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一、选择题1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为()A．8πB．4πC．2πD．πC[原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半径r＝2，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.]2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0C[圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．由k＝2－04－3＝2，可知C正确．]3．在平面直角坐标系xOy中，动点P的坐标满足方程(x－1)2＋(y－3)2＝4，则点P的轨迹经过()A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限A[点P的轨迹是以点(1,3)为圆心，2为半径的圆，画图可知图象在第一、二象限]4．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m≤2 B．m＜1 2C．m＜2 D．m≤1 2B[由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，即m ＜12.]5．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C [圆心一定在AB 的中垂线上，AB 的中垂线方程是y ＝x ，排除A ，B 选项；圆心在直线x ＋y －2＝0上验证D 选项，不成立．故选C ．]6．若圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝4B ．(x －1)2＋(y －4)2＝4C ．(x －4)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝4B [圆C (x －3)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标为C (3,2)，半径为2，设C (3,2)关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为C ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－y ′＋22＋1＝0，y ′－2x ′－3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1，y ′＝4，∴C ′(1,4)，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4.故选B ．] 7．直线3x －4y －4＝0被圆x 2＋y 2－6x ＝0截得的弦长为( ) A ．2 2B ．4C ．4 2D ．2C [圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为P (3,0)，半径为r ＝3，∴圆心到直线3x －4y －4＝0的距离d ＝|3×3－4|32＋(－4)2＝1.∴弦长l ＝2r 2－d 2＝29－1＝42，故选C ．]8．已知圆C 1：x 2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，则圆C 1与圆C 2的位置关系是( )A ．内含B ．外离C ．相交D ．相切B [两圆的圆心距|C 1C 2|＝(3－0)2＋(4－0)2＝5>4＝r 1＋r 2，所以两圆外离．]9．过两圆x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0及x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的交点的直线的方程是( )A ．x ＋y ＋2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．5x ＋3y －2＝0D ．不存在A [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0，①x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0，②①－②得x ＋y ＋2＝0.]10．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0D [圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0.] 11．圆x 2＋y 2－2x ＝0和圆x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．相交D ．内切C [两圆的标准方程分别为(x －1)2＋y 2＝1和x 2＋(y ＋2)2＝4，两圆圆心分别为(1,0)，(0，－2)，两圆圆心之间的距离d ＝(1－0)2＋(0＋2)2＝ 5.∵2－1<5<2＋1，∴两圆相交．故选C ．]12．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，则直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，则a <0，b >0，直线y ＝－1a x－ba ，k ＝－1a >0，－ba >0，直线不经过第四象限．]13．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝1 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设圆上任意一点的坐标为(x 1，y 1)，其与点P 连线的中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得 (2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4. 化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.]14．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B [由条件，知x －y ＝0与x －y －4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C 的圆心C 在直线x －y －2＝0上．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，得圆心C (1，－1)．又因为两平行线间距离d ＝42＝22，所以所求圆的半径长r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.]15．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( )A ．{1，－1}B ．{3，－3}C ．{1，－1,3，－3}D ．{5，－5,3，－3}C [∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，内切时，|a |＝1，外切时，|a |＝3，∴实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．]二、填空题16．已知直线y ＝kx －2k ＋1与圆(x －2)2＋(y －1)2＝3相交于M ，N 两点，则|MN |等于 ．23 [直线y ＝kx －2k ＋1恒过(2,1)点，即直线y ＝kx －2k ＋1恒过圆(x －2)2＋(y －1)2＝3的圆心，故|MN |＝2R ＝2 3.]17．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16有公共圆心，且过点P (－1，1)的圆的标准方程是 ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝25 [圆心为(2，－3)，设所求圆的半径长为r ，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2.又因为过点P (－1,1)，所以r 2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.]18．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB 的长为23，则a＝.0[圆心到直线的距离d＝|a－2＋3|a2＋1＝22－(3)2＝1，解得a＝0.]19．已知圆A过点C(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆A 截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为．x＋y－3＝0[如图所示，设圆心A(x0,0)，x0>0，则r＝|AC|＝x0－1，|BC|＝2，由直线l的方程可知∠BCA＝45°，∴r＝2，x0＝3.∵l⊥AB，∴k AB＝－1，∴直线AB的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.]三、解答题20．(1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，6)；(2)求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3，0)．[解](1)∵点M的坐标适合圆的方程，∴点M在圆x2＋y2＝10上，由题可知圆心为O(0,0)，则直线OM的斜率k OM＝62.∵圆的切线垂直于经过切点的半径，∴所求切线的斜率为k＝－2 6 .故经过点M的切线方程为y－6＝－26·(x－2)，整理得：2x＋6y－10＝0.(2)容易判断点Q(3,0)在圆外．设切线的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，又圆的圆心为(0,0)，半径为2，所以|－3k|1＋k2＝2.解得：k＝±255.∴所求切线方程为：y ＝±255(x －3)， 即25x ＋5y －65＝0或25x －5y －65＝0.21．(2018·韶关市高一期末)已知直线ax －y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2＝9相交于不同两点A ，B ．(1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得过点P (－2,1)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)圆C 的圆心C ：(0,0)，r ＝3，C 到直线ax －y ＋5＝0距离为d ＝5a 2＋1，∵直线ax －y ＋5＝0与圆C 相交，∴d <r ∴5<3a 2＋1，∴a >43或a <－43. (2)∵AB 为圆上的点， ∴AB 的垂直平分线过圆心， ∴l PC 与ax －y ＋5＝0垂直 而k PC ＝－12，k AB ＝a ， ∴－12a ＝－1，∴a ＝2.∵a ＝2符合(1)中的a >43或a <－43.∴存在a ＝2，使得过P (－2,1)的直线l 垂直平分弦AB ．。
