抽象元素集合间的关系(含答案)

1.2 集合间的基本关系学习目标1.了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．理解子集、真子集的概念；3．能使用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想.重点难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念；难点：属于关系与包含关系的区别．知识梳理1．集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于B (或B 包含A ).图示：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A B B A ⊆⊆且），那么我们称这两个集合相等.记作：A =B读作：A 等于B. 图示：2. 真子集 若集合A B ⊆,存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）3．空集不含有任何元素的集合称为空集,记作：∅.规定：空集是任何集合的子集.学习目标探究一子集1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：①A ={1,2,3},B ={1,2,3,4,5};②A 为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合, B 为这个班全体学生组成的集合; ③A ={x |x ＞2},B ={x |x ＞1}.2.子集定义：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中都是集合B 中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A 为集合B 的.记作：(A B B A ⊆⊇或）读作：(或“”)符号语言：任意有则.3.韦恩图（Venn 图）：用一条封闭曲线（圆、椭圆、长方形等）的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示.牛刀小试1：图中A 是否为集合B 的子集？牛刀小试2：判断集合A 是否为集合B 的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×:①A ={1,3,5}, B ={1,2,3,4,5,6} ( )②A ={1,3,5}, B ={1,3,6,9} ( )③A ={0}, B={x | x 2+2=0} ( )④A ={a,b,c,d }, B ={d,b,c,a } ( )探究二集合相等BB A,A1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系（1）A ＝{x |x 是两条边相等的三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}；2.定义：如果集合A 的都是集合B 的元素，同时集合B 都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作.牛刀小试3：()(){}{}12012A x x x B A B =++==--，，.集合与什么关系？探究三真子集1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：(1)A ={1,3,5}, B ={1,2,3,4,5,6}；(2)A ={四边形}, B ={多边形}.2.定义：如果集合A ⊆B ,但存在元素，且，称集合A 是集合B 的真子集．记作：（或）读作：“A 真含于B ”（或B 真包含A ）.探究四空集1.我们把的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集.即φB ，（B φ≠） 例如:方程x 2+1=0没有实数根,所以方程 x 2+1=0的实数根组成的集合为φ.问题：你还能举几个空集的例子吗？2.深化概念：（1）包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈有什么区别？（2）集合A B 与集合A B ⊆有什么区别？（3）0，{0}与 Φ三者之间有什么关系?3.结论：由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即.（2）对于集合A 、B 、C ，若,,A B B C ⊆⊆则（类比b a ≤，c b ≤则c a ≤）. 例1.写出集合{a ，b }的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例2.判断下列各题中集合A 是否为集合B 的子集，并说明理由.(1)A ={1,2,3},B ={x |x 是8的约数}；(2)A ={x |x 是长方形}，B ={x |x 是两条对角线相等的平行四边形}达标检测1．集合A ＝{－1,0,1}，A 的子集中含有元素0的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．已知集合M＝{x|－3<x<2，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为( ) A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤，x∈N}3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．44．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是( )A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．——★ 参*考*答*案★——学习过程：探究一1.集合A的元素都属于集合B2.任何一个元素子集集合A含于集合B集合B包含集合Ax∈A，x∈BA⊆B牛刀小试1 集合A不是集合B的子集牛刀小试2 ①√ ②×③×④√探究二集合相等1.（1）中集合A中的元素和集合B中的元素相同．2.任何一个元素任何一个元素A=B牛刀小试3 A=B探究三真子集1.集合A中元素都是集合B的元素，但集合B有的元素不属于集合A.2.x∈Bx AA BB A探究四空集1.不含任何元素2.（1）前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系.（2） A = B或A B（3）{0}与Φ ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合.如Φ{0}不能写成Φ ={0}，Φ ∈{0}3.（1）（2）例1.解：集合{a，b}的子集：，{a},{b} ,{a, b}.集合{a，b}真子集：，{a},{b}.例2.解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.三、达标检测1.『解析』根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.『答案』B2.『解析』集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.『答案』D3.『解析』①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.『答案』B4.『解析』由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}．『答案』D5.『解』因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．。

第01讲集合一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[方法技巧]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).二、经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62B ．32C ．64D ．30规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解. 考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ）A ．5}|3{x x <≤B ．{|15}x x -≤≤C ．{|1x x <-或3}x >D ．R【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.。

