排列组合公式详解(公务员)

【分享】排列组合基础知识及习题分析如果认为本帖有价值请点一下已有15人推荐看过以后觉得好请顶帖！在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1） C6取2＝（6×5）/（2×1）通过这2个例子看出CM取N 公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。

以取值N的阶层作为分母P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1通过这2个例子PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N＝M时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：1．有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.*****************************************************************************提供10道习题供大家练习1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ）(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个------------------------------------------------------【解析】根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可见最大的边是11则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时是两边之和最大的时候因此我们以一条边的长度开始分析如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。

排列组合1、排列：从N不同元素中，任取M个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。

2、组合：从N个不同元素中取出M个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合（不考虑元素顺序）3、分步计数原理（也称乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。

4、分类计数原理：完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ mn种不同的方法。

思路：1．首先明确任务的意义2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑题型一、排队（使用捆绑与插空思维）：七个同学排成一横排照相：（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种第一步先让六个人排好：6*5*4*3*2*1=720第二步：让甲自由选择中间的空挡5个中的一个，共有5中选法所以：720*5=3600（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？第一步：确定乙在哪个位置排头排尾选其一C2取1＝2第二步：剩下的6个人满足P原则P66＝720总数是720×2＝1440（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？3120“坐板凳”：先让甲乙做好的方法有：5+4+4++4+4+5=26其他人：排序坐：5*4*3*2=12026×120 = 3120（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？甲乙看成一个元素，排列6*5*4*3*2=720甲乙相邻有两种选择，2720*2=1440（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）一共是7个位置，甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。

国家公务员考试常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式：（a＋b）³（a－b）＝a2－b22. 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b23. 同底数幂相乘: am³an＝am＋n（m、n为正整数，a≠0）同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、n为正整数，a≠0）a0＝1（a≠0）a-p＝（a≠0，p为正整数）4. 等差数列：（1）sn ＝；（2）an＝a1＋（n－1）³d；（3）n ＝＋1（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和）5. 等比数列：（1）an＝a1²q n－1；（2）sn ＝（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和）二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；直角三角形：有一个角为90度的三角形，就是直角三角形。

直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；（5）直角三角形中，c2＝a2＋b2（其中：a、b为两直角边长，c为斜边长）；（6）直角三角形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线；直角三角形的判定：（1）有一个角为90°；（2）边上的中线等于这条边长的一半；（3）若c2＝a2＋b2，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形；2. 面积公式：正方形＝边长³边长；长方形＝长³宽；三角形＝³底³高；梯形＝；正方体＝6³边长³边长长方体＝2³（长³宽＋宽³高＋长³高）；圆柱体＝2πr2＋2πrh；3. 体积公式正方体＝边长³边长³边长；长方形＝长³宽³高；圆柱体＝底面积³高＝Sh＝πr2h4. 与圆有关的公式设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：（1）d﹤r：点在圆内（即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合）；（2）d＝r：点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）；（3）d﹥r：点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）；线与圆的位置关系的性质和判定：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么：（1）直线与⊙O相交：d﹤r；（2）直线与⊙O相切：d＝r；（3）直线与⊙O相离：d﹥r；圆与圆的位置关系的性质和判定：设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：（1）两圆外离：；（2）两圆外切：；（3）两圆相交：（）；（4）两圆内切：（）；（5）两圆内含：（）．圆周长公式：C＝2πR＝πd （其中R为圆半径，d为圆直径，π≈3.1415926）；的圆心角所对的弧长的计算公式：＝；扇形的面积：（1）S扇＝πR2；（2）S扇＝R；若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧＝πr；圆锥的体积：V＝Sh＝πr2h。

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。

－－泰戈尔数学运算之排列组合专题基本知识点回顾：1、排列：从N不同元素中，任取M个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。

2、组合：从N个不同元素中取出M个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合（不考虑元素顺序）3、分步计数原理（也称乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。

4、分类计数原理：完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ mn种不同的方法。

一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同[例题分析]排列组合思维方法选讲1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。

公务员考试行测排列组合基本计数原理在各省公务员行测考试中，数量关系是每年都会考察的内容。

这一部分涉及到的内容、题型和知识点都非常繁多，是大家一直比较头痛的部分。

其中，排列组合的相关题目，可能是大家复习当中的难点。

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排列组合基本计数原理排列组合的基本计数原理有两个，加法原理和乘法原理。