数列一、选择题1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A ．b －a B ．b －a 2C ．b －a 3D ．b －a 4C [由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.]2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36D ．45C [S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.]3．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A ．12B ．2C ．14D ．4 A [由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， ∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.]4．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15D [由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.]5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 C [∵S n ＝a n －1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2，当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．]6．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190B [设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0，∴d ＝2，从而S 10＝100.]7．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32 C [由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.] 8．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24 A [由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)．第3项为－12，公比为－12－6＝2，故数列的第四项为－24.]9．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A ．n [(－1)n －1]2B ．(－1)n ＋1＋12C ．(－1)n ＋12D ．(－1)n －12D [S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.]10．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5D ．52B [依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.]11．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．189C [由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0.∵q ＞0，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3＝22·21＝84.]12．已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．⎣⎡⎭⎫－157，－2 C ．(－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－157，－2 B [由题意可得等差数列{a n }的首项为a 1＝31，由题意可得a 15≥1且a 16<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧31＋14d ≥1，31＋15d <1，解关于d 的不等式组可得－157≤d ＜－2.故选B ．]13．在等差数列{a n }中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为( )A ．9B ．10C ．11D ．12B [由题意及等差数列的性质可得4(a 1＋a n )＝20＋60＝80，∴a 1＋a n ＝20.∵前n 项之和是100＝n (a 1＋a n )2，解得n ＝10.]14．等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15＝90，则a 8等于( ) A ．452B ．12C ．6D ．454C [在等差数列{a n }中，∵S 15＝90，由S 15＝15a 8＝90，得a 8＝6.]15．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于( )A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．158C [设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2(q ＝1舍去)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.] 二、填空题16．在等比数列中，若a 2＝2，a 6＝162，则a 10＝ . 13 122 [由a 26＝a 2a 10得a 10＝1622×12＝13 122.] 17．已知等差数列{a n }共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 ．4 [依题意，a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＋(a 1＋8d )＝5(a 1＋4d )＝10， 同理，5(a 1＋5d )＝30，两式相减得：d ＝4.]18．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为 ．3(9n －1)4 [∵a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6(1－9n )1－9＝3(9n －1)4.] 19．设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝ .10 [由题意可得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，解得a 5a 6＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.] 三、解答题20．设数列{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3－a 2＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝log 3⎝⎛⎭⎫3n2＋log 3a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 3－a 2＝12， 得2q 2－2q －12＝0，即q 2－q －6＝0.解得q ＝3或q ＝－2， ∵q ＞0，∴q ＝－2不合题意舍去，∴a n ＝2×3n －1. (2)由b n ＝log 3⎝⎛⎭⎫3n 2＋log 3a n ，且a n ＝2×3n －1，得 b n ＝log 3⎝⎛⎭⎫3n2×2×3n －1＝log 332n －1＝2n －1， ∴数列{b n }是首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列，∴S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n )＝2(3n －1)3－1＋n (1＋2n －1)2＝3n －1＋n 2.21．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)，(1)求证数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .[解] (1)证明：S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)，①S n －1＝a n －1(a n －1＋1)2(n ≥2)，②①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)，整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0， ∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．n ＝1时，a 1＝1.∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)可得S n ＝n (n ＋1)2，∴b n ＝2n 2＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.。
统计一、选择题1．贵阳地铁1号线12月28日开通运营，某辆机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70、60、60、50、60、40、40、30、30、10，则这组数据的众数、中位数、平均数的和为( )A ．170B ．165C ．160D ．150D [将这组数据从小到大排列：10、30、30、40、40、50、60、60、60、70，易知其众数为60，中位数为45，平均数为45，故众数、中位数、平均数的和为150.]2．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为( )A ．8B ．10C ．12D ．16B [系统抽样的分段间隔为805＝16，设样本中产品的最小编号是x,42是第三组编号，因此x ＋2×16＝42，得x ＝10.]3．由小到大排列的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数据都小于－1，则样本1，x 1，－x 2，x 3，－x 4，x 5的中位数为( )A ．1＋x 22B ．x 2－x 12C ．1＋x 52D ．x 3－x 42C [因为x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜－1，题目中数据共有六个， 排序后为x 1＜x 3＜x 5＜1＜－x 4＜－x 2，故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数， 故这组数据的中位数是12(x 5＋1)．故选C ．]4．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92A [∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数为12×(91＋92)＝91.5.平均数为18×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.]5．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1千元时，工资为50元B ．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元C ．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元D ．劳动生产率为1千元时，工资为90元C [因工人月工资依劳动生产率变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，y ^2－y ^1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.]6．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．93B ．123C ．137D ．167C [由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.] 7．