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昆明理工大学 2015级 试卷( A 卷 )考试科目： 线性代数 考试日期： 命题教师：集体命题 一、 填空题（每小题4分，共40分）1. 已知A 为3阶方阵，且2A =-，则12A -= ；2．已知200300020,030002003A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- =- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1=-A B ； 3. 已知1121A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A = ；4. 设向量123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,)T T T t ααα= = =线性相关，则 t =；5. 如果n 维向量组含有1n +个向量，则该向量组的线性关系为__________；6. 设A 为34⨯阶的矩阵，且A 的行向量组线性无关，则()A r =__________；7. 已知n 元非齐次线性方程组Ax=b 有唯一解，则()A,b =r _________；8. 设A 为正交矩阵，且0A <，则A =__________；9. 设1010005t t ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵，则t 的取值范围是 ；10.设112 -，，是3阶方阵A 的特征值，则23A E -= .11（8分）、计算4阶行列式 40123210342403110D -=---.12（14分）、已知向量组A ： 123421234,1,3,52012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求向量组A 的秩；（2）求一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.13（8分）、已知12325221,3134343A =B = ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 求矩阵X 使得AX B =.14（12分）、设线性方程组123123123+ 11x x x aax x x x x ax +=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩，证明：（1）当1a ≠时方程组有唯一解，并求唯一解； (2) 当1a =时方程组有无穷多解，并求通解.15(4分)、设向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关. 证明向量1α可由23,αα线性表示.。
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
1习题4.1（线性方程组解的结构）一、下列齐次线性方程组是否有非零解？分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ⇔=⇔<；仅有零解0()A R A n ⇔≠⇔=（1）123412341234123442020372031260x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎪⎨++-=⎪⎪--+=⎩ ；解：11421112317213126A ----=---213241311420054045402168r r r r r r ---=-------21054054544544004016821682168r r -=---=-=-≠--------仅有零解。
（2）12451234123453020426340x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎨⎪-++-=⎩ .分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ⇔≤；仅有零解()R A n ⇔= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。
二、求齐次线性方程组12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩的一个基础解系。
解：322112314123512110121101201036130004000010051015000400000r r r r r r r r r A --------=--→-→--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以原方程组等价于1243200x x x x +-=⎧⎨=⎩（24,x x 可取任意实数）原方程组的通解为1122134220x k k x k xx k =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,k k R ∈）2改写为11221211123422222101000000001x k k k k x k k x k k x x k k -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k R ∈）因此齐次线性方程组的基础解系为1221100001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且()12345Tη=，()231234Tηη=+, 求该方程组的通解。
2011-2012线性代数期末模拟试卷(一)一、判断（每小题1分，共10分）1、若.,,O B O A O AB =≠=则必有且（ ）2、222()AB A B =必成立. （ ）3、齐次线性方程组0m n A x ⨯=只有零解⇔()R A n =.（ ）4、A, B 均可逆，则AB 可逆. （ ）5、设A ，B ，C ，D 都是n 阶方阵，且ABCD=E, 则一定有CDAB=E. ( )6、5级排列41253是一个奇排列.（ ）7、A 为任意的m n ⨯矩阵, 则A T A, AA T 都是对称矩阵.（ ）8、对向量1234,,,αααα都线性无关，则123,,ααα线性无关. ( )9、A 为n 阶方阵，k 为常数，则||||kA k A =. ( )10、n 矩阵A 有n 个互不相同的特征值，则A 相似于对角矩阵. ( )二、填空题（每小题2分，共20分）1、设 1 0 00 2 00 0 3A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= .2、设2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为二阶单位阵，且满足2BA B E =+则B = .3、设34004-30000200022A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则2A = . 4、方阵A 满足220A A E --=，则1A -= . 5、若矩阵A 与B 等价，且()3R A =，则()R B = .6、已知向量组()11,2,1α=- ，()22,0,t α= ，()30,4,5α=- 的秩为2，则t = .7、向量空间V 的维数为m ，则V 中任意1m +个向量121,,...,m ααα+必线性 . 8、设四元非齐次线性方程组AX b = 的系数矩阵A 的秩为3，且已知它的两个解为12(1,1,2,1)T ηη-=- ，则对应齐次方程0AX = 的通解为X = .9、两向量()()121,6,,0,1,3t αα==-正交的条件是t = .10、已知三阶方阵A 的特征值为1,2,3,则3257A A A -+= .三、单项选择（每题1分，共10分）1..若=---=322212332313323122211211333231232221131211,1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则( ). )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0.2．设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则一定有( )．()();)B (;)A (n A R m A R ==()().)D (;)C (m A R n A R m ≤≤≤ 3. 下列结论错误的是( ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合;)B ( 若向量321,,ααα线性无关，则21,αα线性无关；)C ( n 阶方阵A 与对角阵相似是A 有n 个不同的特征值的必要条件;)D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解.4. 设矩阵n m A ⨯的秩n m A R <=)(，下述结论中正确的是 .)(A A 的任意m 个列向量必线性无关； )(B A 的任意一个m 阶子式不等于零；)(C 齐次线性方程组Ax b =只有零解； )(D 非齐次线性方程组0Ax =必有无穷多解.5. n 阶矩阵C B A ,,满足,E ABC =则下列各式中成立的是 .)(A E BCA D E BAC C E CBA B E ACB ====)(;)(;)(;6．设矩阵142242A ab a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦2 12 的秩为2，则 （A ）0,0==b a ； （B ）0,0≠=b a ； （C ）0,0=≠b a ； （D ）0,0≠≠b a .7. B A ,均为n 阶方阵，则下列结论中 成立．（A ）,0=AB 则,O A =或O B =； （B ） ,0=AB 则,0=A 或0=B ；（C ）,O AB =则,O A =或O B =； （D ）,O AB ≠则,0≠A 或0≠B ．四*、（10分）1、求行列式1222222222322224A =的值.2*、(10分)设向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--，问：（1）参数t 取何值时，123,,ααα线性相关？ （2）t 取何值时123,,ααα线性无关？求出一个极大无关组。
