高斯平面直角坐标系的建立知识分享

高斯直角坐标系高斯直角坐标系是一种用于地图制图的坐标系，也被称为高斯-克吕格投影坐标系。

它是一种平面直角坐标系，用于将地球表面上的点映射到平面上。

在这个坐标系中，地球表面被划分成了许多小区域，每个小区域都有一个唯一的投影中心。

下面将对高斯直角坐标系进行详细介绍。

一、高斯直角坐标系的定义高斯直角坐标系是指在地球表面上建立一个平面直角坐标系，使得该平面上任意一点（x,y）与其所对应的经纬度（B,L）之间存在着确定的函数关系。

二、高斯直角坐标系的原理在高斯直角坐标系中，我们假设地球是一个椭球体，并将其投影到一个平面上。

这个平面可以看作是椭球体的切平面，即与椭球体相切的平面。

我们选择以某个点为中心进行投影，并规定该点处的投影正北方向与地理正北方向重合。

然后根据柏松定理和拉普拉斯方程式来计算每个点在该投影中所对应的坐标。

三、高斯直角坐标系的特点1. 高精度：高斯直角坐标系是一种高精度的坐标系，可以用于制图、导航和测量等领域。

2. 局部性：由于每个小区域都有一个唯一的投影中心，因此该坐标系具有局部性。

在同一小区域内，可以使用相同的投影参数进行计算。

3. 正交性：高斯直角坐标系是一种正交坐标系，即x轴和y轴互相垂直。

这个特点使得计算更加简单。

4. 投影形式多样：高斯直角坐标系有多种投影形式，可以根据不同需求选择不同的投影方式。

四、高斯直角坐标系的应用1. 地图制图：高斯直角坐标系是地图制图中常用的坐标系之一。

它可以将地球表面上的点映射到平面上，便于绘制地图。

2. 导航定位：在导航定位中，可以使用高斯直角坐标系来表示位置信息。

例如，在GPS导航系统中，可以通过将GPS信号转换为高斯-克吕格投影来实现位置定位。

3. 测量应用：在测量应用中，高斯直角坐标系可以用于计算距离、面积等。

例如，在土地测量中，可以使用高斯直角坐标系来计算土地面积。

五、总结高斯直角坐标系是一种常用的地图制图坐标系，具有高精度、局部性、正交性和投影形式多样等特点。

论述高斯平面直角坐标系的建立过程在数学的发展史上，高斯平面直角坐标系是一项极为重要的发明，它可以用于表示平面上的所有点，并且常常被广泛地应用于数学、物理、工程等各个领域。

但是，这一坐标系的建立并不是一蹴而就的，下面我们将分步骤来阐述高斯平面直角坐标系的建立过程。

第一步，建立一组直角坐标系高斯平面直角坐标系的建立首先要由一组直角坐标系起步。

这组直角坐标系一般都是由两条垂直于某一直线的直线构成的。

其中，垂直于直线的水平线被称为x轴，与之垂直的竖直线被称为y轴，而这条直线则被称为坐标轴。

在这个直角坐标系中，任何一个点都可以用(x,y)的形式表示出来，其中x是该点在x轴上的坐标，y是该点在y轴上的坐标。

第二步，确定x轴和y轴的正方向在确定了一组直角坐标系之后，我们还需要确定x轴和y轴的正方向。

这一般是由实际问题所决定的。

例如，对于地图上的坐标系来说，一般规定x轴为东向，y轴为北向；对于物理学中的坐标系来说，一般规定x轴为水平向右，y轴为竖直向上等等。

第三步，建立单位长度在坐标系中，我们还需要规定一个长度单位。

这个单位长度可以是任意的，但是为了便于使用，一般会选择某种已经定义好的度量单位。

例如，对于平面直角坐标系来说，我们可以选择米、厘米、英尺等等作为长度单位。

第四步，建立高斯平面直角坐标系在上述步骤完成之后，就可以建立起一组平面直角坐标系了。

但是，高斯平面直角坐标系还需要进行一些改进。

我们将建立一个平面，将平面上的每一个点对应于一个坐标(x,y)，并且每一个坐标对应于一个唯一的点。

这样，我们就可以用坐标的方式表示平面上的所有点，从而更方便地进行计算或研究。

以上就是高斯平面直角坐标系的建立过程。

要想使用这一坐标系，必须事先清楚地了解每一步的含义和作用。

这样，我们才能更好地应用高斯平面直角坐标系在实际问题中取得更好的结果。

完整版)平面直角坐标系知识点总结二、知识要点梳理知识点一：有序数对有序数对是由有顺序的两个数a与b组成的，记作(a，b)。

它通常用来表示物体的位置，其中，a与b的顺序不能随意交换，因为(a，b)与(b，a)的顺序不同，含义也不同。

知识点二：平面直角坐标系以及坐标的概念1.平面直角坐标系平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。

