2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)

合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.22e 14.480 15.4 16.①②④三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间[)90 110，内的天数为 77113020302300600100600⎡⎤⎛⎫-+++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦天，空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为111413015P +=-=. ………………………6分 (2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有771203027300600100⎡⎤⎛⎫++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(天)， ∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动. ………………………12分18.(本小题满分12分)解：(1)∵四边形11A ACC 是菱形，∴AC ∥11A C . 又∵AC ⊂平面ABC ，11AC ⊄平面ABC ，∴11A C ∥平面ABC . 同理得，11B C ∥平面ABC .∵11A C ，11B C ⊂平面111A B C ，且11A C 111B C C =I ， ∴平面ABC ∥平面111A B C . 又∵11A B ⊂平面111A B C ，∴11A B ∥平面ABC . ………………………………5分(2)∵AC ∥11A C ，11B C ∥BC ，∴11160AC B ACB ∠=∠=o. ∵112AC AC ==，1122B C BC ==，∴111133122A B C S ∆=⨯⨯=在菱形11A ACC 中，∵113AC =， ∴160ACC ∠=o ，1132223A ACC S =⨯=Y . ∵平面ABC ⊥平面1ACC ，取AC 的中点为M ，连接1BM C M ，，∴BM ⊥平面1ACC ，1C M ⊥平面ABC . 由(1)知，平面ABC ∥平面111A B C ， ∴点B 到平面111A B C 的距离为13C M =又∵点B 到平面11A ACC 的距离为3BM =1BC ，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBBDCBADCAD则111111532B A B C B A ACC V V V --=+=⨯⎝. ………………………………12分19.(本小题满分12分)解：(1)由已知得24282k k πϕππωϕππϕ⎧=-⎪⎪⎪⋅+=⎨⎪⎪<⎪⎩(k Z ∈)，解得24ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ……………………………6分(2)由题意得，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵[]0x π∈，，∴5444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin 14x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ∴()g x的值域为1⎡-⎣. ……………………………12分20.(本小题满分12分)解：设点()00P x y ，，()11A x y ，，()22B x y ，. (1)∵直线l 经过坐标原点，∴2121x x y y =-=-，.∵022014x y +=，∴022014x y =-. 同理得，122114xy =-.∴0011010101012222220101222222010*********PA PBx x x x y y y y y y k k x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⋅=⋅====--+---，∴直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. ……………………………6分(2)设线段AB 的中点为()Q x y ，，则2.OA OB OQ +=u u u r u u u r u u u r∵0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2OP OQ =-u u u r u u u r ，则0022x xy y =-⎧⎨=-⎩.将0022x x y y=-⎧⎨=-⎩代入022014x y +=得，2241x y +=，∴线段AB 的中点Q 的轨迹方程为2241x y +=.同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为2241x y +=.∴ABP ∆三边的中点在同一个椭圆2241x y +=上. ……………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)()x x F x e e a -'=+-.当2a ≤时，()20x x F x e e a a -'=+-≥-≥恒成立，()F x 在R 上单调递增. 当2a >时，由()0F x '=得，xe =x =.∴()F x在 ⎛ -∞ ⎝⎭，和 ⎛⎫ ⎪+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在 ⎛ ⎝⎭上单调递减. …………………………………5分 (2)①由(1)知，当1x ≥时，()()10F x F ≥>，即当1x ≥时，曲线1C 恒在2C 上方.按题意有，()()1n n f x g x +=，即12n nx x n e e x -+-=，∴12n n x x n e e x -+-=.②由①知122n n nx x x n e e e x -+-=<. 注意到11x =，∴1112121222n n x x x n n n n e e e x x x x x x x -++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅L L L ，∴1112112n n n x x x n n x x x x e -++++⎛⎫⋅⋅⋅⋅<⋅ ⎪⎝⎭L L ，两边同取自然对数得，()121111ln ln ln ln ln 2n n n n x x x x n x x x +-++++<++++L L ， 即1ln 2n n S T n +->. …………………………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线E 的直角坐标方程为()22+14x y +=，直线m 的极坐标方程为θα=(R ρ∈). ………………………………5分 (2)设点A ，C 的极坐标分别为()1ρα，，()2ρα，.由2=+2cos 30θαρρθ⎧⎨-=⎩得，2+2cos 30ρρα-=， ∴122cos ρρα+=-，123ρρ=-，∴12AC ρρ=-=同理得，BD =.∵221cos 3sin 372ABCD S AC BD αα=⋅=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即344ππα=或时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7. ………………………………10分23.(本小题满分10分)(1)()3 122113113 1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--≤<⎨⎪-≥⎩，，，，根据函数图象得，()f x 的最小值为-2，∴2m =-. ………………………………5分 (2)由(1)知，2a b c ++=，∴()()()()()()22222222121111112119a b c a b c a b c ⎡⎤+-++⋅++≥⋅+-⋅++⋅=+++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴()()222123a b c +-++≥，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立，∴2222420a b c b c ++-++≥. ………………………………10分。

合肥市2020年高三第三次教学质量检测文科综合试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B A D D C B D B C 题号12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 答案 C A B D A B C B C D C 题号23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 答案 A D D C D B A B A B C 题号34 35答案 B C第Ⅱ卷非选择题36.（24分）（1）阿联酋属热带沙漠气候，全年降水少，晴天多，光照充足，日照时间较长；纬度较低，正午太阳高度角大，太阳辐射强。

（每点3分，答两点得6分）（2）靠近人口密集、经济发达的大城市，电力消费市场广阔；布局在城市郊区，输电距离近；城市周边基础设施较完善；靠近海港，便于运输太阳能电站建设所需的物资；地表平坦开阔，可用于建设太阳能电站的荒地面积广，地价低。

（每点2分，任答三点得6分）（3）阿联酋太阳能资源丰富且开发条件好，开发太阳能使能源供应更充足；改变单一以油气资源为主的能源结构，实现能源结构的多元化；油气为非可再生资源，太阳能为可再生资源，长远来看利于保障阿联酋国家能源安全；太阳能是清洁能源，利于保护生态环境。

（每点2分，任答三点得6分） （4）中国企业有人才、技术优势，设计水平高；中国企业资金充足，太阳能相关产业链完整，零部件采购方便，缩短建设工期；中国企业太阳能电站施工经验丰富，可保证工程的质量；工程总承包可节约投资成本；中阿两国关系友好，保障工程顺利实施。

（每点2分，任答三点得6分）37.（22分）（1）古城北部山地较高，阻挡寒冷的冬季风；古城南部为嘉陵江和低矮的山地，夏季风从南边吹来，利于古城通风散热；古城位于山地阳坡且南部无高大山地遮挡，光照条件好；古城三面环水，对气候具有调节作用。

（每点2分，任答三点得6分）（2）濒临嘉陵江，水运便利；三面环水、北面靠山，便于军事防御，为区域重要的军事中心；古城为区域政治中心和商业中心，城市发展的腹地较广。

2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知复数z=3−i−1+i，则在复平面内，z的对应点位于()A. 第一象限内B. 第二象限内C. 第三象限内D. 第四象限内2.已知R为实数集，集合A={x|x>1}，B={x|x⩾2}，则(C R B)∩A=()A. (1,2)B. (1,2]C. (−∞,1]D. [2,+∞)3.如图所示，当输入x为2006时，输出的y=()A. 28B. 10C. 4D. 24.设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S7=49，a6=11，则a1等于()A. −1B. 1C. −2D. 25.已知向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=()A. √2B. √3C. √5D. √76.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)−1最小正周期为2π3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是()A. x=π9B. x=π6C. x=π3D. x=π27.已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是()A. 若b//a，a⊂α，则b//αB. 若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC. 若a⊥c，b⊥c，则a//bD. 若a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，则α//β8.若a是从区间[0,10]中任取的一个数，则方程x2−ax+1=0无实数解的概率是()A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.49.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，cosA=sinB=12，b=√3，△ABC的面积为()A. 4B. 32√3 C. 2 D. √310.已知直线l:ax+y−2=0与圆C:(x−1)2+(y−a)2=4相交于A、B两点，M是圆C上一点，使得∠AMB=30∘，则实数a的值为()A. 3±4√2B. 8C. 1D. 4±√1511.两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的316，则这两个圆锥的体积之比为()A. 2:1B. 5:2C. 1:4D. 3:112.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(−1,0)，则△ABC的面积等于()A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)，则p=______ ．14.若点(1,1)在不等式组{m−nx+y≥02mx−ny−4≤0nx≥3y−3m所表示的平面区域内，则m2+n2的取值范围是______ ．15.函数f(x)=x+2x−3的零点为___________．16.已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，那么f(x)的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.己知{a n}是递增的等比数列，a 2+a 3=4，a 1a 4=3．(1)求数列{a n)的通项公式；(2)令b n=na n，求数列{b n)的前n项和S n．18.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生抽样调查了100人，统计结果为：80名南方学生中喜欢吃甜品的有60人，北方学生中不喜欢吃甜品的有10人．(Ⅰ)根据所给样本数据完成下面2×2列联表；附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)的饮食习惯方面有差异”？19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2AB =4，点M 为PD 的中点．(1)若N 为AB 上任意一点，求证：PD ⊥MN ； (2)求三棱锥M −PAB 的体积．20. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1的左、右焦点，点M(√2,1)在椭圆C 上，且MF 2⊥F 1F 2．(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；(Ⅱ) 与直线y =−x 垂直的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.已知函数f(x)=ae x+x(a≠0,e是自然对数的底数).．x(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a>2，判断函数F(x)=f(x)−lnx−1在区间(0,+∞)上的零点个数，并说明理由．e222.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：为参数，φ∈[0,2π))，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C的普通方程；(2)若点B是射线l：θ=α(ρ≥0,α∈[0,π))与曲线C的公共点，当|OB|=3√3时，求α的值及点B的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x−1|．(Ⅰ)解不等式f(x−1)+f(x+3)≥6；)．(Ⅱ)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内所对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵z=3−i−1+i =(3−i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−2−i，∴在复平面内z的对应点的坐标为(−2,−1)，位于第三象限．故选：C．2.答案：A解析：【分析】本题考查交集和补集的混合运算，是基础题．由题意，先求出C R B，再求(C R B)∩A即可．【解答】解：∵集合A={x|x>1}，B={x|x⩾2}，∴(C R B)∩A={x|x>1}∩{x|x<2}=(1,2)．故选A．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=−2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10.【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2006，x=2004满足条件x≥0，x=2002满足条件x≥0，x=2000…满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=−2不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列通项公式和前n项求和公式，是基础题．【解答】由题意知S7=7a1+7×62d=49，a6=a1+5d=11，求得a1=1,d=2．故选B．5.答案：A解析：【分析】利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．【解答】解：向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=√(a⃗|a⃗ |)2+2a⃗ ⋅b|a⃗ |+b⃗ 2=√1+1=√2．故选：A．6.答案：A解析：【分析】本题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，对称轴方程的求法，考查计算能力．通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性，求出对称轴方程，得到选项．【解答】解：因为函数f(x)=sin(ωx+π6)−1最小正周期为2π3，T=2πω=2π3，∴ω=3，所以3x+π6=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ3+π9，k∈Z，当k=0时，x=π9，是一条对称轴方程．故选A．7.答案：D解析：解：由α，β为平面，a，b，c为直线，知：在A中，若b//a，a⊂α，则b//α或b⊂α，故A错误；在B中，若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b与β相交、平行或b⊂β，故B错误；在C中，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故C错误；在D中，若a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，则由面面平行的判定定理得α//β，故D正确．故选：D．在A中，b//α或b⊂α；在B中，b与β相交、平行或b⊂β；在C中，a与b相交、平行或异面；在D中，由面面平行的判定定理得α//β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8.答案：B解析：【分析】本题考查长度型几何概型，属于基础题．【解答】解：方程x2−ax+1=0无实数解则Δ=a2−4<0⇒−2<a<2，若a是从区间[0,10]中任取的一个数，则方程x2−ax+1=0无实数解的概率P=210=15=0.2．故选B．9.答案：B解析：解：cosA=sinB=12，可得A=60°，B=30．那么：C=90°∵b=√3，则c=2√3，a=3△ABC的面积S=12ba=3√32故选：B．根据cosA=sinB=12，求解A，B，结合正余弦定理即可求解本题考查了三角形的内角和定理和计算能力．属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．由已知得到C到AB的距离为√3，通过点到直线的距离公式，得到a的方程，解得a的值．【解答】解：因为∠AMB=30∘，所以，所以三角形ABC为等边三角形，所以C到AB的距离为√3，即√a2+1=√3，解得a=4±√15．故答案为4±√15．11.答案：D解析：【分析】本题考查了圆锥的体积计算，球与内接旋转体的关系，属于基础题．设球半径为r，则根据圆锥底面与球面积的关系得出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出球心到圆锥底面的距离，得到两圆锥的高度．【解答】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=316×4πR2=3πR24，∴r=√32R．∴球心到圆锥底面的距离为√R2−r2=R2．∴圆锥的高分别为R2和3R2．∴两个圆锥的体积比为3R2：R2=3：1．故选D．12.答案：C解析：【分析】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是利用将△ABC的面积转化．先找出△ABC的位置，△ABC的面积转化为三角形ACE与梯形AEDB的面积减去三角形CDB的面积可得出答案．【解答】解：如图，△ABC的面积转化为三角形ACE与梯形AEDB的面积减去三角形CDB的面积，则S△ABC=S△CAE+S AEDB−S△CDB=12×3×2+12(1+3)×2−12×4×1=5．故选C．13.答案：2解析：解：∵抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)，∴p2=1，∴p=2，故答案为：2．由抛物线的性质可知，知p2=1，可知p的值．本题考查抛物线的简单性质，属于基础题．14.答案：[910,61]解析：解：根据题意，点(1,1)适合不等式组{m−nx+y≥02mx−ny−4≤0 nx≥3y−3m，将坐标代入，得关于m、n的不等式组：{m−n+1≥0 2m−n−4≤0 n≥3−3m在mon坐标系中，作出符合上不等式组表示的平面区域，如下图m2+n2表示点P(m,n)到原点的距离的平方，根据图形得当P点与点B(5,6)重合时，这个平方和最大，即(m2+n2)max=52+62=61而P到直线AC的距离平方的最小值，即(m2+n2)min=(√12+32)2=910因此，m2+n2的取值范围是[910,61]将点(1,1)的坐标代入不等式组{m−nx+y≥02mx−ny−4≤0nx≥3y−3m，就可以得到一个关于m、n的不等式组，再在平面直角坐标系中作出符合这个不等式组的区域图形，将m2+n2的取值范围问题转化为区域内的点到原点距离平方的取值范围问题，最终可得答案．平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15.答案：1和2解析：【分析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．令f(x)=0，得x+2x−3=0，解得即可．【解答】解：令f(x)=x+2x−3=0，得x=1或x=2，所以函数f(x)=x+2x−3的零点为1和2．故答案为1和2．16.答案：1+√2解析： 【分析】本题考查函数的最值，三角函数的定义域和值域，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用.由题可得f(x)=1+√2sin (2x −π4)，进而得出f(x)的最大值． 【解答】解：f(x)=2sinx(sinx +cosx)=2sin 2x +2sinxcosx =1−cos2x +sin2x =1+√2(√22sin2x −√22cos2x)=1+√2(sin2xcosπ4−cos2xsin π4) =1+√2sin (2x −π4)． ∴1−√2≤f (x )≤1+√2． 即f(x)的最大值为1+√2． 故答案为1+√2．17.答案：解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2+a 3=4,a 1a 4=3,， 所以{a 1q +a 1q 2=4,a 1⋅a 1q 3=3解得{a 1=9,q =13,或{a 1=13,q =3. 因为{a n }是递增的等比数列， 所以a 1=13,q =3．所以数列{a n}的通项公式为a n=3n−2.(2)由(1)知．b n=n×3n−2.则S n=1×3−1+2×30+3×31+⋯+n×3n−2,①在①式两边同时乘以3得，3S n=1×30+2×31+3×32+⋯+n×3n−1②①−②得−2S n=3−1+30+31+⋯+3n−2−n×3n−1,即−2Sn =13(1−3n)1−3−n×3n−1,所以S n=14(2n−1)×3n−1+112.解析：本题考查等比数列的通项公式及等差数列的前n项和公式，考查了学生的计算能力，培养了学生的综合能力．(1)设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；(2)把(1)中求得的a n代入b n=na n，得到数列{b n}的通项公式，再采用错位相减法即可求出．18.答案：解：(Ⅰ)K2=100×(60×10−20×10)270×30×80×20=10021≈4.762．由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．解析：(Ⅰ)根据统计结果为：80名南方学生中喜欢吃甜品的有60人，北方学生中不喜欢吃甜品的有10人，由此可得列联表；(Ⅱ)计算出K2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD.又∵PA=AD，M为PD的中点，∴AM⊥PD，又AM∩AB=A，∴PD⊥平面ABM，又MN⊂面ABM，∴PD⊥MN．(2)解：由(1)知AB ⊥平面PAD ，．解析：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．(1)先证明线面垂直，然后根据性质可得线线垂直； (2)根据等体积法，转化顶点，进而求出体积．20.答案：解：(I)∵点M(√2,1)在椭圆C 上，且MF 2⊥F 1F 2．∴2a 2+1b 2=1，c =√2，又a 2−b 2=2， ∴a 2=4，b 2=2， ∴椭圆方程为：x 24+y 22=1．(II)设直线l 的方程为：y =x +m ，代入椭圆方程得：3x 2+4mx +2m 2−8=0， △=16m 2−12(2m 2−8)=−8m 2+96>0， ∴−2√3<m <2√3，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4m 3，x 1x 2=2m 2−83，∴y 1y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4m 2−163−4m 23+m 2=m 2−163． ∵−2√3<m <2√3， ∴−163≤m 2−163<203．即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−163,203).解析：(I)由题意可知c =√2，把M 点坐标代入椭圆方程得出a ，b 的值即可求出椭圆的方程； (II)设直线l 的方程为：y =x +m ，根据直线与椭圆有两个交点求出m 的范围，根据根与系数的关系得出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于m 的函数式，从而得出结论． 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)=ae x +x x=ae x x+1，f′(x)=a ⋅ e x x−e xx 2=a(x−1)e xx 2，①当a >0时，若x <0，f′(x)<0，f(x)在区间(−∞,0)上单调递减， 若0<x <1，f′(x)<0，f(x)在区间(0,1)上单调递减， 若x >1时，f′(x)>0，f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，故当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)，②当a<0时，若x<0，f′(x)>0，f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，若0<x<1，f′(x)>0，f(x)在区间(0,1)上单调递增，若x>1时，f′(x)<0，f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，故当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．(Ⅱ)由题意可知，则F′(x)=a(x−1)e xx2−1x=1x2[a(x−1)e x−x]，当0<x≤1时，F′(x)<0，F(x)单调递减，F(x)≥F(1)=ae>0，当x>1时，F′(x)=a(x−1)x2[e x−xa(x−1)]，令G(x)=e x−xa(x−1)，则G′(x)=e x+1a(x−1)2>0，又G(2)=e2−2a>0，当x趋向于1时，G(x)趋向于负无穷．故G(x)存在唯一的零点x0∈(1,2)，即F(x)有唯一的极值点且为极小值点x0∈(1,2)，又，且G(x0)=e x0−x0a(x0−1)=0，即e x0=x0a(x0−1)，故，令，x∈(1,2)，因为φ′(x)=−1(x−1)2−1x<0，故φ(x)是(1,2)上的减函数，所以F(x0)>φ(2)=1−ln2>0，所以F(x)>0，综上所述，函数F(x)在区间(0,+∞)上无零点．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与零点问题．(Ⅰ)求出导数，分类讨论a的正负求解即可;(Ⅱ)研究F(x)的单调性及极值求解即可．22.答案：解：(1)∵曲线C：为参数，φ∈[0,2π))，∴(x −3)2+y 2=(3cosφ)2+(3sinφ)2=9， ∴曲线C 的普通方程为(x −3)2+y 2=9， 即x 2+y 2−6x =0．(2)由(1)知曲线C 的方程为(x −3)2+y 2=9，是圆，令圆心为C ， |OB|=ρB =2|CB|cosθ=2×3cosθ=6cosθ， 若|OB|=3√3，则6cosθ=3√3，解得cosθ=√32，∴θ=π6，即α=π6，∴点B 的横坐标是3√3cosα=3√3cos π6=92， 点B 的纵坐标是3√3sinα=3√3sin π6=3√32， ∴点B 的直角坐标为(92,3√32).解析：本题考查曲线的普通方程的求法，考查点的直角坐标的求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，属于简单题．(1)曲线C 的参数方程消去参数，能求出曲线C 的普通方程．(2)由|OB|=ρB =2|CB|cosθ=2×3cosθ=6cosθ，若|OB|=3√3，则cosθ=√32，从而θ=π6，由此能求出α的值及点B 的直角坐标．23.答案：解：(Ⅰ)由题意知原不等式可化为|x −2|+|x +2|≥6，当x ≥2时，2x ≥6，解得x ≥3； 当−2<x <2时，4≥6，无解； 当x ≤−2时，−2x ≥6，解得x ≤−3， 所以不等式的解集是(−∞,−3]∪[3,+∞)． (Ⅱ)证明：要证f(ab)>|a|f(ba )， 只要证|ab −1|>|b −a|， 只需证(ab −1)2>(b −a)2， 因为|a|<1，|b|<1，所以(ab −1)2−(b −a)2=a 2b 2−a 2−b 2+1=(a2−1)(b2−1)>0，从而原不等式成立．解析：【分析】本题考查含绝对值的不等式的解法、不等式的证明，考查考生的运算求解能力以及推理论证能力．(Ⅰ)利用零点分区间讨论法求解；(Ⅱ)利用分析法证明不等式．。

