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第13讲应用题综合一内容概述与生话相关的形式多样的应用题，需要结合实际情况具体分析；条件比较隐藏，数量关系较为复杂的应用题；具有不确定性，需要进行简单判断的应用题．典型问题兴趣篇1．一个骗子到商店买了5元的东西，他付给店员50元钱，然后店员把剩下的钱找给了他；这时他又说自己有零钱，于是给店员5元的零钱，并且要回了开始给出的50元，请问：这个骗子一共骗了多少钱？ 2．在水平地面上匀速行驶的拖拉机速度是每秒5米，已知拖拉机前轮直径0.8米，后轮直径1.25米．设某一时刻两轮上与地面的接触点为A 和B ，那么经过多少秒后，A 和B 再次同时与地面接触？（圆周率取近似值3）3．一个容器装了43的水，现有大、中、小三种小球，第一次把1个中球沉入水中；第二次将中球取出，再把3个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把1个大球沉入水中．最后将大球从水中取出，此时容器内剩下的水是最开始的92．已知每次从容器中溢出的水量情况是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半．求大、中、小三球的体积比，4．星期天早晨，冬冬发现闹钟因电池能量耗尽停了．他换上新电池，估计了一下时间，把闹钟的时间调到8:00.然后冬冬离家前往天文馆．他到达天文馆时，看到天文馆的标准时钟显示的时间是9:15.一个半小时后，冬冬从天文馆出发以同样的速度回家，到家时看到闹钟显示的时间是11:20，这时冬冬应该把闹钟调到几点几分时间才是准确的？5．从甲地到乙地有两种方法：①立即步行前往；②等待公共汽车坐车前往．表13-1中列出了从甲地到乙地所用的最短时间随两地之间距离的变化情况，已知步行速度、汽车速度以及等待公车的时间都是固定的．请问：当两地相距24千米的时候，从甲地到达乙地的最短时间是多少分钟？6．某种商品由于实行进口限制，在买卖时会征收高达40%的税．比如甲以100元的价格卖出该商品，在收到买方100元货款之后，需要付给国家40元的税；乙以100元的价格买人该商品时，则在付给卖方100元货款后，还需要再付给国家40元的税．现在甲以45万元的总价买入一批该商品，然后再转手卖给乙，在整个买卖交易过程中，甲还自己出钱支付了30000元的运费（该费用不征税）．为了让这笔买卖不亏本，甲至少应以多少万元的价格卖给乙？如果以此价格成交，那么从头到尾国家从甲、乙身上收取了多少万元的税？7．一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7千米．从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第1站，速度都是每小时60千米．早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去，时速是100千米．在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站，问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？8．有一只小蚂蚁在一根弹性充分好的橡皮筋上的A 点，以每秒1厘米的速度向前爬行，从小蚂蚁开始爬行的时候算起，橡皮筋在2秒后、4秒后、6秒后、8秒后、10秒后……都均匀地伸长为原来的2倍．那么在开始爬行9秒后，这只小蚂蚁离A 点多少厘米？9．有一座塔，从地面到塔顶要通过塔内部的螺旋形通道上去，如图13-1，通道的长度是420米，共转了三圈半．小明从P 点以每分钟60米的速度下塔，小亮从Q 点以每分钟40米的速度上塔，如果两人同时出发，那么刚好形成正上方与正下方的关系共有多少次？分别是出发之后几分钟？（两人相遇不算）10．阿奇读一本故事书，如果他第一天读25页，以后每天都比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩下47页；如果他第一天读40页，以后每天都比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩下37页．请问：这本故事书最少共有多少页？拓展篇1．甲、乙、丙、丁四个人去餐馆大吃了一顿，因为甲的钱包落在宿舍，所以饭钱就由乙、丙、丁三个人出．回到宿舍以后，甲找到了钱包，想要把钱还给其他三人，结果乙摆摆手说：“不用了，我反正还欠你4块钱，正好抵了．”丙说：“你把我那份给丁吧，我正好欠他9块钱．”于是甲只付钱给丁，给了31元．那么在餐馆付饭钱的时候，乙、丙、丁分别付了多少元？2．2008年3月1日起，我国实行新的税率标准，费用扣除标准调高为2000元／月．表13-2是工资、薪金所得项目税率表：表中“全月应纳税所得额”是指从月工资、薪金收入中减去2000元后的余额，它与相应税率的乘积就是应交的税款数．则在这种税率实行期间：(1)王先生某个月的工资、薪金收入为4480元，该月份他交纳的税款是多少元？(2)张先生某月份交纳了1165元个人所得税，该月份张先生工资、薪金收入是多少元？3．有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片，阿奇先用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之后又用白色纸片拼下去，……，这样重复拼．当阿奇用黑色纸片拼过5次以后，、黑、白纸片正好用完．请问：黑色纸片至少有多少张？4．有一辆杂技自行车，前轮的半径是1114分米，后轮的半径是313分米，那么当后轮转的圈数比前轮多10圈的时候，这辆车前进了多少米？（圆周率取近似值3.14.）5．两个农妇共带100个鸡蛋到市场上去卖，第一个农妇带的鸡蛋比第二个农妇少，但两人所卖的总钱数相同．第一个农妇对第二个农妇说：“我要有你那么多鸡蛋，按我的价钱卖就能把它们卖180元，”第二个农妇回答说：“我要有你那么多的鸡蛋，按我的价钱卖只能把它们卖80元．”请问：两个农妇各有多少个鸡蛋？6．张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件．张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件，”经理算了一下，若减价1%，由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多52元．那么按张先生的要求，商店最多可以获得多少元利润？7．比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等．缝制的方法是：每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起．如果一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块?8．如图13 – 2所示，相距15厘米的两条平行线a 和b 之间，有直角三角形A 和长方形B ．直角三角形A 沿着直线a 以每秒1厘米的速度向右运动，长方形B 沿着直线b 以每秒2厘米的速度向左运动．请问：A 与B 有重叠部分的时间持续多久?其中重叠部分的面积保持不变的时间有多长?9．如图13 – 3所示，A、B两点把一个周长为1米的圆周等分成两部分．蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它每跳一步的步长是詈米，如果它跳到A点，就会经过特别通道A曰滑向曰点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米?10．汽车轮胎如果放在前轮可以行驶50000千米，如果放在后轮可以行驶30000千米．现有一辆汽车，允许在恰当的时候将前轮和后轮互换，那么最多可以行驶多少千米而不需要购买新的轮胎?如果在行驶过程中只允许前、后轮对调一次，那么应当在行驶多少千米的时候将前、后轮对调?11．在A、B之问有一段笔直的公路，在其两个三等分点处各有一棵树．早上9：30时有一辆汽车从A出发，以固定的速度沿公路行驶，于当天早上10：00到达B．一辆摩托车在当天早上9：25从B出发，以变化的速度开往A地．摩托车手记得他和汽车在某棵树处相遇，但记不清是哪棵树了，他只知道以摩托车的最快速度从B到A恰好要15分钟．如果摩托车手能够根据上述信息推断出自己是在哪棵树处遇到汽车的，那么摩托车最晚什么时问之前到达A地?12．如图13—4所示，在一个大圆周上均匀分布着200个小球，沿顺时针方向依次编号为1，2，3，…，200．每个小球均以各自编号的速度沿顺时针方向绕圆周运动(单位是米／秒)，当在某一个时刻有若干小球相遇在一起时，这些小球就会合并成一个小球，并以原来这些小球速度的平均值继续沿顺时针方向运动．经过充分长的时间之后，圆周上最终剩下几个球在运动?速度等于多少?超越篇1．小军驾驶的轿车被警察拦了下来，原因是在高速路上超速驾驶，仪器记录上显示小军的平均速度达到了110千米／时．为了免于处罚，小军辩解道：“刚才我花了两个半小时通过这段高速路，我敢保证在每一个小时的时间间隔内，我开的距离都不超过100千米，因此我开车的平均速度不可能是110千米/时．你的记录仪器一定有问题．”于是警察又查询了电子记录，发现小军所说属实，虽然总感觉有些不对劲，却又不知如何反驳小军，于足就放过了他．请问：小军的辫解错在哪里?2．甲、乙、丙三个人一起买一件古董，他们三个人出钱的比是2：2：1．第一次三个人只付了总钱数的50％，乙比丙多付了2750元，但是这些钱中包含乙替甲垫付的550元．几天之后甲又单独向丙借了2000元，向乙借了500元、几天之后这三人发现古董的价格提高了20％，并日由于甲缺钱。
