0＋ay 0＝0，n ·1AD ＝(x 0，y 0，z 0)·(0，a ，a )＝ay 0＋az 0＝0.令x 0＝2，则y 0＝－1，z 0＝1，∴n ＝(2，－1,1)为平面AMD 1的一个法向量．8.如图，已知ABCD －A1B 1C 1D 1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示．AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝2.(1)求平面B 1CD 1的一个法向量；(2)设M (x ，y ，z )是平面B 1CD 1内的任意一点，求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系A －xyz 中，各点坐标为B 1(3,0,2)，C (3,4,0)，D 1(0,4,2)，由此得1B C ＝(0,4，－2)，1CD ＝(－3,0,2)； 设平面B 1CD 1的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥1B C ，a ⊥1CD ，从而a ·1B C ＝0，a ·1CD ＝0， 所以0·x ＋4·y －2·z ＝0，－3·x ＋0·y ＋2·z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，3x －2z ＝0，得到⎩⎨⎧y ＝z 2，x ＝2z 3.不妨取z ＝6，则y ＝3，x ＝4.所以a ＝(4,3,6)就是平面B 1C 1D 的一个法向量．(2)由题意可得1B M ＝(x －3，y ，z －2)，因为a ＝(4,3,6)是平面B 1CD 1的一个法向量，所以a ⊥1B M ，从而a ·1B M ＝0，即4(x －3)＋3y ＋6(z －2)＝0,4x ＋3y ＋6z ＝24， 所以满足题意的关系式是4x ＋3y ＋6z ＝24.。

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量一、填空题1．下面命题中，正确命题的序号为________．①若n 1、n 2分别是平面α、β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1、n 2分别是平面α、β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量且a 与α共面，则n·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．【解析】 画图可知，四个命题均正确．【答案】 ①②③④2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则平面α，β的位置关系是________(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)．【解析】 ∵u·v ＝1×2＋2×3＋(－1)×8＝0，∴u ⊥v ， ∴α⊥β.【答案】 垂直3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,3，z)，向量b ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.【解析】 由题意知a·b ＝0，∴(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，∴1×3＋3×(－2)＋z×1＝0，∴z ＝3.【答案】 3图3－2－134．如图3－2－13，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是________．【解析】 AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝CC 1→＋12(C 1D 1→＋C 1B 1→)＝12BA →＋12CB →＋CC 1→ ∴AC 1→·CE →＝(AB →＋BC →＋CC 1→)(12BA →＋12CB →＋CC 1→)＝－12AB →2－12BC →2＋CC 1→2＝0， ∴AC 1→⊥CE →，∴AC 1⊥CE.【答案】 垂直5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．【解析】 建立空间坐标系如图，设正方体棱长为2，则M(1,0,1)，N(1,1,2)，∴MN →＝(0,1,1)．∵平面BB 1C 1C 的一个法向量为B 1A 1→＝(2,0,0)，∴B 1A 1→·MN →＝0＋0＋0＝0.∴MN ∥平面BB 1C 1C.【答案】 平行6．已知空间两点A(－1,1,2)，B(－3,0,4)，直线l 的方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB →平行，则a ＝________.【解析】 设a ＝(x ，y ，z)，∵AB →＝(－2，－1,2)，且l 与AB 平行，∴a ∥AB →，∴x －2＝y －1＝z 2，∴x ＝2y ，z ＝－2y ， 又∵|a |＝3，∴|a |2＝x 2＋y 2＋z 2＝4y 2＋y 2＋4y 2＝9，∴y ＝±1，∴a ＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．【答案】 (2,1，－2)或(－2，－1,2)7．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________.【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4，∴BC →＝(3,1,4)，∵BP →⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，由⎩⎪⎨⎪⎧ BP →·AB →＝0BP →·BC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝03x －1＋y －12＝0，∴⎩⎨⎧ x ＝407y ＝－157，∴BP →＝(337，－157，－3)． 【答案】 (337，－157，－3) 8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)， AD →＝(4,2,0)， AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．【解析】 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB →⊥AP →，AD →⊥AP →，则①②正确．又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，③正确．由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)∴BD →与AP →不平行，故④错误．【答案】 ①②③二、解答题图3－2－149．如图3－2－14，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．(1)求证：EF ∥平面CB 1D 1；(2)求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.【证明】 (1)以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则E(1,0,0)，F(2,1,0)，∴EF →＝(1,1,0)．又∵C(0,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)，设平面CB 1D 1的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)．∵CD 1→＝(0，－2,2)，CB 1→＝(2,0,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·CD 1→＝0n ·CB 1→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＋2＝02x ＋2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＝－1. ∴n 1＝(－1,1,1)，∴EF →·n 1＝0.又因EF ⊄平面CB 1D 1，∴EF ∥平面CB 1D 1.(2)∵DB ⊥AC ，DB ⊥AA 1，∴DB ⊥平面CAA 1C 1，∴DB →＝(2,2,0)是平面CAA 1C 1的一个法向量．∵n 1·DB →＝0，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.图3－2－1510．如图3－2－15，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．求证：(1)直线EE 1∥平面FCC 1；(2)平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.【证明】 因为AB ＝4，BC ＝CD ＝2，F 是棱AB 的中点，所以BF ＝BC ＝CF ，则△BCF为正三角形．因为底面ABCD 为等腰梯形，所以∠BAD ＝∠ABC ＝60°.取AF 的中点M ，连结DM ，则DM ⊥AB ，所以DM ⊥CD.以DM →，DC →，DD 1→为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，D 1(0,0,2)，A(3，－1,0)，F(3，1,0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(32，－12，0)，E 1(3，－1,1)． 所以DA →＝(3，－1,0)，DD 1→＝(0,0,2)，EE 1→＝(32，－12，1)，CF →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,2)．