2020届安徽省高三3月调研考试文科数学试题全卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学生号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡指定的位置，书写要工整清晰。

3．考试结束后，5分钟内将答题卡拍照上传到考试群中。

第I 卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.设全集U 是实数集R ，已知集合{}22A x x x =， ()2{|log 10}B x x =-≤，则()U C A B ⋂=（ ）A. {|12}x x <<B. {|12}x x ≤<C. {|12}x x <≤D.{|12}x x ≤≤2.设i 为虚数单位，若复数()12az i a R i=+∈-的实部与虚部互为相反数，则a =（ ）A. 53-B. 13-C. 1-D. 5-3.已知52log 2a =， 1.12b =， 0.812c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a b c <<D. a c b <<4.已知O 为坐标原点，平面向量()13OA =u u u v ，， ()35OB =u u u v ，， ()12OP =u u u v ，，且OC kOP=u u u v u u u v（k 为实数）.当·2CACB =-u u u v u u u v时，点C 的坐标是（ ）A. ()24--，B. ()24，C.()12--，D. ()36， 5.已知偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当[]0,1x ∈时， ()1f x x =-+，则关于x 的方程()()lg 1f x x =+在[]0,9x ∈上实根的个数是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 106.已知数列{}n a 为等比数列，若52a =，则数列{}n a 的前9项之积9T 等于（ ）A. 512B. 256C. 128D. 647.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 128.执行如图的程序框图，那么输出S 的值是( )A. -1B. 12C. 2D. 19.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是（ ）A. 14B. 12C.2 D.3 10.函数sin y x x =⋅在[],ππ-的图像大致为（ ）11.若函数()f x 与()g x 的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中，与()212f x x x =-互为同轴函数的是（ ） A. ()()cos 21g x x =- B. ()sin g x x π= C. ()tan g x x = D. ()cos g x x π=12.已知函数()22ln 3f x x ax =-+，若存在实数[],1,5m n ∈满足2n m -≥时，()()f m f n =成立，则实数a 的最大值为（ ）A.ln5ln38- B. ln34C. ln5ln38+D. ln43第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.欧阳修《卖油翁）中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌漓沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为4 cm 的圆，中间有边长为l cm 的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油（设油滴整体落在铜钱上）．则油滴（设油滴是直径为0．2 cm 的球）正好落入孔中（油滴整体落入孔中）的概率是_________．14.若,x y 满足约束条件0,{20, 0,x y x y y -≥+-≤≥则34z x y =-的最小值为__________．15.已知0ω>，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2，则ω=__________.16.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， E ， F ， M 分别是线段AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(01)A P A Q x x ==<<．设平面MEF ∩平面MPQ l =，现有下列结论： ①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；③直线l 与平面11BCC B 不垂直； ④当x 变化时， l 不是定直线．其中成立．．的结论是________．(写出所有成立结论的序号) 三、解答题(本大题共6小题,共70分。