第十三讲组合综合练习学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70 分钟．一、填空题I （本题共有8小题，每题6分）1. 箱子里有7个红球、8个白球和9个蓝球，从中摸出 ________ 个球，才能保证每种颜色的球都至少有一个．2. 三位老师对四位同学的竞赛结果进行了预测．邹老师说：“墨莫第一，卡莉娅第四．”李老师说：“萱萱第一，小高第三．”杨老师说：“卡莉娅第二，萱萱第三．”结果四位同学都进入了前四名，而三位老师的预测各对了一半，那么萱萱是第__________________ 名．．3. 由1、4、7、10、13 组成甲组数，由2、5、8、11、14 组成乙组数，由3、6、9、12、15 组成丙组数．现在从三组数中各取一个数相加，共可以得到____________ 个不同的和．4. 欣欣超市举办促销活动，允许用5 个空瓶换一瓶啤酒．胡大伯家去年花钱先后买了89 瓶啤酒，其间还不断用啤酒瓶换啤酒，胡大伯家去年共能喝到____________________ 瓶啤酒．5. 把100 个橘子分装在6 个篮子里，每个篮子里装的橘子数都含有6．每个篮子里的橘子数由多到少分别是_______6. 从1、2、3、L 、2010 中，最多可以取出_________ 个数，使取出的数中任意两个数的差都不是4．7. 将一张6 6的纸棋盘沿竖线、横线（不计边框共有10条）折叠（不一定对折），最后成为一个1 1的正方形•此时沿对边中点剪1刀，原来的棋盘被剪成了 ________ 块.8. 全家十人准备外出旅游，旅行社有以下优惠活动：若购买1张全票，其他人可享受9折优惠;若购买3张全票，其他人可享受8折优惠;若购买5张全票，其他人可享受7折优惠;若购买7张全票，其他人可享受6折优惠;若购买9张全票，其他人可享受5折优惠;则这一家人买________ 张全票最合适.二、填空题II （本题共有4小题，每题7分）9. 有两个桶，大桶容量13升，小桶容量7升•如果想从河中打上4升的水，那么至少要从河中取水次.10. 邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米.如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走____________ 千米.11. 有小高、小娅、墨莫、萱萱四个人，各对某个两位数的性质用表述如下：小高：“被3除余1,被4除余2”.小娅：“被5除余3,被6除余4”.墨莫：“被7除余5,被8除余6”.萱萱：“被9除余7,被10除余8”.已知4个人中每人的话各对了一半.那么这个两位数是12. 有黑白各8张共16张卡片，它们的正面分别写着数字0、1、2、3、4、5、6、7，写有每个数字的卡片都恰好是黑白各一张．从16张卡片中抽出4张（黑白各2张），把剩下的12张翻过来背面朝上按下列要求排列如下：■■□■■□□□■□■□ 已知排列满足如下规则：（1）每行从左至右按从小到大的顺序排列．（2）每行中黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．那么最初抽出的4张黑白卡片上面写的数字分别是：黑卡片： _______ 和____ ；白卡片：____ 和 __三、填空题川（本题共有3小题，每题8分）13. 小高、小娅、墨莫和萱萱4 个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们 4 个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次最多只能过 2 人，因此必须先由2个人拿手电筒过桥，……，直到4人都通过小桥.已知：小高单独过桥要2分钟；小娅单独过桥要 3 分钟；墨莫单独过桥要 5 分钟；萱萱单独过桥要9 分钟．如果两人同时过桥，则过桥所花时间按较慢的人的过桥时间计算.那么 4 个人都通过小木桥，最少要_____________________ 分钟.14. 有8 个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1、2、3、…、100的所有整数克的物品来；那么这8个砝码中第二重的砝码最少是________ 克.15. 墨莫和小高两人进行如下游戏，墨莫先开始，两人轮流从1、2、3、…、100种每次任意勾去14个数，经过7 次操作后，还剩两个数，这时余下的两个数之差即为墨莫的得分，如果墨莫采取正确的策略，可以保证使自己至少得到______________ 分.第十三讲组合综合练习1.答案：18•解答：最坏的情况是白球取 8个，蓝球取9个，共取了 17个•只要再取一个就一定满足要求.10.答案：24.解答：有22段街道，每段街道至少走一遍，但问题是这个街道不可能一笔画画岀来，因为有4个点所连线段数是奇数，至少还要多走2千米•所以最少需要走 24千米.2.答案：四•解答：邹老师说的两句话恰有一句是对的•情形一：“墨莫第一”是对的，则小高第三、卡莉娅第二、萱萱第四；情形二：“卡莉娅第四”是对的，则萱萱第三，于是李老师说的两句话都是错的，矛盾•所以只能是情 形一，萱萱是第四名3.答案：13.解答：所得的和数一定是3的倍数，最小是6,最大是42,中间的3的倍数也都能得到，所以一共有42 63 113个不同的和.酒瓶最终能换到22瓶的酒，还剩下一个空瓶•所以一共能喝到89 22 111瓶啤酒.5. 答案：60、16、6、6、6、6.解答：本题相当于是六个加数的和是个加数的个位上有 5个6,十位上有1个6，所以这些加数由大到小是60、16、6、6、6、6.6. 答案：1006.解答：每连续8个数中，最多能取4个.2010 8 251L 2，所以从1到2008中，最多可以取出1004个数，再加上2009和2010,所以最多能取出1006个数.7.答案：7 •解答：不妨设是按竖直方向剪开（剪开线为图 1虚线AB ）,则相当于是将原来的棋盘按图2虚线方式剪开了•剪开后，得到 7块长方形.8. 答案：5 •解答：把全票价格设为 1份，直接计算比较即可.9. 答案：3 •考虑到13 3 7 5 4，说明只要用大桶取 3次水，且用小桶移走 5次水，就能打上4升.4. 答案：111 •解答：“ 5啤酒瓶=1啤酒瓶+1酒”，所以“ 1酒=4 啤酒瓶".由89 4 22L 1，说明89个啤100，且每个加数都含有数字 6 .容易推断，六11. 答案：78．解答：从墨莫和萱萱说的话入手，两人各有一个整除性判断是正确的，正确的判断有四种组合方式，每种组合方式确定了一个两位数，再检验小高和小娅说的话即可．比如“被7 除余5”且“被9 除余7”是正确的，则两位数为7 9 2 61，此时小娅的话完全错了，所以61 不符合要求．其他情况可类似判断．12. 答案：4、5、0、2•解答：容易推断出大小关系：■<■□ <■ <■□ <□ <□ <■□ <■□，这里有7个小于号，恰好就把所有数的大小关系都确定出来了.13. 答案：20•解答：小高和小娅先过桥，花3分钟；小高回来，花2分钟；墨莫和萱萱过桥，花9分钟；小娅回来，花3分钟；小高和小娅过桥，花3分钟.一共花了20分钟.14. 答案：12 •解答：不妨设这些砝码由轻到重依次是a、b、c、d、e、f、g、h克•容易推断出a 1，b 2，c 4 ，d 8 ，a b c defg 100 2 50 ，所以e f g 50 1 2 4 8 35，g 最少是12 克.15. 答案：57.解答：墨莫第一次勾去44到57这14个数，余下的数可配成43对：（1, 58 ），（2, 59），（3，60），……，（43，100）.墨莫每次操作时只要使得剩余的数是“成对”的，就能使自己至少得到57分.25.答案：24.解答：有22段街道，每段街道至少走一遍，但问题是这个街道不可能一笔画画岀来，因为有4个点所连线段数是奇数，至少还要多走2千米•所以最少需要走 24千米.17.答案：四•解答：邹老师说的两句话恰有一句是对的•情形一：“墨莫第一”是对的，则小高第三、卡莉娅第二、萱萱第四；情形二：“卡莉娅第四”是对的，则萱萱第三，于是李老师说的两句话都是错的，矛盾•所以只能是情 形一，萱萱是第四名18.