从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下(单位：克)：125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5C [∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，样本数据落在[114.5,124.5)内的有116,120,120,122共有四个，∴样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为410＝0.4，故选C ．]8．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45 B．50C．55 D．60B[由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝50.]＝150.39．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁C[由题图可知，在区间[25,30)上的数据的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.故中位数在第3组，且中位数的估计为30＋(35－30)×0.250.35≈33.6(岁)．]10．在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是() A．平均数B．标准差C．众数D．中位数B[利用平均数、标准差、众数、中位数等统计特征数的概念求解．由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变．]11．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()A ．13B ．17C ．19D ．21C [因为47－33＝14，所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5＋14＝19.]12．如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩．(单位：分)已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6D ．3,7D [依题意得9＋10×2＋2＋x ＋20×2＋7＋4＝17×5，即x ＝3，y ＝7，故选D ．] 13．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25A [由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1， 所以x ＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32，选A ．]14．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和xB ，样本标准差分别为s A 和s B ，则()A ．x A ＞xB ，s A ＞s B B ．x A ＜x B ，s A ＞s BC ．x A ＞x B ，s A ＜s BD ．x A ＜x B ，s A ＜s BB [A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A ＜x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A ＞s B ．]15．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A ．x －，s 2＋1002 B ．x －＋100，s 2＋1002 C ．x －，s 2D ．x －＋100，s 2D [x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x －，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x －＋100，方差不变，故选D ．]二、填空题16．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为 ．40 [∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本， 一、二、三、四年级的学生比为4∶3∶2∶1， ∴三年级要抽取的学生人数是24＋3＋2＋1×200＝40.]17．已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14 (x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为 ．4 [由方差的计算公式可得：s 21＝1n [x 21＋x 22＋…＋x 2n ]－x 21＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，可得平均数x 1＝2.对于数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2有x 2＝2＋2＝4.]18．如图是某学校抽取的n 个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第3小组的频数为18，则n 的值是 ．48 [根据频率分布直方图，得从左到右的前3个小组的频率和为：1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75. 又∵这三组频率之比为1∶2∶3， ∴第3小组的频率为31＋2＋3×0.75＝0.375，且对应的频数为18，∴样本容量n ＝180.375＝48.]19．已知x ，y 的值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关且回归直线方程为y ^＝b ^x ＋3.5，那么b ^＝ .x 2 3 4 y5460.5 [由表可知x ＝3，y ＝5，代入y ＝b x ＋3.5得b ＝0.5.] 三、解答题20．随机抽样某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差．[解] (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～179之间，因此乙班的平均身高高于甲班．(2)x甲＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170，甲班的样本方差 s 2甲＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得Σ10i ＝1x i ＝80，Σ10i ＝1y i ＝20，Σ10i ＝1x i y i ＝184，Σ10i ＝1x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝Σni ＝1x i y i －n x y Σn i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．[解] (1)由题意知n ＝10，x ＝110Σn i ＝1x i ＝8010＝8，y ＝110Σ10i ＝1y i ＝2010＝2， b ^＝Σ10i ＝1x i y i －10x y Σ10i ＝1x 2i －10x 2＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).。
常用逻辑用语一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”B[依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．]2．已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若命题p：2∈(A∪B)，则命题“綈p”是( ) A．2∉AB．2∉∁S BC．2∉(A∩B)D．2∈(∁S A)∩(∁S B)D[p：2∈(A∪B)，綈p：2∈∁S(A∪B)，即2∈(∁S A)∩(∁S B)．]3．“x2>2 019”是“x2>2 018”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由于“x2>2 019”时，一定有“x2>2 018”，反之不成立，所以“x2>2 019”是“x2>2 018”的充分不必要条件．]4．命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是( )A．∃x0∉∁R Q，x30∈QB．∃x0∈∁R Q，x30∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈QD．∀x∈∁R Q，x3∉QD[特称命题的否定是全称命题．“∃”的否定是“∀”，x3∈Q的否定是x3∉Q.命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是“∀x∈∁R Q，x3∉Q”，故应选D．]5．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵菱形的对角线互相垂直，∴“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BC”，∴“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又∵对角线垂直的四边形不一定是菱形，∴“AC⊥BD”D/⇒“四边形ABCD为菱形”，∴“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件．综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．]6．设U为全集．A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件C[由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁U C．故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．]7．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[m⊂α，m∥βD/⇒α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件．]8．已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个B[原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题．当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.故其逆命题：“若x 2－8x ＋15＝0，则x ＝5”为假命题．又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题．]9．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )D [不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有(綈p )∨(綈q )为真命题．]10．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由“綈p 为真”可得p 为假，故p ∧q 为假；反之不成立．]11．已知命题p ：“x ＞2是x 2＞4的充要条件”，命题q ：“若a c 2＞b c2，则a ＞b ”，那么( )A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假A [由已知得命题p 是假命题，命题q 是真命题，因此选A ．] 12．