安徽省合肥市2020届高三高考数学（文科）三模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题3}，集合B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A.（﹣2，2）B.（﹣1，2）C.（﹣2，3）D.（﹣1，3）2.已知i 是虚数单位，则复数121iz i-=+在复平面上所对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（ ） A.16B.13C.12D.234.若,x y R ∈，则22x y >是1xy>成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数()11()xxa a f x a =->，则不等式()()2210f x f x +->的解集是（ ） A.1(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B.1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭6.已知向量a →，b →满足|||2|a b a b →→→→+=-，其中b →是单位向量，则a →在b →方向上的投影是（ ） A.1B.34C.12D.147.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（ ）A.10101010887⨯-斗 B.9101010887⨯-斗 C.8101010887⨯-斗 D.91070881⨯-斗 8.在△ABC 中，若11112sin sin tan tan ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭A B A B ，则（ ） A.C 的最大值为3π B.C 的最大值为23π C.C 的最小值为3π D.C 的最小值为6π 9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移p 2sin f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm ＝10﹣9m ），测得某时刻频移为9.030×109（1/h ），则该时刻高铁的速度约等于（ ）A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h10.已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则4AF BF +的最小值为（ ）A.4B.8C.9D.1211.点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面DCC 1D 1内的一个动点，若△APD 与△BCP 的面积之比等于2，则点P 的轨迹是（ ） A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分12.若关于x 的不等式（a +2）x ≤x 2+a ln x 在区间[1e，e ]（e 为自然对数的底数）上有实数解，则实数a 的最大值是（ ） A.﹣1B.12(1)-+e e e C.(3)1--e e e D.(2)1--e e e 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.设函数()()222,5,x e x ef x log x x e ⎧<⎪=⎨-⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），则f （f （3））的值等于_____．14.某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a ＝_____．15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21nn S =-．若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____．16.已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AA 1＝2，AD ＝3，点E ，F 分别为棱BC ，CC 1上的动点．若四面体A 1B 1EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）①存在点E ，使得1EF A F ⊥； ②不存在点E ，使得11B E A F ⊥；③当点E 为BC 中点时，满足条件的点F 有3个； ④当点F 为CC 1中点时，满足条件的点E 有3个；⑤四面体A1B1EF四个面所在平面，有4对相互垂直．三、解答题（题型注释）“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：（1）在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动．试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动？ 18.如图，边长为2的等边ABC 所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，且11//BC B C ，112BC B C =,11AC =．（1）求证：11//A B 平面ABC ；（2）求多面体111ABC A B C -的体积V ．19.已知函数())0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0,π上的值域.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：24x +y 2＝1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点．（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．21.已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ，g （x ）＝ax （e 为自然对数的底数），其中a ∈R ． （1）试讨论函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）的单调性；（2）当a ＝2时，记函数f （x ），g （x ）的图象分别为曲线C 1，C 2．在C 2上取点P n （x n ，y n ）作x 轴的垂线交C 1于Q n ，再过点Q n 作y 轴的垂线交C 2于P n +1（x n +1，y n +1）（n ∈N *），且x 1＝1． ①用x n 表示x n +1；②设数列{x n }和{ln x n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求证：S n ﹣T n +1＞n ln2．22.在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点．（1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．23.已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．参考答案1.B【解析】1.直接用交集运算求解.作示意图如图所示：则(1,2)A B=-.故选：B.2.C【解析】2.利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，从而可得结果.由于复数()()()()12112131112i ii izi i i-----===++-，在复平面的对应点坐标为13,22⎛⎫--⎪⎝⎭.∴在第三象限. 故选：C.3.B【解析】3.基本事件总数336n A==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数111 2112m C C C==,由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率.由题意，基本事件总数336n A==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数1112112m C C C==，∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为2163mPn===,故选：B 4.B【解析】4. 根据()100x x y y x y y y->⇔>⇔->，解出不等式可得：22x y >成立；反之，举例可知不成立． 由于()0,1000y x x y y x y x y y y >⎧->⇔>⇔->⇔⎨->⎩或00y x y <⎧⎨-<⎩， 所以22x y >， 反之不成立， 例如2,1x y ==-，满足22x y >，而1xy >不成立． 所以22x y >是1xy>成立的必要不充分条件． 故选：B ． 5.D【解析】5.首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式，求得不等式的解集.()f x 的定义域为R ，且()()1x xf x a f x a -=-=-，所以()f x 为奇函数， 由于1a >，所以()f x 在R 上递减. 由()()2210f xf x +->，得()()()2211f x f x f x >--=-，所以221x x <-，()()2212110x x x x +-=-+<，解得112x -<<.所以不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D 6.C【解析】6.由条件|||2|a b a b →→→→+=-平方求出a b →→⋅，利用向量在向量上的投影公式计算即可.|||2|a b a b →→→→+=-，222a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎭⎝-⎪⎝⎭+，2222244a a b b a a b b ∴+⋅+=-⋅+，b →是单位向量，12a b →→∴⋅=， a →∴在b →方向上的投影为12||a bb →→→⋅=， 故选：C 7.B【解析】7.直接根据等比数列的求和公式求解即可． 由题意可知，每人所得玉米数构成公比为78的等比数列；且数列的前10 项和为10； 设首项为a ；则1071810718a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭-； ∴910101010110108878718a ⨯⨯==--. 故选：B ． 8.A【解析】8. 由商数关系，可得11cos cos 2 sin sin sin sin A B A B A B ⎛⎫⎪⎝++⎭=，结合辅助角公式，化简整理为sin sin 2sin B A C +=，于是2b a c +=，由均值不等式可知，()224a b ab c +≤=，由余弦定理知，222cos 2a b c C ab+-=，将所得结论代入进行运算可得1cos 2C ≥，结合三角形内角关系，即可求解． 由题可知，1111cos cos 22sin sin tan tan sin sin A B A B A B A B ⎛⎫+=+=⎛⎫⎪⎝+ ⎪⎝⎭⎭，所以()()sin sin 2sin cos cos sin 2sin 2sin B A B A B A A B C +=+=+=， 由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==，所以2b a c +=， 由均值不等式可知，()224a b ab c +≤=，由余弦定理知，222222232331cos 1122222a b c c ab c c C ab ab ab c +--===-≥-=，因为()0,C π∈，所以03C π<≤，即C 的最大值为3π． 故选：A ． 9.D【解析】9.先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可.3sin ϕ-==故99.03010⨯=即9.03=故9.03349982.480.04v ⨯=≈米/小时350km /h ≈，故选：D 10.C【解析】10.当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，从而可得121x x ==，利用焦点弦公式求出4AF BF +；当直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 方程：()1y k x =-，将直线方程与抛物线方程联立，可得121=x x ，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解. 由题意可知1212444522p p AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭， 当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，所以121x x ==，即410AF BF +=；当直线AB 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 方程：()1y k x =-， 则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，整理可得()222240k x k x k -++=，所以121=x x ，所以122214454559AF BF x x x x +=++=++≥=， 当且仅当211,22x x ==时，取等号， 故4AF BF +的最小值为9. 故选：C 11.A【解析】11.根据题意得，动点P 到侧棱BC 的距离实际上是P 点到点C 的距离，点P 到侧棱AD 的距离就是P 到点D 的距离；根据面积比转化为高的比，建立平面直角坐标系求解即可得到结论．由题意得，若APD △与BCP 的面积之比等于2， 因为两个三角形的底相等；故对应的高之比为2:1；动点P 到侧棱BC 的距离实际上是P 点到点C 的距离，点P 到侧棱AD 的距离就是P 到点D 的距离．即2PD PC =；建立如图所示的坐标系，则()()0,0,,0C D a ，设(),P x y ，故()222PD PC =；()()22224x a y x y ∴-+=+；2223230x ax y a ∴++-=；故点P 的轨迹是圆的一部分． 故选：A ． 12.D【解析】12.先对2(2)ln a x x a x +≤+化简，2(ln )2a x x x x -≤-，用导数判断ln x x -在x ∈1[,]e e的符号为正，可转化为22ln -≤-x x a x x，在x ∈1[,]e e 有解，设()f x = 22ln x xx x --，利用导数求函数()f x 的最大值max ()f x ，则a max ()f x ≤，即实数a 的最大值为max ()f x .由2(2)ln a x x a x +≤+，得2(ln )2a x x x x -≤-，令()g x = ln x x -，x ∈1[,]e e ，则1()1g x x '=-，则()g x 在1[,1)e递减，在(1,]e 递增，则()(1)10g x g ≥=>， 即由2(ln )2a x x x x -≤-，得22ln -≤-x x a x x ，x ∈1[,]e e 有解， 设()f x = 22ln x x x x--，x ∈1[,]e e ， 则()f x '=221(22)(ln )(1)(2)(ln )x x x x x xx x ------2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+-=-， 令()22ln u x x x =+-，x ∈1[,]e e ，则2()1u x x'=-，故()u x 在1[,2)e递减，在(2,]e 递增，故()(2)42ln 20u x u ≥=->，故()f x 在1[,1)e 递减，在(1,]e 递增，又1()f e =2120e e e -<+，22()1e ef e e -=-0>， 故2max2()()1e e f x f e e -==-，故a ≤221e ee --， 即实数a 的最大值为221e ee --. 故选：D. 13.2e 2【解析】13.直接根据分段函数解析式计算可得；解：因为()222,()105,x e x ef xg x x e⎧<⎪=⎨-⎪⎩ 所以()()223log 352f =-=，所以()()()2322ff f e==故答案为：22e 14.480；【解析】14.根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果. 根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a =++++++，解得480a =， 故答案为：480. 15.4【解析】15.由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，12n n b -=，则112n n n a n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到12442n n n T -+=-<，即可得出结论. 由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，当2n ≥时，有()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=，当1n =时，有11211S b =-==也适合上式， 故12n nb -=，n a n =，112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()12-得：1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，即12442n n n T -+=-<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立， 所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4. 16.①②④【解析】16.①②利用假设存在，推出条件正确，推出矛盾，则不存在；③④建立空间坐标系，利用已知条件设1,BE m C F n ==，写坐标，利用垂直关系，求出,m n 的值，即可得出结论；⑤利用线面垂直推面面垂直关系即可得出结论.由题意知11A B ⊥面1B EF ，则11111111,,A B B E A B B F A B EF ⊥⊥⊥， 则1111,A B E A B F 为直角三角形，在1B EF 中，由题意知1B E 不能垂直1B F ， 又1B EF 为直角三角形，则190B EF ∠=︒或190B FE ∠=︒； ①假设存在点E ，使得1EF A F ⊥， 又111111,A B EF A B A F A ⊥=，则EF ⊥面11A B F ，即EF ⊥1B F ，满足题意，①正确； ②假设存在点E ，使得11B E A F ⊥， 又111A B B E ⊥，1111A B A F A =，则1B E ⊥面11A B F ，则11B E B F ⊥这与1B E 不能垂直1B F 矛盾， 所以不存在点E ，使得11B E A F ⊥，②正确；③建立如图所示的空间坐标系，设1,BE m C F n ==，则03m <<，02n <<，由题意得()()130,0,0,2,,0,,3,02B E F n ⎛⎫⎪⎝⎭，()132,,0,,3,02EF n B F n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,若EF ⊥1B F ，则10EF B F =， 即()9202n n -+=，整理得：22490n n -+=， ∆<0，所以方程无实根；③不正确.④()()()10,0,0,2,,0,1,3,0B E m F ，()()()111,3,0,1,3,0,2,,0EF m B F B E m =--==， 若EF ⊥1B F ，则10EF B F =，则()81330,3m m -+-==， 若EF ⊥1B E ，则10EF B E =， 则()230,1m m m -+-==或2m =， 故④正确；⑤由题意知11A B ⊥面1B EF ，若EF ⊥面11A B E ，由图形观察可知：有3对相互垂直，分别为面11A B E ⊥面1B EF ，面11A B F ⊥面1B EF ，面11A B E ⊥面1A EF .则⑤不正确. 故答案为：①②④. 17.（1）1415；（2）27【解析】17.（1）先根据频率分布直方图求出各组的频率，列表表示，再由空气质量等级是优或良，则空气质量指数为(0,100]，求出概率；（2）由（1）中频率表，计算空气质量指数高于90的频率，求出频数. （1）由频率分布直方图，列出分组和对应的频率：由130151030m ++++=，得15m =，空气质量等级是优或良，则空气质量分数为(0,100]， 故P =114130215m --=，即估计一天空气质量等级是优或良的概率为1415. （2）由空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动， 则适宜进行户外体育运动的天数为130(1)2730m ⨯--=天. 18.（1）证明见详解；（2）52.【解析】18.（1）先利用已知条件得到线面平行，再证面//ABC 面111A B C ，即可得出结论；（2）利用已知条件分别求出三棱锥111B A B C -和四棱锥11B A ACC -的体积，相加即为多面体111ABC A B C -的体积.（1）四边形11A ACC 是菱形，∴11//AC A C ，又AC ⊂面ABC ,11A C ⊄面ABC ，11//A C 面ABC ,同理得，11//B C 面ABC ，1111,AC B C ⊂面111A B C ，且11111AC B C C =，∴面//ABC 面111A B C ，又11A B ⊂面111A B C ，11//A B ∴平面ABC ；（2）1111111//,//,60AC AC BC B C AC B ACB ∴∠=∠=︒，11112,22AC AC B C BC ====，1111122A B C S=⨯⨯=在菱形11A ACC 中，113AC =，160ACC ∴∠=︒，11222A ACC S=⨯⨯=面ABC ⊥面1ACC ，取AC 的中点M ，连接1,BM C M ，∴BM ⊥面1ACC ，1C M ⊥面ABC ，由（1）知，面//ABC 面111A B C ，∴ 点B 到面111A B C 的距离为1C M =又点B 到面11A ACC 的距离为BM =，连接1BC ，则111111532B A B C B A ACC V V V --=+=⨯=⎝.19.（1）()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭；（2）⎡-⎣.【解析】19.（1）由五点法作图以及特殊点的坐标求出ω、ϕ的值，可得()f x 得解析式．（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出函数()g x 在区间[0，]π上的值域．解：（1）由图象可得()01f =-可得sin 2ϕ=-，又||2ϕπ<，故4πϕ=-，又08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故84k ωπππ⨯-=即82k ω=+，其中k ∈N . 因为()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故82T π≤即4T π≥，所以08ω<≤，所以2ω=，故()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭.（2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的解析式为24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]0,x π∈时，5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故sin 42x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故()g x 的值域为⎡-⎣.20.（1）证明见解析；（2）证明见解析，椭圆的方程为2241x y +=.【解析】20.（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，再将PA PB k k ⋅表示出来，根据,A B 在椭圆上化简，证得直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，再得到AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --，又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，得证.（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --， 则PA PBk k ⋅2212122122121221y y y y y y x x x x x x ----=⋅=----， 又222214x y +=，221114x y +=，相减得222221211()4y y x x -=--， 得PA PB k k ⋅14=-，即直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值，定值为14-. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=， 得1230x x x ++=，1230y y y ++=， AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --， 又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，即△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，这个椭圆的方程为2241x y +=.21.（1）当2a ≤时，()F x 在R 上递增；当2a >时，()F x在(,ln -∞，)+∞上递增，在(ln 上递减.（2）①11()2nn x x n x e e -+=-；②证明见解析.【解析】21.（1）求出21()1()x x xx xe ae F x e a e e-+'=+-=，先讨论当0a ≤时，()0F x '>，得到单调性，令x t e =(0)t >，2()1u t t at =-+，则24(2)(2)a a a ∆=-=-+，再分02a <≤和2a >判断导函数()F x '的符号，得到单调性，综合并下结论；（2）①根据点n P ，求得点n Q ，再得到1n P +，从而得到n x 与1n x +的关系；②可用数学归纳法证明，递推时，用到数列前n 项和和通项公式的关系，并分析两边从*,n k k N =∈到1n k =+时，分析左右的特点，证得不等式.（1）()xxF x e eax -=--，则21()1()x x xx xe ae F x e a e e -+'=+-=，令x t e =(0)t >，2()1u t t at =-+，则24(2)(2)a a a ∆=-=-+，当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在R 上递增；当02a <≤时，0∆≤，则()0u t ≥，则()0F x '≥，()F x 在R 上递增；当2a >时，当2(0,(,)22a a a t -+∈+∞时，()0u t >，即24ln2aa x 或24ln2aa x 时，()0F x '>；()F x 在(,ln 2a --∞，(ln ,)2a ++∞上递增；当(22a a t -+∈时，()0u t <，即x ∈(ln ,(ln 22a a -+时，'()0F x <；()F x 在(ln )22a a -+上递减；综上可得，当2a ≤时，()F x 在R 上递增；当2a >时，()F x 在(,ln -∞，)+∞上递增，在(ln 上递减.（2）①由题(,2)n n n P x x ，又n x xx x y e e-=⎧⎨=-⎩，得(,)n nx x n n Q x e e --， 又过点Q n 作y 轴的垂线交C 2于P n +1（x n +1，y n +1）， 则1nn x x n y ee -+=-12n x +=，得11()2nn x x n x e e -+=-. ②可用数学归纳法证明如下(i)当1n =时，111S x ==，2121ln ln ln 2e e T x x -=+=， 则左边12121ln ln ln 212e e e S T e e --=-=>-，即1n =时，不等式成立； (ii)假设n k =，*k N ∈时，不等式成立，即1ln 2k k S T k +->，则当1n k =+时，12k k S T ++-112()(ln )k n k k S x T x +++=+-+12ln 2ln k k k x x ++>+-， 又12ln k k x x ++-1112ln ln 2k k k x x x e e e+++-=>- 即12k k S T ++-12ln 2ln k k k x x ++>+-(1)ln 2k >+，即当1n k =+时，不等式也成立.综合(i) (ii)可知，证式成立.22.（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7【解析】22.（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=， 因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<） 所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ．（2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα．由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝同理得BD =设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或3 4π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．23.（1）2m =-；（2）证明见解析；【解析】23. （1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．。