答案：13.解答：所得的和数一定是 3的倍数，最小是6,最大是42，中间的3的倍数也都能得到，所以一共有42 63 113个不同的和.19. 答案：111 •解答：“ 5啤酒瓶=1啤酒瓶+1酒”，所以“ 1酒瓶最终能换到22瓶的酒，还剩下一个空瓶•所以一共能喝到89 22 111瓶啤酒.20. 答案：60、16、6、6、6、6.解答：本题相当于是六个加数的和是个加数的个位上有 5个6,十位上有1个6，所以这些加数由大到小是60、16、6、6、6、6.21. 答案：1006.解答：每连续8个数中，最多能取4个.2010 8 251L 2，所以从1到2008中，最多可以取出1004个数，再加上2009和2010,所以最多能取出1006个数.22.答案：7 •解答：不妨设是按竖直方向剪开（剪开线为图 1虚线AB ）,则相当于是将原来的棋盘按图2虚线方式剪开了•剪开后，得到 7块长方形.23. 答案：5•解答：把全票价格设为 1份，直接计算比较即可.酒=4 啤酒瓶".由89 4 22L 1，说明89个啤100，且每个加数都含有数字 6 .容易推断，六24. 答案：3 •考虑到13 3 7 5 4，说明只要用大桶取3次水，且用小桶移走5次水，就能打上4升.25.答案：24.解答：有22段街道，每段街道至少走一遍，但问题是这个街道不可能一笔画画岀来，因为有4个点所连线段数是奇数，至少还要多走2千米•所以最少需要走24千米.26. 答案：78．解答：从墨莫和萱萱说的话入手，两人各有一个整除性判断是正确的，正确的判断有四种组合方式，每种组合方式确定了一个两位数，再检验小高和小娅说的话即可．比如“被7 除余5”且“被9 除余7”是正确的，则两位数为7 9 2 61，此时小娅的话完全错了，所以61 不符合要求．其他情况可类似判断．27. 答案：4、5、0、2•解答：容易推断出大小关系：■<■□ <■ <■□ <□ <□ <■□ <■□，这里有7个小于号，恰好就把所有数的大小关系都确定出来了.28. 答案：20•解答：小高和小娅先过桥，花3分钟；小高回来，花2分钟；墨莫和萱萱过桥，花9分钟；小娅回来，花3分钟；小高和小娅过桥，花3分钟.一共花了20分钟.29. 答案：12 •解答：不妨设这些砝码由轻到重依次是a、b、c、d、e、f、g、h克•容易推断出a 1，b 2，c 4 ，d 8 ，a b c defg 100 2 50 ，所以e f g 50 1 2 4 8 35，g 最少是12 克.30. 答案：57.解答：墨莫第一次勾去44到57这14个数，余下的数可配成43对：（1, 58 ），（2, 59），（3，60），……，（43，100）.墨莫每次操作时只要使得剩余的数是“成对”的，就能使自己至少得到57分.。
第14讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会观察和发现递推关系；利用树形固、列表等方法处理某些递推关系，另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．典型问题兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？2．小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？3．用l×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？6．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？7．由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个？8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？9．一个十位数只含有数字l或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？拓展篇1．老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写l篇，如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法？3．现有14块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？4．如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以把平面分成几个部分？5．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。
第14讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会观察和发现递推关系；利用树形固、列表等方法处理某些递推关系，另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．典型问题兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？2．小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？3．用l×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？6．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？7．由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个？8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？9．一个十位数只含有数字l或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？拓展篇1．老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写l篇，如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法？3．现有14块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？4．如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以把平面分成几个部分？5．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。
高斯小学六年级下册奥数应用题综合练习答案一、选择题(每题3分、共30分)1.四会市现在总人口43万多，数据43万用科学记数法表示为( )A.43×104B.4.3×105C.4.3×106D.0.43×1062.下列四个多边形：①等边三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形、其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.①②B.②③C.②④D.①④3.，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于( )A.20B.15C.10D.54.一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的个数是( )A.2B.3C.4D.55.在平面中，下列命题为真命题的是( )A.四边相等的四边形是正方形B.对角线相等的四边形是菱形C.四个角相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形6.若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是( )A.m<﹣4b.m>﹣4C.m<4d.m>47.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为( )A.(x+2)2=9B.(x﹣2)2=9C.(x+2)2=1D.(x﹣2)2=18.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是( )A.B.C.D.9.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的可能为( )A.B.C.D.10.，抛物线y=x2与直线y=x交于A点，沿直线y=x平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点恰好为A点，则平移后抛物线的解析式是( )A.y=(x+1)2﹣1B.y=(x+1)2+1C.y=(x﹣1)2+1D.y=(x﹣1)2﹣1二、填空题(每题3分、共30分)11.