下面让我们逐一进行解释：加法原理即分类时采用的计数方法。

也就是说，当完成一件事情，分成几类情况时，把每一类的情况数计算或枚举出来，那么总的情况数，就是所有类的情况数相加。

乘法原理即分步时采用的计数方法。

也就是说，当完成一件事情，分成先后几步时，把每一步的情况数计算或枚举出来，那么总的情况数，就是所有步的情况数相加乘。

那么，何为分类，何为分步?让我们来举例说明。

如果从北京到上海，那么坐飞机可以，坐高铁可以，坐汽车可以，自驾也行，此时称为分类;如果坐飞机有3个航班合适，坐高铁有4趟高铁合适，坐汽车有2趟都行，自驾游也有1种路线，那么从北京到上海，所有的方法数就是3+4+2+1=10种方法。

如果从北京到上海，上海到广州，广州再回北京，整个的行程按顺序分成了3个步骤，此时即为分步;如果从北京到上海有3种方法，上海到广州到4条路线，广州再回北京也有2种方案，那么整个行程，所有的方法数就是3×4×2=24种方法。

我们发现分类与分步，一定是不同的、有区别的，它们的区别就在于：能否独立完成此事。

第一个例子中，想从北京到上海，飞机、高铁、汽车、自驾，这4类方案，都可以完成这个行程，即分类当中的每一类，都可以独立完成整个事情。

第二个例子中，北京到上海，上海到广州，广州再回北京，这是完成整个行程的3步，单独拿出任何一步来，比如上海到广州，这1步，并不意味着整个行程就完成了，即分步当中的任何一步，都不能独立完成此事。

下面来看一个例题，加深对于分类分步的理解：例题：某人乘车从家直接到艺术中心有3条路线可选;从家到体育场有4条路线可选，从体育场到艺术中心有2条路线可选，则他从家到艺术中心共有几种不同的路线?通过阅读题目，我们可以发现，题目所求的从家到艺术中心，可以分成两类情况：要么直接到;要么从体育场中转换乘间接到。