其中，水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

2.点的坐标点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法。

要想表示一个点的具体位置，需要用它的坐标来表示。

点的坐标由横坐标和纵坐标组成，记作A(a,b)，其中横坐标a 表示点到y轴的距离，纵坐标b表示点到x轴的距离。

知识点三：点坐标的特征1.四个象限内点坐标的特征平面直角坐标系将平面分成四个象限，分别为第一、二、三、四象限，按逆时针顺序排列。

这四个象限的点的坐标符号分别为（+，+）、（-，+）、（-，-）、（+，-）。

2.数轴上点坐标的特征x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）；y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)。

3.象限的角平分线上点坐标的特征象限的角平分线上的点的坐标通常是两个相同的数，如(1,1)、(-2,-2)等。

点的平移指的是在平面内将一个点沿着某个方向移动一定的距离后得到的新点。

设原点为O，点P的坐标为(x,y)，平移向量为(a,b)，则点P'的坐标为(x+a,y+b)。

其中，向量(a,b)表示从原点O到点P'的位移向量。

2）图形的平移：图形的平移指的是将整个图形沿着某个方向移动一定的距离后得到的新图形。

设原图形的每个顶点的坐标为(x,y)，平移向量为(a,b)，则新图形的每个顶点的坐标为(x+a,y+b)。

可以看出，图形的平移实际上就是将图形中的每个点都进行相同的平移操作。

要点诠释：在平移操作中，向量的概念是非常重要的。

高斯平面直角坐标系1. 引言高斯平面直角坐标系是一个二维坐标系统，常用于描述平面中的几何问题和物理量。

它由两个相交的轴线组成，分别称为横轴（x轴）和纵轴（y轴）。

本文将详细介绍高斯平面直角坐标系的基本概念、坐标表示和常用运算等内容。

2. 基本概念在高斯平面直角坐标系中，每个点都由一对有序实数（x, y）表示，其中x表示点在横轴上的位置，y表示点在纵轴上的位置。

点的位置由坐标确定，而坐标则由点决定。

坐标系中的原点（0，0）位于横轴和纵轴的交点处，并作为坐标的起始位置。

横轴和纵轴向右和向上的方向分别为正方向，向左和向下的方向为负方向。

3. 坐标表示在高斯平面直角坐标系中，坐标表示的一般形式为(x, y)，其中x和y分别表示点在横轴和纵轴上的位置。

例如，点A在横轴上的位置为2，纵轴上的位置为3，则点A的坐标表示为(2,3)。

4. 坐标运算在高斯平面直角坐标系中，可以进行一些基本的坐标运算，如求两点间距离、求两点的中点等。

4.1 两点间距离设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B之间的距离可以按照以下公式计算：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)4.2 两点的中点设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B的中点的坐标可以按照以下公式计算：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 25. 坐标系转换高斯平面直角坐标系可以与其他坐标系之间进行转换。

常见的坐标系转换包括直角坐标系到极坐标系的转换和直角坐标系到正交曲线坐标系的转换等。

5.1 直角坐标系到极坐标系的转换在直角坐标系中，点的坐标为(x, y)，转换为极坐标系的坐标(r, θ)可以按照以下公式计算：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)5.2 直角坐标系到正交曲线坐标系的转换在直角坐标系中，点的位置可以通过正交曲线坐标系的等值线图进行表示，转换公式如下：x = x(u, v)y = y(u, v)结论高斯平面直角坐标系是一个二维坐标系统，用于描述平面中的几何问题和物理量。

高斯平面直角坐标系横轴平面直角坐标系的13个知识点包括平面直角坐标系的定义、两条数轴分别置于水平位置与垂直位置、直角坐标系中点的坐标、象限、对称点、点的符号等等。