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第1课时集合[复习要求] 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.3.理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表示集合的关系与运算．集合的基本概念(1)集合的概念：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)；(2)集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性；(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；(2)并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；(3)补集：若U为全集，A⊆U，则∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．集合的常用运算性质(1)A∩∅＝∅；A∩A＝A；(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；(3)A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A；(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B；A⊆B⇔(∁U A)⊇(∁U B)⇔A∩(∁U B)＝∅；(5)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；(6)如图所示，用集合A ，B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A ∩B ；A ∩(∁U B)；B ∩(∁U A)；∁U (A ∪B)或(∁U B)∩(∁U A)；(7)card(A ∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A ∩B)．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)集合{x ∈N |x 3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．(2){x|y ＝x 2}＝{y|y ＝x 2}＝{(x ，y)|y ＝x 2}．(3)若5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，则m 的取值集合为{1，－1，3}．(4)若P ∩M ＝P ∩N ＝A ，则A ⊆M ∩N.(5)设U ＝R ，A ＝{x|lgx<1}，则∁U A ＝{x|lgx ≥1}＝{x|x ≥10}．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×解析 (1)由于－1∉N ，故(1)错．(2)中{x|y ＝x 2}＝R ，{y|y ＝x 2}＝{y|y ≥0}＝[0，＋∞)，以上两集合为数集，{(x ，y)|y ＝x 2}表示抛物线y ＝x 2上所有点的集合，故(2)错．(3)当m ＝－1时，m ＋2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，故(3)错．(4)正确．(5)中A ＝{x|0<x<10}，∁U A ＝{x|x ≤0或x ≥10}．故(5)错．2．(课本习题改编)若x ∈R ，则x 2＋1＝0的解集A ＝________；不等式x 2≤0的解集B ＝________；0与A 的关系为________；A 与B 的关系为________．答案 ∅ {0} 0∉A A ⊆B(或填A B)3．(2020·课标全国Ⅱ)已知集合U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，2}，则∁U (A ∪B)＝( )A ．{－2，3}B ．{－2，2，3}C ．{－2，－1，0，3}D ．{－2，－1，0，2，3}答案 A解析 由题意，得A ∪B ＝{－1，0，1，2}，则∁U (A ∪B)＝{－2，3}．故选A.4．(1)(2021·衡水中学调研卷)已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－2x －3≤0}，B ＝{y|y ＝2x }，则A ∩B 的子集的个数为________．(2)已知集合M ＝{x|x －a ＝0}，N ＝{x|ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 答案 (1)8 (2)0或1或－15．(2020·《高考调研》原创题)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N |0≤x ≤9}，若集合B ＝{1，3，5，7}，则A ∩(∁U B)＝________．答案 {0，2，4，6，8，9}解析 由题意知集合A 中至少包含0，2，4，6，8，9几个元素，而∁U B ＝{0，2，4，6，8，9}，∴A ∩(∁U B)＝{0，2，4，6，8，9}．题型一 集合的基本概念例1 (1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ＝BB ．A BC ．B AD ．无法比较【解析】 方法一(列举法)：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，－12，12，32，52，72，…， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫…，－12，0，12，1，32，2，52，3，72，…. 显然A B.方法二(描述法)：集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，2k ＋1可以表示任意奇数，k 可以表示任意整数，故A B. 【答案】 B(2)(2021·重庆八中摸底考试)设集合M ＝{y|y ＝2cosx ，x ∈[0，5]}，N ＝{x|y ＝log 2(x －1)}，则M ∩N ＝( )A ．{x|1<x ≤5}B ．{x|－1<x ≤0}C ．{x|－2≤x ≤0}D ．{x|1<x ≤2}【解析】 ∵M ＝{y|y ＝2cosx ，x ∈[0，5]}＝{y|－2≤y ≤2}，N ＝{x|y ＝log 2(x －1)}＝{x|x>1}，∴M ∩N ＝{y|－2≤y ≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x ≤2}．【答案】 D(3)集合A ＝{1，0，x}，B ＝{|x|，y ，lg(xy)}，且A ＝B ，则x ，y 的值分别为________．【解析】 ∵x ，y 均不能为0，∴lg(xy)＝0，故xy ＝1.又∵x ≠1，∴y ≠1，从而y ＝1x，且|x|＝1，故x ＝y ＝－1. 【答案】 －1，－1状元笔记由本例讲透集合的基础知识(1)由本例(1)讲清：列举法与描述法及它们之间的相互转换，并通过此题使学生深刻理解元素与集合，集合与集合之间的关系，并共同总结此类题的解法．(2)本例(2)的难点是对集合M ，N 的识别：M 是函数y ＝2cosx 的值域，N 是函数y ＝log 2(x －1)的定义域．(3)由本例(3)深刻理解集合中元素的互异性的应用．思考题1 (1)给出以下四个命题：①{(x ，y)|x ＝1或y ＝2}＝{1，2}；②{x|x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x|x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．【解析】 ①中左边集合表示横坐标为1或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1或y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1，3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，正确．易错点在于认为3k ＋1与3k－2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中真子集的个数为24－1＝15.④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，∴集合为{－2 021，－ 2 021}，∴真子集有22－1＝3(个)．正确．【答案】 ②③④(2)(2020·课标全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈N *，y ≥x}，B ＝{(x ，y)|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4，所以满足x ＋y ＝8的有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选C.【答案】 C(3)(2020·杭州学军中学月考)集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5，1－a}，若A ∩B ＝{9}，则a ＝( )A ．－3B ．3或－3C ．3D ．3或－3或5【解析】 由A ∩B ＝{9}可知9为集合A 与B 的公共元素，也是唯一公共元素．当2a －1＝9时，解得a ＝5，此时A ＝{－4，9，25}，B ＝{9，0，－4}，不合题意(舍去)； 当a 2＝9时，解得a ＝3或－3.若a ＝3，则A ＝{－4，5，9}，a －5＝1－a ＝－2，集合B 不满足互异性，不合题意(舍去)．若a ＝－3，则A ＝{－4，－7，9}，B ＝{9，－8，4}，符合题意．综上所述，a ＝－3.【答案】 A题型二 集合的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{x|(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x|m －1≤x ≤2m ＋1}．若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 A ＝{x|－1≤x ≤6}．∵A ∩B ＝B ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，m －1>2m ＋1，即m<－2，符合题意．当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6.解得0≤m ≤52.得m<－2或0≤m ≤52. 【答案】 (－∞，－2)∪⎣⎡⎦⎤0，52 (2)设A ＝{0，－4}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，①若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________；②若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ①A ＝{0，－4}，当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)<0，解得a<－1；当B 为单元素集合时，a ＝－1，此时B ＝{0}符合题意；当B ＝A 时，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. 综上可知，a ≤－1或a ＝1.②若A ⊆B ，必有A ＝B ，由①知a ＝1.【答案】 ①(－∞，－1]∪{1} ②{1}状元笔记判断两集合关系的常用方法(1)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系，如本例(2)．(2)数形结合法：利用数轴或Venn 图直观判断，如本例(1)．易错提醒：当B 为A 的子集时，易漏掉B ＝∅的情况而致误．思考题2 (1)已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝________．【解析】 ∵A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，∴m ＝3或m ＝m.∴m ＝3或m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，与集合中元素的互异性不符．【答案】 0或3(2)设A ＝{x|x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x|ax －1＝0}．①若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； ②若B A ，求实数a 组成的集合C.【解析】 ①由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5，∴A ＝{3，5}．若a ＝15，由ax －1＝0，得15x －1＝0，即x ＝5. ∴B ＝{5}．∴B A.②∵A ＝{3，5}，又BA ， 故若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0；若B ≠∅，则a ≠0，由ax －1＝0，得x ＝1a . ∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15. 故C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 【答案】 ①B A ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15题型三 集合的基本运算(微专题)微专题1：集合的交、并、补运算例3 (1)(2021·兰州市高三诊断)设集合M ＝{x|x 2－3x －4<0}，N ＝{x|0≤x ≤5}，则M ∩(∁R N)＝( )A ．(0，4]B ．[0，4)C ．[－1，0)D ．(－1，0)【解析】 ∵M ＝{x|x 2－3x －4<0}＝{x|－1<x<4}，N ＝{x|0≤x ≤5}，∴∁R N ＝{x|x<0或x>5}．M ∩(∁R N)＝{x|－1<x<0}．【答案】 D(2)(2021·湖北黄冈重点中学联考)全集U ＝{x|x<10，x ∈N *}，A ⊆U ，B ⊆U ，(∁U B)∩A ＝{1，9}，A ∩B ＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4，6，7}，则A ∪B ＝________．【解析】 由已知条件可得U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn 图如图所示．从而A ∪B ＝{1，2，3，5，8，9}．【答案】 {1，2，3，5，8，9} (3)(2021·八省联考)已知M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，则M ∪(∁R N)＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．R【解析】 方法一：如图所示易知答案为B.方法二：特值法． 不妨设∁R M ＝(1，2)，N ＝(0，3)，则M ∪(∁R N)＝M.【答案】 B状元笔记集合运算的基本类型(1)具体集合的运算：高考对集合的考查，多是考查具体集合(给出或可以求出集合的具体元素)的交、并、补运算，如本例(1)，(2)，其解法依然是化简集合、列举法或借助于数轴、韦恩图等．预测明年对于集合的考查仍以此类题为主．(2)抽象集合的运算：本例(3)是考查抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题．解决此类问题的途径有二：一是利用特例法将抽象集合具体化；二是利用韦恩图化抽象为直观．思考题3(1)(2021·湖北八校联考)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x ≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}【解析】由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．【答案】D(2)(2020·《高考调研》原创题)已知复数集U，f(n)＝i n，(n∈N*)，集合A＝{z|z＝f(n)}，集合B＝N*，则A∩(∁U B)中有________个元素．【解析】A＝{1，－1，i，－i}，∁U B是由复数集中不属于N*的所有数组成的集合，∴A∩(∁U B)＝{－1，i，－i}．【答案】3(3)如图，图形中的阴影部分表示集合()A．(A∪B)∩(B∪C) B．(A∪B)∩(A∪C)C．(A∩B)∪C D．(A∪B)∩C【答案】C微专题2：利用集合的运算求参数例4(1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)【解析】因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0，1)∪(1，3)．故选B.【答案】B(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．(－1，2] B．(2，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)【答案】D状元笔记(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．思考题4(1)(2020·启东中学模拟)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x >2m }，若A ∩B 有三个元素，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，6)B ．[1，2)C ．[2，4)D ．(2，4]【解析】 ∵A ＝{x ∈Z |－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x>m 2}，A ∩B 有三个元素，∴1≤m 2<2，即2≤m<4. 【答案】 C(2)(2020·课标全国Ⅰ，理)设集合A ＝{x|x 2－4≤0}，B ＝{x|2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4【解析】 求解二次不等x 2－4≤0可得A ＝{x|－2≤x ≤2}，求解一次不等式2x ＋a ≤0可得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.因为A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，所以－a 2＝1，解得a ＝－2.故选B. 【答案】 B1．通过例1～例3的讲解使学生对集合的表示及子、交、并、补运算等基础知识再一次巩固并系统化，体现本书：以“基础知识”为根本、以“通性通法”为重点的宗旨．2．解决集合问题的关键是正确地将集合进行化简求解，一般规律为：(1)若给定的集合是点集(离散型)，用列举法(或结合Venn 图)求解．(2)若给定的集合是不等式的解集(连续型)，用数轴求解．(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn 图求解．集合中的创新型问题在知识交汇点处命题的信息迁移题是今后几年高考中的热点题型，解决此类问题，既要有扎实的基本功，又要有创新意识，要迅速阅读理解题意，准确把握新的信息，敢于下笔计算．例1 定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n，m ∈A ，n ∈B}，已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A ∪B 中的元素个数为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【解析】 由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13 }，则B A∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素． 【答案】 B例2 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x|ax 2－1＝0，a>0}，N ＝{－12，12，1}，若M 与N “相交”，则a ＝________． 【解析】 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，1a ，若1a ＝12，则a ＝4，若1a＝1，则a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意； 当a ＝1时，M ＝{－1，1}，满足题意．【答案】 1例3 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M ＝{2，3，6}，则∁U M 表示的6位字符串为________；(2)已知A ＝{1，3}，B ⊆U ，若集合A ∪B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是________．【解析】 (1)由已知，得∁U M ＝{1，4，5}，则∁U M 表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A ∪B ＝{1，3，6}，而A ＝{1，3}，B ⊆U ，则B 可能为{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故满足条件的集合B 的个数是4.【答案】 (1)100110 (2)4题组层级快练(一)一、单项选择题1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)}B ．M ＝{2，3}，N ＝{3，2}C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}D ．M ＝{2，3}，N ＝{(2，3)}答案 B2．集合M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}＝{x ∈N |－2≤x ≤0}＝{0}，∴M 的子集个数为21＝2.选B.3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C 4．(2021·长沙市高三统一考试)若集合M ＝{x ∈R |－3<x<1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{－1，0}C ．{－1，0，1}D ．{－2，－1，0，1，2}答案 B解析 由题意，得N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}＝{－1，0，1，2}，M ＝{x ∈R |－3<x<1}，则M ∩N ＝{－1，0}．故选B.5．(2021·山东新高考模拟)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y)|y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )A ．{(1，1)}B ．{(－2，4)}C ．{(1，1)，(－2，4)}D ．∅答案 C6．(2021·清华附中诊断性测试)已知集合A ＝{x|log 2(x －2)>0}，B ＝{y|y ＝x 2－4x ＋5，x ∈A}，则A ∪B ＝( )A ．[3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)答案 C解析 ∵log 2(x －2)>0，∴x －2>1，即x>3，∴A ＝(3，＋∞)，∴y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1>2，∴B ＝(2，＋∞)，∴A ∪B ＝(2，＋∞)．故选C.7．已知集合A ＝{x ∈N |1<x<log 2k}，集合A 中至少有3个元素，则( )A ．k>8B ．k ≥8C ．k>16D ．k ≥16答案 C解析 因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k>4，所以k>24＝16.故选C.8．(2020·重庆一中月考)已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(∁R A)∩B ＝( )A ．[2，4]B ．{2，3，4}C ．{1，2，3，4}D ．[1，4]答案 B解析 由log 2x<1，解得0<x<2，故A ＝(0，2)，故∁R A ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x 2＋4≤5x ，即x 2－5x ＋4≤0，解得1≤x ≤4，又x ∈Z ，所以B ＝{1，2，3，4}．故(∁R A)∩B ＝{2，3，4}．故选B.9．(2021·郑州质检)已知集合A ＝{x|x>2}，B ＝{x|x<2m ，m ∈R }且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由B ＝{x|x<2m ，m ∈R }，得∁R B ＝{x|x ≥2m ，m ∈R }．因为A ⊆∁R B ，所以2m ≤2，m ≤1.故选A.10．(2021·江淮十校联考)已知集合A ＝{y |y ＝x ＋1x，x ≠0}，集合B ＝{x|x 2－4≤0}，若A ∩B ＝P ，则集合P 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B二、多项选择题11．(2021·沧州七校联考)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <7，下列集合中，是A 的子集的是( ) A ．{x|－1<x<1} B ．{x|1<x<3}C ．{x|1<x<2}D ．∅答案 ACD解析 依题意得，A ＝{x|－1<x<log 27}，∵2＝log 24<log 27<log 28＝3，∴选ACD.12．设集合M ＝{x|(x －3)(x ＋2)<0}，N ＝{x|x<3}，则( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．M ∩(∁R N)＝∅D ．M ∪N ＝R答案 ABC解析 由题意知，M ＝{x|－2<x<3}，N ＝{x|x<3}，所以M ∩N ＝{x|－2<x<3}＝M ，M ∪N ＝N ，因为∁R N ＝{x|x ≥3}，所以M ∩(∁R N)＝∅.故选ABC.三、填空题与解答题13．(2021·浙江温州二模)集合A ＝{0，|x|}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析 因为A ⊆B ，所以|x|∈B ，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A ＝{0，1}，则A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．14．(1)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lgx<1}，若A ∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．答案 {2，4，6，8}解析 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B ＝{2，4，6，8}．(2)已知集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x|0<x<c}，c>0.若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c ≥2.15．已知集合A ＝{x|1<x<3}，集合B ＝{x|2m<x<1－m}．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝(1，2)，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．答案 (1)(－∞，－2] (2)－1 (3)[0，＋∞)解析 (1)由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－m>2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤1，1－m ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12，m ＝－1，∴m ＝－1. (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m<1－m ，即m<13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m<13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m<13，2m ≥3，得0≤m<13或∅，即0≤m<13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．16．已知集合A ＝{x|1<x<k}，集合B ＝{y|y ＝2x －5，x ∈A}，若A ∩B ＝{x|1<x<2}，则实数k 的值为( )A ．5B ．4.5C ．2D ．3.5答案 D解析 B ＝(－3，2k －5)，由A ∩B ＝{x|1<x<2}，知k ＝2或2k －5＝2，因为k ＝2时，2k －5＝－1，A ∩B ＝∅，不合题意，所以k ＝3.5.故选D.17．设f(n)＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ^＝{n ∈N |f(n)∈P}，Q ^＝{n ∈N |f(n)∈Q}，则P ^∩(∁N Q ^)＝( )A ．{0，3}B ．{0}C ．{1，2}D ．{1，2，6，7}答案 B解析 设P 中元素为t ，由方程2n ＋1＝t ，n ∈N ，解得P ^＝{0，1，2}，Q ^＝{1，2，3}，∴P ^∩(∁N Q ^)＝{0}．18．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4答案 A解析 方法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 31C 31＝9.故选A.方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图象，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数．故选A.第2课时充分条件与必要条件、全称量词与存在量词[复习要求] 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．充分条件与必要条件(1)若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件．(2)若q⇒p且p q，则p是q的必要不充分条件．(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．(4)若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．全称量词和存在量词(1)全称量词有：一切，每一个，任给，用符号“∀”表示．存在量词有：有些，有一个，对某个，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作：“对任意x属于M，有p(x)成立”．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)；“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)，读作：“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．(课本习题改编)(1)x>0是x(x＋1)>0的________条件．(2)|a|>0是a>0的________条件．(3)α>β是sinα>sinβ的________条件．答案(1)充分不必要(2)必要不充分(3)既不充分也不必要2．(2021·八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是()A．甲B．乙C．丙D．丁答案A解析(1)若甲是假命题，则乙、丙、丁是真命题，则x1＝3.x2＝－1，符合题意．(2)若乙是假命题，则甲、丙、丁是真命题，则x1＝1.x2＝1，两根不异号，不符合题意．(3)若丙是假命题，则甲、乙、丁是真命题，则两根不异号，不符合题意．(4)若丁是假命题，则甲、乙、丙是真命题，则两根和不为2，不符合题意．故选A.3．(2020·上海春季高考题)“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若α＝β，则sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2α＝1，∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分条件；若sin2α＋cos2β＝1，则sin2α＝sin2β，得不出α＝β，∴“α＝β”不是“sin2α＋cos2β＝1”的必要条件，∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分不必要条件．故选A.4．特称命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案∃x0，y0∈R，x0＋y0>1∀x，y∈R，x＋y≤1假5．【多选题】下列命题的否定是真命题的是()A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．∃x∈R，sinx＋cosx＝3D．∀x∈R，|x|＋x2≥0答案BC解析此类题的解法有二：①判断原命题的真假，则其否定与其结论相反．②先写出命题的否定，再判断真假，本题宜用方法①.题型一充分、必要条件的判定例1(1)判断下列各题中，p是q的什么条件？①p：a>b，q：a>b－1；②p：a>b，q：lga>lgb；③p ：a>b ，q ：2a >2b; ④p ：a>b ，q ：a 2>b 2.【解析】 ①p ⇒q ，q ⇒/p ，∴p 是q 的充分不必要条件．②q ⇒p ，p q ，∴p 是q 的必要不充分条件．③p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．④p q ，q p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．【答案】 ①充分不必要条件 ②必要不充分条件③充要条件 ④既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中，p 是q 的什么条件？①在△ABC 中，p ：A>B ，q ：BC>AC ；②p ：x>1，q ：x 2>1；③p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；④p ：a<b ，q ：a b <1. 【解析】 ①定义法：由三角形中大角对大边可知，若A>B ，则BC>AC ；反之，若BC>AC ，则A>B.因此，p 是q 的充要条件．②方法一(定义法)：由x>1可以推出x 2>1；由x 2>1得x<－1或x>1，不一定有x>1.因此p 是q 的充分不必要条件．方法二(集合法)：p ＝(1，＋∞)，q ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴p ⊆q ，故p 是q 的充分不必要条件．③由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此p 是q 的必要不充分条件．④由于a<b ，当b<0时，a b >1；当b>0时，a b <1，故若a<b ，不一定有a b <1.当b>0，a b<1时，可以推出a<b ；当b<0，a b<1时，可以推出a>b.因此p 是q 的既不充分也不必要条件． 【答案】 ①p 是q 的充要条件 ②p 是q 的充分不必要条件 ③p 是q 的必要不充分条件 ④p 是q 的既不充分也不必要条件(3)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a|a|＞b|b|”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 方法一：当a>b>0时，a>b ⇔a|a|>b|b|；当a>0>b 时，a>b ⇔a|a|>b|b|；当b<a<0时，a>b ⇔a|a|>b|b|，∴选C.方法二：构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R 上为奇函数．因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.选C.【答案】 C状元笔记判断充分必要条件的步骤(1)弄清条件p 和结论q 分别是什么．(2)尝试p ⇒q ，q ⇒p.(3)可简记为：充分条件是小推大，必要条件是大推小．(4)充要条件可以融入到数学各个分支，题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，便可迎刃而解．思考题1 (1)(2020·天津)设a ∈R ，则“a>1”是“a 2>a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 定义法：由a 2>a 得a>1或a<0，反之，由a>1得a 2>a ，则“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A.【答案】 A(2)“1x>1”是“e x －1<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵1x >1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1，即x ∈(－∞，1)．∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．或用集合法：∵(0，1)(－∞，1)，∴“1x>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件． 【答案】 A(3)(2021·衡水中学调研卷)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cosx ≠cosy ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 “x ≠y ”不能推出“cosx ≠cosy ”，但“cosx ≠cosy ”一定有“x ≠y ”．【答案】 C(4)(2021·合肥一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a ，b ，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此若a>|b|≥0，则f(a)>f(|b|)，即f(a)>f(b)，所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分条件；若f(a)>f(b)，则f(|a|)>f(|b|)，可得|a|>|b|≥0，由于a ，b 的正负不能判断，因此无法得到a>|b|，则“a>|b|”不是“f(a)>f(b)”的必要条件，所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件．故选A.【答案】 A题型二 充分、必要条件的应用例2 (1)已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．【解析】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x|－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．【答案】 [0，3](2)在(1)中若把条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”改为“若x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是________．【解析】 方法一：由(1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，满足题意；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x ≤4}满足题意，故m 的取值范围为[0，3]．方法二：若x ∈P 是x ∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解， ∴m 的取值范围是[0，3]．【答案】 [0，3]状元笔记本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．思考题2 (1)已知p ：1≤x ≤2，q ：(x －a)(x －a －1)≤0，若p 是q 的充要条件，则实数a 的值为________．【答案】 1(2)已知p ：4x ＋m<0，q ：x 2－x －2>0，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围．【解析】 ∵4x ＋m<0，∴x<－m 4，∴p ：x<－m 4. ∵x 2－x －2>0，∴x<－1或x>2，∴q ：x<－1或x>2.∵p ⇒q ，∴－m 4≤－1，∴m ≥4. 即m 的取值范围是[4，＋∞)．【答案】 [4，＋∞)(3)(2021·北京西城区期末)已知函数f(x)＝sin2x ，x ∈[a ，b]，则“b －a ≥π2”是“f(x)的值域为[－1，1]”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由图可知，若a ＝0，π2<b<3π4，则b －a>π2，但f(x)＝sin2x 的值域不是[－1，1]．反之，因为值域是[－1，1]，说明b －a ≥12T ，而T ＝π.所以b －a ≥π2.【答案】B题型三全(特)称命题及其真假的判断例3指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，a x＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；(3)∃T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sinx|；(4)∃x0∈R，使x02＋1＜0.【解析】(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x＞0(a＞0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1＜x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x∈R，x2＋1＞0，∴命题(4)是假命题．【答案】(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题；(1)(3)是真命题，(2)(4)是假命题状元笔记全(特)称命题真假的判断方法(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．(3)不管是全称命题还是特称命题，当其真假不易判定时，可先判断其否定的真假．思考题3(2021·湖北宜昌一中月考)下列命题中是假命题的是() A．∃x0∈R，log2x0＝0B．∃x0∈R，cosx0＝1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，2x>0【解析】因为log21＝0，cos0＝1，所以A，B项均为真命题，因为02＝0，所以C项为假命题，因为2x>0，所以选项D为真命题．【答案】C题型四含量词命题的否定例4写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p1：所有的正方形都是矩形；(2)p2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(4)p4：∃x0∈{x|x∈Z}，log2x0>0.【解析】(1)綈p1：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(2)綈p2：所有的整数，都不能被2或5整除，是假命题．(3)綈p3：∃x0∈{x|x是无理数}，x02不是无理数，是真命题．(4)綈p4：∀x∈{x|x∈Z}，log2x≤0，是假命题．【答案】命题的否定见解析，(1)(2)(4)的否定为假命题，(3)的否定为真命题状元笔记(1)全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定则是直接否定结论即可．(2)常见词语的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假思考题4(1)写出下列命题的否定并判断真假．①p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；②p：每一个非负数的平方都是正数；③p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；④p：有的四边形没有外接圆．【解析】①綈p：存在末位数字是0和5的整数不能被5整除，是假命题．②綈p：存在一个非负数的平方不是正数，是真命题．③綈p：任何一个三角形，它的内角和不大于180°，是真命题．④綈p：所有的四边形都有外接圆，是假命题．【答案】命题的否定见解析，①④的否定为假命题，②③的否定为真命题(2)(高考真题·浙江卷)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nD．∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定是“∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n”．【答案】D1．充分、必要条件的判定方法．(1)定义法．(2)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件．2．含一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．题组层级快练(二)一、单项选择题1．(2021·开封市一模)若a ，b 是非零向量，则“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为a ，b 为非零向量，a ·b >0，所以由向量数量积的定义知，a 与b 的夹角为锐角或a 与b 方向相同；反之，若a 与b 的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a ·b >0成立．故“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.2．(2021·湖南长郡中学模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 3．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧m<1，a<1，而log a m>0等价于⎩⎨⎧m>1，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m<1，0<a<1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m>0.故选B.4．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 设p ：攻破楼兰，q ：返回家乡，由已知綈p ⇒綈q ，得q ⇒p ，故p 是q 的必要条件．5．(2019·北京)设A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 若|AB →＋AC →|>|BC →|，则|AB →＋AC →|2>|BC →|2，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →>|BC →|2，∵点A ，B ，C 不共线，∴线段AB ，BC ，AC 构成一个三角形ABC ，设内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，c 2＋b 2＋2bc·cosA>c 2＋b 2－2bc·cosA ，∴cosA>0，又A ，B ，C 三点不共线，故AB →与AC →的夹角为锐角．反之，易得当AB →与AC →的夹角为锐角时，|AB →＋AC →|>|BC →|，∴“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.6．(2019·浙江)设a>0，b>0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为a>0，b>0，所以a ＋b ≥2ab ，由a ＋b ≤4可得2ab ≤4，解得ab ≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝13，满足ab ≤4，但a ＋b>4，所以必要性不成立．所以“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A.7．(2018·北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 (定义法)a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad ＝bc ，则b a ＝dc，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a b ＝cd ，所以ad ＝bc ，所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B.8．命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x >0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0<0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x <0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0≤0答案 D解析 全称命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x >0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D.9．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 03∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q 答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”．10．(2021·湖南邵阳高三大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 02＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1，2]D ．(－1，2) 答案 C解析 命题的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0”，该命题为真命题，所以Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0，解得－1≤m ≤2.故选C.11．“m>2”是“关于x 的方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两根都大于1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 设方程x 2－mx ＋m ＋3＝0有两根，两根分别为x 1，x 2，则Δ≥0，且x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝m ＋3.。