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
昆明理工大学高等教育试卷（ 2009 /2010 学年 上 学期）线性代数（A ）专业年级： 学号： 姓名：试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．行列式543432321的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-12．设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则必有（ ） A ．ACB=E B ．CBA=E C ．BAC=ED ．BCA=E3．设n 阶方阵A 中有n 2-n 个以上元素为零，则A 的值（ ） A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零D ．不能确定4．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-α=-α=-1x x 2x x x x 133221 有解的充分必要条件是α=（ ）A ．-1B ．-31C ．31 D ．15．设A 为m×n 矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b 有惟一解的充分必要条件是（ ） A ．m=nB ．Ax=0只有零解C ．向量b 可由A 的列向量组线性表出D ．A 的列向量组线性无关，而增广矩阵A 的列向量组线性相关6．设A 为3阶矩阵，A 的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．37．下列二次型中为规范形的是（ ）A ．-2221y y - B ．-2221y y + C ．-2321y y -D ．232221y 5y 3y ++8．已知A 是n 阶实对称矩阵，A 2=A ，秩（A ）=n ，则x T Ax 是（ ） A ．正定二次型 B ．负定二次型 C ．半正定二次型D ．不定二次型二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A。
m+n B. —(m+n） C. n-m D. m—n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D。
120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3。
设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6 B。
6C。
2 D. –24。
设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A。
A =0 B. B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
｜A|≠0时B=C5。
已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1 B。
2C。
3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则( ）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1(α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-βs）=0D。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs和不全为0の数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07。
设矩阵Aの秩为r，则A中( ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r—1阶子式全为0C。
《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A一、填空1.1256427825169454321111= 12 .2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1=-A 813=B ，则=||AB 1/2 .3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + .4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210110001A ，则=-1A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110120001 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ．6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34⨯矩阵,且2)(=A R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为)(111R k k ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ .9. 向量组,11011⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=α,02132⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=α,31103⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα .10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 .二、单项选择1..若=---+=--121203242,1122013z y x zyx则( A ))A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0.2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =．.1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A A A A3. 下列结论正确的是( A ) ．)A ( s ααα,,,21Λ线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值;)D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解.4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43211η，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+444432ηη，则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) .)A (;43214202⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--k )B ( ;43212101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--k )C (;22222101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--k )D (⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡43210123k .5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ）)A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ;)C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+.6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）)A ( A 与B 相似; )B (B A ≠，但0||=-B A ;)C ( B A =; )D (A 与B 不一定相似，但||||B A =.7. 设,,222111p Ap p Ap λλ==且,21λλ≠则以下结论正确的是（ B ）.)A (21p p +不一定是A 的一个特征向量; )B (21p p +一定不是A 的一个特征向量;)C (21p p +一定是A 的一个特征向量; )D (21p p +为零向量.三、k 为何值时,线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-++=-++=-+k x x x x x x x x x x x x x 4243214321421,6,322,1有解，并在有解时求通解.