（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

（2）两条数轴分别放在水平边线与横向边线，价值观念右与向上的方向分别为两条数轴的也已方向。

水平的数轴叫作x轴或横轴，横向的数轴叫作y轴或纵轴，x轴y轴泛称为坐标轴，它们的公共原点o称作直角坐标系则的原点。

（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

（4）座标平面内的点与有序实数对一一对应。

存有序数对：存有顺序的两个数a与b 共同组成的数对，叫作存有序数对,记作(a,b)。

（5）关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。

（横同纵反）（6）关于y轴变成轴对称的点的座标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。

（斜反纵同）（7）关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。

（横纵皆反）（8）第一象限中的点的横坐标(x)大于0，纵坐标(y)大于0。

（9）第二象限中的点的横坐标(x)小于0，纵坐标(y)大于0。

（10）第三象限中的点的横坐标(x)大于0，纵坐标(y)大于0。

（11）第四象限中的点的横坐标(x)大于0，纵坐标(y)小于0。

（12）x轴上的点，纵坐标都为0。

（13）y轴上的点，横坐标都为0。

论述高斯平面直角坐标系的建立过程
高斯平面直角坐标系是一种常用的坐标系，它是由德国数学家高斯在18世纪末和19世纪初所创立的。

高斯平面直角坐标系的建立过程可以分为以下几个阶段：
1. 坐标系的基本概念
在建立坐标系之前，必须先了解坐标系的基本概念。

坐标系是由两条互相垂直的坐标轴组成的一组直角坐标系。

在高斯平面直角坐标系中，通常选择x轴和y轴作为坐标轴。

2. 坐标系的建立
高斯平面直角坐标系的建立是通过指定一个原点和两条互相垂
直的坐标轴来实现的。

在高斯平面直角坐标系中，通常将原点设为坐标轴的交点O。

3. 坐标系的单位
在高斯平面直角坐标系中，通常使用米或厘米作为长度单位，使用弧度或度作为角度单位。

这些单位的选择取决于所研究的问题的特性。

4. 坐标系的转换
在实际的问题中，有时需要将高斯平面直角坐标系转换为其它坐标系，例如极坐标系或三维坐标系。

转换坐标系需要使用数学工具，例如三角函数、矩阵乘法等。

总之，高斯平面直角坐标系的建立过程是一个逐步深入的过程，需要对数学知识的应用和理解。

通过对高斯平面直角坐标系的深入研
究和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。

第八章高斯平面直角坐标§1 正形投影的基本公式一、地图投影的概念1.投影的必要性及其方法①投影的必要性：测量工作的根本任务，是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。

因：1）椭球面上计算复杂；2）地图是画在平面图纸上，故，有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。

②投影的方法：按一定的数学法则，得到如下的解析关系（函数关系）x＝F1(B，L)y＝F2(B，L)式中B，L——椭球面上的大地坐标x，y——投影平面上的直角坐标按高斯投影方法得到的平面直角坐标x，y叫高斯平面直角坐标。

2.投影的分类椭球面是不可展开的曲面（圆柱，圆锥面是可展开曲面）。

若展开成平面，必产生变形。

投影按变形的性质可分为：等距离投影━投影后地面点见的距离不变等面积投影━保证投影后面积不变等角投影━投影后微分范围的形状相似3.测量采用的投影测量工作从计算和测图考虑，采用等角投影（又称正形投影、保角投影）。

其便利在于：1）可把椭球面上的角度，不加改正地转换到平面上。

（注：椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。

为实用，需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向，称方向改化。

方向改化是在平面上为实用而做的工作，非投影工作。

且：①改化小，公式简单；②只在等级控制改化，图根控制、测图不顾及）2）因微分范围内投影前后图形相似，则大比例尺图的图形与实地完全相似，应用方便。

二、正形投影1.正形投影的特性有微分三角形如图：对于保角投影：A′＝A；B′＝B；C′＝C所以长度比 cc b b a a md d d d d d '='='=故，正形投影在一个点（微分范围）上，各方向长度比相同。

即投影后保持图形相似。

例如下图，对一个任意形状的微小图形，总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它，对于正形投影：m obb o oa a o =='='但上述特点只在微分范围内成立。

在广大范围内，投影前后图形保持相似是不可能的（否则意味着椭球面可以展开）。

数学平面直角坐标系的知识点漫长的学习生涯中, 是不是听到知识点, 就立刻清醒了？知识点也不一定都是文字, 数学的知识点除了定义, 同样重要的公式也可以理解为知识点。

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数学平面直角坐标系的知识点11.平面直角坐标系:（1）在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系, 通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴, 取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫纵轴或轴, 取向上的方向为正方向；两数轴的交点叫做坐标原点。

（2）建立了直角坐标系的平面叫坐标平面．x轴和y轴把坐标平面分成四个部分, 称为四个象限, 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限说明: 两条坐标轴不属于任何一个象限。

2.点的坐标:对于平面直角坐标系内任意一点P, 过点P分别向x轴和y轴作垂线, 垂足在x轴, y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标, 纵坐标, 有序数对（a, b）叫做P的坐标。

3.点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示, 反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点, 即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。

数学平面直角坐标系的知识点2一、平面解析几何的基本思想和主要问题平面解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科, 其基本思想就是用代数的方法研究几何问题。

