2012年金版新学案新编高三总复习第四章 第2课时

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，2x －1，x ＞0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析： 当x ≤0时，由x 2≥1，得x ≤－1； 当x ＞0时，由2x －1≥1，得x ≥1.综上可知，x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 答案： D 2．(2011·辽宁开原一模)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x ＝－2} D ．{x |x ≥－2且x ≠－1}解析： 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2. 答案： C3．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则( ) A ．a ≥1 B ．a ＜－1 C ．a ＞－1 D ．a ∈R 解析： x (x －a ＋1)＞a ⇔(x ＋1)(x －a )＞0， ∵解集为{x |x ＜－1或x ＞a }，∴a ＞－1. 答案： C 4．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a ＞0的解集是R ，q ：－1＜a ＜0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析： 不等式x 2＋2ax －a ＞0的解集是R 等价于4a 2＋4a ＜0，即－1＜a ＜0，故选C. 答案： C5．不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中的( )解析： 由根与系数的关系1a ＝－2＋1，－ca ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x 2＋x＋2的图象开口向下，顶点为⎝⎛⎭⎫12，94.故选B.答案： B6．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0＜a ＜4} B ．{a |0≤a ＜4}C ．{a |0＜a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析： 由题意知，a ＝0时，满足条件；a ≠0时，由题意知a ＞0且Δ＝a 2－4a ≤0得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4，故选D.答案： D 二、填空题7．不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是________．解析： 由x －2x 2＋3x ＋2＞0，得x －2(x ＋1)(x ＋2)＞0.如图，用数轴穿根法得原不等式的解集为{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}． 答案： {x |－2＜x ＜－1或x ＞2}8．若关于x 的不等式－12x 2＋2x ＞mx 的解集是{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值是________．解析： －12x 2＋2x ＞mx 可化为x 2＋(2m －4)x ＜0，由于其解集为{x |0＜x ＜2}，故0,2是方程x 2＋(2m －4)x ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m ＝2，所以m ＝1， 故填1. 答案： 19．若集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x ＞a }，且A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析： 不等式x 2－2x －3≤0⇔(x ＋1)(x －3)≤0， ∴x ∈[－1,3]．∴集合A ＝{x |－1≤x ≤3}．∵A ∩B ＝∅，∴B ＝{x |x ＞3}，∴a ≥3. 答案： a ≥3 三、解答题10．解下列不等式． (1)19x －3x 2≥6；(2)x ＋1≥2x ；(3)0＜x 2－x －2≤4.解析： (1)方法一：原不等式可化为3x 2－19x ＋6≤0，方程3x 2－19x ＋6＝0的解为x 1＝13，x 2＝6.函数y ＝3x 2－19x ＋6的图象开口向上且与x 轴有两个交点⎝⎛⎭⎫13，0和()6，0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤6. 方法二：原不等式可化为3x 2－19x ＋6≤0⇒(3x －1)(x －6)≤0⇒⎝⎛⎭⎫x －13(x －6)≤0. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤6. (2)原不等式可化为x ＋1－2x ≥0⇒x 2＋x －2x≥0⇒(x ＋2)(x －1)x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)(x －1)≥0，x ≠0.如图所示，由穿根法知原不等式的解集为{x |－2≤x ＜0，或x ≥1}．(3)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)＞0(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，或x ＜－1，－2≤x ≤3.如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3}．11．已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0. 【解析方法代码108001074】解析： (1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c )＜0.①当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； ②当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为∅.综上所述：当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |2＜x ＜c }； 当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0的解集为∅. 12．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围． (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围. 【解析方法代码108001075】解析： (1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋3－a 24.①当－a2＜－2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，由－2a ＋7≥a 得a ≤73，∴a ∈∅.②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2.③当－a2＞2，即a ＜－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7，由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a ＜－4. 综上得a ∈[－7,2]．。