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1＞0B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1 D ．∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5 B [A 项，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1＞0；B 项，∵x ∈N *，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2＞0矛盾；C 项，当x 0＝110时，lg 110＝－1＜1；D 项，当x ∈R 时，tan x ∈R ，∴∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5.]13．已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：∀k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交．则下面结论正确的是( )A ．(綈p )∨q 是真命题B ．p ∧(綈q )是真命题C ．p ∧q 是假命题D ．p ∨q 是假命题A [命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝|0|k 2＋1<1，命题q 是真命题．故(綈p )∨q 是真命题．]14．命题p ：∀x ∈R ，sin x ＜1，命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列结论是真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∨(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )B [当x ＝π2时，sin x ＝1，故p 为假命题，易知q 为真命题，则(綈p )∧q 为真命题，选B ．]15．已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅B [若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，得m ＝e xx ，设f (x )＝exx，则f ′(x )＝e x ·x －exx 2＝x －1e xx 2，当x >1时，f ′(x )>0，此时函数单调递增，当0<x <1时，f ′(x )<0，此时函数单调递减，当x <0时，f ′(x )<0，此时函数单调递减，∴当x ＝1时，f (x )＝exx取得极小值f (1)＝e ，∴函数f (x )＝exx的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，若命题p 为假命题时，则0≤m <e.命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.]二、填空题16．“若x ，y 全为零，则xy ＝0”的否命题为 ．若x ，y 不全为零，则xy ≠0 [由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x ，y 全为零，则xy ＝0”的否命题为“若x ，y 不全为零，则xy ≠0”．]17．命题“每个函数都有奇偶性”的否定是 ．有些函数没有奇偶性 [命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．故应填：有些函数没有奇偶性．]18．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． (－∞，－1)∪(3，＋∞) [∵命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＜－1或a＞3.] 19．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a ＝ .－1[由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.]三、解答题20．判断下列复合命题的真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x2－2x＋1＞0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.[解] (1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1＞0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题．21．已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．[解] 2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0.若p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)为真，则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立．当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；当m≠0时，由m<0且Δ＝4－4m2<0，所以m<－1.若q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.又p∧q为真，故p，q均为真命题．所以m<－1且m≥－2，所以m的取值范围为－2≤m<－1.。
一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f (2)的值为( )A ． 2B ．－ 2C ．2D ．－2A [设幂函数y ＝f (x )＝x α，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入可得22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，即f (x )＝x 12，故f (2)＝212＝2，故选A ．]2．log 42－log48等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2B [log 42－log 48＝log 428 ＝log 44－1＝－1，故选B ．] 3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝lg xD ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，f (x )＝－x ，f (x )＝1x ，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，故选C ．]4．函数f (x )＝log a (2x －1)(a >0且a ≠1)的定义域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)A [要使函数有意义，需满足2x －1>0，解得x >0，即函数的定义域为(0，＋∞)，故选A ．]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >02x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a 的值是( )A ．－1B ．－1或12 C ．－1或 2D ． 2C [当log 2x ＝12，解得x ＝2，当2x ＝12，解得x ＝－1，故选C ．] 6．已知x －23＝4，则x 等于( ) A ．±18 B ．±8C ．344D ．±232 A [由题意，可知x －23＝4，可得13x 2＝4，即3x 2＝14，所以x 2＝164，解得x ＝±18.故选A ．]7．已知f (x )＝log 5x ，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，下列关系中成立的是( ) A ．f (a ＋b )＝f (a )＋f (b ) B ．f (ab )＝f (a )＋f (b ) C ．f (a ＋b )＝f (a )f (b ) D ．f (ab )＝f (a )f (b )B [∵f (x )＝log 5x ，a ，b ∈(0，＋∞)，∴f (ab )＝log 5 (ab )＝log 5a ＋log 5b ＝f (a )＋f (b )．故选B ．]8．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )A [观察四个图的不同发现，A 、C 图中的图象过原点，而当x ＝0时，y ＝0，故排除B 、D ；剩下A 和C ．又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除C ．故选A ．]9．设实数a ＝log 312，b ＝20.1，c ＝0.932，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜cA [∵a ＝log 312＜log 31＝0，b ＝20.1＞20＝1,0＜c ＝0.932＜0.90＝1. ∴a ＜c ＜b ，故选A ．]10．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y ＝x 12的图象是( )A ．①B ．②C ．③D ．④D [幂函数y ＝x 12为增函数，且增加的速度比较缓慢，只有④符合．故选D ．] 11．已知2a ＞2b ＞1，则下列不等关系式中正确的是( )A ． sin a ＞sin bB ． log 2a ＜log 2bC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13bD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13bD [∵2a ＞2b ＞1，∴a ＞b ＞0，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 成立，故选D ．]12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜aC [a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝f (log 32)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.∵0＜log 32＜1,1＜43＜3，∴3＞43＞log 32.∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＞c ＞b .] 13．函数f (x )＝|log 2x |的图象是( )A [结合y ＝log 2x 可知，f (x )＝|log 2x |的图象可由函数y ＝log 2x 的图象上不动下翻得到，故A 正确．]14．已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则( ) A ．a ∈(5,6) B ．a ∈(7,8) C ．a ∈(8,9)D ．a ∈(9,10)A [因为f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8, 令g (a )＝a ＋log 2a －8，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (5)＝5＋log 25－8<0，g (6)＝6＋log 26－8>0，所以存在零点a ∈(5,6)．故选A ．]15．已知函数f (x )＝3－x －1，则( ) A ．它的定义域是R ，值域是R B ．它的定义域是R ，值域是(0，＋∞) C ．它的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．