1.1 集合的概念【知识必备】一、集合的概念1. 对象：我们把各种各样的事物或一些抽象的符号都可以看作对象.2. 集合：一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.3. 元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集.二、元素与集合的关系1. 元素与集合的关系：集合通常用英语大写字母A ，B ， C 来表示，它们的元素通常用英语小写字母a ，b ， c 来表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：A a ∈读作“a 属于A ”.如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ∉读作“a 不属于A ”.2. 空集：我们考虑方程21+=+x x 的解的全体构成的集合，显然这个集合不含有任何元素. 一般的，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.三、集合的性质1. 集合元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写.2. 常用数集及其记法非负整数全体构成的集合，叫做自然数集，记作N ；在自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作N *或N +；整数全体构成的集合，叫做整数集，记作Z ；有理数全体构成的集合，叫做有理数集，记作Q ；实数全体构成的集合，叫做实数集，记作R.另外，集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集.【题型分析】题型一：判断能否确定集合1. 下列语句是否能确定一个集合（1）你所在的班级中，体重超过75kg 的学生的全体；（2）大于五的自然数的全体；（3）某校高一（1）班性格开朗的女生全体；（4）质数的全体；（5）平方后值等于-1的实数的全体；（6）与1接近的实数的全体；（7）英语字母的全体；（8）小于99，且个位与十位上的数字之和是9的所有自然数；（9）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的圆内所有的点（不包括圆上的点）；（10）一元二次方程0432=-+x x 的根；（11）2,1,222++x x x ； （12）书店中有意思的小说的全体.2. 下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体. 其中能构成集合的组数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 题型二：确定集合的元素指出下列集合中的元素是什么？1. 方程12=x 的解的全体构成一个集合；2. 平行四边形的全体构成一个集合；3. 平面上与一个定点O 的距离等于定长r 的点的全体构成一个集合.题型三：判断元素与集合之间的关系用符号∈或∉填空：1. 设集合A 是正整数的集合，则0________A ，2________A ，()01- _______A ； 2. 设集合B 是小于11的所有实数的集合，则 23______B ，1+2______B ；-3_______N ； 3.14_______Q ；31_______Z ； 0_______φ； 3_______Q ； 21-_______R ； 1_______+N ； π_______R ； 题型四：判断有限集和无限集1. 判断下列语句是否正确：（1）1995年末世界上的人构成一个无限集；（2）某一时刻，地球的所有卫星构成的集合是无限集；（3）所有三角形构成的集合是无限集；（4）周长为20cm 的三角形构成的集合是有限集.2. 下列集合中，哪些是非空的有限集？哪些是无限集？哪些是空集？（1）小于10000的质数全体构成的集合；（2）⊙O 内点的全体构成的集合；（3）线段AB 内包含AB 中点M 的所有线段构成的集合；（4）大于0，并且小于1的自然数全体构成的集合；（5）中国古代四大发明的集合；（6）坐标平面上第二象限的点的集合.1.2 集合的表示方法【知识必备】集合的表示方法1. 列举法： .如：{1，2，3，4，5}，2222{,32,5,}x x y x x y +-+，…；列举法使用条件：集合中元素个数是__________________.练习：由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为 .2. 特征性质描述法： . 如：{}{}22,,10,x R x n n N x R x ∈=∈∈-= 格式：{x ∈A| P （x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合.注：（1）不等式23>-x 的解集可以表示为：}23{>-∈x R x 或}23{>-x x .（2）在不混淆，不引起误解情况下，集合的代表元素也可省略.① 所有直角三角形的集合可以表示为：{x x 是直角三角形}⇒{直角三角形}. ② 所有整数的集合可以表示成：{}{}x R x ∈⇒是整数整数.③ 这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}.实数集表示成R ，不可以表示成 {}{}R ，实数集。