合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.22e 14.480 15.4 16.①②④三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间[)90 110，内的天数为 77113020302300600100600⎡⎤⎛⎫-+++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦天，空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为111413015P +=-=. ………………………6分 (2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有771203027300600100⎡⎤⎛⎫++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(天)， ∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动. ………………………12分18.(本小题满分12分)解：(1)∵四边形11A ACC 是菱形，∴AC ∥11A C . 又∵AC ⊂平面ABC ，11AC ⊄平面ABC ，∴11A C ∥平面ABC . 同理得，11B C ∥平面ABC .∵11A C ，11B C ⊂平面111A B C ，且11A C 111B C C =I ， ∴平面ABC ∥平面111A B C . 又∵11A B ⊂平面111A B C ，∴11A B ∥平面ABC . ………………………………5分(2)∵AC ∥11A C ，11B C ∥BC ，∴11160AC B ACB ∠=∠=o. ∵112AC AC ==，1122B C BC ==，∴111133122A B C S ∆=⨯⨯=在菱形11A ACC 中，∵113AC =， ∴160ACC ∠=o ，1132223A ACC S =⨯=Y . ∵平面ABC ⊥平面1ACC ，取AC 的中点为M ，连接1BM C M ，，∴BM ⊥平面1ACC ，1C M ⊥平面ABC . 由(1)知，平面ABC ∥平面111A B C ， ∴点B 到平面111A B C 的距离为13C M =又∵点B 到平面11A ACC 的距离为3BM =1BC ，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBBDCBADCAD则111111532B A B C B A ACC V V V --=+=⨯⎝. ………………………………12分19.(本小题满分12分)解：(1)由已知得24282k k πϕππωϕππϕ⎧=-⎪⎪⎪⋅+=⎨⎪⎪<⎪⎩(k Z ∈)，解得24ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ……………………………6分(2)由题意得，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵[]0x π∈，，∴5444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin 14x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ∴()g x的值域为1⎡-⎣. ……………………………12分20.(本小题满分12分)解：设点()00P x y ，，()11A x y ，，()22B x y ，. (1)∵直线l 经过坐标原点，∴2121x x y y =-=-，.∵022014x y +=，∴022014x y =-. 同理得，122114x y =-.∴0011010101012222220101222222010*********PA PBx x x x y y y y y y k k x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⋅=⋅====--+---，∴直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. ……………………………6分(2)设线段AB 的中点为()Q x y ，，则2.OA OB OQ +=u u u r u u u r u u u r∵0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2OP OQ =-u u u r u u u r ，则0022x xy y=-⎧⎨=-⎩.将0022x x y y=-⎧⎨=-⎩代入022014x y +=得，2241x y +=，∴线段AB 的中点Q 的轨迹方程为2241x y +=.同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为2241x y +=.∴ABP ∆三边的中点在同一个椭圆2241x y +=上. ……………………………12分解：(1)()x x F x e e a -'=+-.当2a ≤时，()20x x F x e e a a -'=+-≥-≥恒成立，()F x 在R 上单调递增.当2a >时，由()0F x '=得，xe =x =.∴()F x 在 ⎛ -∞ ⎝⎭，和 ⎛⎫ ⎪+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在 ⎛ ⎝⎭上单调递减. …………………………………5分 (2)①由(1)知，当1x ≥时，()()10F x F ≥>，即当1x ≥时，曲线1C 恒在2C 上方.按题意有，()()1n n f x g x +=，即12nnx x n e ex -+-=，∴12n nx x n e e x -+-=. ②由①知122n n nx x x n e e e x -+-=<. 注意到11x =，∴1112121222n n x x x n n n n e e e x x x x x x x -++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅L L L ，∴1112112n n n x x x n n x x x x e -++++⎛⎫⋅⋅⋅⋅<⋅ ⎪⎝⎭L L ，两边同取自然对数得，()121111ln ln ln ln ln 2n n n n x x x x n x x x +-++++<++++L L ， 即1ln 2n n S T n +->. …………………………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线E 的直角坐标方程为()22+14x y +=，直线m 的极坐标方程为θα=(R ρ∈). ………………………………5分 (2)设点A ，C 的极坐标分别为()1ρα，，()2ρα，.由2=+2cos 30θαρρθ⎧⎨-=⎩得，2+2cos 30ρρα-=， ∴122cos ρρα+=-，123ρρ=-，∴12AC ρρ=-=同理得，BD =.∵221cos 3sin 372ABCD S AC BD αα=⋅=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即344ππα=或时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7. ………………………………10分(1)()3 122113113 1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--≤<⎨⎪-≥⎩，，，，根据函数图象得，()f x 的最小值为-2，∴2m =-. ………………………………5分 (2)由(1)知，2a b c ++=，∴()()()()()()22222222121111112119a b c a b c a b c ⎡⎤+-++⋅++≥⋅+-⋅++⋅=+++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴()()222123a b c +-++≥，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， ∴2222420a b c b c ++-++≥. ………………………………10分。

合肥市高三第三次教学质量检测数学试题（文）（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．集合{|39},{3,5,7,8},A x N x B =∈<<=则A B U 中的元素的个数有（ ）A ．0B ．2C ．4D ．62．复数11i i +-在复平面内对应的点的坐标是（ ）A ．（0，1）B ．（0，-1）C ．（1，0）D ．（-1，0）3．已知函数()sin()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示，则ω=（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．π4．已知各项均为实数的数列{}n a 为等比数列，且满足122412,1,a a a a +==则1a =（）A ．9或116 B ．19或16 C ．19或116 D ．9或165．已知某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．166．0a <且10b -<<是0a ab +<的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．执行如图程序，输出的结果为（ ）A ．89100 B ．68100 C ．68110 D ．891448． 已知点P (2,)y 在抛物线24y x =上，则P 点到焦点F 的距离为（ ） A ．2 B ．3 C 3 D 29．三角形ABC 中，A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，30A =o ，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a b 、，则满足条件的三角形有两个解的概率是（ ）A ．16 B ．13 C ．12 D ．3410．已知函数32(),f x x ax bx c =+++若()f x 在区间（-1，0）上单调递减，则22a b +的取值范围（ ）．A ．9[,)4+∞B ．9(0,]4C ．9[,)5+∞D ．9(0,]5第II 卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置）11．函数()cos(2)6f x x π=+的周期为 ．12．已知P 在直线250x y +-=上，点Q 在221x y +=上任意一点，则||PQ 的最小值为 ．13．设函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[0，100]上至少有个 零点．14．在ABC ∆中，,6,4,AB AC AB AC ⊥==D 为AC 的中点，点E 在边AB 上，且3,AE AB =BD 与CE 交于点G ，则AG u u u r ·BC uuu r = ．15．如图，在直角梯形ABCD 中，,,BC DC AE DC ⊥⊥M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起。

合肥市2020年高三第一次教学质量检测数学试题(文科)第Ⅰ卷 (60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12A x x =-<<，{}210B x x =-≥，则A B =I ( ).A.()1+∞，B.1 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C.1 22⎛⎫ ⎪⎝⎭，D.1 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()()12i 2i z =-+，则z 的共轭复数z =( ).A.43i -B.43i +C.34i +D.34i -3.设双曲线:C 224640x y -+=的焦点为12F F ，，点P 为C 上一点，16PF =，则2PF 为( ). A.13 B.14 C.15 D.17 4.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是( ).A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，2017年进口增速最快5.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点132M ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭，，则cos 2sin 3παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值为( ).A.12- B.3C.1D.326.若执行右图的程序框图，则输出i 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.57.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为边AB 中点，点F 为边BC 中点，将AED DCF ∆∆，分别沿DE DF ，折起，使A C ，两点重合于P 点，则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为( ).A.32πB.3πC.6πD.12π 8.已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法，不正确．．．的是( ). A.()f x 的图象关于12x π=-对称B.()f x 在[]0π，上有2个零点C.()f x 在区间536ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减D.函数()f x 图象向右平移116π个单位，所得图像对应的函数为奇函数 9.函数22cos x xy x x--=-的图像大致为( ).10.射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241(241Am )低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ).(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.11611.已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则： ①四边形1BFD E 一定是平行四边形；②多面体1ABE DCFD -与多面体1111D C F A B BE -的体积相等； ③四边形1BFD E 在平面11AA D D 内的投影一定是平行四边形； ④平面α有可能垂直于平面11BB D D . 其中所有正确结论的序号为( ).A.①②B.②③④C.①④D.①②④12.已知函数()23f x x a =+(a R ∈)，()39g x x x =-.若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为() b +∞，，则实数a 的取值范围为( ). A.[)5 +∞，B.(]27 5-，C.() 27-∞-，D.()[) 275 -∞-+∞U ，，第Ⅱ卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知实数x y ，满足260x y x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，，，则2z x y =+取得最大值的最优解为 .14.已知向量a =r (1，1)，()= 2b m -r ，，且a r ⊥()2a b +r r，则m 的值等于 . 15.在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2sin sin cos sin A B C C =，则222a b c += ，sin C 的最大值为 . 16.已知点()0 2A ，，抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ，若此抛物线的准线上存在一点P ，使得APF ∆是以APF ∠为直角的等腰直角三角形，则p 的值等于___________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，424S S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若129180m m m m a a a a +++++++=L (*m N ∈)，求m 的值.18.(本小题满分12分)月份x34 5 6 7 8 9 销售量y (万辆) 3.0082.4012.1892.6561.6651.6721.368(1)产的2辆，6辆汽车随机地分配给A ，B 两个部门使用，其中A 部门用车4辆，B 部门用车2辆.现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.求该企业B 部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率；(2)经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近.设y 关于x 的线性回归方程为$$y bx a =+$，根据表中数据可计算出0.2465b=-$，试求出$a 的值，并估计该厂10月份的销售量.19.(本小题满分12分)如图，该几何体的三个侧面11AA B B ，11BB C C ，11CC A A 都是矩形. (1)证明：平面ABC ∥平面111A B C ；(2)若12AA AC =，AC AB ⊥，M 为1CC 中点，证明：1A M ⊥平面ABM .20.(本小题满分12分)设椭圆:C 22221x y a b +=(0a b >>)的左右焦点分别为12F F ，，椭圆的上顶点为点B ，点A 为椭圆C 上一点，且1130F A F B +=u u u v u u u v v.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若1b =，过点2F 的直线交椭圆于M N ，两点，求线段MN 的中点P 的轨迹方程.21.(本小题满分12分)已知函数()()1ln f x x x =+，()()1g x a x a R =-∈，. (1)求直线()y g x =与曲线()y f x =相切时，切点T 的坐标；(2)当()0 1x ∈，时，()()g x f x >恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2321x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为(3，1)，求AM AN +.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x m x =--+(m R ∈)，不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. (1)求m 的值；(2)若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(4，2) 14.1 15.3(第一空2分，第二空3分) 16.43三、解答题：大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =得，114684a d a d +=+，整理得12d a =. 又∵11a =，∴2d =，∴()1121n a a n d n =+-=-(*n N ∈). ………………………5分 (2)129180m m m m a a a a +++++++=L 可化为10452080180m a d m +=+=， 解得5m =. ………………………12分18.(本小题满分12分)(1)设某企业购买的6辆新能源汽车，4月份生产的4辆车为1C ，2C ，3C ，4C ；5月份生产的2辆车为1D ，2D ，6辆汽车随机地分配给AB ，两个部门. B 部门2辆车可能为(1C ，2C )，(1C ，3C )，(1C ，4C )，(1C ，1D )，(1C ，2D )，(2C ，3C )，(2C ，4C )，(2C ，1D )，(2C ，2D )，(3C ，4C )，(3C ，1D )，(3C ，2D )，(4C ，1D ，(4C ，2D )，(1D ，2D )共15种情况；其中，至多有1辆车是四月份生产的情况有：(1C ，1D )，(1C ，2D )，(2C ，1D )，(2C ，2D )，(3C ，1D )，(3C ，2D )，(4C ，1D )，(4C ， 2D )，(1D ，2D )共9种，所以该企业B 部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率为93155P ==．………………………5分(2)由题意得6x =， 2.137y =.因为线性回归方程过样本中心点()x y ，，所以()$2.13760.2465a =⨯-+，解得$ 3.616a =.当10x =时，$0.246510 3.616 1.151y =-⨯+=， 即该厂10月份销售量估计为1.151万辆. ………………………12分19.(本小题满分12分)(1)∵侧面11AA B B 是矩形，∴11//A B AB .又∵11A B ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴11//A B 平面ABC . 同理可得：11//A C 平面ABC . ∵11111A B AC A =I ，∴平面//ABC 平面111A B C . ………………………5分 (2)∵侧面111111AA B B BB C C CC A A ，，都是矩形，∴1A A AB ⊥. 又∵AC AB ⊥，1A A AC A =I ，∴AB ⊥平面11AAC C . ∵111A M AAC C ⊂平面，∴1AB A M ⊥.∵M 为1CC 的中点，12AA AC =，∴11ACM AC M ∆∆，都是等腰直角三角形，∴1145AMC A MC ∠=∠=o ，190A MA ∠=o ，即1A M A M ⊥.而AB AM A =I ，∴1A M ⊥平面ABM . ………………………12分20.(本小题满分12分)解：(1)设A (00x y ，)，B ()0b ，，()1 0F c -，.由1130F A F B +=u u u v u u u v v得 000043403303c x x c y b by ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，即433b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 又∵A (00x y ，)在椭圆:C 22221x y a b+=上，∴222241331c b a b⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，得c a =，即椭圆C的离心率为e =.………………………5分 (2)由(1)知，e =.又∵1b =，222a b c =+，解得22a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.当线段MN 在x 轴上时，交点为坐标原点(0，0).当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为1x my =+，()11M x y ，，()22N x y ，，代入椭圆方程2212x y +=中，得()222210m y my ++-=.∵点2F 在椭圆内部，∴0∆>， 12222my y m +=-+，则()12122422x x m y y m +=++=+，∴点()P x y ，的坐标满足222x m =+，22my m =-+，消去m 得，2220x y x +-=(0x ≠).综上所述，点P 的轨迹方程为2220x y x +-=. ……………………………12分21.(本小题满分12分)(1)设切点坐标为()00x y ，，()1ln 1f x x x'=++，则()()00001ln 11ln 1x ax x x a x ⎧++=⎪⎨⎪+=-⎩，∴00012ln 0x x x -+=. 令()12ln h x x x x=-+，∴()22210x x h x x -+'=-≤，∴()h x 在()0+∞，上单调递减， ∴()0h x =最多有一个实数根.又∵()10h =，∴01x =，此时00y =，即切点T 的坐标为(1，0). ………………………5分(2)当()0 1x ∈，时，()()g x f x >恒成立，等价于()1ln 01a x x x --<+对()0 1x ∈，恒成立. 令()()1ln 1a x h x x x -=-+，则()()()()2222111211x a x ah x x x x x +-+'=-=++，()10h =. ①当2a ≤，()1x ∈0，时，()22211210x a x x x +-+≥-+>， ∴()0h x '>，()h x 在()0 1x ∈，上单调递增，因此()0h x <.②当2a >时，令()0h x '=得1211x a x a =-=-.由21x >与121x x =得，101x <<.∴当()1 1x x ∈，时，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()1 1x x ∈，时，()()10h x h >=，不符合题意； 综上所述得，a 的取值范围是(] 2-∞，.……………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，∴2246x y x y +=+， 即曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=. …………………………5分(2)把直线3:1x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C得221213t ⎛⎫⎛+-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=-+>，设12t t ，为方程的两个实数根，则 12t t +=128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A (3，1)在直线l 上，∴1212AM AN t t t t +=+=-===.…………………………10分23.(本小题满分10分)解：(1)∵()2f x x m x =--+，∴()220f x x m x -=---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥，解得28m +=，即6m =. …………………………5分 (2)∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-=()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-，结合212a b c ++=解得3a =，1b =，7c =时，等号成立， ∴()()()113a b c ++-的最大值为32.…………………………10分。