(1)设平面FCC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CF →＝3x －y ＝0n ·CC 1→＝2z ＝0，令x ＝1，可得n＝(1，3，0)，则n ·EE 1→＝1×32＋3×(－12)＋0×1＝0，所以n ⊥EE 1→，又直线EE 1⊄平面FCC 1，所以直线EE 1∥平面FCC 1.(2)设平面ADD 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DA →＝3x －y ＝0m ·DD 1→＝2z ＝0，令x ＝1，可得m ＝(1，3，0)，由(1)知m ＝n ，即m ∥n ，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.图3－2－1611．如图3－2－16，在四棱锥P －ABCD 中，底面是矩形且AD ＝2，AB ＝PA ＝2，PA ⊥底面ABCD ，E 是AD 的中点，F 在PC 上．(1)求F 在何处时，EF ⊥平面PBC ；(2)在(1)的条件下，EF 是否是PC 与AD 的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度，若不是，说明理由．【解】 (1)以A 为坐标原点，以射线AD 、AB 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则P(0，0，2)，A(0,0,0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(2,0,0)，E(1,0,0)．∵F 在PC 上，∴可令PF →＝λPC →，设F(x ，y ，z)．则BC →＝(2,0,0)，PC →＝(2，2，－2)，EF →＝(x －1，y ，z)．∵EF ⊥平面PBC ，∴EF →·PC →＝0，且EF →·BC →＝0.又PF →＝λPC →，可得λ＝12，x ＝1，y ＝z ＝22. 故F 为PC 的中点．(2)由(1)可知：EF ⊥PC ，且EF ⊥BC ，∴EF ⊥AD.∴EF 是PC 与AD 的公垂线段，其长为|EF →|＝1.。

打印版本
高中数学 3.2 如何利用向量确定点、线、面在空间的位置？
答：立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，用向量表示点、直线、平面在空间中的位置，是利用空间向量解决立体几何问题的基础和关键．
（1）利用向量确定点的位置
在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用OP 来表示．我 们把向量OP 称为点P 的位置向量．
（2）利用向量确定直线的位置
设点A 是直线l 上一点，向量a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取=AB a ，那么对于 直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =．这样，点A 和向量a 就可以确定直线l 的位置，同时还可以具体表示出l 上的任意一点．
（3）平面α的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量；给定一点A 和一个向量a ，那么，过点A ，以向量a 为法向量的平面是完全确定的．
如何求一个平面的法向量？
答：求法向量的步骤：（1）设出平面的法向量),,(z y x =；（2）找出平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(321321b b b a a a ==；（3）根据法向量的定义建立关于z y x ,,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0；（4）解方程组，取其中的一个解，即得一个法向量。

3.2.2空间线面关系的判定(二)学习目标1.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一向量法判断线线垂直思考若直线l 1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？梳理设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔________⇔________.知识点二向量法判断线面垂直思考若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？梳理设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔________.知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？梳理若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔________________.类型一证明线线垂直例1已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.类型二证明线面垂直例2如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面P AC.类型三证明面面垂直例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点.求证：平面BDE ⊥平面ABCD.1.有如下四个命题①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. 其中为真命题的是________.2.若直线l 1的方向向量为a ＝(2，－4,4)，l 2的方向向量为b ＝(4,6,4)，则l 1与l 2的位置关系是________.3.若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是________.4.平面α的一个法向量为m ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n ＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t 的值为________.空间垂直关系的解决策略答案精析问题导学 知识点一思考l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理a·b ＝0a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 知识点二思考垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α. 梳理a ＝k μ(k ∈R ) 知识点三思考x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 题型探究例1证明设AB 中点为O ，连结OC ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0， B ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .跟踪训练1证明∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∵AC →＝(－3,0,0)， BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.例2证明如图所示，取BC 的中点O ，连结AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC . 因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， 平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，连结OO 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0). 所以AB 1→＝(1,2，－3)， BA 1→＝(－1,2，3)， BD →＝(－2,1,0).因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0. 所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →， 即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ， 所以AB 1⊥平面A 1BD .跟踪训练2证明如图建系，C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)， P A →＝(0,1，－1)，PB 1→＝(1,1,1)，B 1C →＝(0，－1，－2)， B 1A →＝(－1,0，－2).PB 1→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0， 所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以PB 1→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC .例3证明由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)， AE →＝(－2,0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1， 故n 2＝(1，－1,4).因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .跟踪训练3证明设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E (12，12，12)，连结AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为(12，12，0).因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝(0,0，12)，所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD . 当堂训练1.②③④2.垂直3.垂直4.垂直5.5。