集合的基本关系知识点集合是数学中的一个基础概念，它由元素组成，是一个无序、互不相同的集合。

在集合中，元素的存在与否只与它是否属于该集合有关，不与其在集合中的位置有关。

集合的基本关系包括包含、相等、交、并、差等，下面将逐一介绍。

一、包含关系包含关系是集合关系中最基本的一种关系，即一个集合是否包含另一个集合。

我们用符号“⊆”表示包含关系，例如A⊆B表示集合A是集合B的子集。

一般地，如果一个元素集合A的每一个元素都属于另一个元素集合B，则称A是B的一个子集，即A⊆B；如果集合A不是集合B的子集，可以表示为A⊈B。

包含关系还有一些重要的性质：1.自反性：一个集合总是包含它自身，即A⊆A。

2.传递性：如果C是B的子集，B是A的子集，则C也是A的子集，即如果A⊆B且B⊆C，那么就有A⊆C。

3.反对称性：如果A⊆B且B⊆A，则A=B。

二、相等关系相等关系是指两个集合的元素完全一样，称为相等关系。

我们用符号“=”表示相等关系，例如A=B表示集合A与集合B相等。

需要注意的是，即使两个集合里的元素相同，它们的顺序不同也不影响它们是相等的。

三、交集和并集交集和并集是两个集合最常见的组合关系。

假设A和B是两个集合，它们的交集表示为A∩B，即由同时属于A和B的所有元素构成一个新集合；而并集表示为A∪B，即由A中所有元素和B 中所有元素所构成的一个新集合。

交集和并集还有一些重要的性质：1.交换律：A∩B=B∩A ；A∪B=B∪A。

2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C) ；(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

3.分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

4.对偶律：(A∩B)′=A′∪B′ ；(A∪B)′=A′∩B′。

四、差集差集是指一个集合中去掉另一个集合后剩余的部分。

假设A和B是两个集合，则它们的差集表示为A-B，即由属于A但不属于B的所有元素所构成的一个新集合。

五、补集补集是指一个集合与另一个全集合之间的差集。

高考数学复习点拨：集合的几种图形表示集合的几种图形表示若要表达清晰一个集合可以根据具体情况选择列举法或描述法来描述，但是在处理和表达一些集合间的运算或关系时，借助Venn图、数轴等图形表示显得直观明了，简洁易懂。

本文就集合的图形表示展开叙述：1．Venn图用平面上封闭曲线的内部区域代表集合，这种图称为Venn 图。

通常情况下，用圆表示单个集合，而用矩形表示全集，单个集合画在矩形内部。

当涉及集合间的交、并、补运算时，可通过两圆的重叠公共部分表示两个集合的交集，两圆合并的内部区域表示两个集合的并集，圆外部的区域表示该圆所代表集合的补集。

该种方法容易表达一些抽象集合、也可以表达一些具体但元素个数相对较少的集合。

见下面示例解释：（1）表达抽象集合所谓抽象集合是指那些不明确或不知道所含具体元素的集合。

显然这些集合在表达集合间关系和运算时不能通过集合中元素来描叙和参与，Venn图可以简洁的描述集合间的运算和关系。

新课程形式下，高考重视对学生认知能力的考查，喜欢设置信息给予题：新定义集合的差运算""，让学生应用其来解决具体的集合。

解决具体问题前就得弄懂"集合的差运算"这一定义，有很多学生理解不清晰，即"集合是由集合A中的不在集合B中的元素构成的"，但把这个运算等同于这两个集合的补集运算""，事实上是不对的：见下图所示：图中阴影部分表达的就是""这个集合，所表达的正确结果是这两个集合的补集运算"。

（2）表达有限个元素的具体集合这里所指的集合是可以在图形中一一罗列元素的集合，通过图形较直观的发现元素所处的位置，便于计算或判定关系。

如：已知全集U = {x | x取不大于20的质数}，A、B是U的两个子集，且A(CB)={3，5}，(CA)B ={7，19}，(CA)(CB) ={2，17}，求集合A、B。