安徽省合肥市2020届高三下学期第三次教学质量检测数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，集合B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，3）D ．（﹣1，3）2．已知i 是虚数单位，则复数121iz i-=+在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．234．若,x y R ∈，则22x y >是1xy>成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()11()x x a a f x a =->，则不等式()()2210f x f x +->的解集是（ ） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知向量a →，b →满足|||2|a b a b →→→→+=-，其中b →是单位向量，则a →在b →方向上的投影是（ ） A ．1B ．34C ．12D ．147．公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（ ）A ．10101010887⨯-斗 B ．9101010887⨯-斗C ．8101010887⨯-斗 D ．91070881⨯-斗8．在△ABC 中，若11112sin sin tan tan ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭A B A B ，则（ ） A ．C 的最大值为3π B ．C 的最大值为23πC ．C 的最小值为3πD ．C 的最小值为6π9．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移p 2sin f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm ＝10﹣9m ），测得某时刻频移为9.030×109（1/h ），则该时刻高铁的速度约等于（ ）A ．320km/hB ．330km/hC ．340km/hD ．350km/h10．经过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则4AF BF +的最小值为（ ） A ．92B ．5C ．9D ．1011．点P 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11DCC D 内的一个动点，若APD △与BCP 的面积之比等于2，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分12．若关于x 的不等式（a +2）x ≤x 2+a ln x 在区间[1e，e ]（e 为自然对数的底数）上有实数解，则实数a 的最大值是（ ） A ．﹣1B ．12(1)-+ee eC ．(3)1--e e e D ．(2)1--e e e 13．设函数()()222,5,x e x ef x log x x e ⎧<⎪=⎨-⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），则f （f （3））的值等于_____．14．某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a ＝_____．15．已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21nn S =-．若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____．16．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱12AA =，4,3AB AD ==，点E ，F 分别为棱BC ，1CC 上的动点.若四面体11A B EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是__________.（写出所有正确命题的编号） ①存在点E ，使得1EF A F ⊥； ②不存在点E ，使得11B E A F ⊥；③当点E 为BC 中点时，满足条件的点F 有3个； ④当点F 为1CC 中点时，满足条件的点E 有3个； ⑤四面体11A B EF 四个面所在平面，有4对相互垂直.17．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：（1）在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动．试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动？ 18．如图，边长为2的等边ABC 所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，且11//BC B C ，112BC B C =,11AC ．（1）求证：11//A B 平面ABC ；（2）求多面体111ABC A B C -的体积V ．19．已知函数())0,||2f x x πωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0,π上的值域．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：24x +y 2＝1上的动点，不经过点P的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点．（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值； （2）若0OA OB OP ++=，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．21．已知函数()()xxf x e eg x ax -=-=,（e 为自然对数的底数），其中a R ∈.（1）试讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；（2）当2a =时，记函数()f x ，()g x 的图象分别为曲线1C ，2C .在2C 上取点n P （,n n x y ）作x 轴的垂线交1C 于n Q ，再过点n Q 作y 轴的垂线交2C 于1n P +（11n n x y ++,）（*n N ∈），且11x =.①用n x 表示1n x +；②设数列{}n x 和{}ln n x 的前n 项和分别为,n n S T ，求证：1ln 2.n n S T n +->22．在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点． （1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．23．已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．参考答案1．B【解析】【分析】直接用交集运算求解.【详解】作示意图如图所示：则(1,2)A B=-.故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2．C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，从而可得结果. 【详解】由于复数()()()()12112131112i ii izi i i-----===++-，在复平面的对应点坐标为13,22⎛⎫--⎪⎝⎭.∴在第三象限.故选：C.【点睛】主要考查复数的概念及复数的运算．属于容易题. 3．B【解析】【分析】基本事件总数336n A ==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数1112112m C C C ==,由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率.【详解】由题意，基本事件总数336n A ==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数1112112m C C C ==，∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为2163m P n ===, 故选：B 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 4．B 【解析】 【分析】根据()100x x y y x y y y->⇔>⇔->，解出不等式可得：22x y >成立；反之，举例可知不成立． 【详解】由于()0,1000y x x y y x y x y y y >⎧->⇔>⇔->⇔⎨->⎩或00y x y <⎧⎨-<⎩ ， 所以22x y >， 反之不成立， 例如2,1x y ==-，满足22x y >，而1xy >不成立．所以22x y >是1xy>成立的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．D 【解析】 【分析】首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式，求得不等式的解集. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()1x x f x a f x a-=-=-，所以()f x 为奇函数， 由于1a >，所以()f x 在R 上递减. 由()()2210f xf x +->，得()()()2211f x f x f x >--=-，所以221x x <-，()()2212110x x x x +-=-+<，解得112x -<<.所以不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题. 6．C 【解析】 【分析】由条件|||2|a b a b →→→→+=-平方求出a b →→⋅，利用向量在向量上的投影公式计算即可. 【详解】|||2|a b a b →→→→+=-，222a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎭⎝-⎪⎝⎭+，2222244a a b b a a b b ∴+⋅+=-⋅+，b →是单位向量，12a b →→∴⋅=， a →∴在b →方向上的投影为12||a bb →→→⋅=， 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，向量在向量上的投影公式，属于中档题. 7．B【解析】【分析】直接根据等比数列的求和公式求解即可．【详解】由题意可知，每人所得玉米数构成公比为78的等比数列；且数列的前10项和为10；设首项为a；则1071810718a⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝=-⎭-；∴910101010110108878718a⨯⨯==--.故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 8．A【解析】【分析】由商数关系，可得11cos cos2sin sin sin sinA BA B A B⎛⎫⎪⎝++⎭=，结合辅助角公式，化简整理为sin sin2sinB A C+=，于是2b a c+=，由均值不等式可知，()224a bab c+≤=，由余弦定理知，222cos2a b cCab+-=，将所得结论代入进行运算可得1cos2C≥，结合三角形内角关系，即可求解．【详解】由题可知，1111cos cos 22sin sin tan tan sin sin A B A B A B A B ⎛⎫+=+=⎛⎫ ⎪⎝+ ⎪⎝⎭⎭， 所以()()sin sin 2sin cos cos sin 2sin 2sin B A B A B A A B C +=+=+=， 由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C== ，所以2b a c +=， 由均值不等式可知，()224a b ab c +≤=，由余弦定理知，222222232331cos 1122222a b c c ab c c C ab ab ab c +--===-≥-=，因为()0,C π∈，所以03C π<≤，即C 的最大值为3π． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，采用了角化边的思维，还用到了同角三角函数的商数关系、辅助角公式和均值不等式等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题． 9．D 【解析】 【分析】先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可. 【详解】3sin ϕ-==故99.03010⨯=即9.03=故349982.48v =≈米/小时350km /h ≈，故选：D【点睛】本题考查了新定义问题，直角三角形中三角函数的计算，考查了运算能力，属于难题. 10．C 【解析】 【分析】利用抛物线的弦长公式得到2121444522p p AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭，当直线AB 斜率不存在时，易得410AF BF +=，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()1y k x =-，与抛物线方程联立，然后结合基本不等式求解.【详解】由题意得：2121444522p p AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭， 当直线AB 斜率不存在时，211x x ==，410AF BF +=， 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()1y k x =-，由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得 ()2222240k x k x k -++=，由韦达定理得 211x x ⋅=，所以2144559AF BF x x +=++≥=， 当且仅当214x x =，即211,22x x ==时，取等号， 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．A 【解析】 【分析】先根据条件APD △与BCP 的面积之比等于2，可得2PDPC=，然后建立平面直角坐标系求出点P 的轨迹方程，即可判断. 【详解】如图正方体1111ABCD A B C D -中，可知AD ⊥平面11DCC D ，BC ⊥平面11DCC D ， 则,ADPD BC PC ，12212APD BCPAD PD S SBC PC ，即2PDPC=, 以D 为原点，DC 为x 轴，1DD 为y 轴建立平面直角坐标系， 设正方体棱长为a ，设(),P x y ，则0,0,,0D C a ，22222x y x ay ，整理得22284033a xy x a ，∴点P的轨迹是圆的一部分，故选：A. 【点睛】本题考查动点轨迹的判断，解题的关键是找出与动点相关的等量关系，利用轨迹方程或曲线的定义判断. 12．D【分析】先对2(2)ln a x x a x +≤+化简，2(ln )2a x x x x -≤-，用导数判断ln x x -在x ∈1[,]e e的符号为正，可转化为22ln -≤-x x a x x，在x ∈1[,]e e 有解，设()f x = 22ln x xx x --，利用导数求函数()f x 的最大值max ()f x ，则a max ()f x ≤，即实数a 的最大值为max ()f x . 【详解】由2(2)ln a x x a x +≤+，得2(ln )2a x x x x -≤-，令()g x = ln x x -，x ∈1[,]e e ，则1()1g x x '=-，则()g x 在1[,1)e递减，在(1,]e 递增，则()(1)10g x g ≥=>， 即由2(ln )2a x x x x -≤-，得22ln -≤-x x a x x ，x ∈1[,]e e 有解， 设()f x = 22ln x x x x--，x ∈1[,]e e ， 则()f x '=221(22)(ln )(1)(2)(ln )x x x x x x x x ------2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+-=-， 令()22ln u x x x =+-，x ∈1[,]e e ，则2()1u x x'=-，故()u x 在1[,2)e递减，在(2,]e 递增，故()(2)42ln 20u x u ≥=->，故()f x 在1[,1)e 递减，在(1,]e 递增，又1()f e =2120e e e -<+，22()1e ef e e -=-0>， 故2max2()()1e e f x f e e -==-，故a ≤221e ee --， 即实数a 的最大值为221e ee --. 故选：D. 【点睛】本题考查了不等式有解的问题，并多次利用导数研究函数的单调性求最值，考查了学生的转化能力，逻辑思维能力，运算能力，难度较大.【解析】 【分析】直接根据分段函数解析式计算可得； 【详解】解：因为()222,()105,x e x ef xg x x e ⎧<⎪=⎨-⎪⎩ 所以()()223log 352f =-=，所以()()()2322f f f e==故答案为：22e 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题. 14．480； 【解析】 【分析】根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果. 【详解】根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a =++++++，解得480a =， 故答案为：480. 【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的知识点有分层抽样中按照成比例建立等量关系式求参数，属于基础题目. 15．4 【解析】 【分析】由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，12n n b -=，则112n n n a n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到12442n n n T -+=-<，即可得出结论.由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，当2n ≥时，有()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=，当1n =时，有11211S b =-==也适合上式， 故12n nb -=，n a n =，112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()12-得：1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，即12442n n n T -+=-<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立， 所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查数列求通项公式和数列求和问题.属于中档题. 16．①②④ 【解析】 【分析】在长方体1111ABCD A B C D -中，根据线面位置关系，逐个分析即可得解. 【详解】因为四面体11A B EF 的四个面都是直角三角形，所以1B EF ∠为直角或1B FE ∠为直角， （若1EB F ∠为直角，则1A EF ∆为直角必为锐角三角形）若1B EF ∠为直角时，因为11A B ⊥平面1B EF ，则推得EF ⊥平面11A B E因此平面11A B F ⊥平面1B EF ，平面11A B E ⊥平面1B EF ，平面1A EF ⊥平面11A B E ，即仅有三对平面相互垂直，同理，1B FE ∠为直角时亦然，故⑤错误，对①，在四面体11A B EF 中，有11A B ⊥平面1B EF ，所以根据三垂线定理及其逆定理得1EF B F ⊥1EF A F ⇔⊥，故存在，①正确； 对②，若11B E A F ⊥，又因为111A B B E ⊥， 则有1B E ⊥平面11A B F ，就有11B E B F ⊥， 此时E F 、分别和1B C 、重合，则1A EF 不是直角三角形，不符题意，故不存在，②正确；对③，E 为BC 中点时，若1B EF ∠为直角，则满足条件的F 只有一个， 若1B FE ∠为直角，因为113351522242B E B E +==∴=<，即满足条件的F 不存在，即③错；对④，根据题意，若1B EF ∠为直角，因为1111222B F B E +===>,即满足条件的E 有2个，若当1B FE ∠为直角时有一解，故E 有1个，故④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了空间线面的关系，考查了线线、线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理能力，需要较强的空间感，属于难题. 17．（1）1415；（2）27【解析】 【分析】（1）先根据频率分布直方图求出各组的频率，列表表示，再由空气质量等级是优或良，则空气质量指数为(0,100]，求出概率；（2）由（1）中频率表，计算空气质量指数高于90的频率，求出频数. 【详解】（1）由频率分布直方图，列出分组和对应的频率：由7731130151030m ++++=，得115m =，空气质量等级是优或良，则空气质量分数为(0,100]， 故P =114130215m --=，即估计一天空气质量等级是优或良的概率为1415. （2）由空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动， 则适宜进行户外体育运动的天数为130(1)2730m ⨯--=天. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的理解与应用，属于基础题. 18．（1）证明见详解；（2）52. 【解析】 【分析】（1）先利用已知条件得到线面平行，再证面//ABC 面111A B C ，即可得出结论；（2）利用已知条件分别求出三棱锥111B A B C -和四棱锥11B A ACC -的体积，相加即为多面体111ABC A B C -的体积.【详解】 （1）四边形11A ACC 是菱形，∴11//AC A C ，又AC ⊂面ABC ,11A C ⊄面ABC ，11//A C 面ABC ,同理得，11//B C 面ABC ，1111,AC B C ⊂面111A B C ，且11111AC B C C =，∴面//ABC 面111A B C ，又11A B ⊂面111A B C ，11//A B ∴平面ABC ；（2）1111111//,//,60AC AC BC B C AC B ACB ∴∠=∠=︒，11112,22AC AC B C BC ====，111112222A B C S=⨯⨯⨯=， 在菱形11A ACC 中，113AC =，160ACC ∴∠=︒，1122A ACC S=⨯=面ABC ⊥面1ACC ，取AC 的中点M ，连接1,BM C M ，∴BM ⊥面1ACC ，1C M ⊥面ABC ，由（1）知，面//ABC 面111A B C ，∴ 点B 到面111A B C 的距离为1C M =又点B 到面11A ACC 的距离为BM =，连接1BC ，则111111532B A B C B A ACC V V V --=+=⨯=⎝. 【点睛】本题主要考查线面和面面平行以及垂直的判定定理和性质定理，求多面体的体积问题.属于中档题.19．（1）()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭；（2）⎡-⎣. 【解析】 【分析】（1）先根据图象得到()01f =-，从而可求出φ的值，再根据08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可求ω的值，从而得到()f x 的解析式.（2）根据图象变换求出()g x 的解析式，再根据正弦函数的性质可求()g x 在区间[]0,π上的值域． 【详解】（1）由图象可得()01f =-可得sin 2φ=-，又||2πφ<，故4πφ=-，又08f π⎛⎫=⎪⎝⎭，故84k ωπππ⨯-=即82k ω=+，其中k ∈N . 因为()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故82T π≤即4T π≥，所以08ω<≤，所以2ω=，故()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭.（2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的解析式为24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象， 则()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 当[]0,x π∈时，5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故sin 42x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 故()g x的值域为⎡-⎣.【点睛】本题考查正弦型函数的图象与值域，从局部图象求解析式时，注意根据图象的特点如零点、特殊点等构建关于参数的方程组，另外，求值域时需用整体法结合正弦函数的性质来考虑.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析，椭圆的方程为2241x y +=.【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，再将PA PB k k ⋅表示出来，根据,A B 在椭圆上化简，证得直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，再得到AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --，又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，得证.【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，则PA PB k k ⋅2212122122121221y y y y y y x x x x x x ----=⋅=----， 又222214x y +=，221114x y +=，相减得222221211()4y y x x -=--， 得PA PB k k ⋅14=-，即直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值，定值为14-.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --， 又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上， 同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，即△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，这个椭圆的方程为2241x y +=.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及结构特征，考查了学生观察、分析能力，运算能力，属于中档题.21．（1）当2a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当2a >时，()f x 在,ln ⎛-∞ ⎝⎭和ln 2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在ln 22a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）①12n nx x n e e x -+-=；②证明见解析. 【解析】【分析】（1）求导得到()x x F x e e a -'=+-，分2a ≤，2a >讨论求解.（2）①由（1）知，当1≥x 时，()()10F x F ≥>，即当1≥x 时，曲线1C 恒在2C 上方，则由()()1n n f x g x +=求解.②由①知122n n nx x x n e e e x -+-=<.注意到11x =,则1112121222n n x x x n n n n e e e x x x x x x x -++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅，即1112112n n n x x x n n x x x x e -++++⎛⎫⋅⋅⋅⋅<⋅ ⎪⎝⎭，然后两边同取对数求解.【详解】（1）()x x F x e e a -'=+-.当2a ≤时，()20x x F x e e a a -'=+-≥-≥恒成立，()F x 在R 上单调递增.当2a >时，由()0F x '=得，2x a e ±=，∴ln 2a x ±=.∴()F x 在⎛-∞ ⎝⎭，和ln ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22a a ln ln ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）①由（1）知，当1≥x 时，()()10F x F ≥>，即当1≥x 时，曲线1C 恒在2C 上方. 按题意有，()()1n n f x g x +=，即12n n x x n e e x -+-=，∴12n n x x n e e x -+-=. ②由①知122n n nx x x n e e e x -+-=<. 注意到11x =， ∴1112121····222n n x x x n n n n e e e x x x x x x x -++⋅⋯=⋅⋯⋅<⋅⋅⋅， ∴1112112n n n x x x n n x x x x e -++++⎛⎫⋅⋅⋅⋅<⋅ ⎪⎝⎭，两边同取自然对数得，()121111ln ln ln ln ln 2n n n n x x x x n x x x +-++++<++++，即1ln 2n n S T n +->.【点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性，数列与不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7 【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．【详解】（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=，因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<） 所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ．（2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα．由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝；同理得BD =设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或3 4π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．【点睛】 本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．（1）2m =-；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．【详解】（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．【点睛】本题考查分段函数最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用柯西不等式求最值，属于中档题．。

