广东省湛江市普通高中2017_2018学年高二数学下学期3月月考试题04
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下学期高二数学3月月考试题04满分150分．时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为( ) A ．31y x =+ B ．3y x =- C ．31y x =-+D ．33y x =-【答案】B2．曲线233x x y +-=在点)2,1(处的切线方程为( )A ．53+=x yB ．53+-=x yC ．13-=x yD ．x y 2=【答案】C3．下列等于1的积分是( )A ．10xdx⎰B ．1(1)x dx +⎰C ．dx ⎰11D 【答案】C4．函数sin y x =在点( )A B C D ．1【答案】C5A B C D 【答案】B6．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f ’(x)，且函数f(x)在x=-1处取得极小值，则函数y=x f ’(x)的图象可能是( )【答案】C7．32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于( ) ABCD【答案】D8( )A ．2ln 2-B ．42ln 2-C ．4ln 2-D ．2ln 2【答案】B9．一物体在力,2,4320,0)(⎩⎨⎧>+≤≤=x x x x F (单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F(x)作的功为( ) A ．44 B ．46 C ．48 D ．50【答案】B10．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A11．曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( )ABC．1 【答案】A12面积是( ) A ．4 BCD ．π2【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是． 【答案】x －y －2=014．由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形面积为____________．15．已知)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f . 【答案】-416．抛物线21y x =+与直线3x y +=围成的平面图形的面积为三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=． ⑴求函数()f x 的解析式；⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有，求实数c 的最小值；⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围． 【答案】⑴()2323f x ax bx '=+-．根据题意，得()()12,10,f f =-⎧⎪⎨'=⎪⎩即32,3230,a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩解得10a b =⎧⎨=⎩所以()33f x x x =-．⑵令()0f x '=，即2330x -=．得1x =±．因为()12f -=，()12f =-，所以当[]2,2x ∈-时，()max 2f x =，()min 2f x =-． 则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ，都有，所以4c ≥．所以c 的最小值为4．⑶因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上，所以可设切点为()00,x y ．则30003y x x =-．因为()20033f x x '=-，所以切线的斜率为2033x -．则2033x -=即32002660x x m -++=．因为过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，所以方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解．所以函数()32266g x x x m =-++有三个不同的零点．则()2612g x x x '=-．令()0g x '=，则0x =或2x =．则()()0022g g >⎧⎪⎨<⎪⎩ ，即6020m m +>⎧⎨-+<⎩，解得62m -<<．18．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x ()01x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x .记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元）. (Ⅰ)写出y 与x 的函数关系式；(Ⅱ)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 【答案】 (Ⅰ)改进工艺后，每件产品的销售价为()201x +，月平均销售量为()21a x -件，则月平均利润()()2120115y a x x =-⋅+-⎡⎤⎣⎦（元）， ∴y 与x 的函数关系式为()235144y a x x x =+--()01x << .(Ⅱ)由()2542120y ax x '=--=得, 时0y '>；时0y '<， ∴函数()235144y a x x x =+--()01x <<在. 最大.19．定义在}0|{≠∈=x R x D 上的函数)(x f 满足两个条件：①对于任意D y x ∈、，都有；②曲线)(x f y =存在与直线01=++y x 平行的切线.(的曲线)(x f y =的切线的一般式方程； (Ⅱ）当),0(+∞∈x ，*∈N n 时，求证：22)()(-≥-n n n x f x f .【答案】（Ⅰ）令1==y x 得，2)1()1(2=-f f ，解得1)1(-=f 或2)1(=f .当1)1(-=f 时，令1=y得，，由1)(-='x f 得，12-=x ，此方程在D 上无解，这说明曲线)(x f y =不存在与直线01=++y x 平行的切线，不合题意，则2)1(=f ，此时，令1=y 得，由1)(-='x f 得，，此方程在D 上有解，符合题意. 的切线切曲线)(x f y=于和0443=+-y x .由),0(+∞∈x ，*∈N n 知，),0(+∞∈n x ，那么)(2 121-+++=n n n n C C C)22(2 ])[(2 01210-=--+++++=-n n n n n n n n n n n C C C C C C C所以22)()(-≥-nnnx f x f .20．已知函数()22()1+ln (1)f x x x x =+-，(Ⅰ）判定()f x 在(]0,1上的单调性； (Ⅱ）求()g x 在(]0,1上的最小值；(Ⅲ）若*n N ∀∈，，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()()2'()ln12ln 12f x x x x =+++-设()h x =()()2ln12ln 12x x x +++-，则∵01x <≤，设()ln(1),k x x x=+- ∴()ln(1),k x x x =+-在(]0,1上单调递减，则()(0)0k x k <= 即()ln(1)0,k x x x =+-<∴ln(1),x x +<从而∴()h x 在(]0,1上单调递减 ∴()/fx 在(]0,1上单调递减，∴()()//00f x f <=∴()f x 在(]0,1上的单调递减．(Ⅱ）由（Ⅰ）知()()(1)00f f x f ≤<=，即()22()1+ln (1)f x x x x =+-0<∴()g x 在(]0,1上的单调递减，则有()()(1)0g g x g ≤< ∴()g x在(]0,1上的最小值为(Ⅲ）∵*n N ∀∈，对 *n N ∀∈恒成立，只需求右边又由（Ⅱ）可知，()g x 在(]0,1上的最小值为21．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞．设该容器的建造费用为y 千元．(Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ． 【答案】（I ）设容器的容积为V ，由于3,20,c c >->所以(1∈∈当r=m 时,y'=0;当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0.所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点。
(2）当2m ≥即 当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减， 所以r=2是函数y 的最小值点， 时，建造费用最小时2;r =22．将边长为a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？【答案】设小正方形的边长为x ，则盒底的边长为a －2x ，∴方盒的体积∴V(a 6)＝2a 27即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a6．。