1a ia2a3 a n1 a2 a3 a n2 a i a 2 a nlla i a 2l e ( e 0) e ______________，、口審弭l 1ll 1 l212 lll 1 121nnn2［归纳*升华・领悟］3 2.1rm摘象问题情境化，新知无师自通P63]2. 平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量.3. 给定一点A和一个向量a，那么过点A,以向量a为法向量的平面是惟一的.［对应学生用书P63］［例1］根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系：⑴平面a, B的法向量分别是u = (—1,1,—2), v=(3, 2,—1；(2)直线I的方向向量 a = (—6,8,4)，平面a的法向量u= (2,2, —1).［思路点拨］利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系.［精解详析］⑴I u= (—1,1,—2), v = 3, 2,—1 ,••• u v= (—1,1,—2) -3, 2, —1=—3+ 2+ 1 = 0,••• u丄V,故a丄B(2) •- u = (2,2 , —1), a = (—6,8,4),•u a= (2,2, —1) (•—6,8,4) = —12+ 16 —4= 0,•u 丄a,故I? a 或I //a［一点通］1 .两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直).2. 直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行.3. 两个平面的法向量共线时，两平面平行.1•若两条直线11、12的方向向量分别为a= (1,2 , —2), b= (—2,—4,4)，^V “与l2的位置关系为_________ .解析：■/ b=—2a,「. a / b,即I// I2 或 e 与e2重合.答案：平行或重合2. 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1) 直线11, 12的方向向量分别是a= (1, —3,—1), b= (8,2,2);(2) 平面a, B 的法向量分别是u = (1,3,0), v = (—3,—9, 0);⑶ I a (1 4 3) u (2,0,3)⑷ I a (3,2,1) u ( 1,2 1)(1) a (1 3 1) b (8,2,2)a b 8 6 2 0a b l1 l2.⑵u (1,3,0) v ( 3 9,0)v 3uv u .⑶a (1 4 3) u (2,0,3)a u 0 a k u(k R)a u I⑷a (3,2,1) u ( 1,2 1)a u 3 4 10a u I? I .[2] A(3,0,0) B(0,4,0) C(0,0,5)[ ]ABC] AB (A(3,0,0) B(0,4,0) C(0,0,5) 3,4,0) AC ( 3,0,5)ABC n AB 0n (x y z) n •AC 03x 4y 03x 5z 0.5 5 1. |n|譬f20 15 12 、n0^769 ^769 V769丿T T (1)AC AB⑵n (x y z)『-AB = 0.(4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其 他坐标.(常数不能为0)3. 已知平面a 经过三点 A(1,2,3), B(2,0 , - 1), C(3, - 2,0)，试求平面 a 的一个法向 量.解：•/ A(1,2,3), B(2,0,- 1), C(3,- 2,0),设平面a 的一个法向量是 n = (x , y , z).则 A(0,0,0), D(2 , 0,0), C(1,1,0), S(0,0,1),DC = - , 1 , 0 , DS =1由题意易知向量 AD =(扌,0,0)是平面SAB 的一个法向量. 设n = (x , y , z)为平面SDC的法向量, 1 n -DC = *+ y = 0 , 则 1n -DS =—只+ z =0.(3)联立方程组n -AC = 0,并解答.AB = (1，一 2,— 4),AC = (2，一 4，一 3).依题意应有AB = 0 且 n • AC = 0.x — 2y — 4z = 0, 即F 解得z = 0，且x = 2y.2x — 4y — 3z = 0. 令 x = 2,贝U y = 1•••平面a 的一个法向量是 n = (2,1,0).4•如图所示，在四棱锥 S — ABCD 中，底面是直角梯形，/ ABC = 90 ° 1SA 丄底面ABCD ，且SA = AB = BC = 1 , AD = ，求平面 SCD 与平面SBA 的一个法向量.解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系i z 2X.(1)⑵1 i 1 (m,2,4)(2 12) mlm 1 2 4 1 2.m 1.21T2AnAM n 0MA M n 0An311a (2 1,2) l 2b (1,1 m) h I 2课下训练经典化.贵衽触类旁邇 ［ （）］SDC(2ABCD1,1)5.VABCDVAABCD(1) AB⑵BDVACVAC(1)AB BA TCD⑵ABCDBD AC.VAABCD BD? ABCDBD VAAC VA ABD VACVACBD DBx 2 y 1 z 1［方法・规律•小结］AB1解析：T 丨1 丄 I ?,： 2 — 1 + 2m = O.「. m =—1答案：—14. 在空间中，已知平面a 过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z 轴上一点 面a 与平面xOy 的夹角为45°贝U a= ___________ .解析：平面xOy 的法向量为n = (0,0,1), AB = (— 3,4,0), —3x + 4y = 0,U = (X ，y ，Z)，则 I 3x + az = 0,则 3x = 4y = az ,取 z = 1,则 u = 3, £, 1 ,12 答案：乎55. 已知a = (1,4,3), b = (3, x , y)分别是直线l 「I 2的方向向量，若14 3解析：由 l 1 II 12,得3 = 4 =3,解得 x = 12, y = 9.3 x y 答案：1296•已知 A(2,2,2), B(2,0,0) , C(0,2,— 2),(1)写出直线BC 的一个方向向量；-I⑵设平面a 经过点A ，且BC 是a 的法向量，M(x , y , z)是平面 y 、z 满足的关系式.解：(1) •/ B(2,0,0), C(0,2 , — 2),BC = (— 2,2,— 2),即(—2,2 , — 2)为直线BC 的一个方向向量.⑵由题意 AM = (x — 2 , y — 2 , z — 2),BC 丄 AM•••(— 2,2 , — 2) •x — 2 , y — 2 , z — 2)= 0. •••— 2(x — 2)+ 2(y — 2) — 2(z — 2) = 0. 化简得 x — y + z — 2 = 0.又•/ a>0, 故 cos 〈 n ,u >12C(0,0 , a)(a>0),如果平=(—3,0 , a),设平面 a的法向量为 I 1 i I 2 ,贝 y x = ______a 内任一点，试写出 X 、•/ BC 丄平面 a, AM? a,x0 x 4 y 2 z 03 • 0 y 2 z 0ABCD A 1B 1C 1D 1(1) ABCD (2) A i BC 1(3) M CDAAMD 1AB A D A A!y za(1) ABCDxOym (0,0,1)(2) B 1DA 1BC 1TB 1D (0 a,0) (a,0 a) ( a aa)1n 2 a B 1D( 1,1 1) A 1BC 1(3) n (x oA M ay o az o ) AMD 1ADJX 0 y z 0a 0a於0ay 。

．直线的方向向量与平面的法向量
[学习目标].理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.会用待定系数法求平面的法向量．
知识点一直线的方向向量
直线上的向量(≠)以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量．
知识点二平面的法向量
如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记作⊥α，此时，我们把向量叫做平面α的法向量．
思考
．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？
答案相互平行．
．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？
答案不惟一，它们相互平行，但不一定相等．
题型一直线的方向向量及其应用
例设直线的方向向量为＝(，－)，直线的方向向量为＝(－，)，若⊥，则＝.
答案
解析由题意，得⊥，所以·＝(，－)·(－，)＝－＋－＝－＝，所以＝.
反思与感悟若⊥，则与的方向向量垂直；若∥，则与的方向向量平行．
跟踪训练若直线，的方向向量分别是＝(，－，－)，＝()，则与的位置关系是．
答案垂直
解析因为·＝(，－，－)·()＝－－＝，所以⊥，从而⊥.