数学试题（文）（考试时间： 120 分钟 满分： 150 分）nn( x i x)( y y)x i y i nx y参照公式：①b i1i 1nn 2x) 2x i 2( x inxi 1i1a y bx第Ⅰ卷（满分 60 分）一、选择题（本大题共有 12 个小题，每题5 分，共 60 分；在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1、 设全集 U={0 ， 1， 2， 3， 4，5， 6，7} ， A= {0 ， 2，4} ，B={1 ， 3， 5， 7}, 则 A I (C U B) A 、{2，4}B 、{0 ， 2，6}C 、{0， 2，4}D 、 {6}2、 复数 z3ai , a R 且 z 2 13i ，则 a 值为22 2A 、 1B 、 2C 、112D 、1 ,43、已知 sin() ( , ) ，则 tan32A 、22 2 2 2 D 、24B 、C 、3 434、已知数列 { a n } 中， a 1 1,a n 1a n则a 3 =2a n 3A 、1081C 、 161D 、1B 、1611085、以下命题正确的选项是v vv v v vA 、“ a b ”是“ a c b cgg ”的必需条件B是平面， a平面 ， “ l // a”是“l //”的充要条件、 a,l 是直线，C 、在△ ABC 中，“ a b ”是“ sin A sin B ”充足非必需条件D 、“ x R, x4 m ”恒建立的充要条件是m3x 216、棱锥 A — BCD 中，侧棱 AB 、AC 、AD 两两垂直，△ ABC 、△ ACD 、△ ADB 的面积分别为2 、3 、6。

则三棱锥 A —BCD 的外接球的体积为2 2 2A 、 6 B、2 6 C、3 6 D、467 f ( x) log 2 (3x 1 2)，则 f (x) 的值域为、、已知函数A 、( , 2) B、( 2,2) 3xC、( , )D、[0, )8、在 2020 年春节时期，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价钱进行检查，五个商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据以下表所示：价钱9 9.5 10 10.5 11 销售量11 10 8 6 5经过剖析，发现销售量 y 对商品价钱 x 拥有线性有关关系，则销售量 y 对商品的价钱x 的回归直线方程为A 、y 3.2 x 24 B、y 3.2x 40 C、 y 3x 22 D 、y 3x 38不等式 | x 2 | | x 1| 5 的解集为A 、( , 2) U (3, ) B、( , 1) U (2, ) C、( 2,4) D 、( 2,3)6、从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者，此中起码有 1 名女生的选择共有A、30种B、36 种C、42 种D、60 种7、对随意x (m, ) ，不等式 log 2 x x2 2x都建立，则m的最小值为A 、 2B 、3 C、 4 D 、 58、在极坐标系中，直线( R) 截圆2cos( ) 所得弦长是6 6A 、 3B 、 2 C、 5 D、 3x2 y2y 1(a b 0) 的 A9、已知F1, F2分别为椭圆 C：b2a2左右焦点，过 F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于 A、B F1 F2 x 两点，若△ ABF 2 为锐角三角形，则椭圆 C 的离心率 e B的取值范围为A 、(0, 2 1)B 、 (0, 3 1)C 、( 2 1,1)D 、 ( 3 1,1)x y 1、设点 （ ， ）知足不等式组 x y 1 0，则 f (x, y) x y 10的最大值和最小值10 P x yy 0分别为A 、—11，—9B 、— 11 2，—9C 、 11 2, 9 2D 、9 2, 1111、已知函数 y f (x)( x R) 的图像如右图y所示，则不等式 xf / (x)0的解集为A 、 ( , 1 1) U ( ,2)2 21O1123xB 、 (12,0) U(, 2)2C 、 (, 11)D 、 (, 1)) U ( , ) U(2,2 2212、对随意 x 1 , x 2(0, ), x 2x 1, y 11sin x1, y 21 sin x2 ，则2x 1x 2A 、 y 1 y 2B 、 y 1 y 2C 、 y 1 y 2D 、 y 1 , y 2 的大小关系不可以确立第Ⅱ卷（满分90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 46 分）13、如图是 CBA 篮球赛中，甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则均匀得分高的 运动员是 ________________.甲乙lg x1的定义域为80 814、函数 y6 5 0 1 2 478 9x 176 5 3 22 1 7 8 9_________________________23、三角形 中 为uuuvuuuv uuuv uuuv。