以上说法都不对C [f (x )＝3－x －1＝13x －1＞－1，故选C ．] 二、填空题16．34 36.(填“>”或“<”)． < [由y ＝3x 为增函数可得34<36.]17．计算0.008114＋log 26－log 23的值是 ．1.3 [0.008114＋log 26－log 23＝0.34×14＋log 22＋log 23－log 23＝0.3＋1＝1.3.] 18．关于x 的不等式2x ≤2x ＋1－12的解集是 ．{x |x ≥－1} [令2x ＝t ，则原不等式可化为t ≤2t －12，解得t ≥12，即2x ≥12＝2－1，由指数函数y ＝2x 单调递增可得x ≥－1.] 19．下列说法中，正确的是 ．(填序号) ①任取x ＞0，均有3x ＞2x ； ②当a ＞0，且a ≠1时，有a 3＞a 2； ③y ＝(3)－x 是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称． ①④⑤ [对于①，可知任取x ＞0,3x ＞2x 一定成立． 对于②，当0＜a ＜1时，a 3＜a 2，故②不一定正确．对于③，y ＝(3)－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x，因为0＜33＜1，故y ＝(3)－x 是减函数，故③不正确．对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，正确． 对于⑤，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称是正确的．]三、解答题 20．化简或求值：(1)(27)－13＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5－3e 0；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋|lg 2－2|.[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12713 ＋100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－3＝13＋100＋53－3＝99.(2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋(2－lg 2)＝lg 2＋(2－lg 2)＝2. 21．已知函数f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )． (1)判断并证明函数f (x )的奇偶性； (2)若f (m )－f (－m )＝2，求实数m 的值． [解] (1)f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )是奇函数． 证明：f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )的定义域为(－1,1)， 设任意x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝－[ln(1－x )－ln(1＋x )]＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知，f (x )是奇函数，则f (－m )＝－f (m ) ∴f (m )－f (－m )＝f (m )＋f (m )＝2f (m )＝2， 即f (m )＝1，∴ln 1－m 1＋m ＝1，即1－m 1＋m ＝e ，解得m ＝1－e1＋e.。
考纲展示考情汇总备考指导直线与方程① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及2017年1月T52019年1月T52020年1月T4本章的重点是根据所给条件求直线的方程,难点是两条直线的位置关系的判定，易错点是在根据两直线的位置关系求参数的值时,容意漏解或出现增根,出错的根本原因是没有掌握两直线平行或垂直的充要条件。
一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
直线的倾斜角、斜率和位置关系1．直线的倾斜角和斜率（1)倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定此时直线的倾斜角为0°。
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫直线l的倾斜角．注：倾斜角的取值范围为错误!.（2)直线的斜率当直线l的倾斜角θ≠90°时（即直线与x轴不垂直)，直线l的斜率存在，且斜率k＝tan θ.当直线的倾斜角为θ（θ≠90°）,斜率为k,则k≥0⇔θ∈错误!；k<0⇔θ∈错误!.(3)直线l经过两点P1(x1,y1），P2(x2，y2）（x1≠x2)的斜率k＝错误!.注:任何直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率．2．两条直线平行和垂直的判定(1）当直线l1∥l2或l1与l2重合,倾斜角α1＝α2。
若斜率存在，则k1＝k2.若斜率不存在，则k1与k2都不存在．（2）直线l1∥l2,若斜率存在，则k1＝k2，且在y轴上的截距不同，若斜率不存在，则l1与l2都垂直于x轴且在x轴上的截距不同．(3)若斜率存在，且直线l1⊥l2，则k1·k2＝－1.若其中有一条斜率不存在，且l1⊥l2，则另一条直线斜率为0.（4）若直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，且A1，A2，B1,B2都不为零．①l1∥l2⇔错误!＝错误!≠错误!.②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0。
标准示范卷（一）（时间：90分钟；分值：150分,本卷共4页）一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合A＝{1,2｝，B＝{1，m,3}，如果A∩B＝A,那么实数m等于( ）A．－1 B．0C．2 D．4C[∵A∩B＝A，∴A⊆B．∵A＝{1，2}，B＝{1，m,3},∴m＝2．］2．下列函数中，与函数y＝错误!定义域相同的函数为（)A．y＝错误!B．y＝错误!C．y＝x－2D．y＝ln xD[函数y＝错误!的定义域是(0，＋∞），A中的定义域是｛x｜x≠0}，B中的定义域是｛x｜x≥0｝，C中的定义域是{x｜x≠0｝，D 中的定义域是（0，＋∞)，故选D．］3．复数z＝错误!＋2＋i的虚部是（)A．3 B．2C．2i D．3iB［依题意z＝错误!＋2＋i＝1＋i＋2＋i＝3＋2i，故虚部为2，所以选B．］4．“sin A＝错误!"是“A＝30°”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B［因为sin 30°＝错误!，所以“sin A＝错误!”是“A＝30°”的必要条件．又150°，390°等角的正弦值也是错误!,故“sin A＝错误!”不是“A＝30°"的充分条件．故“sin A＝错误!”是“A＝30°”的必要不充分条件．］5．已知直线的点斜式方程是y－2＝－错误!(x－1），那么此直线的倾斜角为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C[因为k＝tan α＝－错误!，α∈［0,π），所以α＝错误!.］6．若点A（2，2错误!）在抛物线C:y2＝2px上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为( ）A．错误!B．错误!C．2错误!D．错误!C［将A坐标代入抛物线方程得（22)2＝2p·2，p＝2，故焦点坐标F（1,0）,直线AF的斜率为错误!＝2错误!，故选C．] 7．已知a＝（－2，2），b＝（x，－3），若a⊥b，则x的值为( ) A．3 B．1C．－1 D．－3D［a·b＝－2x－6＝0，解得x＝－3。
姓名，年级：时间：标准示范卷（四)(时间:90分钟；分值：150分，本卷共4页)一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M＝｛1,2｝，N＝{0,1,3｝，则M∩N＝( ）A．｛1｝B．｛0，1｝C．{1,2｝D．{1，2,3}A[由题得M∩N＝{1，2｝∩｛0,1,3｝＝{1｝．]2．设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，已知a5＝9，S2＝4，则a2＝( ）A．1 B．2C．3 D．5C[设等差数列｛a n｝的公差为d，则a5＝a1＋4d＝9，S2＝2a1＋d ＝4，解得a1＝1,d＝2，∴a2＝a1＋d＝3。
]3．“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角"的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[当a·b＝0时，a，b的夹角为直角，故“a·b≥0"不能推出“a与b的夹角为锐角”．当“a与b的夹角为锐角”时，a·b＝|a|·|b｜·cos〈a，b〉>0,即能推出“a·b≥0”．综上所述，“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．]4．在x轴、y轴上的截距分别是－2，3的直线方程是（)A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0C［由直线的截距式得，所求直线的方程为错误!＋错误!＝1,即3x －2y＋6＝0.］5．已知a,b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（) A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直C[a，b是两条异面直线，c∥a,那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．若c∥b,因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a，b是两条异面直线矛盾．故选C．］6．在平行四边形ABCD中，错误!＋错误!等于（）A．错误!B．错误!C．DB，→D．｜错误!｜A[错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。