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .12.已知一次函数y=kx+3的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是 .13.分解因式：3ax2﹣3ay2= .14.在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 .15.设x1、x2是方程3x2﹣x﹣1=0的两个实数根，则3x12﹣2x1﹣x2的值等于 .16.某商品原价289元，经过两次连续降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则由题意所列方程 .17.若|a﹣3|+(a﹣b)2=0，则ab的倒数是 .18.在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则?ABCD的周长是 .19.A(4，0)，B(3，3)，以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过C点的反比例函数的解析式为 .三、解答题(共60分)20.(﹣1)0+()﹣2﹣.21.先化简，再求值：，其中.22.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.23.某校初三(1)班的同学踊跃为“雅安芦山地震”捐款，根据捐款情况(捐款数为正数)制作以下统计图表，但生活委员不小心把墨水滴在统计表上，部分数据看不清楚.捐款人数0～20元21～40元41～60元61～80元681元以上4(1)全班有多少人捐款?(2)如果捐款0～20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°，那么捐款21～40元的有多少人?24.四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上.(1)从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数偶数的概率;(2)从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，求这两张牌的点数都是偶数的概率.25.直线y=ax+b与双曲线相交于两点A(1，2)，B(m，﹣4).(1)求直线与双曲线的解析式;(2)求不等式ax+b>的解集(直接写出答案)26.(10分)(2013南通)某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.在x=1时，y=1.4;当x=3时，y=3.6.信息2：销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x.根据以上信息，解答下列问题;(1)求二次函数解析式;(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少?27.(12分)(2008包头)阅读并解答：①方程x2﹣2x+1=0的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1.②方程2x2﹣x﹣2=0的根是x1=，x2=，则有x1+x2=，x1x2=﹣1.③方程3x2+4x﹣7=0的根是x1=﹣，x2=1，则有x1+x2=﹣，x1x2=﹣.(1)根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x1，x2，那么x1，x2与系数a、b、c有什么关系?请写出你的猜想并证明你的猜想;(2)利用你的猜想结论，解决下面的问题：已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0有实数根x1，x2，且x12+x22=11，求k的值.参考答案与试题解析一、选择题(每题3分、共30分)1.四会市现在总人口43万多，数据43万用科学记数法表示为( )A.43×104B.4.3×105C.4.3×106D.0.43×106考点：科学记数法—表示较大的数.分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值是易错点，由于43万有6位，所以可以确定n=6﹣1=5.解答：解：43万=430000=4.3×105.故选B.点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.2.下列四个多边形：①等边三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形、其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.①②B.②③C.②④D.①④考点：中心对称图形;轴对称图形.分析：根据正多边形的性质和轴对称与中心对称的性质解答.解答：解：由正多边形的对称性知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形;奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形.故选C.点评：此题考查正多边形对称性.关键要记住偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，奇数边的正多边形只是轴对称图形.3.在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于( )A.20B.15C.10D.5考点：菱形的性质;等边三角形的判定与性质.分析：根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB.解答：解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°∴∠B=60°∴△ABC为等边三角形∴AC=AB=5故选D.点评：本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定.4.是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的个数是( )A.2B.3C.4D.5考点：由三视图判断几何体.分析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再结合题意和三视图的特点找出每行和每列的小正方体的个数再相加即可.解答：解：由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么搭成这个几何体所用的小立方体个数是4.故选C.点评：本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.5.在平面中，下列命题为真命题的是( )A.四边相等的四边形是正方形B.对角线相等的四边形是菱形C.四个角相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形考点：正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定;命题与定理.分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例.解答：解：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误;B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误;C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确;D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如右图所示，故此选项错误.故选：C.点评：此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.6.若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是( )A.m<﹣4b.m>﹣4C.m<4d.m>4考点：根的判别式.专题：计算题.分析：由方程没有实数根，得到根的判别式的值小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围.解答：解：∵△=(﹣4)2﹣4m=16﹣4m<0，∴m>4.点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.7.