例如, 用直线的方程可以研究直线的性质, 用两条直线的方程可以研究这两条直线的位置关系等。

平面解析几何研究的问题主要有两类：一是根据已知条件, 求出表示平面曲线的方程;二是通过方程, 研究平面曲线的性质。

二、直线坐标系和直角坐标系直线坐标系, 也就是数轴, 它有三个要素: 原点、度量单位和方向。

如果让一个实数与数轴上坐标为的点对应, 那么就可以在实数集与数轴上的点集之间建立一一对应关系。

点与实数对应, 则称点的坐标为, 记作, 如点坐标为, 则记作;点坐标为, 则记为。

空间数据的地理参照系和控制基础4、高斯—克吕格投影高斯—克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影。

它是将一椭圆柱横切于地球椭球体上，该椭圆柱面与椭球体表面的切线为一经线，投影中将其称为中央经线，然后根据一定的约束条件即投影条件，将中央经线两侧规定范围内的点投影到椭圆柱面上，从而得到点的高斯投影(图3-2-5)。

将一球椭球体地球装在椭圆柱内上下切点为中央经线。

高斯投影的条件为：(1)中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对称轴；(2)等角投影；(3)中央经线上没有长度变形。

根据高斯投影的条件推导出的高斯—克吕格投影的计算公式为：式中：X、Y为点的平面直角坐标系的纵、横坐标；φ、λ为点的地理坐标，以弧度计，λ从中央经线起算；S为由赤道至纬度φ处的子午线弧长；N为纬度φ处的卯酉圈曲率半径；其中η为地球的第二偏心率，a、b则分别为地球椭球体的长短半轴。

高斯投影由于是等角投影，故没有角度变形，其沿任意方向的长度比都相等，其面积变形是长度的两倍。

对高斯—克吕格投影长度变形的研究可以依下述长度比表达式进行：由该长度比公式可以分析出高斯投影变形具有以下特点：(1)中央经线上无变形；(2)同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大；(3)同一条经线上，纬度越低，变形越大；由此可见，高斯投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处，为了控制变形，我国地形图采用分带方法，即将地球按一定间隔的经差(6°或3°)划分为若干相互不重叠的投影带，各带分别投影。

1：2.5万至1：50万的地形图均采用6°分带方案，即从格林尼治零度经线起算，每6°为一个投影带，全球共分为60个投影带。

我国领土位于东经72°到136°之间，共包括11个投影带(13带～22带)。

1：1万及更大比例尺地形图采用3°分带方案，全球共分为120个投影带。

图3—4给出了高斯投影的6°带和3°带分带方案。

高斯-克吕格投影大地坐标系是大地测量的基本坐标系。

常用于大地问题的细算，研究地球形状和大小，编制地图，火箭和卫星发射及军事方面的定位及运算，若将其直接用于工程建设规划、设计、施工等很不方便。

所以要将球面上的大地坐标按一定数学法则归算到平面上，即采用地图投影的理论绘制地形图，才能用于规划建设。

高斯克吕格平面直角坐标系是投影坐标系的一种，根据我国的地理情况，为建立地形图的测量控制和城市、矿山等区域性的测量控制，早在1952年决定，采用高斯克吕格平面直角坐标系。

重点：1 高斯投影概念、投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系2 高斯平面直角坐标系的建立3坐标方位角的定义、性质与反算难点：l 投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系2 坐标方位角的定义、性质与反算1 高斯—克吕格投影的形成1.1为什么要投影⏹参考椭球面是不可展曲面⏹不便于地图的制作、使用和保管⏹不便于地图应用中的计算1.2 什么是投影⏹按一定的数学法则将参考椭球面上的点、线、图形化算到平面上的过程。

1.3 投影变形⏹长度变形、角度变形、面积变形1.4 地图投影的种类⏹按投影面：方位投影, 圆锥投影, 圆柱投影⏹按投影变形：等角投影等积投影任意投影（等距投影）⏹按投影面与参考椭球的位置关系：⏹切、割横、纵、斜1.5 地图投影的选择⏹依国土的位置、形状和地图的用途选择投影方式。

⏹我国基本比例尺地形图投影选择标准:⏹投影后保持角度不变⏹长度变形不能超过一定限度⏹小范围内图形保持相似2 高斯投影(等角横切椭圆柱投影）2.1 高斯投影的基本概念地球是椭球面，是不可展曲面，无论如何选择投影函数，椭球面上的元素，投影到平面上，都会产生变形（角度、长度、面积）。

高斯是德国杰出的数学家、测量学家。

他提出的横椭圆柱投影是一种正形投影。

它是将一个横椭圆柱套在地球椭球体上，如下图所示：椭球体中心O在椭圆柱中心轴上，椭球体南北极与椭圆柱相切，并使某一子午线与椭圆柱相切。