一、选择题1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶D [射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶．]2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8B [因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.]3．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．1B [坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.] 4．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数138576131810119A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37A [取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.]5．在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．35D ．45 B [由几何概型可知所求概率P ＝5－35－0＝25.] 6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A ．π2B ．π4C ．π6D ．π8B [设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.]7．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是( ) A ．12B ．13C ．25D ．35D [不等式2x －x 2≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2，故所求概率为2－(－1)4－(－1)＝35.]8．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．16B [从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)有6种，取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，有2种，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率是26＝13，故选B ．]9．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A ．310B ．15C ．110D ．120C [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.]10．以A ＝{2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成真分数，则这种分数为可约分数的概率是( )A ．513B ．528C ．314D ．514D [因为以A ＝{2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成28个真分数，由于这种分数是可约分数的分子与分母应全为偶数，故这种分数是可约分数的共有10个，则分数是可约分数的概率为P ＝1028＝514，故选D ．]11．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③D ．①③C [①中两事件是同一事件；②中两事件可能同时发生；③中两事件互斥，并且一定有一个事件发生，因此是对立事件；④中两事件可能同时发生．故选C ．]12．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A ．15 B ．25 C ．35D ．45C [取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35.]13．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.70D ．0.68B [记“取到质量小于4.8 g ”为事件A ，“取到质量不小于4.85 g ”为事件B ，“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C ．易知事件A ，B ，C 互斥，且A ∪B ∪C 为必然事件．所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.32＋P (C )＝1，即P (C )＝1－0.3－0.32＝0.38.]14．将区间[0,1]内的均匀随机数x 1转化为区间[－2,2]内的均匀随机数x ，需要实施的变换为( )A ．x ＝x 1]B ．x ＝x 1]D ．x ＝x 1]D [∵x 1∈[0,1]，∴0≤2x 1≤2,0≤4x 1≤4，∴2≤2x 1＋2≤4，－2≤4x1－2≤2，∴x＝x1]]15.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝⎩⎨⎧x＋1，x≥0，－12x＋1，x＜0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A．16B．14C．38D．12B[由图形知C(1,2)，D(－2,2)，∵S四边形ABCD＝6，S阴＝12×3×1＝32.∴P＝326＝14.]二、填空题16．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是．25[从6个数字中任取2个数字的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是25.]17．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色不同的概率是．12[设3只白球为a，b，c，黑球为d，则从中随机地摸出两只球，不同的结果有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种；而两只球颜色不同包含：(a ，d )，(b ，d )，(c ，d )，共3种．所以所求事件的概率为36＝12.]18．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是 ．13[设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P (A )＝26＝13.]19．向面积为S 的△ABC 内任投一点F ，则△FBC 的面积小于S2的概率为 ．34 [如图，∵S △FBC ＜12S △ABC ，∴h ′＜h 2，其中h ′为△FBC 中BC 边上的高，h 为△ABC 中BC 边上的高．设DE 为△ABC 的中位线，则点F 应在梯形BCED 内．∴所求概率为P ＝S 梯形BCED S △ABC ＝34.]三、解答题20．从一个装有3个红球A 1，A 2，A 3和2个白球B 1，B 2的盒子中，随机取出2个球．(1)用球的标号列出所有可能的取出结果； (2)求取出的2个球都是红球的概率． [解] (1)所有可能的取出结果共有10个：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2.(2)取出的2个球都是红球的基本事件共有3个：A1A2，A1A3，A2A3.所以，取出的2个球都是红球的概率为310.21．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．[解](1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种．所以P(B)＝515＝13.。
直线与方程一、选择题1．(2024·惠州学考模拟)直线x ＝1的倾斜角是( ) A ．0 B ．45° C ．90°D ．不存在C [直线x ＝1与x 轴垂直，故倾斜角为90°.]2．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1D ．－2A [由题意知，tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.]3．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 改变时，全部的直线恒过定点( ) A ．(1,3) B ．(－1，－3) C ．(3,1)D ．(－3，－1)C [直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．]4．直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0B [∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.]5．直线l 的方程x －2y ＋6＝0的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距分别为( ) A ．12，－6,3B ．12，6,3C ．2，－6,3D ．12，－6，－3A [直线l 的方程x －2y ＋6＝0的斜率为12；当y ＝0时直线在x 轴上的截距为－6；当x＝0时直线在y 轴上的截距为3.故选A ．]6．直线x ＋(1＋m )y ＝2－m 和直线mx ＋2y ＋8＝0平行，则m 的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．1或－2D ．－23A [∵直线x ＋(1＋m )y ＝2－m 和直线mx ＋2y ＋8＝0平行，∴1×2－(1＋m )m ＝0，解得m ＝1或－2，当m ＝－2时，两直线重合．故选A ．] 7．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A ，B 应满意的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0D [方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A ，B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.] 8．若点(4，a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．[0,10] B ．⎣⎡⎦⎤13，313 C ．(0,10)D ．(]－∞，0∪[)10，＋∞A [d ＝|4×4－3a －1|42＋(－3)2＝|15－3a |5≤3，|3a －15|≤15，∴－15≤3a －15≤15,0≤a ≤10.]9．直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(2,1) C ．(0,2)D ．(1,2)C [联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4＝0，2x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是(0,2)．]10．若直线l 1：x －2y ＋1＝0与l 2：2x ＋ay －2＝0平行，则l 1与l 2的距离为( ) A ．55B ．255C ．15D ．25B [若直线l 1：x －2y ＋1＝0与l 2：2x ＋ay －2＝0平行，则12＝－2a ≠1－2，解得a ＝－4.故l 1：x －2y ＋1＝0与l 2：x －2y －1＝0的距离是d ＝21＋4＝255.] 11．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是( ) A ．y ＋2＝3(x －3) B ．y －2＝33(x ＋3) C ．y －2＝3(x ＋3) D ．y ＋2＝33(x －3) C [直线的斜率k ＝tan 60°＝3，由点斜式可得直线的方程为y －2＝3(x ＋3)，所以选C ．]12．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0A [过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线的斜率为12，由点斜式求得直线的方程为y －3＝12(x －2)，化简可得x －2y ＋4＝0，故选A ．]13．已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1A [明显a ≠0.把直线l ：ax ＋y －2＝0化为x 2a ＋y2＝1.∵直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，∴2a＝2，解得a ＝1，故选A ．]14．点M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，则( ) A ．m ＝－3，n ＝10 B ．m ＝3，n ＝10 C ．m ＝－3，n ＝5D ．m ＝3，n ＝5D [∵M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)， ∴4＋62＝n ，m －92＝－3；∴n ＝5，m ＝3，故选D ．] 15．