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为( )A.(x+2)2=9B.(x﹣2)2=9C.(x+2)2=1D.(x﹣2)2=1考点：解一元二次方程-配方法.分析：移项后配方，再根据完全平方公式求出即可.解答：解：x2+4x﹣5=0，x2+4x=5，x2+4x+22=5+22，(x+2)2=9，故选：A.点评：本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方.8.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是( )A.B.C.D.考点：由实际问题抽象出分式方程.分析：题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式.解答：解：根据题意，得.点评：理解题意是解答应用题的关键，找出题中的.等量关系，列出关系式.9.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为( )A.B.C.D.考点：二次函数的图象;一次函数的图象.专题：数形结合.分析：根据二次函数的性质首先排除B选项，再根据a、b的值的正负，结合二次函数和一次函数的性质逐个检验即可得出答案.解答：解：根据题意可知二次函数y=ax2+bx的图象经过原点O(0，0)，故B选项错误;当a<0时，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，一次函数y=ax+b的斜率a为负值，故D选项错误;当a<0、b>0时，二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣>0，一次函数y=ax+b与y轴的交点(0，b)应该在y轴正半轴，故C选项错误;当a>0、b<0时，二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣>0，一次函数y=ax+b与y轴的交点(0，b)应该在y轴负半轴，故A选项正确.故选A.点评：本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题.10.抛物线y=x2与直线y=x交于A点，沿直线y=x平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点恰好为A点，则平移后抛物线的解析式是( )A.y=(x+1)2﹣1B.y=(x+1)2+1C.y=(x﹣1)2+1D.y=(x﹣1)2﹣1考点：二次函数图象与几何变换.分析：首先根据抛物线y=x2与直线y=x交于A点，即可得出A点坐标，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式.解答：解：∵抛物线y=x2与直线y=x交于A点，∴x2=x，解得：x1=1，x2=0(舍去)，∴A(1，1)，∴抛物线解析式为：y=(x﹣1)2+1，故选：C.点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A 点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减.二、填空题(每题3分、共30分)11.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2 .考点：二次根式有意义的条件.专题：计算题.分析：让二次根式的被开方数为非负数列式求解即可.解答：解：由题意得：3x﹣6≥0，解得x≥2，故答案为：x≥2.点评：考查二次根式有意义的条件;用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数为非负数.12.已知一次函数y=kx+3的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是k<0 .考点：一次函数图象与系数的关系.分析：根据一次函数经过的象限确定其图象的增减性，然后确定k的取值范围即可.解答：解：∵一次函数y=kx+3的图象经过第一、二、四象限，∴k<0;故答案为：k<0.点评：本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据图象的位置确定其增减性.13.分解因式：3ax2﹣3ay2= 3a(x+y)(x﹣y) .考点：提公因式法与公式法的综合运用.分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解.解答：解：3ax2﹣3ay2=3a(x2﹣y2)=3a(x+y)(x﹣y).故答案为：3a(x+y)(x﹣y)点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后再利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底.14.在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 .考点：概率公式.分析：由在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，直接利用概率公式求解即可求得答案.解答：解：∵在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，∴现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是：=.故答案为：.点评：此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.15.设x1、x2是方程3x2﹣x﹣1=0的两个实数根，则3x12﹣2x1﹣x2的值等于 .考点：根与系数的关系;一元二次方程的解.分析：根据题意可知，x1+x2=，然后根据方程解的定义得到3x12=x1+1，然后整体代入3x12﹣2x1﹣x2计算即可.解答：解：∵x1，x2是方程3x2﹣x﹣1=0的两个实数根，∴x1+x2=，∵x1是方程x2﹣5x﹣1=0的实数根，∴3x12﹣x1﹣1=0，∴x12=x1+1，∴3x12﹣2x1+x2=x1+1﹣2x1﹣x2=1﹣(x1+x2)=1﹣=.故答案为：.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系x1+x2=﹣，x1x2=，以及一元二次方程的解.16.某商品原价289元，经过两次连续降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则由题意所列方程289×(1﹣x)2=256 .考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题：增长率问题.分析：可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1﹣降低的百分率)=256，把相应数值代入即可求解.解答：解：第一次降价后的价格为289×(1﹣x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为289×(1﹣x)×(1﹣x)，则列出的方程是289×(1﹣x)2=256.点评：考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.17.若|a﹣3|+(a﹣b)2=0，则ab的倒数是 .考点：非负数的性质：偶次方;非负数的性质：绝对值.分析：根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解.解答：解：根据题意得，a﹣3=0，a﹣b=0，解得a=b=3，所以，ab=33=27，所以，ab的倒数是.故答案为：.点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.18.如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则?ABCD的周长是4+2 .考点：解一元二次方程-因式分解法;平行四边形的性质.专题：计算题.分析：先解方程求得a，再根据勾股定理求得AB，从而计算出?ABCD的周长即可.解答：解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，∴(x﹣1)(x+3)=0，即x=1或﹣3，∵AE=EB=EC=a，∴a=1，在Rt△ABE中，AB==a=，∴?ABCD的周长=4a+2a=4+2.故答案为：4+2.点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握.19.A(4，0)，B(3，3)，以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过C点的反比例函数的解析式为y=﹣ .