集合间的关系什么是集合间的关系？集合间的关系指的是两个或多个集合之间的关系。

在数学中，集合间的关系是一种可以描述不同集合之间联系的方式。

它可以用来表示集合间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。

一般来说，集合间的关系可以有四种：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。

1、包含关系(Containment Relationship)是指一个集合A包含另一个集合B时就形成了包含关系，即A⊂B。

如果A=B，则称两个集合相等。

此外，如果A⊂B，而B⊂A，则A=B。

2、相等关系(Equality Relationship)，当两个集合的元素完全相同时，则这两个集合就成为相等关系。

即A=B。

3、并集关系(Union Relationship)，当两个集合中的元素都可以找到时，则称两个集合形成并集关系，即A∪B。

4、交集关系(Intersection Relationship)，当两个集合中的元素都具有相同的特征时，则称两个集合形成交集关系，即A∩B。

上述四种关系是集合间关系的基本形式，但实际上，集合间的关系可以根据不同情况而发生变化。

例如，可以把集合A看作是集合B的子集，此时A⊆B，也就是A的元素都可以在B中找到。

也可以把集合A看作是集合B的超集，此时A⊇B，也就是B的元素都可以在A中找到。

此外，集合间的关系还可以根据不同的集合进行划分，例如有序集合、无序集合、离散集合、连续集合等。

最后，除了上述四种基本关系外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。

它们可以用来描述两个或多个集合之间的更复杂的关系。

综上所述，集合间的关系可以用来描述不同集合之间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。

它可以有四种基本关系：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。

此外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。

卜人入州八九几市潮王学校第一章第二节集合间的根本关系【自主整理】1.Veen图〔1〕定义：在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．〔2〕适用范围：有限集且元素个数不太多．〔3〕使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．2.子集〔1〕定义：一般地，对于两个集合A与B，假设集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合之间有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或者B⊇A，读作“A含于B〞〔或者“B包含A〞〕．〔2〕图示：当A⊆B时，用Venn图表示，如图1-1-2-1(1)(2)所示．3．集合相等〔1〕定义1：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全一样，就称这两个集合相等．〔2〕定义2：假设集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，那么集合A与集合B相等，记作A=B．〔3〕图示：当A＝B时，用Venn图表示，如图1-1-2-2所示．4．真子集图1-1-2-2图1-1-2-1〔1〕定义：假设集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，且x A ∉，我们就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠(或者B A ⊃≠)． 〔2〕图示：当A B ⊂≠时，用Venn 图表示，如图1-1-2-3所示．4．空集〔1〕定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅． 〔2〕规定：空集是任何集合的子集，即A ∅⊆；空集是任何非空集合的真子集，即()A A ⊂∅≠∅≠．【高手笔记】1．当集合A 不包含于集合B 〔或者集合B 不包含集合A 〕时，记作A⊆B 〔或者B ⊇A 〕.2．判断集合相等的方法：〔1〕当集合A 与集合B 中元素完全一样时，有A ＝B ；〔2〕,A B B A A B ⊆⊆⇔=．3．子集的性质：,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆且；,A B B C A C ⊂⊂⊂⇒≠≠≠且；当A B ⊆时，那么A B =或者A B ⊂≠．4.判断集合间的关系的关键是弄清集合有哪些元素组成，也就是把较为抽象的集合详细化、形象化，这就要求纯熟地用自然语言、符号语言〔列举法和描绘法〕、图形语言〔Venn 图〕来表示集合．5．在详细问题中，特别是含有字母的问题中一定要注意空集∅的存在与否，以及元素互异性的讨论．要注意分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用． 【名师解惑】1.空集中没有元素，怎么还是集合？剖析：疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生疑心的想法．产生这种想法的原因是没有理解建立空集这个概念的图1-1-2-3背景，其打破方法是通过实例来体会．例如，方程的解可以组成集合，这个集合叫做方程的解集．对于10x=，240x +=等方程来说，它们的解集中没有元素．也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．这就是建立空集这个概念的背景．由此看出，空集的概念是一个规定．又例如，不等式0x <的解集也是不含任何元素，就称不等式0x <的解集是空集．2.符号∈和⊆有什么区别？剖析：难点是经常把这两个符号混淆，其打破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围，并加以比照．符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如1-∈Z ,12∉Z ；符号⊆只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示左边的集合的元素均属于右边的集合，如{}{}11,0⊆，{}{}23x x x x <⊆<等等．【讲练互动】【例题1】(2021高考卷，理科1〕集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m}．假设B ⊆A ，那么实数m ＝．【解析】此题主要考察集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．∵B ⊆A ，∴集合B 中的元素都在集合A 中，由集合元素的互异性得21m=-〔舍去〕或者221m m =-，解得1m =.故填1．【答案】：1【绿色通道】两集合之间关系解决其它问题时，要明确集合中的元素，通常根据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或者解不等式．【黑色陷阱】此题容易出现23m =，其原因是无视了集合元素的互异性.防止此类错误的方法是解得m 的值后，再代入验证. 【变式练习】 1.集合{}20Mx x =-<，集合{}1N x ax ==，假设N M ⊂≠，务实数a 的取值范围．【思路分析】：集合N 是关于x 的方程1ax =的解集，集合{}2M x x =>≠∅，由于N M ⊂≠，那么N =∅或者N≠∅，要对集合N 是否为空集分类讨论．解：由题意得M ＝{}2x x >≠∅，那么N =∅或者N ≠∅．当N =∅时，关于x 的方程1ax =无解，那么有0a =； 当N≠∅时，关于x 的方程1ax =有解，那么0a ≠，此时1x a=， 又∵N M ⊂≠，∴1M a∈，∴12a >，∴102a <<． 综上所得，实数a 的取值范围是0a =或者102a <<，即102a a a ⎧⎫∈≤<⎨⎬⎩⎭．答案：102aa ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【例题2】〔1〕分别写出以下各集合的子集及其个数：∅，{}a ，{},a b ，{},,a b c .〔2〕由〔1〕你发现当集合M 中含有n 个元素，那么集合M 有多少个子集？【思路解析】：此题主要考察子集的概念以及分类讨论和归纳推理的才能．〔1〕按子集中所含元素的个数分类写出子集；〔2〕由〔1〕总结当0n =，1n =，2n =，3n =时子集的个数规律，归纳猜想出结论.解：〔1〕∅的子集有：∅，即∅有1个子集；{}a 的子集有：∅、{}a ，即{}a 有2个子集；{},a b 的子集有：∅、{}a 、{}b 、{},a b ，即{}a 有4个子集；{},,a b c 的子集有：∅、{}a 、{}b 、{}c 、{},a b 、{},a c 、{},b c 、{},,a b c ，即{},,a b c 有8个子集；〔2〕由〔1〕可得：当0n =时，有012=个子集； 当1n =时，有122=个子集； 当2n =时，有242=个子集； 当3n =时，有382=个子集； 因此含有n 个元素的集合M 有2n个子集.【绿色通道】写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象；集合M 中含有n 个元素，那么集合M 有2n个子集，有21n-个真子集，记住这个结论，可以进步解题速度；【变式训练】1．〔2021一模，理科1〕集合{}1,2P =,那么满足Q P ⊆的集合Q 的个数是〔〕A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】集合Q 的个数等于集合P 子集的个数．集合{}1,2P =含有2个元素，其子集有22＝4个，又集合Q P ⊆，所以集合Q 有4个，应选A ． 答案：A【例题3】集合1,6Z Mx x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,23Z n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，那么集合,M N 的关系是〔〕A ．MN ⊆B ．M N ⊂≠C ．N M⊆D ．N M ⊂≠【解析】此题主要考察集合间的关系．明确集合,M N 中的元素，根据有关概念来判断．思路1用列举法分别表示集合,M N ．集合1151713,,,,,,66666M⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，集合11451,,,,6363N ⎧=----⎨⎩，127513,,,,63636⎫⎬⎭,那么有MN ⊂≠；思路2设221,Z n m m m =+∈或，那么有2123m N x x ⎧==-⎨⎩或者21123Z m x m ⎫=-∈⎬⎭＋，＝1136Z x x m x m m ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭或，，∴M N ⊂≠．应选B答案：B【思路通道】判断两个集合间的关系时，主要是根据这两个集合中元素的特征，结合有关定义来判断．对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可得它们间的关系；对于用描绘法表示的集合，要从所含元素的特征来分析，分析之前可以用列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系，然后再加以证明．当M N ⊆和M N ⊂≠均成立时，M N ⊂≠最准确反映集合,M N 的关系．当MN ⊆和M N =均成立时，M N =最准确反映集合,M N 的关系．【变式训练】 1．集合{}1,1M x y x y =+>＝，集合{}1,1N y y x x =+>-＝，那么集合集合,M N 的关系是〔〕A ．MN ⊆B ．N M⊆C ．MN =D ．N M ⊂≠【解析】集合{}0M x x >＝，集合{}0N y y >＝，那么有M N ⊆且N M ⊆，所以M N =，应选C ．答案：C2．〔2021月考，理科1〕集合{}0,1A =，{}221,B y x y x A =+=∈，那么〔〕A ．A B =B ．A B ⊂≠C ．B A ⊂≠D ．B A ⊆【解析】∵x A ∈，∴0x =或者1x =，又∵221x y +=，∴0x =，1y =±或者1x =，0y =，∴{}1,0,1B =-，∴A B ⊂≠，应选B ．答案：B 【教材链接】1．教材第6页考虑：实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5<7,5>3,等等.类比实数之间的关系,你会想到集合之间的什么关系答：可以想到：集合之间有相等关系、包含关系；一个集合中的元素个数少于另一个集合中的元素个数,并且这个集合中的元素都在另一个集合中；一个集合中的元素个数多于另一个集合中的元素个数,并且这个集合中的元素包含另一个集合中的元素.2．教材第7页左栏考虑：①请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例. 答：例如集合{}1,2,3A =,集合{}1,0,1,2,3,4,5B =-,那么集合A 包含于B ，集合B 包含集合A ；又例如{}A =三角形，{}B =直角三角形，那么集合A 包含B ，集合B 包含于集合A 等等.②与实数中的结论“假设a b ≥，且b a ≥，那么a b =.〞相类比，你有什么体会？答：在集合中有结论：假设A B ⊆,且B A ⊆，那么A B =.由此可得证明集合A B =，转化为证明A B ⊆,且B A ⊆.③你能举出几个空集的例子吗？答：例如集合{}31x x <<=∅，集合2101xx⎧⎫==∅⎨⎬+⎩⎭，既是有理数又是无理数的实数组成的集合等等.3．教材第8页考虑： 包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈有什么区别？试结合实例作出解释.答：区别是包含关系{}a A ⊆是集合之间的关系，而属于关系a A ∈是元素与集合之间的关系.例如：包含关系{}{}20,1,2,3⊆与属于关系{}20,1,2,3∈，{}{}20,1,2,3⊆表示集合{}2包含于集合{}0,1,2,3，即表示集合{}2与集合{}0,1,2,3的关系，而{}20,1,2,3∈表示元素2属于集合{}0,1,2,3即元素2是集合{}0,1,2,3的关系.【教研中心】 [教学指导] 一、课标要求1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，进步利用类比发现新结论的才能.2．在详细情境中，理解空集的含义，掌握并能使用Venn 图表达集合的关系，加强学生从详细到抽象的思维才能，树立数形结合的思想．二、教学建议教材从学生熟悉的实数间相等和大小的关系出发，通过类比引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集、空集、Venn 图等概念.在安排这局部内容时，教材注重表达逻辑考虑的方法，如类比等.本节的重点是理解集合间包含与相等的含义，其打破方法是让学生多结合实例，类比实数间的大小关系来学习集合间的包含关系；本节的难点是理解空集的含义，其打破方法是教学时宜多举些方程无解、不等式无解这样的例子．值得注意的问题：在讲解集合间的关系时，建议重视使用Venn 图，这有助于学生体会直观图示对理解抽象概念的作用；随着学习的深化，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与⊆的区别．本节教学时间是约需1课时． 【资源参考】【数学史探源】第三次数学危机1902年，英国数学家罗素发现了一个集合悖论.罗素把集合分成两种：第一种集合，集合本身不是它的元素，即A 不属于A ；第二种集合：集合本身是它的一个元素A ∈A ，例如一切集合所组成的集合.那么对于任何一个集合B ，不是第一种集合就是第二种集合.假设第一种集合的全体构成一个集合M ，那么M 属于第一种集合还是属于第二种集合.假设M 属于第一种集合，那么M 应该是M 的一个元素，即M ∈M ，但是满足M ∈M 关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾.假设M 属于第二种集合，那么M 应该是满足M ∈罗素悖论.例如，{}1和{}{}{}{}1,2,4,3，到底是{}1⊆{}{}{}{}1,2,4,3还是{}1∈{}{}{}{}1,2,4,3呢？为了便于理解，罗素把集合论悖论通俗形象地比喻为一个理发师的悖论：在村里有一位手艺高超的理发师，他只给村里一切不给自己刮脸的人刮脸，那么，他给不给自己刮脸呢？假设他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；假设他给自己刮脸，由于他只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸了.他应该如何呢？这个悖论用数学语言应该这样表达：具有某种一样属性的事物的全体称为集合，组成该集合的每个事物称为元素.但集合一般可分为两大类，一类称为本身分子集，另一类称为非本身分子集.例如由许多图书馆所构成的集合M 仍然是图书馆，所以M 是属于自己的元素的集合，即本身分子集，我们姑且称之为甲类．而由全体自然数所构成的集合N 就不再是自然数，所以N 是自己不属于自己的元素的集合，即非本身分子集，我们称之为乙类.那么罗素问：乙类集合的全体也是一个集合，它属于哪一类？对这个问题的答复就如同理发师对悖论的答复一样左右为难，自相矛盾的.罗素悖论像一颗重磅炸弹，震憾了数学界，使整个数学大厦动摇了.号称天衣无缝、绝对严密的准确数学居然在根底问题上就明显地自相矛盾.这使许多数学家感到惶恐不安，为此还引起了剧烈的争论，形成了许多派别.这就是数学史上的第三次危机.这场危机鼓励许多数学家奋力探究如何进一步建立严格的数学根底.于是有的数学家提出应为集合论建立一种公理系统，并规定，但凡超出公理所允许的限度而构造出来的集合，例如由一切集合而组成的集合等等，在公理系统中一概不予成认.所以如今的集合论中制止一个集合是此集合本身的元素，例如不讨论∅与{}∅的关系，集合{}a 与集合{}{}{}{},,a b c 的关系等等.这样就把罗素悖论等一些已经发现的逻辑和数学悖论全部排队干净了.这场危机引发的急诊和讨论至今没有完毕，但数学作为一门科学没有因危机而止步，反而因危机引发的争论和考虑获得了进一步的开展，数学变得更加成熟了.然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样．【同步测控】 我夯基我达标1．〔2021一模，文科1〕集合{}03N A x x x =≤<∈且的真子集．．．的个数是〔〕 A ．16B ．8 C ．7D ．4 解析：根据集合A 中所含元素的个数来判断．{}{}030,1,2N A x x x =≤<∈=且，那么A 的真子集有3217-=个，应选C ．答案：C2．集合M={1}，N={1，2，3}，可以准确表示集合M 与N 间的关系是〔〕 A.MN < B.M N ∈ C.M N ⊆ D.M N ⊂≠解析：集合M 中元素都在集合N 中，但是N 中元素2M ∉,∴M N ⊂≠,应选D ．答案：D3．设集合{M x x =<，a =A.{}a M ⊂≠ B.{}a M = C.a M ∉ D.a M ⊆解析：∵0a =<<∴a M∈,∴{}a M ⊂≠,应选A ．答案：A 4．0{}0∅．〔填上最适当的符号〕 解析：0和{}0之间是元素与集合的关系，那么0∈{}0；{}0和∅之间是集合间的关系，那么{}0⊃∅≠，故填∈⊃≠．答案：∈⊃≠5．〔2021浦东新区高三第一学期期末质量抽测，理科1〕集合}4,3{},,3,1{=-=B m A ，假设A B ⊆，那么实数=m ．解析：∵A B ⊆，4B ∈，∴4A ∈，∴=m 4，故填4．答案：46．如图1-1-2-4所示的Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A 、B 、C 、D 、E 分别是哪种图形的集合？图1-1-2-4思路分析：结合Venn 图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故A =｛四边形｝；梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形，故B=｛梯形｝，C=｛平行四边形｝；正方形是菱形，故D=｛菱形｝，{}E =正方形．答案：A =｛四边形｝，B=｛梯形｝,C=｛平行四边形｝,D=｛菱形｝,{}E =正方形. 7．集合A ={x |x 2－2x +a =0，a ∈R }，假设A 中元素至多只有一个，务实数a 的取值范围. 思路分析：集合A 是关于x 的方程x 2－2x +a =0的解集，故按集合A =∅和A ≠∅分类讨论．解：当A =∅时，关于x 的方程x 2－2x +a =0无解，那么△＝2(2)40a --<，解得1a >；当A ≠∅时，关于x 的方程x 2－2x +a =0有两个相等的实数解，那么△＝2(2)40a --=，解得1a =．综上所得，实数a 的取值范围是1a ≥． 答案：1a ≥ 我综合我开展8．集合{}2,3,7A ⊂≠,且A 中至多有一个奇数，那么这样的集合A 有〔〕A.3个B ．4个C ．5个D ．6个 解析：对集合A 是否所含奇数分类讨论．当集合A 中不含奇数时，A =∅或者{}2；当集合A 仅含有一个奇数时，A ={}3或者{}7或者{}2,3或者{}2,7．所以这样的集合A 一共有2＋4＝6〔个〕，应选D ． ABC DE答案：D9．集合{}03A x x =<<，集合B ={}4x m x m <<-，且B A ⊆，那么实数m 满足的条件是．解析：集合B 是关于x 的不等式4m x m <<-的解集，要对集合B 是否为空集分类讨论．∵B A ⊆，∴B =∅或者B ≠∅．当B =∅时，4m m ≥-，那么此时2m ≥；当B ≠∅时，那么有4,0,4 3.m m m m <-⎧⎪>⎨⎪-<⎩解得12m <<．综上所得，实数m 满足的条件是12m <<或者2m ≥，即1m >．答案：1m >10．集合{}32,Z A x x m m ==-∈，{}31,Z B x x m m ==+∈,{}61,Z C x x m m ==+∈,那么集合A 、B 、C 的关系是． 解析：根据这三个集合中元素的特征来讨论它们之间的关系．{}32,Z A x x m m ==-∈，设1m k -=，那么Z k ∈，∴有{}31,Z A x x k k ==+∈，∴A B =．又集合{}61,Z C x x m m ==+∈＝{}3(2)1,Z x x m m =+∈,设2m n =，那么n 为偶数，那么C =｛31,x x n n =+是偶数｝，∴C B ⊂≠.即集合A 、B 、C 的关系是C A B ⊂=≠. 答案：C A B ⊂=≠ 11．试写出满足{}{},,,,a b A a b c d ⊂⊆≠的集合A ．思路分析：按集合A 中所含元素的个数分类讨论． 解析：∵{},a b A ⊆，∴集合A 中至少含有两个元素,a b ．又∵{},,,A a b c d ⊂≠，∴集合A 中最多含有三个元素，∴{},A a b =或者{},,a b c 或者{},,a b d ．答案：{},A a b =或者{},,a b c 或者{},,a b d12．{}2,Z A x x n n ==∈，{}42,Z B x x n n ==+∈，求证：B A ⊂≠.思路分析：转化为证明B A ⊆且在集合A 中找到一个元素不属于集合B ．解：设对任意x B ∈，那么存在Z k ∈，使42x k =+．即422(21)xk k =+=+．∵Z k ∈，∴21Z k +∈．∴x A ∈，∴B A ⊆．很明显4A ∈，令424n +=，那么有12Z n =∉, ∴4B ∉,即集合A 中存在一个元素4不在集合B 中，∴B A ⊂≠．13．〔2021年月考，理科17〕{}2280R A x x x =∈--=，{}22120R B x x ax a =∈++-=，B A ⊆且B ≠∅,试务实数a 的取值集合．思路分析：集合A 是方程2280x x --=的解集，集合B 是关于x 的方程22120x ax a ++-=的解集，由B A ⊆且B ≠∅按集合B 中含有元素的个数分类讨论，从而列出含有a 的方程，解方程得实数a 的值．解析：由题意得{}2,4A =-，集合B 是关于x 的方程22120x ax a ++-=的解集． ∵B A ⊆且B ≠∅，∴{}2B =-或者{}4或者{}2,4-．当集合B 中含有一个元素时，那么有△＝224(12)0aa --=，解得4a =±． 假设4a =，那么{}{}24402R B x x x =∈++==-，那么4a =符合题意；假设4a =-，那么{}{}24402R B x x x =∈-+==，那么4a =-不合题意；当集合B 中含有两个元素，即{}2,4B =-时，那么－2，4是关于x 的方程22120x ax a ++-=的解． ∴224,2412.a a -+=-⎧⎨-⨯=-⎩解得2a =-．综上所得，4a =或者2a =-，即实数a 的取值集合是{}2,4-．我创新我超越14．(2021全国高中数学联赛赛区预赛，3)设集合{}2320A x x x =-+=，{}(2)2B x a x =-=，那么满足B A ⊂≠的a 的值一共有〔〕A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：对集合B 所含元素的个数分类讨论．由得{}12A x x x ===或＝{}2112-，-，，，集合B 是关于x 的方程(2)2a x -=的解集．∵B A ⊂≠，∴B =∅或者B ≠∅．当B =∅时，关于x 的方程 (2)2a x -=的无解，∴20a -=，∴2a =；当B ≠∅时，关于x 的方程(2)2a x -=的解 22x A a =∈-，∴22a -＝－2或者22a -＝－1或者22a -＝1或者22a -＝2，解得a =1或者0或者4或者3，综上所 得，a 的值一共有5个，应选D ．答案：D。