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对B [k AB ＝k DC ，k AD ≠k BC ，k AD ·k AB ＝k AD ·k DC ＝－1，故构成的图形为直角梯形．] 二、填空题16．已知直线l 1：3x －y ＋2＝0，l 2：mx －y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则m ＝ . 3 [∵l 1∥l 2，∴kl 1＝kl 2，3＝m ，即m ＝3.]17．直线l 经过点P (1，－1)，且它的倾斜角是直线x －y ＋2＝0的倾斜角的2倍，那么直线l 的方程是 ．x ＝1 [∵直线l 经过点P (1，－1)，且它的倾斜角是直线x －y ＋2＝0的倾斜角的2倍，直线x －y ＋2＝0的斜率为k ＝1，倾斜角为45°，∴直线l 过点P (1，－1)，倾斜角为90°，∴直线l 的方程为x ＝1.]18．若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是 ．⎣⎡⎦⎤13，313 [由题意知0≤|4×4－3a |42＋(－3)2≤3，解得13≤a ≤313，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，313.] 19．若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则直线l 1与l 2之间的距离为 ．104 [∵直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，∴－2m ＝3， ∴m ＝－23，故直线l 1：6x －2y ＋3＝0，直线l 2：6x －2y －2＝0.则直线l 1与l 2之间的距离为|3－(－2)|62＋(－2)2＝104.] 三、解答题20．已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时， l 1与l 2 (1)相交； (2)平行； (3)重合．[解] 由题意得，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧1·3m －(m －2)·m 2＝0，1·2m －(m －2)·6≠0，可得m ＝－1或m ＝0；l 1与l 2相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧1·3m －(m －2)·m 2≠0，1·2m －(m －2)·6≠0，得m ≠－1，m ≠0，且m ≠3；l 1与l 2重合⇔⎩⎪⎨⎪⎧1·3m －(m －2)·m 2＝0，1·2m －(m －2)·6＝0，可得m ＝3. 综上，(1)当m ≠－1，m ≠0且m ≠3时，l 1与l 2相交； (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1与l 2平行； (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．21．当m 取何值时，直线l 1：5x －2y ＋3m (3m ＋1)＝0与l 2：2x ＋6y －3m (9m ＋20)＝0的交点到直线l 3：4x －3y －12＝0的距离最短？这个最短距离是多少？[解] 设l 1与l 2的交点为M ，则由⎩⎪⎨⎪⎧5x －2y ＋3m (3m ＋1)＝0，2x ＋6y －3m (9m ＋20)＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，9m 2＋18m 2.设M 到l 3的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪12m －32(9m 2＋18m )－1242＋(－3)2＝110×⎣⎢⎡⎦⎥⎤27⎝⎛⎭⎫m ＋592＋473.故当m ＝－59时，距离最短，且d min ＝4730.。
平面向量一、选择题1．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线B [因为BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，所以BD →，AB →共线，又有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选B ．]2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3，λ)且a ⊥b ，则λ的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．32D ．－32A [由向量垂直的充要条件可得：2×3＋1×λ＝0，解得λ＝－6，即λ的值为－6.] 3．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a|＝|b|B ．a·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥bD [a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b.]4．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ． 3 B ．3 C ．－ 3D ．－3D [向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.]5．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．4C [∵(2a －b )·b ＝2a·b －|b|2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.]6．在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6B [由题意得AB ＝32，△ABC 是等腰直角三角形，CM →·CB →＝⎝⎛⎭⎫CA →＋13AB →·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝0＋13|AB →|·|CB →|cos 45°＝13×32×3×22＝3，故选B ．]7.如图，在△ABC 中，已知BD →＝2DC →，则AD →＝( )A ．－12AB →＋32AC →B ．12AB →＋32AC →C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC →C [AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23·(BA →＋AC →)＝13AB →＋23AC →.]8．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2D [∵向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2， ∴a ·b ＝1×2×cos 60°＝1， ∴|2a －b |＝4|a |2＋(b )2－4a ·b ＝4＋4－4＝2，故选D ．]9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A ．⎝⎛⎭⎫79，73 B ．⎝⎛⎭⎫－73，－79 C ．⎝⎛⎭⎫73，79D ．⎝⎛⎭⎫－79，－73D [设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)．又(c ＋a )∥b ， ∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73，故选D ．]10．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( ) A ．－1＋ 3 B ．－2 C ．－1±3 D ．1C [∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2，|a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b ) ·( a ＋b )|k a －b||a ＋b |，即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2，化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.]11．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形B [由AB →＝DC →知四边形ABCD 是平行四边形，由AC →·BD →＝0知AC ⊥BD ，即对角线垂直，所以四边形ABCD 是菱形．]12.如图，已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43bB [BC →＝2BD →＝2⎝⎛⎭⎫23BE →＋13AD → ＝43BE →＋23AD →＝23a ＋43b .] 13．若非零向量a ，b 满足|a|＝|b|，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°C [由题知，(2a ＋b )·b ＝2a·b ＋b 2＝2|a |2cos 〈a ，b 〉＋a 2＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴a ，b 的夹角为120°.]14．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( ) A ．(2,6) B ．(－2，－6) C ．(2，－6)D ．(－2,6)D [设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)．]15．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)C [∵|BC →|＝|AC →－AB →|，且||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|AC →|＋|AB →|.∴3≤|AC →－AB →|≤13. ∴3≤|BC →|≤13.] 二、填空题16．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝ . 1 [a －2b ＝(3，3)．∵a －2b 与c 共线，∴3×3＝3k ，解得k ＝1.]17．等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么ab ＋bc ＋ca 等于 ． －32 [∵等边三角形ABC 的边长为1， ∴a ·b ＝1×1×cos 120°＝－12，b ·c ＝1×1×cos 120°＝－12，c ·a ＝1×1×cos 120°＝－12，∴ab ＋bc ＋ca ＝－32.]18．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a·b )b ，则|c|＝ . 82 [由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)， ∴|c|＝82＋(－8)2＝8 2.]19．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a|＝|b|＝1，则a 与b 的夹角θ为 ． π3 [因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b －8＋5＝0，即a·b ＝12. 又a·b ＝|a||b|cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.]三、解答题20．已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2.求： (1)(a －2b )(a ＋b )； (2)|3a －4b |.[解] a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， ∴ab ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4， (1)(a －2b )(a ＋b )＝|a |2－2ab ＋ab －2|b |2＝16＋4－2×4＝12. (2)|3a －4b |2＝9|a |2－24ab ＋16|b |2＝9×42－24× (－4)＋16×22＝16×19，∴|3a －4b |＝419.21．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c|＝25，且c 与a 方向相反，求c 的坐标； (2)若|b|＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. [解] (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 及|c|＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，因为c 与a 方向相反，所以c ＝(－2，－4)． (2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a·b －2b 2＝0， 所以2|a|2＋3a·b －2|b|2＝0，所以2×5＋3a·b －2×54＝0，所以a·b ＝－52.所以cos θ＝a·b|a||b|＝－1.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.。