1.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，求(AB )－1. 解析： ∵AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －323 12. ∴|AB |＝2. ∴(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 14 34－32 12. 2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 011，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量． 解析： 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 0－1 λ－1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2，将λ1＝1代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)·x ＋0·y ＝0，－x ＋(λ－1)y ＝0，解得x ＝0，所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01； 同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 3．用矩阵方法求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝84x －5y ＝2.解析： 原方程组可写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤82.设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 －5，则det M ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 14 －5＝2×(－5)－1×4＝－14≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤514 11427 －17，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤82＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32， ∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2.4．(2010·福建龙岩)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7.(1)求逆矩阵M －1.(2)若矩阵X 满足MX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，试求矩阵X .【解析方法代码108001165】解析： (1)设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋3b －2a －7b c ＋3d －2c －7d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3b ＝1，－2a －7b ＝0，c ＋3d ＝0，－2c －7d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－2，c ＝3，d ＝－1，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1.(2)∵矩阵X 满足MX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，∴矩阵X ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤94. 5．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1a 0，矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 0，直线l 1：x －y ＋4＝0经矩阵A 所对应的变换得到直线l 2，直线l 2又经矩阵B 所对应的变换得到直线l 3：x ＋y ＋4＝0，求直线l 2的方程．解析： BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ， 得l 1变换到l 3的变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2ax ，y ′＝by ，则2ax ＋by ＋4＝0即直线l 1：x －y ＋4＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，b ＝－1，解得a ＝12，b ＝－1.此时B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2－10，同理可得l 2的方程为2y －x ＋4＝0，即x －2y －4＝0.6．曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求M 的逆矩阵．解析： (1)设P (x ，y )为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′y ＝bx ′＋y ′， 代入得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1，即(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b )x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1， 又方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝12a －4b ＝4，a 2－2＝2解得a ＝2，b ＝0.(2)因为|M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1≠0， 故M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 －2101 11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.7．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)、Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)、Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由．解析： (1)假设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2，所以所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12. (2)变换矩阵A 是可逆的．设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25，故变换矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25 －1515 25.8．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74.(1)求A 的特征值λ1，λ2和特征向量α1，α2；(2)计算A 5α的值．【解析方法代码108001166】解析： (1)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，由f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，解得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， 当λ2＝3时，解得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (2)由α＝m α1＋n α2得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.则A 5α＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.。

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，则“a ＝b ”是“sin A ＝sin B ”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 若a ＝b ，由正弦定理得sin A ＝sin B ．反过来，若sin A ＝sin B ，则A ＝B 或A ＋B ＝180°，而A ＋B ＝180°不合题意，从而只有A ＝B 成立，所以a ＝b .故选A.答案： A2．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a ＞b ”与“a ＋c ＞b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析： 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．答案： D3．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当k ＝1时，圆心到直线的距离d ＝|k |2＝22＜1.此时直线与圆相交，所以充分性成立．反之，当直线与圆相交时，d ＝|k |2＜1，|k |＜2，不一定k ＝1，所以必要性不成立，故选A.答案： A4．有下列命题：( )①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0”的逆命题；③“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析： ①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．答案： B5．A ＝{x ||x －1|≥1，x ∈R }，B ＝{x |log 2x ＞1，x ∈R }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件解析： 由已知得A ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，B ＝(2，＋∞)，若“x ∈B ”，则必有“x ∈A ”，反之不成立，即得“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要非充分条件，故选B.答案： B6．(2010·海口模拟)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12＜2x ＜8，B ＝{x ∈R |－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．－2＜m ＜2解析： A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12＜2x ＜8＝{x |－1＜x ＜3} ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A∴A B∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案： C二、填空题7．e 1、e 2是不共线的两个向量，a ＝e 1＋k e 2，b ＝k e 1＋e 2，则a ∥b 的充要条件是实数k ＝________.解析： a ＝λb ，⎩⎪⎨⎪⎧1＝kλk ＝λ⇒k 2＝1⇒k ＝±1. 答案： ±18．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析： 原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m 2＞n 2，则m ＞－n ”也是假命题，从而否命题也是假命题．答案： 39．给定下列命题：①若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根；②“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．解析： ①∵当k ＞0时，Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0，∴①是真命题．②否命题：“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”是真命题．③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④否命题：“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”是真命题．答案： ①②④三、解答题10．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若a >b ，则ac 2>bc 2；(2)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中b 2－4ac ＜0，则该二次函数图象与x 轴有公共点． 解析： (1)逆命题：若ac 2>bc 2，则a >b ；否命题：若a ≤b ，则ac 2≤bc 2；逆否命题：若ac 2≤bc 2，则a ≤b .(2)逆命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点，则b 2－4ac ＜0.否命题：若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中b 2－4ac ≥0，则该二次函数图象与x 轴没有公共点；逆否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴没有公共点，则b 2－4ac ≥0.11．指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)对于实数x 、y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6；(2)非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B .解析： (1)易知，¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ⇒/ ¬q ，即¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．12．p ：－2＜m ＜0,0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．解析： 若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1，有0＜x 1＋x 2＜2，且0＜x 1x 2＜1.根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜－m ＜2，0＜n ＜1， 即－2＜m ＜0,0＜n ＜1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12＜0，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以p ⇒/ q ，综上所述，p 是q 的必要不充分条件．。