排列：由上面两道题入手：排列就是从p中选出k个元素出来进行排列A（p，k）就是p递减相乘，直到第k个数，p*(p-1)*(p-2)……例如说A(3,2)=3*2 A(100,99)=100*99**98*97*……*2A（7，4）=7*6*5*4 A（7，2）=7*6，比较好理解吧？我们用下面两道题进行练习：组合：同样，我们还是以题目来引入Eg：从三个同学中选出两个来参加乒乓球赛，有多少种选择呢？可以是这样：ab ac bc一共有三种所以我们可以得出这样的结论：组合就是从p个元素中选出k个出来，但是不需要进行排列！而具体计算是怎样的呢？C（5，1）=5/1=5 C（8，2）=8*7/（2*1）C（8，6）=（8*7*6*5*4*3）/（6*5*4*3*2*1）我们以下面习题来练习：而且还有一个小公式：也就是c（8，1）=c(8,7) c(11,3)=c(11,8) 这样的话我们在计算的时候就可以简化很多了，例如c（9，8）如果按照常规的话就得计算得很长了，通过上面那个小公式我们就可以知道C（9，8）=c（9，1）=9习题：插板法：简单点说就是相同的一堆东西在那里，放在那里（形成n-1个空），我们通过插一块板，两块板，三块板，四块板……一直到n-1块板（n是这堆东西的个数，比如说一堆苹果有2个，那么我们最多只能放一块板进去把他分成两堆）插板法的前提是每堆至少一个，那么假如没有说要每堆至少一个呢？（我们可以自己构造，等一下会讲到）Eg：将十台电脑分给三个学校，每个学校至少一台，试问有多少分法呢？要分成三堆，那么就要放进去两块板，而十台电脑一共构成了多少个空呢？9个所以就是c（9，2）易错题：有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.很多人可能会直接用c（7，2）来做吧？但是这道题，并没有告诉我们说每个盒子至少要分到一个球啊？这个时候我们可以来构造成“至少一个”，我们往这八个球再加多三个进去，等一下分成“每堆至少有一个了”，在分好之后我们在各堆抽出一个出来，就行了，这个时候就符合了插板法了，c（10，2）=45还有一种题是这样的：往编号为123这三个盒子放15个球，要求每个球的个数不能少于盒子的编号，这样的题同样我们也是可以通过构造插板法来做，首先我们往这三个盒子里面放进去0 1 2个球，那么再加上等一下每个盒子至少一个球，就绝对会超过他们编号数，这样插板法不是又构造出来了吗？c（11，2）二项式定理：为什么要讲到这个呢？跟我们接下来的一道题有关，上面这个公式我们观察发现假如我们把a设定为1，b也设定为1的话，那么（a+b）^N=2^N=c（n，0）+c（n，1）……+c（n，n）就是这道题：有10粒苹果，每天至少吃一粒，有几种吃法？每天至少一粒，我们还是用插板法来做，十个苹果有九个空，假如是一天吃完的话那就是插进去0块板，两天吃完的话就是插进去1块板……知道分十天吃完插进去九块板那么就是c（9,0）+c（9,1）+c(9,2)+c(9,3)……C(9,9)=2^9以下是一些真题以及其他习题：1. 某单位有三名职工和六名实习生需要被分配到ABC三个地区进行锻炼，每个地区分配一名职工和二名实习生，刚不同的分配方案有多少种？解析：职工到不同地方A(3,3)，然后三个地区每个地区选两人则是c（6，2）c（4，2）c （2，2），所以结果就是A(3,3)*(C6,2)*C(4,2)，因为c（2，2）这里等于1，写不写都无所谓2. 某单位今年新进了3个工作人员，可以分到3个不同的部门，但是每个部门最多只能接收两个人，问，共有几种不同的分配方案？解析：这道的话我们用极端的方法来做，题目说到最多只能接收2个人，本来如果不限制说只能接受最多两个人的话，每个人的选择都是3，那么一共有3*3*3=27中组合，我们再减去3个人都在同一个部门的情况（有三种），那剩下的就是最多两个人咯，所以是27-3=24 3. 5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法? （曾经做错过的题）解析：刚才我们上面学习了插板法，大家理解一些，这里用的这一种叫插空法，五个男在站在那里，那么形成的空加上旁边的空一共有6个，下面图示男男男男男那么四个女生只需要逐个往着六个逐渐站进去就行了，第一个女生站进去的时候有6个选择（当这个女生站进去了之后，空就成了7个了），同意，依次7 8 9所以最终答案就是6*7*8*9也可以换一种思路，就是这九个人同时在那里排列，有A（9，9），而五个男生排列有A(5,5)而且从高到低只有一种，所以A(9,9)/ A(5,5)等一下也是9*8*7*6 （类似题）一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？（08国考）A.20B.12C.6D.44.厨师从12种主料中挑出2种，从13种配料中挑选出3种来烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多可以做出多少道（09国考）不一样的菜肴A.131204B.132132C.130468D.133456解析：c12 2*c13 3*7=6*11*13*2*11*7尾数是2，直接选b，或者看哪一个数能被3整除也是选b6.有6个不同的徽章分给4个人有几种分法？有6个相同的徽章分给4个人有几种分法？解析：1.因为这里徽章是不同的，那么相对于徽章来说，他们的选择对象都是四个，所以就是4*4*4*4*4*4=4^62.这里徽章是相同的，但是因为构不成插板法的条件（插板法的条件是个体一样，而且最少一个），所以我们在这里要构造出插板法的条件出来，也就是说先加4个，然后每人至少一个，等一下分好后再拿掉四个，所以呢就是c9 37. 10个人坐成一个圆圈，问不同坐法有多少种？解析：一开始我们这样看，别看成圆圈的，假如十个人做成一排一共有多少种排列呢？a10 10，这里被坐成圆圈了，所以等一下有十种情况重复了，所以结果要除以10a10 10/10=a9 9或者这样看，我们先固定住一人，剩下九人相对于这个人来进行排列，也就是a9 98.用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，但要求1排在2前面，求符合要求的九位数的个数。

排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关(P和A是一个意思)组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

全国最专业、最权威公考培训机构公务员考试中数学运算的基本公式及定理一 基本运算定律及公式加法交换律： a+b=b+a加法结合律： （a+b ） +c=a+（b+c ） 乘法交换律： ab=ba乘法结合律： （ab ） c=a （bc ）乘法分配律： （a+b ） c=ac+bc 乘方运算律： a pap， a 01（a 0）；a mn (a m )n (a n )m ； (a )n a n（ a 0 ，b 0）； (ab)m a m b m ；nma na 2b 2 (a b)(a b) a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 )(a b)2 a 2 2ab b 2(a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3二 常见代数公式1．一元二次方程根与系数的关系 （韦达定理）：设 x 1,x 2 是方程 ax 2bx c 0（a 0）的两个根，则 x 1x2， x x 。