题型二求平面的法向量
例
如图所示，在四棱锥－中，底面是直角梯形，∠＝°，⊥底面，且＝＝＝，＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面与平面的一个法向量．
解如图，以为原点，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐
标系，
则()，(，)，
()，()，
则＝(，)，
＝(－，)．
易知向量＝(，)是平面的一个法向量．
设＝(，，)为平面的法向量，
则即
取＝，则＝－，＝，
∴平面的一个法向量为(，－)．
反思与感悟求平面法向量的方法与步骤：。

3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量一、基础过关1． 已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝______；y ＝__________________________________________________________________.2． 设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k ＝_____.3． 已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝________.4． 从点A(2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为___．5． 若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．6． 已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x)，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是______．7． 若a ＝(1，－1,1)，b ＝(2，－1，－3)，则与a ，b 都垂直的单位向量为________________________________________________________________________．二、能力提升8．在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点，则平面AEF 的一个法向量是______________________．9． 已知直线l 的方向向量u ＝(2，－1,3)，且l 经过点A(0，y,3)和B(－1,2，z)，则y ＝______，z ＝________________________________________________________________.10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1F 的法向量．11．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，(1)试求平面α的一个法向量；(2)若M(x ，y ，z)是平面α内任意一点，求x ，y ，z 的关系式．12．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝2AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，D 是CC 1的中点，试求平面AB 1D 的一个法向量．三、探究与拓展13．如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求BA 1→与CB 1→夹角的余弦值；(3)求证：BN →是平面C 1MN 的一个法向量．答案 1．6152 2．4 3．－8 4．(18,17，－17) 5．l ⊥α 6．1或－3 7．⎝⎛⎭⎫22142，54242，4242或⎝⎛⎭⎫－22142，－54242，－4242 8．(4，－1,2)(不唯一) 9．32 3210．证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， D 1(0,0,1)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1(1,0,1)， AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， A 1D 1→＝(－1,0,0)．∵AE →·D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，12，－1 ＝12－12＝0， AE →·A 1D 1→＝0，∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→.又A 1D 1∩D 1F ＝D 1，∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴AE →是平面A 1D 1F 的法向量．11．解 (1)∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．(2)∵AM →＝(x －1，y －2，z －3)，∴n ·AM →＝0.∴2(x －1)＋(y －2)＝0，即2x ＋y －4＝0.12．解 方法一 不妨设AC ＝1，以A 点为原点，以AC 、AB 、AA 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz.则A(0,0,0)，D(1,0,1)，B 1(0,2,2)．则AD →＝(1,0,1)，AB 1→＝(0,2,2)．设n ＝(x ，y ，z)是平面AB 1D 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0n ·AB 1→＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋z ＝02y ＋2z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－z y ＝－z . 令z ＝1，得平面AB 1D 的一个法向量为n ＝(－1，－1,1)．方法二 由AD →＝(1,0,1)，可设平面AB 1D 的一个法向量为n ＝(－1，y,1)．由n ·AB 1→＝0，得2y ＋2＝0，∴y ＝－1.∴平面ABD 的一个法向量为(－1，－1，1)．13．(1)解 如图所示，以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C —xyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴|BN →|＝ 1－02＋0－12＋1－02＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)解 依题意得A 1(1,0,2)，C(0,0,0)，B 1(0,1,2)，∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉 ＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. (3)证明 依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，N(1,0,1)．∴M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)，BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋1×0＝0， C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →，又C 1M∩C 1N ＝C 1，∴BN →⊥平面C 1MN.∴BN →是平面C 1MN 的一个法向量．。

3.2.2空间线面关系的判定教学过程一、问题情境在《立体几何初步》一章中,我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位置关系?二、数学建构设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2.问题1展示模型讨论归纳l1∥l2,l1⊥l2如何用e1,e2表示?解l1∥l2⇔e1∥e2,l1⊥l2⇔e1⊥e2.问题2展示直线与平面平行、垂直,观察、讨论l1∥α1,l1⊥α1如何用e1,n1表示?解l1∥α1⇔e1⊥n1,l1⊥α1⇔e1∥n1.问题3展示两个平面平行、垂直,观察、讨论、归纳α1∥α2,α1⊥α2如何用n1,n2表示?解α1∥α2⇔n1∥n2,α1⊥α2⇔n1⊥n2.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表:平行垂直l1与l2e1∥e2e1⊥e2l1与α1e1⊥n1e1∥n1α1与α2n1∥n2n1⊥n2三、数学运用【例1】(教材第102页例3)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是棱CC1的中点,求证:A1B⊥AM. (见学生用书P63)(例1)要证明A1B⊥AM,只要证明·=0.而=+,=+,故只要证明(+)·(+)=0.证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为A1A⊥AC,所以·=0.因为CM⊥平面ABC,所以CM⊥AB,于是·=0.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,所以AC=,AB=2,·=||||cos30°=2××=3.