考点：待定系数法求反比例函数解析式;平行四边形的性质.专题：待定系数法.分析：设经过C点的反比例函数的解析式是y=(k≠0)，设C(x，y).根据平行四边形的性质求出点C的坐标(﹣1，3).然后利用待定系数法求反比例函数的解析式.解答：解：设经过C点的反比例函数的解析式是y=(k≠0)，设C(x，y).∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC=OA;∵A(4，0)，B(3，3)，∴点C的纵坐标是y=3，|3﹣x|=4(x<0)，∴x=﹣1，∴C(﹣1，3).∵点C在反比例函数y=(k≠0)的图象上，∴3=，解得，k=﹣3，∴经过C点的反比例函数的解析式是y=﹣.故答案为：y=﹣.点评：本题主要考查了平行四边形的性质(对边平行且相等)、利用待定系数法求反比例函数的解析式.解答反比例函数的解析式时，还借用了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上.三、解答题(共60分)20.(﹣1)0+()﹣2﹣.考点：实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.专题：计算题.分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，即可得到结果.解答：解：原式=1+4﹣=4.点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.21.先化简，再求值：，其中.考点：分式的化简求值;约分;分式的乘除法;分式的加减法.专题：计算题.分析：先算括号里面的减法，再把除法变成乘法，进行约分即可.解答：解：原式=&pide;()=×=，当x=﹣3时，原式==.点评：本题主要考查对分式的加减、乘除，约分等知识点的理解和掌握，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键.22.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.考点：解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.专题：计算题.分析：分别解两个不等式得到x≥﹣2和x<1，再根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，然后用数轴表示解集.解答：解：，由①得：x≥﹣2，由②得：x<1，∴不等式组的解集为：﹣2≤x<1，在数轴上表示为：.点评：本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集.也考查了在数轴上表示不等式的解集.23.某校初三(1)班的同学踊跃为“雅安芦山地震”捐款，根据捐款情况(捐款数为正数)制作以下统计图表，但生活委员不小心把墨水滴在统计表上，部分数据看不清楚.捐款人数0～20元21～40元41～60元61～80元681元以上4(1)全班有多少人捐款?(2)如果捐款0～20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°，那么捐款21～40元的有多少人?考点：扇形统计图;统计表.分析：(1)根据扇形统计图中的捐款81元以上的认识和其所占的百分比确定全班人数即可;(2)分别确定每个小组的人数，最后确定捐款数在21﹣40元的人数即可.解答：解：(1)4&pide;8%=50答：全班有50人捐款.(2)∵捐款0～20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°∴捐款0～20元的人数为50×=10∴50﹣10﹣50×32%﹣6﹣4=14答：捐款21～40元的有14人.点评：本题考查了扇形统计图及统计表的知识，解题的关键是确定总人数.24.四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上.(1)从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数偶数的概率;(2)从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，求这两张牌的点数都是偶数的概率.考点：列表法与树状图法;概率公式.分析：(1)利用数字2，3，4，8中一共有3个偶数，总数为4，即可得出点数偶数的概率;(2)利用树状图列举出所有情况，让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率.解答：解：(1)根据数字2，3，4，8中一共有3个偶数，故从中随机抽取一张牌，这张牌的点数偶数的概率为：;(2)根据从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，列树状图如下：根据树状图可知，一共有12种情况，两张牌的点数都是偶数的有6种，故连续抽取两张牌的点数都是偶数的概率是：=.点评：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件;树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.25.直线y=ax+b与双曲线相交于两点A(1，2)，B(m，﹣4).(1)求直线与双曲线的解析式;(2)求不等式ax+b>的解集(直接写出答案)考点：反比例函数与一次函数的交点问题.分析：(1)先把先把(1，2)代入双曲线中，可求k，从而可得双曲线的解析式，再把y=﹣4代入双曲线的解析式中，可求m，最后把(1，2)、(﹣，﹣4)代入一次函数，可得关于a、b的二元一次方程组，解可求a、b的值，进而可求出一次函数解析式;(2)根据图象观察可得x>1或﹣<x<0.主要是观察交点的左右即可.<>解答：解：(1)先把(1，2)代入双曲线中，得k=2，∴双曲线的解析式是y=，当y=﹣4时，m=﹣，把(1，2)、(﹣，﹣4)代入一次函数，可得，解得，∴一次函数的解析式是y=4x﹣2;(2)可知，若ax+b>，那么x>1或﹣<x<0.<>点评：本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，并会求出不等式的解集.26.(10分)(2013南通)某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.在x=1时，y=1.4;当x=3时，y=3.6.信息2：销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x.根据以上信息，解答下列问题;(1)求二次函数解析式;(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少?考点：二次函数的应用.分析：(1)把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可;(2)设购进A产品m吨，购进B产品(10﹣m)吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答.解答：解：(1)∵当x=1时，y=1.4;当x=3时，y=3.6，∴，解得，所以，二次函数解析式为y=﹣0.1x2+1.5x;(2)设购进A产品m吨，购进B产品(10﹣m)吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3(10﹣m)=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1(m﹣6)2+6.6，∵﹣0.1<0，∴当m=6时，W有最大值6.6，∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元.点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，比较简单，(2)整理得到所获利润与购进A产品的吨数的关系式是解题的关键.27.(12分)(2008包头)阅读并解答：①方程x2﹣2x+1=0的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1.②方程2x2﹣x﹣2=0的根是x1=，x2=，则有x1+x2=，x1x2=﹣1.③方程3x2+4x﹣7=0的根是x1=﹣，x2=1，则有x1+x2=﹣，x1x2=﹣.(1)根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x1，x2，那么x1，x2与系数a、b、c有什么关系?