2．不等式的性质及应用：不等式的性质：a m n a m a n ； a m 平方差公式：立方和（差）公式：则 ac>bd ， ；完全立方公式：1（4） 若 a>b ，c>0，则 ac>bc， ；若 a>b ，c<0，则 ac<bc ， ；若 a>b>0，c>d>0， 1 2c a b a b b n（1）若a-b>0，则 a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则 a<b。

（2）若a c，c b，则a b。

（传递性）（3）若a b，则a±c b±c；若a≥b，c≥d，则a+c≥b+d，a-d≥b-c；（可加性）a b a bc c c ca bd c（5）若a>b>0，则a n＞b n （n>1）；若a>b>0，则n a＞n b （n>1）。

重要不等式：全国最专业、最权威公考培训机构（1） a 0,b 0 ，a b2 ab （当且仅当 a b 时，等号成立）。

行测常用数学公式1.平方差公式：a ＋b ·a －b ＝a 2－b 22.完全平方公式：a±b 2＝a 2±2ab ＋b 23.完全立方公式：a ±b 3=a±b a 2 ab+b 24.立方和差公式：a 3+b 3=a ±ba 2+ ab+b 2n m ＋n m n m －n a mn =a mn ab n =a n ·b n（1）s n ＝2)(1n a a n +⨯＝na 1+21nn-1d ；（2）a n ＝a 1＋n －1d ； 3项数n ＝da a n 1-＋1； 4若a,A,b 成等差数列,则：2A ＝a+b ； 5若m+n=k+i,则：a m +a n =a k +a i ；6前n 个奇数：1,3,5,7,9,…2n —1之和为n 2其中：n 为项数,a 1为首项,a n 为末项,d 为公差,s n 为等差数列前n 项的和1a n ＝a 1q n －1；2s n ＝qq a n -11 ·1）－（q ≠13若a,G,b 成等比数列,则：G 2＝ab ； 4若m+n=k+i,则：a m ·a n =a k ·a i ； 5a m -a n =m-nd6nma a ＝q m-n 其中：n 为项数,a 1为首项,a n 为末项,q 为公比,s n 为等比数列前n 项的和1一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=ax-x 1x-x 2其中：x 1=a ac b b 242-+-；x 2=aac b b 242---b 2-4ac ≥0根与系数的关系：x 1+x 2=-a b,x 1·x 2=ac 推广：n n n x x x n x x x x ......21321≥++++（2）一阶导为零法：连续可导函数,在其内部取得最大值或最小值时,其导数为零; 5两项分母列项公式：)(a m m b +=m 1—a m +1×ab三项分母裂项公式：)2)((a m a m m b ++=)(1a m m +—)2)((1a m a m ++×a b21.勾股定理：a 2+b 2=c 2其中：a 、b 为直角边,c 为斜边2.面积公式：正方形＝2a 长方形＝b a ⨯三角形＝c ab ah sin 2121=梯形＝h b a )(21+ 圆形＝πR 2平行四边形＝ah 扇形＝360n πR 23.表面积：正方体＝62a 长方体＝)(2ac bc ab ++⨯圆柱体＝2πr 2＋2πrh 球的表面积＝4πR 2 4.体积公式正方体＝3a 长方体＝abc 圆柱体＝Sh ＝πr 2h 圆锥＝31πr 2h 球＝334R π 5.若圆锥的底面半径为r,母线长为l ,则它的侧面积：S 侧＝πr l ； 6.图形等比缩放型：一个几何图形,若其尺度变为原来的m 倍,则： 1.所有对应角度不发生变化； 2.所有对应长度变为原来的m 倍； 3.所有对应面积变为原来的m 2倍； 4.所有对应体积变为原来的m 3倍; 7.几何最值型：1.平面图形中,若周长一定,越接近与圆,面积越大;2.平面图形中,若面积一定,越接近于圆,周长越小;3.立体图形中,若表面积一定,越接近于球,体积越大;4.立体图形中,若体积一定,越接近于球,表面积越大;工作量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间； 工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和； 注：在解决实际问题时,常设最小公倍数（1）方阵问题：1.实心方阵：方阵总人数＝最外层每边人数2=外圈人数÷4+12=N 2 最外层人数＝最外层每边人数－1×42.空心方阵：方阵总人数＝最外层每边人数2-最外层每边人数-2×层数 2 ＝最外层每边人数-层数×层数×4=中空方阵的人数;★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人; 边行每边有a 人,则一共有Na-1人;4.实心长方阵：总人数=M ×N 外圈人数=2M+2N-45.方阵：总人数=N 2外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵,最外层有10人,问全阵有多少人解：10－3×3×4＝84人(2)排队型：假设队伍有N 人,A 排在第M 位；则其前面有M-1人,后面有N-M 人 (3)爬楼型：从地面爬到第N 层楼要爬N-1楼,从第N 层爬到第M 层要怕N M -层;1利润＝销售价卖出价－成本；利润率＝成本利润＝成本销售价－成本＝成本销售价－1；销售价＝成本×1＋利润率；成本＝＋利润率销售价1;2利息＝本金×利率×时期； 本金＝本利和÷1+利率×时期;本利和＝本金＋利息＝本金×1+利率×时期=期限利率）（本金+⨯1；月利率=年利率÷12；月利率×12=年利率;例：某人存款2400元,存期3年,月利率为10．2‰即月利1分零2毫,三年到期后,本利和共是多少元”∴2400×1+10．2％×36=2400×1．3672=3281．28元1排列公式：P m n ＝nn －1n －2…n－m ＋1,m≤n ;56737⨯⨯=A 2组合公式：C m n ＝P m n ÷P m m ＝规定0n C ＝1;12334535⨯⨯⨯⨯=c 3错位排列装错信封问题：D 1＝0,D 2＝1,D 3＝2,D 4＝9,D 5＝44,D 6＝265,4N 人排成一圈有N N A /N 种； N 枚珍珠串成一串有NN A /2种;关键是年龄差不变；①几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄 ②几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差1单边线形植树：棵数＝总长÷间隔＋1；总长=棵数-1×间隔 2单边环形植树：棵数＝总长÷间隔；总长=棵数×间隔 3单边楼间植树：棵数＝总长÷间隔－1；总长=棵数+1×间隔 4双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍;5剪绳问题：对折N 次,从中剪M 刀,则被剪成了2N ×M ＋1段1平均速度型：平均速度＝21212v v v v + 2相遇追及型：相遇问题：相遇距离=大速度+小速度×相遇时间 