因为∥,A1A=,M是CC1的中点,所以||=,所以·=||||cos180°=××(-1)=-3,所以·=(+)·(+)=0,故A1B⊥AM.(1) 证明垂直关系,可通过向量的数量积等于0来实现;(2) 要善于转化,即挖掘已知的垂直关系,将未知向已知转化.变式1在例1中,试以{,,}为基底,先将和分别用基底线性表示,再证明·=0.证明=-,=+,故·=·+·-·-·.因为AB⊥AA1,AC⊥AA1,所以·=0,·=0,故·=2××cos30°-××=0,所以A1B⊥AM.变式2在例1中,试建立适当的空间直角坐标系,用坐标表示向量,,再证明它们互相垂直.证明以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,不难得到=(-,1,-),=,则·=0,所以A 1B⊥AM.【例2】(教材第104页例4)如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE. (见学生用书P64)(例2(1))在教材第83页的例2中,我们曾用共面向量定理证明了MN∥平面CDE.这里,我们将用坐标的方法加以证明,为此,只需证明向量垂直于平面CDE的法向量.证明因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,所以AB,AD,AF互相垂直.不妨设AB,AD,AF的长分别为3a,3b,3c,以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间直角坐标系A-xyz,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(例2(2))所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).因为==(-a,b,0),==(0,-b,-c),所以=++=(0,-b,-c)+(3a,0,0)+(-a,b,0)=(2a,0,-c).又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),由·=(2a,0,-c)·(0,3b,0)=0,得⊥.因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.证明线面平行有两种方法:线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;也可转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.变式如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,当AN与AE满足什么数量关系时,MN∥平面CDE?(变式(1))证明以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间坐标系A-xyz.设AN=xAE,AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(变式(2))所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).因为=++=x++=(2a,-3xb+b,-3xc),又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),NM∥平面ECD,所以⊥,于是(-3x+1)b2=0,解得x=.故当AN=AE时,MN∥平面CDE.立体几何中探究性问题用向量的坐标法求解比较方便,这类问题比较重要,应熟练掌握.【例3】如图(1),在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为CD的中点,G为AB的中点,求证:平面ADE⊥平面A1FG. (见学生用书P64)(例3(1))要证明平面ADE⊥平面A1FG,只要证明AE⊥平面A1FG,只要AE与平面A1FG中两条相交直线垂直,可以通过数量积为0来证明线线垂直.证明以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1.(例3(2))∴E,A(1,0,0,),A1(1,0,1),G,F.∴=,=,=(-1,0,0).∴·=0+-=0,·=0+0+0=0.∴⊥,⊥.∵A1G∩GF=G,∴AE⊥平面A1GF.又AE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面A1GF.证明线面垂直有两种方法:(1)判定定理;(2)直线的方向向量与平面的法向量平行.变式在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱BB1上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.解建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),E,(变式)所以=,=(-1,1,0).而E,F分别为棱AB和BC的中点,所以==.设点M(1,1,m),所以=(1,1,m-1).因为D1M⊥平面EFB1,所以D1M⊥EF,D1M⊥B1E,所以·=0,·=0,即解得m=.故当M为棱B1B的中点时,D1M⊥平面EFB1.此类问题如果不用坐标法解决,那么只能是先观察出结果,再证明.若该点不特殊,则极不易观察,而通过坐标法来解,无论该点在什么位置,方法都一样.四、课堂练习1.如图,已知P是正方形ABCD所在平面外一点,M,N分别是PA,BD上一点,且PM∶MA=BN∶ND=1∶2,求证:MN∥平面PBC.(第1题)证明=++=-++=-(-)++(+)=-.在BC上取点E,使=,于是=(-)=,所以MN∥PE.因为PE⊂平面PBC,所以MN∥平面PBC.2. 如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,E是棱CC1上一点,且CE=CC1,求证:A1C⊥平面BDE.(第2题(1))证明如图(2),以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,(第2题(2))则B(1,0,0),D(0,1,0),E,A1(0,0,2),C(1,1,0),所以=(1,1,-2),=(-1,1,0),=.因为·=(1,1,-2)·(-1,1,0)=1×(-1)+1×1+(-2)×0=0,·=(1,1,-2)·=1×0+1×1+(-2)×=0, 所以⊥,⊥,所以A1C⊥BD,A1C⊥BE.因为BE∩BD=B,BE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,所以A1C⊥平面BDE.五、课堂小结综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直:1. 证明线面平行:(1) 线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;(2) 转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面问题,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.2. 证明线面垂直:一是判定定理;二是直线的方向向量与平面的法向量平行.。

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2空间线面关系的判定（一）【学习目标丨1•掌握空间点、线、面的向量表示2理解直线的方向向量与平面的法向量的意义; 会用待定系数法求平面的法向量 3能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的 平行问题•IT 问题导学 ----------------------------知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？梳理（1）用向量表示直线的位置条件直线l 上一点A表示直线l 方向的向量a （即直线的）形式在直线l 上取AB = a ,那么对于直线1上任意 点P , 定存在头数t , 使得AP =作用 疋位置 点A 和向量a 可以确疋直线的3章空间向量与立体几何 32空间向量的应用(2) 用向量表示平面的位置①通过平面a上的一个定点0和两个向量a和b来确定:②通过平面a上的一个定点A和法向量来确定:(3) 直线的方向向量和平面的法向量(4) 空间中平行关系的向量表示设直线I, m的方向向量分别为a, b,平面a, B的法向量分别为v,则知识点二利用空间向量处理平行问题思考⑴设V i = (a i, b i, C i), V2 = @2, b2, C2)分别是直线l i, 12的方向向量若直线l i// I2,则向量v i, v2应满足什么关系.(2) 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3) 用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论题型探究类型一求直线的方向向量、平面的法向量例i如图，四棱锥P —ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD , E为PD的中点.AB=AP = i, AD = 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(i) 设向量：设平面的法向量为n = (x, y, z).