解: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=k k A 10105010021110110111010611113212111011⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3000501002*********20100501002111011011k k 当3-=k 时，方程组有解，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→00000501003101040001A ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-==443421534x x x x x x ， （12分） 通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10100534k X四、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100b b a A 的特征值之和为1，特征值之积为1-． (1) 求)0(,>b b a 的值； (2) 求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P 1.解 .1,011012==⇒⎩⎨⎧-=-=++b a b a ,001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A)1()1(0101102+-=---=-λλλλλλA E .1,1321-===∴λλλ当121==λλ时，,000000101101000101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-A E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴101,01021p p当13-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--101,0000101011010201013p A E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110001110P 取 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111AP P五、计算 111222111---=n nnn a a a a a a a a a D ΛM MM ΛΛ.11111)122211---++∑=n nnni i n a a a a a a a r r D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ（解101001)121112-----∑=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛnni i n a a a c c c c （11)1)(1-=--=∑n ni i a （六、设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，证明（1）123,,ααα线性无关；（2）令123,,P ααα=⎡⎤⎣⎦，求1P AP -. 证明 O k k k =++332211ααα (1)， O k k k A =++)(332211ααα 即O k k k =+++-)(3232211αααα(2) (2)-(1) O k k =+-⇒23112αα 因为21,αα线性无关，,031==∴k k 代入（1），得0,,2222=∴≠=k O O k ααΘ123,,ααα∴线性无关（2）1100011001P AP --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦《线性代数B 》2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷B一、填空1.设 8143701222226321|)(|||44-==⨯ij a A ,又ij A 是ij a 的代数余子式,则44434241A A A A +++=02 设A 、B 为3阶方阵，且,2||=A 8131=-B，则=-||1B A 1/6 .3. 设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A2E A - .4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200031011A ，则=-1A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10001101321 . 5．向量组1321,,,αααα线性 相 关．6．设A 是n m ⨯矩阵,r A R =)(,则齐次线性方程组O Ax =有非零解的充分必要条件是 nr <7.设A 是34⨯矩阵,且2)(=A R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为3，则A 有特征值 3 .9. 向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=7931,1813,1511321ααα的一个最大线性无关组为21,αα.10．属于方阵A 的不同特征值的特征向量一定 线性无关 . 二、单项选择1..若=---=322212332313323122211211333231232221131211,1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则( A ).)A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0.2．设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则一定有( D )．()();)B (;)A (n A R m A R ==()().)D (;)C (m A R n A R m ≤≤≤3. 下列结论错误的是( D ) ．)A ( s ααα,,,21Λ线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合;)B ( 若向量321,,ααα线性无关，则21,αα线性无关；)C ( n 阶方阵A 与对角阵相似是A 有n 个不同的特征值的必要条件;)D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解.4. 设矩阵n m A ⨯的秩n m A R <=)(，下述结论中正确的是 D .)(A A 的任意m 个列向量必线性无关； )(B A 的任意一个m 阶子式不等于零；)(C 齐次线性方程组0=Ax 只有零解； )(D 非齐次线性方程组b Ax =必有无穷多解.5. n 阶矩阵C B A ,,满足,E ABC =则下列各式中成立的是 D .)(A E BCA D E BAC C E CBA B E ACB ====)(;)(;)(;6．设矩阵142242A ab a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦2 12 的秩为2，则 C（A ）0,0==b a ； （B ）0,0≠=b a ； （C ）0,0=≠b a ； （D ）0,0≠≠b a . 7. B A ,均为n 阶方阵，则下列结论中 B 成立．（A ）,0=AB 则,O A =或O B =； （B ） ,0=AB 则,0=A 或0=B ； （C ）,O AB =则,O A =或O B =； （D ）,O AB ≠则,0≠A 或0≠B ． 三、k 为何值时，线性方程组有解．并在有解时求通解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-+++=++++.622,0323,154325432154321k x x x x x x x x x x x x x x 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=k A M M M 62210031123111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→k M M M 62210362210111111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→300000362210111111k M M M当,52)()(3<===B R A R k 时，所以有依赖于3个独立参数的无穷多解．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→300000362210251101k M M M得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+--+-=-++=55443354325431362225x x x x x x x x x x x x x x).,,(00032000650102100121321321R c c c c c c x ∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∴四、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101010101A , 求可逆矩阵P 与对角阵Λ,使得Λ=-AP P 1. 解 ),2)(1(11010101--=---=-λλλλλλλA E 2,1,0321===∴λλλ，进一步可求得相应的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101,010,101321p p p 。