追及问题：追击距离=大速度—小速度×追及时间背离问题：背离距离=大速度+小速度×背离时间 3流水行船型：顺水速度＝船速＋水速；逆水速度＝船速－水速; 顺流行程=顺流速度×顺流时间=船速+水速×顺流时间 逆流行程=逆流速度×逆流时间=船速—水速×逆流时间 4火车过桥型：列车在桥上的时间＝桥长－车长÷列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝桥长＋车长÷列车速度 列车速度=桥长+车长÷过桥时间 （5）环形运动型：反向运动：环形周长=大速度+小速度×相遇时间 同向运动：环形周长=大速度—小速度×相遇时间 （6）扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数×1±人梯u u ,顺行用加、逆行用减 （7）队伍行进型：对头→队尾：队伍长度=u 人+u 队×时间 队尾→对头：队伍长度=u 人－u 队×时间 （8）典型行程模型： 等距离平均速度：21212u u u u u +=U 1、U 2分别代表往、返速度 等发车前后过车：核心公式：21212t t t t T +=,1212t t t t u u -+=人车 等间距同向反向：2121u u u u t t -+=反同 不间歇多次相遇：单岸型：2321s s s +=两岸型：213s s s -=s 表示两岸距离无动力顺水漂流：漂流所需时间=顺逆顺逆t t t t -2其中t 顺和t 逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间基本常识：①钟面上按“分针”分为60小格,时针的转速是分针的121,分针每小时可追及1211②时针与分针一昼夜重合22次,垂直44次,成180o 22次;③钟表一圈分成12格,时针每小时转一格300,分针每小时转12格3600 ④时针一昼夜转两圈7200,1小时转121圈300；分针一昼夜转24圈,1小时转1圈; ⑤钟面上每两格之间为300,时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况; 追及公式：00111T T T +=；T 为追及时间,T 0为静态时间假设时针不动,分针和时针达到条件要求的虚拟时间;⑴两集合标准型：满足条件I 的个数+满足条件II 的个数—两者都满足的个数=总个数—两者都不满足的个数⑵三集合标准型：C B A =C B A C A C B B A C B A +---++⑶三集和图标标数型：利用图形配合,标数解答1.特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别2.特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形3.标数时,注意由中间向外标记⑷三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为ABC,而至少满足三个条件之一的元素的总量为W;其中：满足一个条件的元素数量为x,满足两个条件的元素数量为y,满足三个条件的元素数量为z,可以得以下等式：①W=x+y+z②A+B+C=x+2y+3z核心公式：y=N—xT原有草量＝牛数－每天长草量×天数,其中：一般设每天长草量为XM代入,此时N代表注意：如果草场面积有区别,如“M头牛吃W亩草时”,N用W单位面积上的牛数;在整数范围内的+—×三种运算中,可以使用此法1.计算时,将计算过程中数字全部除以9,留其余数进行相同的计算;2.计算时如有数字不再0~8之间,通过加上或减去9或9的倍数达到0~8之间;3.将选项除以9留其余数,与上面计算结果对照,得到答案;例：11338×1.底数留个位2.指数末两位除以4留余数余数为0则看作4例题：的末尾数字解析→22→4注：只对除数为7的求余数有效 1.底数除以7留余数2.指数除以6留余数余数为0则看作6 例：除以7余数是多少解析→55→3125→33125÷7=446;;;3如果有一个量,每个周期后变为原来的A 倍,那么N 个周期后就是最开始的A N倍,一个周期前应该是当时的A1;=溶质÷溶液溶质=溶液×浓度溶液=溶质÷浓度⑵浓度分别为a%、b%的溶液,质量分别为M 、N,交换质量L 后浓度都变成c%,则①N M Nb M ac +⨯+⨯=%%%②NM MNL +=⑶混合稀释型①溶液倒出比例为a 的溶液,再加入相同的溶质,则浓度为原浓度次数⨯+)1(a ②溶液加入比例为a 的溶剂,在倒出相同的溶液,则浓度为原浓度次数⨯+)11(a调和平均数公式：21212a a a a a +=等价钱平均价格核心公式：21212p p p p p +=P 1、P 2分别代表之前两种东西的价格 等溶质增减溶质核心公式：313122r r r r r +=其中r 1、r 2、r 3分别代表连续变化的浓度核心公式：2121a a a a a +=核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期” 注意：n 的取值范围为整数,既可以是负值,也可以取零值;★星期推断：一年加1天；闰年再加1天;注意：星期每7天一循环；“隔N 天”指的是“每N+1天”;题核心提示：若一串事物以T为周期,且A÷T=N…a,那么第A项等同于第a项; 二十六、典型数列前N项和平方数底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 底数12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 平方144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 底数23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 平方529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089立方数底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 立方 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331多次方数次方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 20483 3 9 27 81 243 7294 4 16 64 256 10245 5 25 125 625 31256 6 36 216 1296 7776★1既不是质数也不是合数以内质数031093631671992.典型形似质数分解3.常用“非唯一”变换 ①数字0的变换:)0(00≠=N N②数字1的变换：)0()1(1120≠-===a a N N③特殊数字变换：244216==23684264===249381==281642256=== ④个位幂次数字：12424==13828==12939== 侧/底面高：a AD PD 23==侧/底面面积：243a 底面内切圆半径：a DO 63= 高：a PO 36=体积：3122a 截面ADP 面积：242a 底面外接圆半径：。