人教版高中数学必修一专题复习及参考答案知识架构第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；①两个集合的交集:= ;A B {}x x A x B ∈∈且②两个集合的并集: =;A B {}x x A x B ∈∈或③设全集是U,集合,则A U ⊆U C A ={}x x U x A ∈∉且{|B x x ={|B x x =★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：{})(x f y x ={})(x f y y ={})(),(x f y y x =问题：已知集合（ ） 221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N= A. ；B.；C. ；D. Φ{})2,0(),0,3([]3,3-{}3,2[错解]误以为集合表示椭圆，集合表示直线，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B M 14922=+y x N 123=+y x [正解] C ； 显然，，故{}33≤≤-=x x M R N =]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ（2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若，，则B A ⊆C B ⊆C A ⊆4．集合的运算性质（1）交集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = φφ= A A B A ⊆ B B A ⊆ B A A B A ⊆⇔=（2）并集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = A A =φ A B A ⊇ B B A ⊇ A B A B A ⊆⇔=（3）交、并、补集的关系①；φ=A C A U U A C A U =②；)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：．设{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==，则集合的所有元素之和为（）A B *A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素A B *x A y B xy A B *[解析]：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D A B *A B *{}4,2,0【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示Q情景引入ing jing yin ru一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”问题1：数学家说的集合是指什么？问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？X新知导学in zhi dao xue1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的__总体__叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的__元素__是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系[合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合． (2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A ，B ，C 等，用小写拉丁字母表示元素，如a ，b ，c 等．常用数集的表示：(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__一般符号__及__取值(或变化)范围__，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的__共同特征__．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．Y 预习自测u xi zi ce1．下列给出的对象中，能组成集合的是 ( D ) A ．著名的数学家 B ．很大的数 C ．较胖的人D ．小于3的整数[解析] “著名的数学家”和“较胖的人”无明确的标准，对于某人是否“著名”或“较胖”无法客观地判断，因此“著名的数学家”和“较胖的人”不能组成集合；“很大的数”也无明确的标准，所以也不能组成集合；任意给定一个整数，能够判定是否小于3，有明确的标准，故D 能组成一个集合．2．下列关系：①0.21∈Q ；②105∉N *；③－4∈N *；④4∈N .其中正确的个数是 ( C )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①是正确的，②中105＝2∈N *，③中－4∉N *，④是正确的，故有①④正确． 3．集合{x ∈N *|x －2＜3}用列举法表示为 ( B ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}[解析] 由x －2＜3，得x ＜5，又x ∈N *，所以x ＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}． 4．下列集合： ①{1,2,2}； ②R ＝{全体实数}； ③{3,5}；④不等式x －5＞0的解集为{x －5＞0}． 其中，集合表示方法正确的是__③__.[解析] ①违背了集合中元素的互异性；②中全体实数本身就是集合，不能再加大括号；④中用描述法表示的集合，未写出代表元素，应为{x |x －5＞0}．5．(1)用列举法表示集合{x ∈N |x ＜5}为__{0,1,2,3,4}__．(2)方程x2－6x＋9＝0的解集用列举法可表示为__{3}__．(3)用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为__{x|3＜x≤8}__.[解析] (1)因为x∈N，且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.(2)由x2－6x＋9＝0，得x1＝3，x2＝3.(3){x|3<x≤8，x∈R}H互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨集合的基本概念典题1 下列各组对象：①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目；④2的所有近似值．其中能够组成集合的是__②③__.[思路分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.『规律方法』 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．〔跟踪练习1〕下列每组对象能否构成一个集合：(1)我国的小城市；(2)某校2016年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点．[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．命题方向2 ⇨元素和集合的关系典题2 已知N是自然数集，给出下列命题：①N中最小的元素是1；②若a∈N，则－a∉N；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2. 其中所有正确命题的个数是( A ) A ．0B ．1C ．2D ．3[思路分析] 解题的关键是理解自然数集N 的意义和集合与元素间的关系．[解析] 自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a ∈N ，即a 是自然数，当a ＝0时，－a 仍为自然数，所以②也不正确．故选A ．『规律方法』 1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N ＋，N ，Z ，Q ，R 来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征． 〔跟踪练习2〕(1)给出下列几个关系式：2∈R ；0.3∈Q ；0∈N ；0∈{0}；0∈N ＋；12∈N ＋；－π∈Z ；－5∈Z .其中正确的关系式的个数是( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 运用常用数集的概念可作出判断：2∈R ，0.3∈Q,0∈N,0∈{0}，－5∈Z 正确．其余均错误，故选B ．(2)已知集合M ＝{大于－2且小于1的实数}，则下列关系式正确的是( D ) A ．5∈M B ．0∉M C ．1∈MD ．－π2∈M[解析]5>1，故5∉M ，A 选项错；－2<0<1，故0∈M ，B 选项错；显然1不小于本身，故C 错；－2<－π2<1，故D 正确． 命题方向3 ⇨用列举法表示集合典题3 用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合．[思路分析] (1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝－23x ＋43→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示．[解析] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4,2，所求集合为{2,4}；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25，所求集合为{(75，25)}．『规律方法』 1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然． 因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键． 〔跟踪练习3〕用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； (3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解析] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}． 命题方向4 ⇨用描述法表示集合典题4 用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x ＋2>2x ＋1的实数x 组成的集合； (2)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合； (3)所有正奇数组成的集合．[思路分析] 找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应集合 [解析] (1){x |3x ＋2>2x ＋1}或{x |x >－1}； (2){(x ，y )|x >0，y >0，且x ，y ∈R }； (3){x |x ＝2k －1，k ∈N ＋}．『规律方法』 1.用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示．2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x ∈R . 〔跟踪练习4〕把(1)，(2)，(3)分别更换条件如下，试分别求相应问题． (1)满足不等式3x ＋2>2x ＋1的有理数组成的集合； (2)在平面直角坐标系中，坐标轴上的点的集合； (3)所有偶数组成的集合．[解析] (1){x ∈Q |3x ＋2>2x ＋1}或{x ∈Q |x >－1}． (2){(x ，y )|xy ＝0，x ，y ∈R }．(3){x |x ＝2n ，n ∈Z }．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽略集合中元素的互异性(本栏目的跟踪练习仅供老师参考备用)典题5 设集合A ＝{x 2，x ，xy }、B ＝{1，x ，y }，若集合A 、B 所含元素相同，求实数x 、y 的值.[错解] 由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1xy ＝y ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝y xy ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.[错因分析] 当x ＝1，y ∈0时，A ＝B ＝{1,1，y }，不满足集合元素的互异性，当x ＝1，y ＝1时，A ＝B ＝{1,1,1}也不满足元素的互异性，当x ＝－1，y ＝0，A ＝B ＝{1，－1,0}，满足题意．[正解] 由错解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，经检验当取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ∈R 与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，时不满足集合中元素的互异性，所以x ＝－1，y ＝0.[点评] 在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．〔跟踪练习〕若将上式中的集合A 改为{a ，ba，1}，B 改为{a 2，a ＋b,0}，其他条件不改变，怎样求a 2 015＋b2 015的值．[解析] 方法一：∵{a ，ba，1}＝{a 2，a ＋b,0}， 又∵a ≠0,1≠0，∴b a＝0，∴b ＝0，∴{a,0,1}＝{a 2，a,0}，∴a 2＝1，即a ＝±1，又当a ＝1时，A ＝{1,0,1}不满足集合中元素的互异性，舍去，∴a ＝－1，即集合A ＝{－1,0,1}， 此时a ＝－1，b ＝0， 故a2 015＋b2 015＝(－1)2 015＋02 015＝－1＋0＝－1.方法二：∵{a ，b a，1}＝{a 2，a ＋b,0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋ba ＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0a ·ba ·1＝a 2(a ＋b )·0解得a ＝±1，b ＝0，由集合中元素的互异性知a ≠1， ∴a ＝－1，b ＝0.∴a2 015＋b2 015＝(－1)2 015＋02 015＝－1＋0＝－1.X学科核心素养ue ke he xin su yang数学抽象能力数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征．数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中．数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统．在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验．学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题．本节课从周围大量实例中抽象出集合的概念，领悟集合的本质属性是学习的首要任务，在此基础上，明确集合元素的属性及集合的表示方法．典题6 选择恰当方法表示所在正奇数组成的集合.[解析] 描述法：{x|x＝2n－1，n∈N*}．列举法{1,3,5,7，…，2n－1，…}．『规律方法』用列举法表示无限集时，一是列出的前几项体现的规律，要和一般项统一起来，二是要加省略号．K课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列各组对象，能构成集合的有 ( C )①对环境污染不太大的塑料；②中国古典文学中的四大名著；③所有的正方形；④方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根．A．①B．①②C．②③④D．①②③④[解析] 语句①“污染不太大”没有明确的标准；②中四大名著指的是《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》；③④中的对象也都满足确定性、互异性、无序性．2．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则必有 ( B )A．－1∈A B．0∈A C．3∈A D．2∈A[解析] 集合A中元素有两个特征：x∈N且－3≤x≤3，观察四个选项，只有B正确．3．下列各组集合中，表示同一集合的是 ( B )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}[解析] A项中M＝{(3,2)}中的元素是(3,2)，N＝{(2,3)}中的元素是(2,3)，所以这是两个不同的集合；B 项中M ＝{3,2}中的元素是3,2，N ＝{2,3}中的元素是2,3，由集合中元素的无序性可知，这是两个相同的集合；C 项中集合M 中的代表元素是(x ，y )，是直线x ＋y ＝1上的点，而集合N 中的代表元素是y ，是直线x ＋y ＝1上点的纵坐标，因此是两个不同的集合；D 项中两集合M 的元素分别是3、2，而N 中含有一个元素(3,2)，因此它们是两个不同的集合．4．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3，所组成的集合最多含有元素的个数为 ( A ) A ．2 B ．3C ．4D ．5[解析]x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，集合中的元素最多含有两个．5．用适当的方法表示下列集合.(1)由大于－3且小于11的偶数组成的集合可表示为__{－2,0,2,4,6,8,10}__； (2)不等式3x －6≤0的解集可表示为__{x |x ≤2}__； (3)方程x (x 2＋2x －3)＝0的解集可表示为__{－3,0,1}__；(4)函数y ＝x 2－x －1图象上的点组成的集合可表示为__{(x ，y )|y ＝x 2－x －1}__．A 级 基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 ( C )A ．②B ．③C ．②③D ．①②③[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C ．2．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为 ( B ) A ．{1,1}B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}[解析] ∵x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1.故集合为单元素集合．故选B ． 3．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是 ( A ) A ．a ∈AB ．a ∉AC ．a ＝AD ．{a }∈A[解析] 由于2＋3＜10，所以a ∈A .4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是 ( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D ． 5．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是 ( D ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 [解析] 由集合中元素的互异性知a ，b ，c 互不相等，故选D ． 二、填空题6．用符号∈与∉填空： (1)0__∉__N *；3__∉__Z ； 0__∈__N ；(－1)0__∈__N *； 3＋2__∉__Q ；43__∈__Q .(2)3__∈__{2,3}；3__∉__{(2,3)}； (2,3)__∈__{(2,3)}；(3,2)__∉__{(2,3)}． (3)若a 2＝3，则a __∈__R ，若a 2＝－1，则a __∉__R .[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．7．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝__2__. [解析] 显然a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2. 三、解答题8．用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.导学号 69174028 (1)不超过10的非负质数的集合； (2)大于10的所有自然数的集合．[解析] (1)不超过10的非负质数有2,3,5,7，用列举法表示为{2,3,5,7}，是有限集． (2)大于10的所有自然数有无限个，故可用描述法表示为{x |x >10，x ∈N }，是无限集．B 级 素养提升一、选择题1．下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( B ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}[解析] {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B ．2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是 ( C )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥[解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故选C ．3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为 ( B ) A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B ．4．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是 ( D )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M[解析] 当x >0时，x |x |＝1，当x <0时，x|x |＝－1，故当x ，y ，z 全为正时，原式＝4； 当x ，y ，z 两正一负时，xyz <0，原式＝0； 当x ，y ，z 两负一正时，xyz >0，原式＝0；当x ，y ，z 全为负时，xyz <0，原式＝－4，故M 的元素有4,0，－4，∴4∈M .故选D ． 二、填空题5．已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是__{k |5＜k ≤6}__. [解析] x 只能取3,4,5，故5＜k ≤6.6．用列举法写出集合{33－x ∈Z |x ∈Z }＝__{－3，－1,1,3}__.[解析] ∵33－x∈Z ，x ∈Z ， ∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意．C 级 能力拔高1．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为 ( B )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．.. 2．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}.(1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[分析] 集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，故可将求集合中元素个数问题转化为方程根的个数问题．(1)集合A 为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax 2－3x ＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意． 综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}． (2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意； 当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0. 综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98. [点评] “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．3．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集． (2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a，即a ＝±1，故可以取集合A ＝{1,2，12}或{－1,2，12}或{1,3，13}等。