安徽省合肥市第一中学2024届高三下学期三模数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。

超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合}{}{22,R ,230x M y y x N x x x ==∈=--≤，则M N ⋂=（）A ．()0,3B ．(]0,3C ．()3,+∞D ．[)3,+∞2．已知1e ，2e 是单位向量，且它们的夹角是60︒，若122a e e =+ ，12b e e λ=- ，且a b ⊥，则λ=（）A ．25B ．45C ．1D ．23．拋掷一枚质地均匀的硬币()2n n ≥次，记事件A =“n 次中至多有一次反面朝上”，事件B =“n 次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若A 与B 独立，则n 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，3AB =，2BC BD CD ===，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．AF ，BE 是异面直线，AF BE⊥B ．AF ，BE 是相交直线，AF BE⊥C ．AF ，BE 是异面直线，AF 与BE 不垂直D ．AF ，BE 是相交直线，AF 与BE 不垂直5．波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程32(0,0)x a x b a b +=≠>的几何求解方法.在直角坐标系xOy 中，,P Q 两点在x 轴上，以OP 为直径的圆与抛物线C ：2x ay =交于点R ，RQ OQ ⊥.已知x OQ =是方程32x a x b +=的一个解，则点P 的坐标为（）A ．2,0b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,0b a ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,0a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,0a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=，若10114n n a ==-∑，则13579a a a a a ++++=（）A ．512B ．678C ．1010D ．10227．已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()1f x =在()0,π上恰有一个实数根m ，则(2)f m （）A ．2-B ．CD ．28．已知函数()()sin (0,0,π2π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）AB ．1C ．－1D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C ．线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D ．根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0510．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11ADD A 内的一点，点E 是线段1CC 上的一点，则下列说法正确的是（）A ．当点P 是线段1A D 的中点时，存在点E ，使得1A E ⊥平面11PB D B ．当点E 为线段1CC 的中点时，过点A ，E ，1D 的平面截该正方体所得的截面的面积为94C ．点E 到直线1BD 2D ．当点E 为棱1CC 的中点且22PE =时，则点P 的轨迹长度为2π311．我们把方程1x xe =的实数解称为欧米加常数，记为Ω.Ω和e 一样，都是无理数，Ω还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）A ．()Ω0.5,1∈B ．1lnΩΩ=C ．Ωu u u =，其中1eu =D ．函数()1e ln 1xx x f x x +=+的最小值为(Ω)f 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量(2,3),(1,2)a t b t =--=-+ ，若a b ⊥，则t =.13．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，半径为6的圆C 过坐标原点O 以及F ，且与该抛物线的准线l 相切，则p =.14．欧拉函数()n ϕ表示不大于正整数n 且与n 互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知()12111111r n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅⋅-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1p ，2p ，…，r p 是n 的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如()11100100114025ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭⎝⎭.若数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，则()()()()123100a a a a ϕϕϕϕ+++⋅⋅⋅+=.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知)tan tan 1C B C +-，(1)求角A .(2)若a =ABC 所在平面内有一点D 满足2π3BDC ∠=，且BC 平分ABD ∠，求ACD 面积的取值范围.16．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K ，按规定须将该指标大于K 的产品应用于A 型手机，小于或等于K 的产品应用于B 型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K 的芯片错误应用于A 型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K 的芯片错误应用于B 型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)设临界值60K =时，将1个Ⅰ级品芯片和1个Ⅱ级品芯片分别应用于A 型手机和B 型手机．求两部手机有损失的概率（计算结果用小数表示）；(2)设K x =且[]50,55x ∈，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A 型手机、B 型手机各1万部的生产，试估计芯片生产商损失费用的最小值．17．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，π3ABC ∠=，ABP 是正三角形，G 是BCD △的重心，点F 满足3AP FP =.(1)求证：//FG 平面BCP ；(2)若32CP AB =，求直线BG 与平面BCP 所成角的正弦值.18．若正实数数列{}n c 满足()2*12n n n c c c n ++≤∈N ，则称{}n c 是一个对数凸数列；若实数列{}n d 满足122n n n d d d ++≤+，则称{}n d 是一个凸数列.已知{}n a 是一个对数凸数列，ln n n b a =．(1)证明：11056a a a a ≥；(2)若1220241a a a ⋅⋅⋅=，证明：101210131a a ≤；(3)若11b =，20242024b =，求10b 的最大值．19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为3，且过点()3,1M ．若斜率为1k 的直线1l 与椭圆E 相切于点T ，过直线1l 上异于点T 的一点P ，作斜率为2k 的直线2l 与椭圆E 交于,A B 两点，定义2PTPA PB⋅为点P 处的切割比，记为P λ．(1)求E 的方程；(2)证明：P λ与点P 的坐标无关；(3)若35P λ=，且2l OT ∥（O 为坐标原点），则当20k <时，求直线1l 的方程．参考答案：1．B【分析】利用指数函数的性质及一元二次不等式的解法，结合交集的定义即可求解.【详解】由x ∈R ，得20x y =>，所以()0,M =+∞，由2230x x --≤，得()()130x x +-≤，解得[]1,3N =-，所以()[](]0,30,1,3M N +∞-== .故选：B.2．B【分析】由a b ⊥ 得0a b ⋅=，列出方程求解即可．【详解】由a b ⊥ 得，()2212121122(2)()220a b e e e e e e e e λλλ⋅=+⋅-=+-⋅-=，即22102λλ-+-=，解得4=5λ，故选：B ．3．B【分析】分别求出11C ()2nnP A +=，2()2n P B =，1()2n P AB =，根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币()2n n ≥次，则基本事件总数为2n ，事件A =“n 次中至多有一次反面朝上”，则n 次全部正面朝上或n 次中恰有1次反面朝上，则11C ()2nnP A +=，事件B =“n 次中全部正面朝上或全部反面朝上”，则2()2n P B =，于是1()2n P AB =，因为A 与B 独立，所以()()()P AB P A P B =，即121n n -=+，分别代入2n =，3，4，5，验证，可得3n =符合题意.故选：B 4．A【分析】先用定理判断AF ，BE 是异面直线，再证明BE 与AF 垂直，连接BF ，即可得到CD ⊥平面ABF ，取AF 的中点Q ，连接BQ ，EQ ，从而得到EQ AF ⊥、BQ AF ⊥，即可证明AF ⊥平面BEQ ，从而得解．【详解】显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD 外一点B 与平面ACD 内一点E 的直线BE 与平面ACD 内不经过E 点的直线AF 是异面直线．下面证明BE 与AF 垂直：证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥，因为BC BD CD ==，F 分别为CD 的中点，连接BF ，所以BF CD ⊥，因为AB BF B = ，,AB BF ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF ，如图：取AF 的中点Q ，连接BQ ，EQ ，因为AF ⊂平面ABF ，所以CD AF ⊥，又因为//EQ CD ，所以EQ AF ⊥，因为2BC BD CD ===，所以2BF AB =，又因为Q 为AF 的中点，所以BQ AF ⊥，因为BQ EQ Q ⋂=，,BQ EQ ⊂平面BEQ ，所以AF ⊥平面BEQ ，又因为BE ⊂平面BEQ ，所以AF BE ⊥．故选：A ．5．A【分析】求得以OP 为直径的圆的方程，与抛物线的方程联立，消去y ，可得x 的方程，由题意考虑两个三次方程有相同的解，可得所求点的坐标．【详解】设(,0)P t ，OP 的中点为,02t ⎛⎫⎪⎝⎭，则以OP 为直径的圆的方程为22224t t x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与抛物线2:C x ay =联立，可得2242124t t x x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简可得4220x x tx a-+=，由于RQ OQ ⊥，可得R ，Q 的横坐标相等，则方程32x a x b +=和方程320x x t a -+=有相同的解，即有2b a t =，解得2bt a =，则2,0b P a ⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ．6．B【分析】由12a =，12n n a a +=计算出前10项，利用分析分类讨论进行计算【详解】由题意知12a =，222a =，⋅⋅⋅，101021024a ==，因为11014n n a =∑=-，所以110,,a a ⋅⋅⋅中至少有一项是负数．①若101024a =-，则111010910141010n n n n a a a a ==∑=∑-=--=，若129,,,a a a ⋅⋅⋅均为正数，则()919212102212n n a =⨯-∑==-，比1010多12，所以前9项中必有负项，且其和为6-．易得当122,4a a =-=-，且其他项为正项时满足题意，故135792832128512678a a a a a ++++=-++++=．②若101024a =，当129,,,a a a ⋅⋅⋅均为负数时，数列{}n a 的前9项和最小，此时()919212102212n n a =⨯-∑=-=--，11010221024214n na=∑=-+=>-，不符合题意．综上，13579678a a a a a ++++=故选：B 7．A【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果.【详解】若关于x 的方程()1f x =在()0,π上恰有一个实数根m ，则()2sin 21x ϕ+=，即()1sin 22x ϕ+=在()0,π上恰有一个实数根m ，因为π恰为()sin 2y x ϕ=+的最小正周期，且当()0,πx ∈时，2(,2π)x ϕϕϕ+∈+，所以1sin 2ϕ=，若1sin 2ϕ≠，则关于x 的方程()1f x =在()0,π上有两个实数根，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，此时π()2sin(2)16f m m =+=，即π5π266m +=，解得π3m =，所以2π4ππ(2)()2sin(2336f m f ==+=-．故选：A 8．A【分析】先通过图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭列方程求出,ωϕ，进而可得()f x 的解析式，再代入5π6x =-计算即可.【详解】由已知得2A =，所以()()2sin f x x ωϕ=+，又图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()02sin 1ππ2sin 133f f ϕωϕ⎧==-⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，即1sin 2π1sin 32ϕωϕ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩，又()0,1-为单调减区间上的点，π,13⎛⎫⎪⎝⎭为单调增区间上的点，且在一个周期内，所以5π2π6,Z ππ2π36k k k ϕωϕ⎧=-+⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩，两式相减得π3πω=，所以3ω=，又π2πϕ<<，所以π67ϕ=，所以()7π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以5π5π7π4π2π2sin 2sin 2sin 62633f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.9．ABD【分析】利用分层抽样计算判断A ；求出第75百分位数判断B ；利用线性相关系数的意义判断C ；利用独立性检验的思想判断D.【详解】对于A ，该校高一年级女生人数是503020050500-=，A 正确；对于B ，由875%6⨯=，得第75百分位数为911102+=，B 正确；对于C ，线性回归方程中，线性相关系数r 绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C 错误；对于D ，由20.053.937 3.841x χ=>=，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D 正确.故选：ABD 10．ACD【分析】由题意分别画出图形，再逐项解决线面垂直、截面面积、距离最值和轨迹问题即可.【详解】对于A ，如下图所示，连接11,A C AB，因为点P 是线段1A D 的中点，所以点P 也是线段1AD 的中点，所以平面11PB D 即为平面11AB D .根据正方体的性质，1AD ⊥平面1A DC ，1AB ⊥平面1A BC ，所以1111,AD A C AB A C ⊥⊥，又因为11AD AB A ⋂=，1AD ⊂平面11AB D ，1AB ⊂平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，所以E 与C 重合时，1A E ⊥平面11PB D ，故A 正确；对于B ，如下图所示，取BC 的中点M ，根据,E M 分别为1,CC BC 的中点，易得1EM AD ∥，所以1,,,A M E D 四点共面，所以截面为四边形1AMED ，且该四边形为等腰梯形.又因为11ME AD AM ED ====所以等腰梯形1AMED 2，所以截面面积为1922=，故B 错误；对于C ，如图建立空间直角坐标系，由图可得，1(2,2,0),(0,0,2)B D ，所以1(2,2,2)BD =--，设(0,2,)(02)E m m ≤≤，所以(2,0,)BE m =-，所以点E 到直线1BD的距离d =所以1m=C 正确；对于D ，如图所示，取1DD 的中点G ，连接,,EG GP PE ，易得GE ⊥平面11AA D D ，又因为GP ⊂平面11AA D D ，所以GE GP ⊥，所以2GP ==，则点P 在侧面11AA D D 内的运动轨迹为以G 为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为π3，所以点P 的轨迹长度为π2π2=33⨯，故D 正确.故选：ACD.11．ABC【分析】对于A ：构建()e 1xg x x =-，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于B ：对e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，取对数整理即可；对于C ：设u uu a =N，整理得1e aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合选项A 分析判断；对于D ：结合不等式e 1x x ≥+分析可知()1f x ≥，当且仅当1ln 0x x-=时，等号成立，结合()1ln m x x x=-的零点分析判断.【详解】对于选项A ：构建()e 1xg x x =-，则Ω为()g x 的零点，因为()()1e xg x x +'=，若1x <-，则()0g x '<，可知()g x 在(),1∞--内单调递减，且()0g x <，所以()g x 在(),1∞--内无零点；若1x >-，则()0g x '>，可知()g x 在()1,∞-+内单调递增，()0.510g =<且()1e 10g =->，所以()g x 在()1,∞-+内存在唯一零点()Ω0.5,1∈；综上所述：()Ω0.5,1∈，故A 正确；对于选项B ：因为e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，即1e Ω=Ω，两边取对数可得：1lnlne Ω==ΩΩ，故B 正确；对于选项C ：设u uu a =N，则a u a =，整理得au a =，即1e aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得e 1a a =，所以a =Ω，即Ωu u u =，故C 正确；对于选项D ：构建()e 1xh x x =--，则()e 1x h x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()h x 在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，则()()00h x h ≥=，可得e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，则()1111ln 111e ln ln 1ln e ln e ln 11111111x xx xx x x x x x x x f x x x x x+++++++===≥=++++，当且仅当11ln 0x x+=，即1ln 0x x -=时，等号成立，因为1,ln y y x x==-在()0,∞+内单调递减，可知()1ln m x x x =-在()0,∞+内单调递减，且()()1110,e 10em m =>=-<，可知()m x 在()0,∞+内存在唯一零点()01,e x ∈，即0>Ωx ，所以()f x 的最小值为()01f x =，不为(Ω)f ，故D 错误；故选：ABC.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．12．4-【分析】根据题意，利用空间向量的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由向量(2,3),(1,2)a t b t =--=-+，因为a b ⊥，可得(2,3)(1,2)2630a b t t t t ⋅=--⋅-+=-+--= ，解得4t =-.故答案为：4-.13．8【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意可知圆心C 在直线4px =上，且642p p+=，解得即可.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，因为圆C 过坐标原点O 以及F ，所以圆心C 在直线4px =上，因为圆C 的半径为6且与该抛物线的准线l 相切，所以642p p+=，解得8p =.故答案为：814．1002【分析】计算出等比数列的通项公式后，结合欧拉函数()n ϕ计算即可得解.【详解】由题意可得132n n a -=⨯，则()()1133123a ϕϕ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，当2n ≥时，()11113211223n n n a ϕ--⎛⎫⎛⎫=⋅⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()()()99129910012310021222222212a a a a ϕϕϕϕ-+++⋅⋅⋅+=++++=+=- .故答案为：1002.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分1n =及2n ≥进行讨论，结合题中公式求(){}n a ϕ的通项公式.15．(1)π3(2)⎛ ⎝⎭【分析】（1）由两角和的正切公式结合题意化简得tan A =（2）设ABC CBD x ∠=∠=，由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式得34sin cos ACD S x x = ，结合导数求解即可.【详解】（1）由题)tan tan 1C BC =-，即)tan tan 1tan tan B C B C +=-，即tan tan 1tan tan B CB C+=-所以()tan B C +=()tan πA -=，所以tan A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =.（2）由题（1）知π3BAC ∠=，又2π3BDC ∠=，设ABC CBD x ∠=∠=，由BCD △中，2π3BDC ∠=，故π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π2π2π233ACD x x ∠=---=-，由正弦定理有sin sin BC AC BAC x =∠，sin sin BC DCBDC x=∠，则2sin AC CD x ==，故ACD 面积()()2312sin sin π24sin cos 2ACD S x x x x =⋅-= ，令()34sin cos x x x ϕ=，则())224212sin cos 4sin 4sin sin sin x x x x xx xx x ϕ=-=+-'，又π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ'>，知函数()34sin cos x x x ϕ=在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00ϕ=，π3ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ACD 面积的取值范围为⎛ ⎝⎭.16．(1)0.007(2)136万元【分析】（1）根据频率分布直方图，I 级品中该指标小于或等于60的频率和II 级品中该指标大于60的频率，即可求解；（2）由题意分别计算A 、B 型手机的损失费用可得()5768f x x =-，结合一次函数的性质即可求解.【详解】（1）临界值60K =时，I 级品中该指标小于或等于60的频率为()0.0020.005100.07+⨯=，II 级品中该指标大于60的频率为0.1，故将1个I 级品芯片和1个II 级芯片分别应用于A 型手机和B 型手机，两部手机均有损失的概率为：0.070.10.007⨯=；（2）当临界值K x =时，I 级品中该指标小于或等于临界值K 的概率为()0.002100.005500.0050.23x x ⨯+⨯-=-，可以估计10000部A 型手机中有()100000.0050.23502300x x -=-部手机芯片应用错误；II 级品中该指标大于临界值K 的概率为()0.01100.03600.03 1.9x x ⨯+⨯-=-+，可以估计10000部B 型手机中有()100000.03 1.919000300x x -+=-部手机芯片应用错误；故可以估计芯片生产商的损失费用()()()0.085023000.0419000300f x x x =⨯-+⨯-5768x=-又[]50,55x ∈，所以()[]136,176f x ∈，即芯片生产商损失费用的最小值为136万元.17．(1)证明见解析【分析】（1）根据重心的性质可得FG PC ∥，即可根据线线平行求证，（2）根据线线垂直可得线面垂直，进而可得平面COP ⊥平面ABP ，根据余弦定理以及勾股定理求解长度，即可利用等体积法求解长度，利用线面角的几何法求解，或者建立空间直角坐标系，利用法向量与直线方向向量的夹角求解即可.【详解】（1）如图，连接AC BD 、，交点为M ，则M 是BD 的中点.因为G 是BCD △的重心，所以2CG GM =.又M 是AC 的中点，所以3AC GC =.由3AP FP =知F 在线段AP 上，且3AP FP =，所以FG PC ∥，而FG ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以//FG 平面BCP .（2）方法1：设2AB =，则3CP =.取AB 中点O ，连接CO PO 、，则AB CO ⊥，AB PO ⊥，,,CO PO O CO PO ⋂⊂=平面COP ,故AB ⊥平面COP ，又AB ⊂平面ABP ，所以平面COP ⊥平面ABP ，交线为PO .由3CO PO ==3PC =，则2221cos 22CO PO PC COP CO PO +-∠==-⋅,得2π3COP ∠=.所以C 到平面ABP 的距离1h 等于C 到直线OP 的距离2π33sin32==.设G 到平面BCP 的距离为2h ，由//FG 平面BCP 知F 到平面BCP 的距离也是2h .由F BCP C BPF V V --=得211133BCP BPF S h S h ⋅=⋅△△，22221113373222224BCPS PC BC PC ⎛⎫⎛⎫=⋅-⨯⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，113331222332BPF BPA S S =⨯⨯⨯=△△从而221h =在CGB △中，2CB =，23CG =，π3BCG ∠=，由余弦定理得2211272333BG BC CA BC CA ⎛⎫=+-⋅=⎪⎝⎭所以直线BG 与平面BCP 所成角的正弦值是223372127h BG ==方法2：如图，以AB 中点O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系.设2AB =，则3CP =，()0,1,0A -，()0,1,0B ，332P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)3,0,0C ，()3,2,0D-，31,033G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以234,,033BG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,333,0,22CP ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ ,()3,1,0BC =-,设平面PBC 的法向量是()000,,m x y z =，由()()())()0000000000000000,,1,0000,,033,,000,,,0,0222x y z y x y z BC x y z CP z x y z ⎧⋅-=-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎛⎫⋅=++=⋅-=⎪⎪⎪ ⎪⎩ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩.令01x =，则00y z =，(m =.所以，cos<,m BG =>= ，从而直线BG 与平面BCP18．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)10.【分析】（1）法一：由212n n n a a a ++≤得到10695a a a a ≥，9584a a a a ≥，8473a a a a ≥，7362a a a a ≥，6251a aa a ≥，累乘法得到11056a a a a ≥；法二：由109329821a a a aa a a a ≥≥⋅⋅⋅≥≥得到11029384756a a a a a a a a a a ≥≥≥≥；（2）法一：由题意得()111n k n k n k n k a a a a k n +-++--⋅≤⋅≤<，从而得到()1012101210131220241a a a a a ⋅≤⋅⋅⋅=，证明出101210131a a ⋅≤；法二：考虑反证法，假设101210131a a >，得到101110141a a >，进而推出1220241a a a ⋅⋅⋅>，假设不成立；法三：得到1220240b b b ++⋅⋅⋅+=，且121n n n n b b b b +++-≤-，利用累加法得到()101210131210120n b b b b b +≤++⋅⋅⋅+=，证明出结论；（3）由222n n n a a a ++≤可得()()222ln ln n n n a a a ++≤，即121n n n n b b b b +++-≤-，累加得()20241011102014b b b b -≥-，另外()11101019b b b b -≥-，故202410101111020149b b b bb b --≥-≥，故10102024120149b b --≥，化简得：1010b ≤，显然n b n =符合题意，此时1010b =，综上，10b 的最大值为10．【详解】（1）法一：由题意得：212n n n a a a ++≤，∴21121121n n n n n n n n a a a a aa a a a a ++-+--≥≥≥≥⋅⋅⋅，∴10695a a a a ≥，9584a a a a ≥，8473a a a a ≥，7362a a a a ≥，6251a aa a ≥，将以上式子累乘得：10651a a a a ≥，也即11056a a a a ≥成立．法二：由题意得：109329821a a a a a a a a ≥≥⋅⋅⋅≥≥，∴11029384756a a a a a a a a a a ≥≥≥≥，∴11056a a a a ≥成立．（2）法一：∵121n n n n a a a a +++≤，∴112111n k n k n n n k n k n k n n n k a a a a aa a a a a --+++++---++≤≤⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅≤，∴()111n k n k n k n k a a a a k n +-++--⋅≤⋅≤<，则10121013101110141010101512024a a a a a a a a ⋅≤⋅≤⋅≤⋅⋅⋅≤⋅，∴()1012101210131220241a a a a a ⋅≤⋅⋅⋅=，∴101210131a a ⋅≤．法二：考虑反证法，假设101210131a a >，由121n n n n a a a a +++≤得101210131014101110121013a a a a a a ≤≤，∴1012101310111014a a a a ≤，∴101110141a a >，同理：101210121011101410151015101010111010101310141013a a a a a a a a a a a a =⋅≤⋅=，∴1010101510121013a a a a >，∴101010151a a >，同理可证：100910161a a >，100810171a a >，…，120241a a >，综上可得：1220241a a a ⋅⋅⋅>，与条件矛盾，∴假设不成立，∴101210131a a ≤成立．法三：∵1220241a a a ⋅⋅⋅=，∴122024()ln 0a a a ⋅⋅⋅=，也即1220240b b b ++⋅⋅⋅+=，同时，由212n n n a a a ++≤可得：()()212ln ln n n n a a a ++≤，∴122n n n b b b ++≤+，也即121n n n n b b b b +++-≤-，∴1013101220242023b b b b -≤-，1012101120232022b b b b -≤-，…，2110131012b b b b -≤-，将以上式子累加得：1013120241012b b b b -≤-，也即1012101312024b b b b +≤+，同理可得：1012101322023b b b b +≤+，1012101332022b b b b +≤+，……1012101310121013b b b b +≤+，将以上式子累加得：()101210131210120n b b b b b +≤++⋅⋅⋅+=，∴101210130b b +≤，∴10121013ln ln 0a a +≤，∴101210131a a ≤成立．（3）由222n n n a a a ++≤可得：()()222ln ln n n n a a a ++≤，∴122n n n b b b ++≤+，也即121n n n n b b b b +++-≤-，∴202420231110b b b b -≥-，202320221110b b b b -≥-，…，11101110b b b b -≥-，将以上式子累加得：()20241011102014b b b b -≥-，①另外，1110109b b b b -≥-，111098b b b b -≥-，…，111021b b b b -≥-，将以上式子累加得：()11101019b b b b -≥-，②结合①②式可得：202410101111020149b b b b b b --≥-≥，∴10102024120149b b --≥，化简得：1010b ≤，另外，显然有n b n =符合题意，此时1010b =，综上，10b 的最大值为10．【点睛】思路点睛：数列{}n b 的性质可参考2y x =这类下凸函数进行理解，不等式2024101110101201419b b b b b b ---≥≥相当于函数图象上三条直线的斜率大小关系．19．(1)221124x y +=(2)证明见解析(3)4y x =-或4y x =+．【分析】（1）根据椭圆离心率得223a b =，又()3,1M 在椭圆上得22911a b +=，联立可得结果；（2）设点(),P m n ，直线1l 的方程为()1y n k x m -=-，联立椭圆方程，由直线1l 与椭圆E 相切，得()2211124n k m k -=+，并求2PT ，设直线2l 的方程为()2y n k x m -=-，联立椭圆方程结合韦达定理，求出PA PB ⋅，利用()2211124n k m k -=+化简2PT PA PB ⋅可得结果；（3）由（2）可知切点()00,T x y ，得00113OT y k x k ==-，结合已知进而可得直线OT 的方程，联立椭圆方程求T 点坐标，从而求出直线1l 的方程.【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c，由题意知，c a =22223a b a -=，解得223a b =．又椭圆E 过点()3,1M ，所以22911a b+=，结合223a b =，解得2212,4a b ==，所以E 的方程为221124x y +=．（2）设点(),P m n ，直线1l 的方程为()1y n k x m -=-，由()2211124x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y ，得()()()22211111363120k x k n k m x n k m ++-+--=，()()()()22222111111Δ641331212124k n k m k n k m k n k m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+--=--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由直线1l 与椭圆E 相切，得()2211124n k m k -=+．设切点()00,T x y ，则()11021313k n k m x k -=-+，101012113n k m y k x n k m k -=+-=+，所以()()()()()22221111212221113311313k m nk k n k m PT k m k k ++⎡⎤-=+--=⎢⎥++⎣⎦，设直线2l 的方程为()2y n k x m -=-，联立由()2221124x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y ，得()()()22222221363120k x k n k m x n k m ++-+--=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()221222613k n k m x x k -+=-+，()22122231213n k m x x k --=+，所以12PA PB m m ⋅=--()()22212121k x x m x x m =+-++()()()22222222222312611313n k m k n k m k m m k k ⎡⎤---=+--+⎢⎥++⎣⎦222222131213k n m k +=+-+，易知，点(),P m n 在椭圆E 外，所以221124m n +>，所以223120n m +->，()222222131213k PA PB n m k +⋅=+-+．由()2211124n k m k -=+，得22221112124n k m mnk k +-=+，即()222112412mnk n k m -+=-．因为()()212221331213m nk n m k +-+-+()()()2222112131331213m nk k n m k +-++-=+()222222221112196312331213m k n mnk n m k n m k ++--+-+-=+()()222222111219324331213k n mnk n k n m k +-+-+-=+()()2222222111219312331213k n k m k n m k +--+-=+()()22222211213312331213k n m k n m k +--+-=+0=．所以()212221331213m nk n m k+=+-+，所以()2222121131213k PT n m k +=+-+．所以()()()()222122212113131P k k PT PA PB k k λ++==⋅++，与点P的坐标无关．（3）由（2）得()11021313k n k m x k -=-+，102113n k m y k -=+，所以00113OT y k x k ==-，因为2l OT ∥，所以2113k k =-①，又35P λ=，所以()()()()2212221211335131k k k k ++=++②，由①②解得12113k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12113k k =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）．所以直线OT 的方程为13y x =-，由22112413x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3,1x y =⎧⎨=-⎩或3,1,x y =-⎧⎨=⎩故切点T 的坐标为()3,1-或()3,1-．所以直线1l 的方程为4y x =-或4y x =+．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果.。