请写出你的猜想并证明你的猜想;(2)利用你的猜想结论，解决下面的问题：已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0有实数根x1，x2，且x12+x22=11，求k的值.考点：根与系数的关系;解一元二次方程-公式法;解一元二次方程-因式分解法;根的判别式.专题：压轴题;阅读型.分析：(1)由①②③中两根之和与两根之积的结果可以看出，两根之和正好等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积正好等于常数项与二次项系数之比.(2)欲求k的值，先把代数式x12+x22变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组，解方程组即可求k值.解答：解：(1)猜想为：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则有，.理由：设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，那么由求根公式可知，，.于是有，，综上得，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则有，.(2)x1、x2是方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0的两个实数根∴x1+x2=﹣(2k+1)，x1x2=k2﹣2，又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2﹣2x1x2=(x1+x2)2﹣2x1x2 ∴[﹣(2k+1)]2﹣2×(k2﹣2)=11整理得k2+2k﹣3=0，解得k=1或﹣3，又∵△=[﹣(2k+1)]2﹣4(k2﹣2)≥0，解得k≥﹣，∴k=1.点评：本题考查了学生的总结和分析能力，善于总结，善于发现，学会分析是学好数学必备的能力.将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.。
第十三讲组合综合练习【学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70分钟．一、填空题Ⅰ（本题共有8小题，每题6分）1.箱子里有7个红球、8个白球和9个蓝球，从中摸出______个球，才能保证每种颜色的球都至少有一个．2.三位老师对四位同学的竞赛结果进行了预测．邹老师说：“墨莫第一，卡莉娅第四．”李老师说：“萱萱第一，小高第三．”杨老师说：“卡莉娅第二，萱萱第三．”结果四位同学都进入了前四名，而三位老师的预测各对了一半，那么萱萱是第________名．．3.由1、4、7、10、13组成甲组数，由2、5、8、11、14组成乙组数，由3、6、9、12、15组成丙组数．现在从三组数中各取一个数相加，共可以得到________个不同的和．4.欣欣超市举办促销活动，允许用5个空瓶换一瓶啤酒．胡大伯家去年花钱先后买了89瓶啤酒，其间还不断用啤酒瓶换啤酒，胡大伯家去年共能喝到________瓶啤酒．5.把100个橘子分装在6个篮子里，每个篮子里装的橘子数都含有6．每个篮子里的橘子数由多到少分别是_______、_______、_______、_______、_______、_______．6.从1、2、3、、2010中，最多可以取出_______个数，使取出的数中任意两个数的差都不是4．7.将一张66⨯的纸棋盘沿竖线、横线（不计边框共有10条）折叠（不一定对折），最后成为一个11⨯的正方形．此时沿对边中点剪1刀，原来的棋盘被剪成了_______块．8.全家十人准备外出旅游，旅行社有以下优惠活动：若购买1张全票，其他人可享受9折优惠；若购买3张全票，其他人可享受8折优惠；若购买5张全票，其他人可享受7折优惠；若购买7张全票，其他人可享受6折优惠；若购买9张全票，其他人可享受5折优惠；则这一家人买_______张全票最合适．二、填空题Ⅱ（本题共有4小题，每题7分）9.有两个桶，大桶容量13升，小桶容量7升．如果想从河中打上4升的水，那么至少要从河中取水_______次．10.邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走_______千米．11.有小高、小娅、墨莫、萱萱四个人，各对某个两位数的性质用表述如下：小高：“被3除余1，被4除余2”．小娅：“被5除余3，被6除余4”．墨莫：“被7除余5，被8除余6”．萱萱：“被9除余7，被10除余8”．已知4个人中每人的话各对了一半．那么这个两位数是______．1 1 112.有黑白各8张共16张卡片，它们的正面分别写着数字0、1、2、3、4、5、6、7，写有每个数字的卡片都恰好是黑白各一张．从16张卡片中抽出4张（黑白各2张），把剩下的12张翻过来背面朝上按下列要求排列如下：■■□■■□□□■□■□已知排列满足如下规则：（1）每行从左至右按从小到大的顺序排列．（2）每行中黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．那么最初抽出的4张黑白卡片上面写的数字分别是：黑卡片：____和____；白卡片：____和____．三、填空题Ⅲ（本题共有3小题，每题8分）13.小高、小娅、墨莫和萱萱4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次最多只能过2人，因此必须先由2个人拿手电筒过桥，……，直到4人都通过小桥．已知：小高单独过桥要2分钟；小娅单独过桥要3分钟；墨莫单独过桥要5分钟；萱萱单独过桥要9分钟．如果两人同时过桥，则过桥所花时间按较慢的人的过桥时间计算．那么4个人都通过小木桥，最少要________分钟．14.有8个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1、2、3、…、100的所有整数克的物品来；那么这8个砝码中第二重的砝码最少是________克．15.墨莫和小高两人进行如下游戏，墨莫先开始，两人轮流从1、2、3、…、100种每次任意勾去14个数，经过7次操作后，还剩两个数，这时余下的两个数之差即为墨莫的得分，如果墨莫采取正确的策略，可以保证使自己至少得到___________分．第十三讲 组合综合练习1. 答案：18．解答：最坏的情况是白球取8个，蓝球取9个，共取了17个．只要再取一个就一定满足要求．2. 答案：四．解答：邹老师说的两句话恰有一句是对的．情形一：“墨莫第一”是对的，则小高第三、卡莉娅第二、萱萱第四；情形二：“卡莉娅第四”是对的，则萱萱第三，于是李老师说的两句话都是错的，矛盾．所以只能是情形一，萱萱是第四名3. 答案：13．解答：所得的和数一定是3的倍数，最小是6，最大是42，中间的3的倍数也都能得到，所以一共有()4263113-÷+=个不同的和．4. 答案：111．解答：“5⨯啤酒瓶=1⨯啤酒瓶+1⨯酒”，所以“1⨯酒=4⨯啤酒瓶”．由894221÷=，说明89个啤酒瓶最终能换到22瓶的酒，还剩下一个空瓶．所以一共能喝到8922111+=瓶啤酒．5. 答案：60、16、6、6、6、6．解答：本题相当于是六个加数的和是100，且每个加数都含有数字6．容易推断，六个加数的个位上有5个6，十位上有1个6，所以这些加数由大到小是60、16、6、6、6、6．6. 答案：1006．解答：每连续8个数中，最多能取4个．201082512÷=，所以从1到2008中，最多可以取出1004个数，再加上2009和2010，所以最多能取出1006个数．7. 答案：7．解答：不妨设是按竖直方向剪开（剪开线为图1虚线AB ），则相当于是将原来的棋盘按图2虚线方式剪开了．剪开后，得到7块长方形．8. 答案：5．解答：把全票价格设为1份，直接计算比较即可．9. 答案：3．考虑到133754⨯-⨯=，说明只要用大桶取3次水，且用小桶移走5次水，就能打上4升．10. 答案：24．解答：有22段街道，每段街道至少走一遍，但问题是这个街道不可能一笔画画出来，因为有4个点所连线段数是奇数，至少还要多走2千米．所以最少需要走24千米．图1图211.答案：78．解答：从墨莫和萱萱说的话入手，两人各有一个整除性判断是正确的，正确的判断有四种组合方式，每种组合方式确定了一个两位数，再检验小高和小娅说的话即可．比如“被7除余5”且“被9除余7”是正确的，则两位数为79261⨯-=，此时小娅的话完全错了，所以61不符合要求．其他情况可类似判断．12.答案：4、5、0、2．解答：容易推断出大小关系：■<■□<■<■□<□<□<■□<■□，这里有7个小于号，恰好就把所有数的大小关系都确定出来了．13.答案：20．解答：小高和小娅先过桥，花3分钟；小高回来，花2分钟；墨莫和萱萱过桥，花9分钟；小娅回来，花3分钟；小高和小娅过桥，花3分钟．一共花了20分钟．14.答案：12．解答：不妨设这些砝码由轻到重依次是a、b、c、d、e、f、g、h克．