阶乘、排列、组合一、阶乘、排列、组合基础知识加法原理：做一件事，完成它可以有N 类加法，在第一类办法中有1M 种不同的方法，在第二类办法中有2M 种不同的方法，...，在第N 类办法中有n M 种不同的方法。

那么完成这件事共有n M M M N ++=21种不同的方法。

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一步有1M 种不同的方法，做第二步有2M 种不同的方法，...，做第N 步有n M 种不同的方法，那么完成这件事共有n M M M N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法。

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

阶乘：指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数。

123)2()1(!⨯⨯⋯-⨯-⨯=n n n n 或)!1(!-⨯=n n n （0！=1！） 例如所要求的数是4，则阶乘式是1×2×3×4，得到的积是24，24就是4的阶乘。

又如所要求的数是n ，则阶乘式是1×2×3×……×n ，设得到的积是x ，x 就是n 的阶乘。

排列：从n 个不同元素中，任取m （n m ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列数：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示（m n P 为旧用法）。

)!(!)1()1(m n m n n m n n n A -=+--= （n m N m n ≤∈*且,,） 恒等式：（1）1)1(-+-=m n m n A m n A ；（2）m n m n A mn n A 1--=；（3）11--=m n m n nA A ；（4）n n n n n n A A nA -=++11；（5）11-++=m nm n m n mA A A N 个不同元素全部取出的一个排列，叫做N 个不同元素的一个全排列，记作!n A n n =，自然数1到N 的连乘积，叫做N 的阶乘。