1 1 2 2
3 2
3. 2
在菱形 A1ACC1 中，∵ A1C 3AC1 ，
∴ACC1 60 ， S A1ACC1 2 2
3 2 2
3.
∵平面 ABC ⊥平面 ACC1 ，取 AC 的中点为M ，连接 BM，C1M ，
∴ BM ⊥平面 ACC1 ，C1M ⊥平面 ABC .
由(1)知，平面 ABC ∥平面 A1B1C1 ，
按题意有， f
xn
g
xn1
，即 e xn
exn
2xn1 ，∴ xn1
exn
exn 2
.
②由①知 xn1 exn
exn 2
e xn
2
.
注意到 x1 1，
∴ xn1 xn
x2 xn1 xn
e e xn
xn1
x2 x1
2
2
ex1
，
2
∴ xn1 xn
x2
x1
直线m 的极坐标方程为 ( R ).
(2)设点 A ，C 的极坐标分别为1， ，2， .
由
=
2
+2
cos
3
0
得,
2
+2
cos
3
0
，
∴ 1 2 2cos ， 12 3 ，
∴ AC 1 2 2 cos2 3 .
同理得 BD 2 sin2 3 .
………………………………5 分
19.(本小题满分 12 分)
解：(1)由已知得
2k 4
2k 8
2
(
k
Z
)，解得
2
4
，
∴ f x
2

解：
根据题意，由分层抽样方法得 ，
解得 ，
故答案为： .
点评：
该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的知识点有分层抽样中按照成比例建立等量关系式求参数，属于基础题目.
15．已知数列 中 ，数列 的前n项和 ．若数列 的前 项和 对于 都成立，则实数 的最小值等于_____．
答案：4
由数列 的前 项和 得， ，则 ，利用错位相减法得到 ，即可得出结论.
A． 斗B． 斗
C． 斗D． 斗
答案：B
直接根据等比数列的求和公式求解即可．
解：
由题意可知，每人所得玉米数构成公比为 的等比数列；且数列的前 项和为 ；
设首项为 ；
则 ；
∴ .
故选：B．
点评：
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
8．在△ABC中，若 ，则（）
答案：D
先对 化简， ，用导数判断 在 的符号为正，可转化为 ，在 有解，设 ，利用导数求函数 的最大值 ，则 ，即实数 的最大值为 .
解：
由 ，得 ，令 ， ，
则 ，则 在 递减，在 递增，则 ，
即由 ，得 ， 有解，
设 ， ，
则 ，
令 ， ，则 ，
故 在 递减，在 递增，故 ，
故 在 递减，在 递增，又 ， ，
由余弦定理知， ，
因为 ，所以 ，即 的最大值为 ．
故选：A．
点评：
本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，采用了角化边的思维，还用到了同角三角函数的商数关系、辅助角公式和均值不等式等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
9．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移 ，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1550nm（1nm＝10﹣9m），测得某时刻频移为9.030×109（1/h），则该时刻高铁的速度约等于（）

合肥市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（文科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}82,7,5,3,1>==x x B A ，则B A I =（ ） A ．{}1 B ．{}31， C ．{}7,5 D ．{}7,5,3 2．欧拉公式θθθsin cos i e i +=把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数θcos 和θsin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足i z i ei =⋅+)(π，则z =（ ） A ．1 B ．22 C ．23 D ．2 3．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤-+032304042y x y x y x ，则y x z -=2的最小值是（ ）A ．16B ．7C ．4-D ．-54.已知数列{}n a 是等差数列，若39,252==S a ，则=7a （ ）A.18B.17C.15D.145.在平行四边形ABCD 中，若AE EC DE ,=交BD 于F 点，则AF =（ ） A.AD AB 3132+ B.AD AB 3132- C.AD AB 3231- D.AD AB 3231+ 6.函数)20,0,0)(sin()(πϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．函数)(x f 的图象可由x A y ωsin =的图像向左平移6π个单位得到 B ．函数)(x f 的图象关于直线3π=x 对称 C ．函数)(x f 在区间]3,3[ππ-上是单调递增 D ．函数)(x f 图象的对称中心为))(0,122(Z k k ∈-ππ 7．若函数42)()(x x f x F -=是奇函数，x x f x G )21()()(+=为偶函数，则)1(-f =（ ） A ．25- B ．45- C ．45 D ．25 8．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b ，宽为内接正接正方形的边长d ，由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是（ ）。

合肥市2020届高三调研性检测 数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.0 14.－2 15.1326 16.[]35-，三、解答题：17.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)()1cos 22cos 222f x x x x =+-1sin 2cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. ∴ 函数()f x 的最小正周期T π=. …………………………5分 (Ⅱ)由222262k x k πππππ-≤+≤+(k Z ∈)，解得36k x k ππππ-≤≤+，∴函数()f x 的单调递增区间为36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k Z ∈).∵[]0x π∈，∴ 所求单调递增区间是0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. …………………………10分18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)茎叶图如右图所示，这10件作品成绩的平均数为657477909682728584958210x +++++++++==.………………5分(Ⅱ)得分在平均分以上的作品共有5件，分别记作a b c d e ，，，，，其中e 代表得分为96的作品.从中任意抽取2件，所有结果有},{b a ，},{c a ，},{d a ，},{e a ，},{c b ，},{d b ，},{e b ，},{d c ，},{e c ，},{e d 共10种情况，且每种结果出现的可能性相等，其中作品e 被取到的情况有4种，所以所求概率42105P ==. ……………………12分19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)证明：∵ 11122n n n a a +=+，∴ 11222n n n n a a ++-=.又∵ 112a =， ∴ 112=1a ⋅，∴ {}2n n a 是首项为1，公差为2的等差数列. ……………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知221nn a n =-，∴ ()1212nn a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴()121111321222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()231111113212222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C A C B A D D B A两式相减得：()231111111*********n n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴()012111123121322222n nnn n S n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. …………………………12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)连接1AC 交1A C 于N ，连结MN . ∵1//BC 平面1A MC ，1BC ⊂平面1ABC ， 平面1ABC 平面1A MC MN =， ∴1//BC MN .由三棱柱111ABC A B C -知，四边形11ACC A 为平行四边形.∴N 为1AC 的中点.∴M 为AB 的中点，即AM BM =. …………………………5分 (Ⅱ)连接1,A B∵ABC ∆是等边三角形，1AB AA =，1160A AB A AC ∠=∠= ∴ABC ∆、1AA B ∆、1AA C ∆是全等的等边三角形由(Ⅰ)知：M 为AB 的中点，∴1A M AB CM AB ⊥⊥，. ∵1A M CM M = ，∴AB ⊥平面1A MC .设2AB a =，则112A M CM A C a ===，，∴1A MC ∆的面积为2122a ⋅==2a =，即2=AM ，∴1113A MC A A MC V S AM ∆⋅⋅=棱锥－＝，从而11116ABC A B C A A MC V V ⋅棱柱－棱锥－＝＝分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由P (0x ，4)是抛物线上一点得，1620=px ①.由四边形AFPN 的周长为16得：042162p p x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，即60=+p x ②.由①②可解得：4=p 或2=p .∵2p >，∴4p =. …………………………5分(Ⅱ)设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为2x my =-，代入抛物线方程为()282y my =-得，28160y my -+=.由264640m ∆=->得，21m >，且1212816y y my y +=⎧⎨=⎩.∴()()()()()()()12211212121212121244240222222y my y my my y y y y yk k x x x x x x -+--++=+===------.…………………………12分22.(本小题满分10分)解：(Ⅰ) ()f x 的定义域是R ，且()x f x e m '=-. ①当0m ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增；②当0m >时，令()0f x '>，则ln x m >，即函数()f x 的递增区间是()ln m +∞，. 同理，由()0f x '<得函数()f x 的递减区间是() ln m -∞，. …………………………5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，当0m ≤时，函数)(x f 单调递增，与条件不符.当0m >时，函数)(x f 在()ln ,m +∞上单调递增，在)ln ,(m -∞上单调递减，A BC MA 1B 1C 1N∴)ln 1()(ln )(min m m m f x f -==. 由条件得，(1ln )0m m -<，解得m e >.又∵(0)10f =>，∴)(x f 在)ln ,0(m 上存在唯一零点，)ln 2(ln 2)ln 2(2m m m m m m m f -=-=.令m m m g ln 2)(-=，则()21g m m'=-， ∴当m e >时，)(m g 单调递增，()()0g m g e >>.∴2(2ln )2ln (2ln )0f m m m m m m m =-=->，即)(x f 在),(ln +∞m 上存在唯一零点. 综上得， m ＞e . …………………………12分。