1．3集合的基本运算第1课时交集与并集学习目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．知识点一交集思考当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？答案有交集，交集是空集．知识点二并集思考集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？答案不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．知识点三交集、并集的性质1．A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；2．A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A.1．集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集．(√)2．若A∩B＝∅，则A，B均为空集．(×)3．若A ，B 中分别有3个元素，则A ∪B 中必有6个元素. ( × ) 4．若x ∈A ∩B ，则x ∈A ∪B .( √ )一、交集的运算及应用例1 (1)若集合A ＝{x ∈Z |－3<x <3}，B ＝{x ∈N |0≤x ≤3}，则A ∩B 等于( ) A ．{0,1,2} B ．{1,2,3} C ．{1,2} D ．{0,1,2,3}答案 A解析 将集合A ，B 化简，得A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{0,1,2,3}，借助Venn 图，可得A ∩B ＝{0,1,2}．(2)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么M ∩N 为( ) A ．x ＝3，y ＝－1 B ．(3，－1) C ．{3，－1} D ．{(3，－1)}答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴M ∩N ＝{(3，－1)}．反思感悟 求两个集合的交集时，若元素个数有限，则逐个挑出两个集合的公共元素；若集合个数无限，一般要借助数轴求解，要注意端点值的取舍．跟踪训练1 已知集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x <2} C ．{x |－1<x <2} D ．∅答案 C解析 在数轴上标出集合A ，B ，如图所示．故A ∩B ＝{x |－1<x <2}． 二、 并集的运算及应用例2 (1)若集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x >－2} B ．{x |x >－1} C ．{x |－2<x <－1} D ．{x |－1<x <2}答案 A解析 画出数轴如图所示，故A ∪B ＝{x |x >－2}．(2)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 D解析 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}，又A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4. (学生留)反思感悟 求两个集合的并集的方法(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn 图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．跟踪训练2 设集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，B ＝{x |2x －3≤0}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x ≤1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 32≤x ≤3 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥3 答案 D解析 ∵集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，B ＝{x |2x －3≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32， ∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥3. 三、交集、并集的运算性质及综合应用例3 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．解 (1)当B ＝∅，即k ＋1>2k －1时，k <2，满足A ∪B ＝A .(2)当B ≠∅时，要使A ∪B ＝A ， 只需⎩⎪⎨⎪⎧－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52.综合(1)(2)可知k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，52. (教师) 延伸探究1．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围． 解 由A ∩B ＝A 可知A ⊆B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋1<2k －1，－3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧k >2，k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．解 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3.所以k 的值为3.反思感悟 (1)在进行集合运算时，若条件中出现A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，应转化为A ⊆B ，然后用集合间的关系解决问题，并注意A ＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质： ①A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ； ②A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ③A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B .跟踪训练3 已知A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解 (1)因为A ∩B ＝∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.(2)因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以a >5或a ＋3<－1，即a 的取值范围为a >5或a <－4.含字母的集合运算忽视空集或检验典例 (1)已知M ＝{2，a 2－3a ＋5,5}，N ＝{1，a 2－6a ＋10,3}，M ∩N ＝{2,3}，则a 的值是( ) A ．1或2 B ．2或4 C ．2 D ．1 答案 C解析 ∵M ∩N ＝{2,3}，∴a 2－3a ＋5＝3，∴a ＝1或2.当a ＝1时，N ＝{1,5,3}，M ＝{2,3,5}，不符合题意；当a ＝2时，N ＝{1,2,3}，M ＝{2,3,5}，符合题意．(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＋a －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围为________． 答案 [2，＋∞)解析 由题意，得A ＝{1,2}．∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， ∴当B ＝∅时，(－2)2－4(a －1)<0，解得a >2；当1∈B 时，1－2＋a －1＝0，解得a ＝2，且此时B ＝{1}，符合题意；当2∈B 时，4－4＋a －1＝0，解得a ＝1，此时B ＝{0,2}，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)．[素养提升] (1)经过数学运算后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视． (2)在本例(2)中，A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，B 可能为空集，极易被忽视． (3)通过对空集的讨论，培养逻辑推理素养．1．已知集合A ＝{1,6}，B ＝{5,6,8}，则A ∪B 等于( ) A ．{1,6,5,6,8} B ．{1,5,6,8} C ．{0,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}答案 B解析 求集合的并集时，要注意集合中元素的互异性． 2．若集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤2或x ≥3}，则A ∩B 等于( )A．{x|2≤x≤3} B．{x|x<2或x≥3}C．{x|x≥3} D．{x|0<x≤2或x≥3}答案 D解析借助数轴，可得A∩B＝{x|0<x≤2或x≥3}．3.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}答案 D解析由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.4．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤－3}，则M∩N＝_______.答案∅解析利用数轴表示集合M与N，可得M∩N＝∅.5．已知集合A＝(－1,2)，B＝(0,3)，则A∪B＝________.答案(－1,3)解析因为A＝(－1,2)，B＝(0,3)，所以A∪B＝(－1,3)．1．知识清单：(1)交集、并集的概念及运算．(2)交集、并集的性质．(3)由交集、并集的关系求参数值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论；求解参数后，易忽视代入原集合进行检验这一步骤．1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}, 则M∪N等于()A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}答案 B解析M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．2．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N等于()A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}答案 C解析M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于()A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|－1≤x≤2}答案 A解析借助数轴可知A∪B＝{x|x≥－1}．4．设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示()A．A∩B B．A⊇BC．A∪B D．A⊆B答案 A解析因为集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，所以“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为A∩B，故选A.5．(多选)集合M＝{x|－1≤x≤3}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素为()A．－1 B．0C．1 D．3答案CD解析∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}，∴M∩N＝{1,3}，故选CD.6．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，则A∩B＝________.答案{－1,0}解析由A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，得A∩B＝{－1,0}．7．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2.8．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x－y＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________. 答案{(1,1)}解析A，B都表示点集，A∩B即是由A中在第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合，代入验证即可．9．已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值．解因为A∩B＝{3}，所以3∈A.从而可得p＝8，所以A＝{3,5}．又由于3∈B，且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，所以B＝{2,3}．所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.10．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．解(1)如图所示，A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∩B＝∅，∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)，∴a≤－1，即a的取值范围为(－∞，－1]．(2)如图所示，A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∪B＝{x|x<1}，∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间(含点x＝1，但不含点x＝－1)，∴－1<a≤1，即a的取值范围为(－1,1]．11．(多选)满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A可能是()A．{5} B．{1,5}C．{3} D．{1,3}答案AB解析由{1,3}∪A＝{1,3,5}知，A⊆{1,3,5}，且A中至少有1个元素5，故选AB.12．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或2或－2或1.经检验，当x＝2或－2时满足题意，故选B.13．已知集合A＝{x|x2－3|x|＋2＝0}，集合B满足A∪B＝{－2，－1,1,2}，则满足条件的集合B的个数为()A．4 B．8C．16 D．32答案 C解析由x2－3|x|＋2＝0，解得|x|＝1或2，∴A＝{－2，－1,1,2}，∵A∪B＝{－2，－1,1,2}＝A，∴B⊆A.∵集合A的子集的个数为24＝16，∴满足条件的集合B的个数为16.14．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是____________，若A∩B＝∅，则a的取值范围为____________．答案{a|a>2}{a|a≤1}解析根据题意，集合A＝{x|1≤x≤2}，在数轴上表示为：若A∩B＝A，则有A⊆B，必有a>2，若A∩B＝∅，必有a≤1.15．已知非空集合A，B满足以下两个条件：①A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，A∩B＝∅；②A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B 中的元素．则有序集合对(A，B)的个数为()A．10 B．12C．14 D．16答案 A解析①当集合A中只有1个元素时，集合B中有5个元素，则1∉A,5∉B，此时集合A中有且只有一个元素为5，集合B＝{1,2,3,4,6}，有一种情况，②当集合A中有2个元素时，集合B中有4个元素，则2∉A，且4∉B，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，所以A＝{1,4}，B＝{2,3,5,6}或A＝{3,4}，B＝{1,2,5,6}或A＝{4,5}，B＝{1,2,3,6}或A＝{4,6}，B＝{1,2,3,5}，共4种可能；③易知集合A中不可能有3个元素；④当集合A中有4个元素时，集合B中有2个元素，此情况与情况②相同，只需A，B互换，共4种可能；⑤当集合A中有5个元素时，集合B中只有1个元素，此情况与情况①相同，只需A，B互换，共1种可能，综上所述，有序集合对(A，B)的个数为10.16．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：(1)A≠B；(2)A∪B＝B；(3)∅(A∩B)．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B＝{2,3}．∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或A B.由条件(1)A≠B，可知A B.又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，即A＝{2}或{3}．当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，即a＝－3或a＝5. 经检验：a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去．当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.即a＝5或a＝－2.经检验：a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去．综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．。