容易推断出1b≤，a=，2 d≤，1002504c≤，8++++++≥÷=，所以a b c d e f g++≥----=，g最少是12克．e f g5012483515.答案：57．解答：墨莫第一次勾去44到57这14个数，余下的数可配成43对：（1，58），（2，59），（3，60），……，（43，100）．墨莫每次操作时只要使得剩余的数是“成对”的，就能使自己至少得到57分．第十三讲 组合综合练习16. 答案：18．解答：最坏的情况是白球取8个，蓝球取9个，共取了17个．只要再取一个就一定满足要求．17. 答案：四．解答：邹老师说的两句话恰有一句是对的．情形一：“墨莫第一”是对的，则小高第三、卡莉娅第二、萱萱第四；情形二：“卡莉娅第四”是对的，则萱萱第三，于是李老师说的两句话都是错的，矛盾．所以只能是情形一，萱萱是第四名18. 答案：13．解答：所得的和数一定是3的倍数，最小是6，最大是42，中间的3的倍数也都能得到，所以一共有()4263113-÷+=个不同的和．19. 答案：111．解答：“5⨯啤酒瓶=1⨯啤酒瓶+1⨯酒”，所以“1⨯酒=4⨯啤酒瓶”．由894221÷=，说明89个啤酒瓶最终能换到22瓶的酒，还剩下一个空瓶．所以一共能喝到8922111+=瓶啤酒．20. 答案：60、16、6、6、6、6．解答：本题相当于是六个加数的和是100，且每个加数都含有数字6．容易推断，六个加数的个位上有5个6，十位上有1个6，所以这些加数由大到小是60、16、6、6、6、6．21. 答案：1006．解答：每连续8个数中，最多能取4个．201082512÷=，所以从1到2008中，最多可以取出1004个数，再加上2009和2010，所以最多能取出1006个数．22. 答案：7．解答：不妨设是按竖直方向剪开（剪开线为图1虚线AB ），则相当于是将原来的棋盘按图2虚线方式剪开了．剪开后，得到7块长方形．23. 答案：5．解答：把全票价格设为1份，直接计算比较即可．24. 答案：3．考虑到133754⨯-⨯=，说明只要用大桶取3次水，且用小桶移走5次水，就能打上4升．25. 答案：24．解答：有22段街道，每段街道至少走一遍，但问题是这个街道不可能一笔画画出来，因为有4个点所连线段数是奇数，至少还要多走2千米．所以最少需要走24千米．图1图226.答案：78．解答：从墨莫和萱萱说的话入手，两人各有一个整除性判断是正确的，正确的判断有四种组合方式，每种组合方式确定了一个两位数，再检验小高和小娅说的话即可．比如“被7除余5”且“被9除余7”是正确的，则两位数为79261⨯-=，此时小娅的话完全错了，所以61不符合要求．其他情况可类似判断．27.答案：4、5、0、2．解答：容易推断出大小关系：■<■□<■<■□<□<□<■□<■□，这里有7个小于号，恰好就把所有数的大小关系都确定出来了．28.答案：20．解答：小高和小娅先过桥，花3分钟；小高回来，花2分钟；墨莫和萱萱过桥，花9分钟；小娅回来，花3分钟；小高和小娅过桥，花3分钟．一共花了20分钟．29.答案：12．解答：不妨设这些砝码由轻到重依次是a、b、c、d、e、f、g、h克．容易推断出1b≤，a=，2 d≤，1002504c≤，8++++++≥÷=，所以a b c d e f g++≥----=，g最少是12克．e f g5012483530.答案：57．解答：墨莫第一次勾去44到57这14个数，余下的数可配成43对：（1，58），（2，59），（3，60），……，（43，100）．墨莫每次操作时只要使得剩余的数是“成对”的，就能使自己至少得到57分．。
第十二讲计数综合练习6.右图中有 条线段， 个三角形， 个梯形.C F【学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70分钟.、填空题I （本题共有8小题，每题6 分）1. 用0、1、2、3、4、5这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依次增大，且任意两个数字的差都不是 1，这样的三位数共有 ___________ 个.2. _______________________________________________________ 从1到30中选出两个不同的数相加，和大于 30的情况有 ________________________________________种.3. _______________________________________________ 从1000到2010中，十位数与个位数相同的数有 ______________________________________________ 个.5. 3个海盗分30枚金币，如果每个海盗最多分12枚，一共有4. 在用数字0、1组成一个6位数中，至少有 4个连续的1的数共有 ______ 个.______ 种不同的分法.第十二讲计数综合练习6.右图中有条线段，个三角形，个梯形.C F【学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70 分钟．一、填空题I （本题共有8小题，每题6分）1. 用0、1、2、3、4、5 这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依次增大，且任意两个数字的差都不是1，这样的三位数共有__________ 个．2. 从1 到30 中选出两个不同的数相加，和大于30 的情况有__________ 种．3. 从1000 到2010 中，十位数与个位数相同的数有________ 个．4. 在用数字0、1 组成一个6 位数中，至少有4 个连续的1 的数共有 ________ 个．6. 右图中有条线段，个三角形，个梯形．A DB EC F【学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70 分钟．5. 3 个海盗分30 枚金币，如果每个海盗最多分12 枚，一共有___________ 种不同的分法．一、填空题I （本题共有8小题，每题6分）1. 用0、1、2、3、4、5 这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依次增大，且任意两个数字的差都不是1，这样的三位数共有__________ 个．2. 从1 到30 中选出两个不同的数相加，和大于30 的情况有__________ 种．3. 从1000 到2010 中，十位数与个位数相同的数有________ 个．4. 在用数字0、1 组成一个6 位数中，至少有4 个连续的1 的数共有 ________ 个．6. 右图中有条线段，个三角形，个梯形．A DB EC F【学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70 分钟．5. 3 个海盗分30 枚金币，如果每个海盗最多分12 枚，一共有___________ 种不同的分法．一、填空题I （本题共有8小题，每题6分）1. 用0、1、2、3、4、5 这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依次增大，且任意两个数字的差都不是1，这样的三位数共有__________ 个．2. 从1 到30 中选出两个不同的数相加，和大于30 的情况有__________ 种．3. 从1000 到2010 中，十位数与个位数相同的数有________ 个．4. 在用数字0、1 组成一个6 位数中，至少有4 个连续的1 的数共有 ________ 个．6. 右图中有条线段，个三角形，个梯形．A DB EC F【学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70 分钟．5. 3 个海盗分30 枚金币，如果每个海盗最多分12 枚，一共有___________ 种不同的分法．一、填空题I （本题共有8小题，每题6分）1. 用0、1、2、3、4、5 这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依次增大，且任意两个数字的差都不是1，这样的三位数共有__________ 个．2. 从1 到30 中选出两个不同的数相加，和大于30 的情况有__________ 种．3. 从1000 到2010 中，十位数与个位数相同的数有________ 个．4. 在用数字0、1 组成一个6 位数中，至少有4 个连续的1 的数共有 ________ 个．6. 右图中有条线段，个三角形，个梯形．A DB EC F【学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70 分钟．5. 3 个海盗分30 枚金币，如果每个海盗最多分12 枚，一共有___________ 种不同的分法．6. 右图中有条线段，个三角形，个梯形．A DB EC F。