⑵选向量：在平面内选取两个不共线向量AB, A C.n AB= 0,(3) 列方程组：由f - 列出方程组•n AC= 0n AB=0,(4) 解方程组：f —n AC= 0.(5) 赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).(6) 得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB丄平面ABCD , △ PAB 是边长为1的正三角形，ABCD是菱形./ ABC = 60° E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.类型二利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCD-A I B I C I D I的棱长为2, E、F分别是BB i、DD 1的中点，求证:(1) FCj/ 平面ADE ;(2) 平面ADE //平面B i C i F.反思与感悟禾U用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练2 如图，在四棱锥P —ABCD中，FA丄平面ABCD , PB与底面所成的角为45° 底面ABCD 为直角梯形，/ ABC = Z BAD = 90° FA= BC= ^AD = 1,问在棱PD上是否存在当堂训练一点E,使CE//平面PAB?若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由1•若点A( —1,0,1), B(1,4,7)在直线I上，则直线I的一个方向向量的坐标可以是____________ .2. 已知向量n= (2,—3,1)是平面a的一个法向量，则下列向量中能作为平面a的法向量的是_______ •(填序号)① n 1= (0, —3,1);② n = ( —2,0,4);③n3= (—2,—3,1):④ n4= (—2,3,—1).3. 已知向量n= (—1,3,1)为平面a的法向量，点M(0,1,1)为平面内一定点P(x, y, z)为平面内任一点，贝U x, y, z满足的关系式是________ .4. 若直线I / a,且I的方向向量为(2, m,1)，平面a的法向量为1, 1, 2，则m为_________________5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为__________ .厂《规律与方法■------------------------------- 11 .应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直⑵证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3) 证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.2.证明面面平行的方法设平面a的法向量为n1 = (a1, b1, c”，平面B的法向量为n2=他,b2, C2)，贝U a//价nJ n2(a1, b1, &)= k(a2, b2, C2)(k€ R).答案精析问题导学知识点一思考(1)点：在空间中，我们取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量0P来表示•我们把向量0P称为点P的位置向量.⑵直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量②对于直线I上的任一点P,在直线上取AB = a,则存在实数t，使得AP = tAB.(3)平面：①空间中平面a的位置可以由a内两条相交直线来确定•对于平面a上的任一点P ,a, b是平面a内两个不共线向量，则存在有序实数对(x, y)，使得OP = x a + y b.②空间中平面a的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示梳理⑴方向向量tAB位置一点(2) ②方向向量(3)非零方向向量n⑷a // b a 卫=0 kv(k€ R)知识点二思考(1)由直线方向向量的定义知若直线l i/ I2,则直线I l, I2的方向向量共线，即丨1〃12?V1 // V2? V i = ”2(入€ R).(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行(3) 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行题型探究例1解因为PA丄平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB, AD , AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0, . 3, 0),3 1E(0, 2，2)，B(1,0,0), C(1, 3, 0),f：：、: 3 1 f 一于是AE = (0, —, 2), AC = (1 , .3, 0). 设n = (x , y , z)为平面ACE 的法向量，n A C = 0, x+ 3y = 0，则-即3 1 nn AE = 0,2『+ 2= 0，，一萌y , 所以z =- 3y ,令 y =— 1，则 x = z = 3.所以平面ACE 的一个法向量为 n = ( 3,— 1, .3). 引申探究解 如图所示，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,1), C(1, .3, 0),所以 PC = (1 , .3,— 1), 即为直线PC 的一个方向向量• 设平面PCD 的法向量为n = (x , y , z).因为 D(0, 3, 0)，所以 PD = (0, ,3, — 1).n PC = 0, x + ,3y — z = 0,由即n PD = 0,. ■3y— z= 0,|x = 0, 所以令y = 1,则z = .3.z = 3y ,所以平面PCD 的一个法向量为 n = (0,1,. 3). 跟踪训练1 解连结PF , CF , AC.因为PA = PB , F 为AB 的中点，所以 PF 丄AB ,又因为平面PAB丄平面ABCD，平面PAB A平面ABCD = AB, PF?平面PAB. 所以PF丄平面ABCD，因为AB = BC, / ABC = 60°所以△ ABC是等边三角形，所以CF丄AB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示FD = (—1 ,,0).由题意得F(0,0,0)，P(0,0，甲)，D( —1，，0)，C(0,甲，0)，E(0, -^, ¥). 所以FE = (0，屮，^)，设平面DEF的法向量为m = (x, y, z).m FE = 0, 则Tm FD = 0,z=—y,所以」X=尹则x= 3, z= —2.所以平面DEF的一个法向量为m= ( ,3, 2,—2).例2 证明⑴建立如图所示的空间直角坐标系 D —xyz，则有D(0,0,0), A(2, 0,0), C(0,2,0), C i(0,2,2), E(2, 2,1), F(0,0,1), B i(2,2,2),所以FC i= (0,2,1), DA = (2,0,0), AE = (0,2,1).设n 1 = (X1, y1, Z1)是平面ADE的法向量,则m 丄DA, n 1X A E ,[n i DA = 2x i= 0,即f -I n i AE = 2y i + z i = 0,x i = 0,得|z i = —2y i,令z i= 2，则y i=—1,所以n i = (0,—1,2).因为FC i n i = —2+ 2= 0,所以F C i± n i.又因为FC i?平面ADE ,所以FC i〃平面ADE.⑵因为C7S = (2,0,0)，设n2= (X2, y2, z0是平面B i C i F的一个法向量•由血丄FC i,血丄—£,|n2 FC i = 2y2 + z2= 0,得一!n e C i B i= 2x2= 0,(X2= 0,得|z2=—2y2.令Z2= 2，得y2=—i,所以n2= (0,—i,2),因为n i= n2,所以平面ADE //平面B i C i F.跟踪训练2 解分别以AB, AD , AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.••• P(0,0,i), C(i,i,0), D(0,2,0),设存在满足题意的点E(0, y, z),则PE = (0, y, z—1),PD = (0,2, —1),•/ PE // PD, ••• y x (—1) —2(z—1) = 0, ••• Ai) = (0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE = (—1 , y—1, z), CE //平面FAB,•CE 丄AD, ••• (—1, y—1, z) (0,2,0) = 0.1•y = 1,代入①得z=-,•E是PD的中点，•存在E点，当点E为PD中点时，CE //平面PAB.当堂训练1.(2,4,6) 2•④ 3.x—3y—z+ 4= 0 4• —8 5.(1,1,1)(答案不惟一)。