《集合间的关系》同步学案一、课前预习新知（一）预习目标：初步理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．（二）预习内容：阅读教材填空：（1）一般的，对于两个集合A 、B，如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素那么集合A叫做集合B的，记作或．当集合A不包含于集合B时，记作A B,用Venn图表示两个集合间的“包含”关系．A （2）集合与集合之间的“相等”关系, 若，则B （3）真子集的概念：．（4）任何一集合都是它自身的．（5）空集的概念：．记作空集是任何集合的，是任何非空集合的．二、课内探究新知（一）学习目标1．运用类比的方法，对照实数的相等与不等的关系，探究集合之间的包含与相等关系2．能识别给定集合的子集．3．能利用Venn图表达集合间的关系；探索Venn图对理解抽象概念的作用．（二）学习过程1．核对预习学案中的答案2．完成下列问题用适当的符号填空：（1）a {a,b,c} （2）0 {x︱x2=0}（3）φ{x∈R︱x2+1=0}, （4）{0,1} N（5）{0} {x︱x2=x} （6）{2,1} {x︱x2-3x+2=0}（7）已知集合A={x︱2x-3< 3x}，B={x︱x ≥2},则有：-4 B -3 A {2} B B A（8）已知集合A={ x︱x2-1=0},则有：1 A，{-1} A ，￠ A ，{-1,1} A（9）{x︱x是菱形} {x︱x 是平行四边形} ；{x︱x是等腰三角形} {x︱x是等边三角形}思考：包含关系{a}⊆A与属于关系a A∈有什么区别？试结合实例作出解释．3．例题例1．观察实例，写出下列集合间的关系．（1）A=｛1，3｝，B=｛1,3,5,7｝（2）A=｛高一全体女生｝，B=｛高一全体学生｝（3）A={x︱x是矩形}，B={x︱x是平行四边形}（4）A=N,B=Q（5）A={x︱x>3}，B={x︱x>5},C={x︱x>7}（6）A={x︱（x+2）(x+1)=0}，B={-1,-2}变式训练1．判断：集合 A 是否为集合 B 的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×．（1）{}A=1,35，，{}B=1,2,3,4,5,6；( )（2）{}A=1,2,3，{}B=1,3,6,9；( )（3）{}A=0， {}2B=x x +2=0}； ( ) （4）{}A=a,b,c,d ， {}B=d,b,c,a ． ( )例2． 写出集合｛a ，b ｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?变式训练2． 写出集合｛a ，b ，c ｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?例3． 已知集合A=｛x ︱x > b ｝, B=｛x ︱x > 3｝,若B A ⊇,，则求实数b 的范围 ？变式训练3．已知集合A=｛x ︱2-x<0｝, B=｛x ︱ax =1｝,若A B ⊆,，则求实数a 的范围 ？（三）当堂检测1．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 2． 写出满足{3，4} P ⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P ．3．已知集合A=｛-1，21x -，3｝，B=｛3, 2x ｝若B A ⊇，则求实数x ．三、课后练习巩固新知1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是()A．5 B．6 C．7 D．82．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A<B C．B⊆A D．A⊆B3．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若ØA，则A≠Ø．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m ＝________．5．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y．6．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．【答案】1．C 2．C 3．B 4．15．【解析】从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A＝B，则x＝0或y＝0．(1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1．由(1)知x＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0．6．【解析】由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3．因此，M＝{2，－3}．若a＝2，则N＝{2}，此时N M；若a＝－3，则N＝{2，－3}，此时N＝M；若a≠2且a≠－3，则N＝{2，a}，此时N不是M的子集，故所求实数a的值为2或－3．。

集 合一．【课标要求】1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主。

预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。

具体三．【要点精讲】1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；A a ∈A b ∉互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。