1．若直线l 1， l2的方向向量分别为a＝ (1,2，－ 2)， b＝( －2,3,2) ，则 l 1与 l2的关系是__________ ．2．已知向量 a＝ (2,4,5) ，b＝(3 ，x，y)，a 与 b 分别是直线 l 1，l 2的方向向量，若 l1∥ l 2，则x＝ __________ ， y＝ __________.3．若空间中A(1,2,3) ，B(－ 1,0,5)，C(3,0,4) ，D(4,1,3) ，则直线 AB 与 CD 的关系是 ______．4．已知A(1,0,0) ， B(0,1,0) ， C(0,0,1) ，则以下向量可作为平面ABC的法向量的是__________ ．(1)(1,1 ，－ 1)； (2)(1，－ 1,1)；(3)(－ 1,1,1) ； (4)( － 1，－ 1，－ 1)．5．已知直线l 的方向向量u＝ (2，－ 1,3)，且 l 经过点 A(0， y,3)和 B( －1,2， z)，则 y， z 的值分别为__________ ， __________.6．已知A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C(0,1,0)， D (1,1，x)，若AD平面ABC，则实数x 的值是__________ ．7．已知AB＝ (1,5，－ 2)，BC＝ (3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝ (x－ 1，y，－ 3)且BP ⊥平面 ABC，BP等于 __________．8．若直线 a 和 b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1) 和 (2，－ 3，－ 2)，则直线 a 和 b 的公垂线的一个方向向量是__________ ．9． (1) 设 a， b 分别是不重合的直线l1，l 2的方向向量，依据以下条件分别判断l 1与 l2的地点关系：①a＝(5,0,2) ， b＝ (0,4,0) ；② a＝ (－ 2,1,4)，b＝ (6,3,3) ．(2)若 u＝ a，v＝ b， u，v 分别是不一样的平面α，β的法向量，依据上述条件分别判断α，β的地点关系．(3)若u＝ a是平面α的法向量，b 是直线l 的方向向量，依据上述条件分别判断α和l 的地点关系．10．如下图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝ 90°，SA⊥平面ABCD ，SA＝AB ＝ BC＝ 1，AD ＝1，分别求平面SCD 与平面SAB 的一个法向量．2参照答案1.答案：垂直分析：∵ a·b＝0，∴ l1⊥ l2.15分析：∵ l 1∥l 2，∴ a∥ b，∴245152.答案： 6，∴ x＝ 6， y＝.23x y2 3.答案：平行分析： AB ＝(－2，－2,2)，CD＝ (1,1，－ 1).故 AB＝－2CD.因此 AB∥CD.又 AB 与 CD 不重合，因此 AB 与 CD 平行 .答案：(4)分析： AB ＝－1,1,0)，AC＝－1,0,1).4.((设平面 ABC 的法向量为 n＝ (x， y， z)，则有x y0,x z 取 x＝－ 1，则 y＝－ 1， z＝－ 1.0,故一个法向量是(－ 1，－ 1，－ 1).33分析： AB ＝(－1,2－y，z－3)，因为l经过A，B两点，5.答案：22因此 u∥AB，故213，1 2 y z33， z 3解得 y.226.答案： 0分析：易求得平面ABC 的法向量 u＝ (0,0,1) ，而 AD ＝(1,1，x)，∴当 AD平面ABC时，AD·u＝0.∴1×0＋ 1× 0＋x＝ 0.∴ x＝ 0.3315AB BC0,35 2 z0,分析：由条件知即x1 5 y60,答案：,,3BP AB0,7.77BP BC03( x1)y3z0.解得 x 4015， y， z＝ 4. 778.答案： (1,4，－ 5)分析：设 a＝ (1,1,1) ， b＝ (2，－ 3，－ 2)，两直线公垂线的一个方向向量n＝( x， y， z)，a n = 0,由题意有b n = 0.x y z 0,y 4x, 即∴2x 3y 2z 0,z5x.令 x ＝1 得 n ＝ (1,4，－ 5).9.答案：解： (1) ①∵ a ＝ (5,0,2) ， b ＝ (0,4,0) ，∴ a ·b ＝ 0， ∴a ⊥ b ，∴ l 1⊥ l 2.②∵ a ＝ (－ 2,1,4) ， b ＝(6,3,3).∴ a 与 b 不共线，也不垂直，∴l 1 与 l 2 订交或异面 .(2)u ＝ a ， v ＝b.①∵ a ⊥ b ， ∴ u ⊥ v ，∴ α⊥ β.②∵ a 与 b 不共线，也不垂直，∴ u 与 v 不共线，也不垂直 .∴ α与 β订交，但不垂直 .(3)由 u ＝ a 得：①∵ a ⊥ b ， ∴ u ⊥ b ，∴ l α或 l ∥ α；②∵ a 与 b 不共线，也不垂直，∴ u 与 b 不共线，也不垂直，∴l 与平面 α斜交 .10.答案：解：∵ AD ， AB ， AS 是三条两两垂直的线段，∴以 A 为原点，以 AD ， AB ， AS 为正交基底成立空间直角坐标系 A － xyz ，则 A(0,0,0)， D 1,0,0， C(1,1,0) ， S(0,0,1) ， AD ＝ 1,0,0 是平面 SAB 的一个法向22量．设平面 SCD 的一个法向量DC ＝ (1，λ， u) ·1 ,1,0 ＝ 1 ＋ λ＝ 0，n ＝ (1， λ， u)，则 n ·22∴1.2n ·DS ＝(1 ，λ， u) ·1,0,1 ＝1 ＋ u ＝0，∴ u ＝ 1，∴ n ＝ 1, 1 , 1 .22 2 2 2。

第7课时直线的方向向量与平面的法向量教学过程一、问题情境为了用向量来争辩空间的线面位置关系,首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”.如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢?二、数学建构问题1过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线,在《平面解析几何初步》中如何用数学语言刻画直线的方向的?解直线的倾斜角、直线的斜率,并用直线的倾斜角和斜率争辩了两条直线平行和垂直关系.问题2必修4《平面对量》这一章中是用什么数学语言刻画直线的方向的?解直线的方向向量,并用直线的方向向量争辩了两条直线平行和垂直关系.直线l的方向向量:我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.问题3平面有“方向”吗?通过呈现平面的不同位置,使同学通过观看知道平面也有“方向”.问题4如何用向量来刻画平面的“方向”?通过模型观看、类比争辩、共同争辩查找出“平面的法向量”来刻画平面的方向.活动1类比直线的方向向量,与平面平行的直线的方向向量行吗?观看发觉不行,方向不确定.活动2与平面垂直的直线的方向向量行吗?解行,依据线面垂直关系,面的垂线方向确定,面的“方向”就确定.平面α的法向量:假如表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作n⊥α.此时,我们把向量n叫做平面α的法向量.概念理解与平面垂直的直线叫做平面的法线,因此,平面的法向量就是平面法线的方向向量.三、数学运用【例1】(教材第99页例1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:是平面ACD1的法向量.[3](见同学用书P61)[处理建议]可用向量数量积的定义证明与平面ACD1中两个不共线向量分别垂直;也可用待定系数法求出平面ACD1的法向量,再证明与此向量共线.[规范板书]证法一不妨设正方体的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),(例1)所以=(1,1,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).由于·=1×(-1)+1×1+1×0=0,所以⊥.同理⊥.又AC∩AD1=A,所以DB1⊥平面ACD1,从而是平面ACD1的法向量.证法二设平面ACD1的一个法向量为a=(x,y,z),则a ⊥a ⊥,从而a ·=0,a ·=0.由于=(-1,1,0),=(-1,0,1),所以即解得不妨取y=z=x=1,所以a=(1,1,1)就是平面ACD1的一个法向量.而=(1,1,1),故∥a,所以是平面ACD1的法向量.[题后反思](1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,⊥平面ACD1是一个重要的结论,以前用综合法证明,这里用向量坐标法证明,可让同学分析比较各自的优点,以便今后机敏运用.(2)求平面的法向量,先找是否有与平面垂直的直线;若没有,再用待定系数法.变式已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD的一个法向量.[规范板书]解以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则D,C(1,1,0),S(0,0,1),所以=(1,1,-1),=.(变式)设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),。

3.2.2空间线面关系的判定课时目标1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.2.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．1．用直线的方向向量和平面的法向量表示平行、垂直关系设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则平行垂直l1与l2l1与α1α1与α22.三垂线定理文字语言：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条________在这个平面内的________垂直，那么它也和这条________垂直．几何语言：⎭⎪⎬⎪⎫b⊄平面αc是b在平面α内的射影⇒a⊥b3．直线与平面垂直的判定定理文字语言：如果一条直线和平面内的________________________，那么这条直线垂直于这个平面．几何语言：⎭⎪⎬⎪⎫a⊂α，b⊂α⇒l⊥α一、填空题1．平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2＝______.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为__________．3.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．(写出所有正确的序号)4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝________. 5．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是_______________________________________________．6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1，b 2分别为________________．7.已知A （0,2,3），B （-2,1,6），C （1，-1,5），若a ，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则向量a 的坐标为________．8．设平面α、β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，则α、β的位置关系为________．二、解答题9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.如图所示，在六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.能力提升11．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，G、E、F分别是DD1、BB1、D1B1的中点．求证：(1)EF⊥平面A1DC1；(2)EF∥平面GAC.12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，E、F分别是棱B1C1、C1D1的中点．证明：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面AMN∥平面BDFE.1．运用空间向量将几何推理转化为向量运算时，应注意处理和把握以下两大关系：一是一些几何题能用纯几何法和向量法解决，体现了纯几何法和向量法在解题中的相互渗透；二是向量法解题时也有用基向量法和坐标向量法两种选择．2．利用向量法解立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3．2.2 空间线面关系的判定知识梳理1.2.斜线 射影 斜线 a α a ⊥c3．两条相交直线垂直 l ⊥a l ⊥b a∩b ＝A作业设计1．1 2．l ⊥α解析 ∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α. 3．①②③ 4.75解析 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)， 2a －b ＝(3,2，－2)，(k a ＋b )⊥(2a －b )， ∴3(k －1)＋2k －4＝0，即k ＝75.5．垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直． 6．(1,1,0)，(0,0,1)解析 ∵b 1∥a ，∴设b 1＝(λ，λ，0)，b 2＝b －b 1 ＝(1－λ，1－λ，1)，由b 2⊥a ，即a·b 2＝0， ∴1－λ＋1－λ＝0，得λ＝1， ∴b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)． 7．(1,1,1)或(－1，－1，－1)解析 设a ＝(x ，y ，z)，由题意AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.解得x ＝1，y ＝1，z ＝1，或x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1， 即a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)． 8．平行9．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1A 1D ， ∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋D 1D →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得D(0,0,0)，B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)，B 1C →＝(－1,0，－1)， OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1， OC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0n ·OC 1→＝0，得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②.令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴B 1C →⊥n ，∴B 1C ∥平面ODC 1. 10．证明 以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则有A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)， A 1(1,0,2)，B 1(1,1,2)， C 1(0,1,2)，D 1(0,0,2)．(1)∵A 1C 1→＝(－1,1,0)，AC →＝(－2,2,0)， D 1B 1→＝(1,1,0)，DB →＝(2,2,0)， ∴AC →＝2A 1C 1→，DB →＝2D 1B 1→. ∴AC →与A 1C 1→平行，DB →与D 1B 1→平行， 于是A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面． (2)DD 1→·AC →＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0， DB →·AC →＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0， ∴DD 1→⊥AC →，DB →⊥AC →.DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面B 1BDD 1.又平面A 1ACC 1过AC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1. 11．证明设正方体的棱长为2，以DA →、DC →、DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系D —xyz ，如图，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(2,2,1)、F(1,1,2)、G(0,0,1)、A 1(2,0,2)、C(0,2,2)．(1)EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)，A 1D →＝(0,0,0)－(2,0,2)＝(－2,0，－2)， DC 1→＝(0,2,2)－(0,0,0)＝(0,2,2)， ∵EF →·A 1D →＝(－1，－1,1)·(－2,0，－2) ＝(－1)×(－2)＋(－1)×0＋1×(－2)＝0， EF →·DC 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2) ＝－1×0＋(－1)×2＋1×2＝0， ∴EF ⊥A 1D ，EF ⊥DC 1.又A 1D∩DC 1＝D ，A 1D 、DC 1⊂平面A 1DC 1， ∴EF ⊥平面A 1DC 1.(2)取AC 的中点O ，则O(1,1,0)， ∴OG →＝(－1，－1,1)，∴OG ∥EF. 又∵OG ⊂平面GAC ，EF ⊄平面GAC ， ∴EF ∥平面GAC. 12．证明不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，B(2,2,0)，E(1,2,2)，F(0,1,2)．(1)EF →＝(－1，－1,0)， DB →＝(2,2,0)．∵DB →＝－2EF →，∴DB →∥EF →.故E 、F 、B 、D 四点共面．(2)DF →＝(0,1,2)，MN →＝(－1，－1,0)，MA →＝(0，－1，－2)． 设n ＝(x ，y ，z)为平面BDFE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝y ＋2z ＝0，n ·EF →＝－x －y ＝0.令z ＝1，得n ＝(2，－2,1)．∵n ·MN →＝(2，－2,1)·(－1，－1,0)＝0， n ·MA →＝(2，－2,1)·(0，－1，－2)＝0，∴n ⊥MN →，n ⊥MA →，即n 也是平面AMN 的法向量． ∴平面AMN ∥平面BDFE.。