一、选择题1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面D[可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．]2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在B[若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．]3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交C[取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，又BD，AC异面，∴选C．]4．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是()A．m∥n B．n⊥mC．n∥αD．n⊥αB[已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，应增加条件n⊥m，才能使得n ⊥β.]5．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝6，则异面直线BD 1与CC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°B [∵CC 1∥BB 1，∴∠D 1BB 1是异面直线BD 1与CC 1所成的角．∵AB ＝BC ＝3，AA 1＝ 6.∴B 1D 1＝3＋3＝ 6.∵BB 1⊥B 1D 1，∴tan ∠D 1BB 1＝B 1D 1BB 1＝66＝1， ∴∠D 1BB 1＝45°，∴异面直线BD 1与CC 1所成的角为45°.]6．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎬⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎬⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③ ⎭⎬⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n ；④⎭⎬⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 C [①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．]7．在正四面体P -ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDF ⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABCC[由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面P AE，故B正确．由DF⊥平面P AE可得，平面P AE⊥平面ABC，故D正确．故选C．] 8．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面A[∵E，F分别是AA1，BB1的中点，∴EF∥AB．又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.]9．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定B[易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC．]10.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，又BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H一定在()A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部B[∵在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．又∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，过C1作C1H⊥底面ABC，故C1H⊂平面ABC1，故点H一定在直线AB上，故选B．] 11．下列说法中正确的个数是()①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．A．0 B．1C．2 D．3A[①错误．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能有2条或3条交线，还可能只有1条交线．②错误．如果a，b是两条直线，a∥b，那么a有可能在经过b的平面内．③错误．直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时a可以与平面α内无数条直线平行．]12．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3A[如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，CD∥AB，AB⊂平面ABCD，但CD ⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．]13．已知直线m，n与平面α，β，下列说法正确的是()A．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，则n⊥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB[A错误．由m⊥α，α⊥β可知m∥β或m⊂β.又n∥β，所以m与n的位置关系不确定．B正确．因为α⊥β，设α∩β＝l，在l上取点O，过O在α内作OA⊥l，则OA⊥β，又n⊥β，所以OA∥n.过O在β内作OB⊥l，则OB⊥α，又m⊥α，所以OB∥m.∠AOB是二面角α－l－β的平面角，由α⊥β知∠AOB＝90°，所以m⊥n.C 错误．由面面垂直的性质定理可知，因为缺少n⊂β，所以无法推出n⊥α.D错误．m 与n位置关系不确定．]14．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定C[因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC．同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C．]15.如图，P A⊥正方形ABCD，下列结论中不正确的是()A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．P A⊥BDC[∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，∵AB⊥BC，∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥PB，A正确，同理可得PD⊥CD，B正确，又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，D正确，故选C．]二、填空题16．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面是四边形，则它的周长为．20[如图可知截面EFGH是平行四边形，且EF＝12AC＝4，FG＝12BD＝6，∴四边形周长是2×(4＋6)＝20.]17．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为．60°[连接BC1，A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角(或其补角)．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.]18．直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．①②③[①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．]19．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．A1C1⊥B1C1[如图所示，连接BC1，B1C．由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C．因此，要得AB1⊥BC1，则需BC1⊥平面AB1C，即只需AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要满足AC⊥BC即可．而A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要满足A1C1⊥B1C1即可．]三、解答题20.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线D1A与BD所成的角．[解](1)证明：在正方体中，D1A∥C1B，又C1B⊂平面C1BD，D1A⊄平面C1BD，∴D1A∥平面C1BD．(2)∵D1A∥C1B，∴异面直线D1A与BD所成的角是∠C1BD．又△C1BD是等边三角形，∴∠C1BD＝60°，∴D1A与BD所成的角是60°.21.(2018·韶关市高一期末)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，点E为PB的中点．(1)求证：PD∥平面ACE；(2)求证：平面ACE⊥平面PBC．[证明](1)连BD交AC于O，连EO，∵ABCD为矩形，∴O为BD中点．∵E为PB中点，∴EO∥PD，∵EO⊂面ACE，PD⊄面ACE，∴PD∥面ACE. (2)∵P A⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴P A⊥BC，∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，∵P A∩AB＝A，∴BC⊥面P AB，∵AE⊂面P AB，∴BC⊥AE，∵AP＝AB，E为PB中点，∴AE⊥PB，∵BC∩PB＝B，∴AE⊥面PBC，∵AE⊂面ACE，∴面ACE⊥面PBC．。
2021届 广东省普通高中学业水平测试考前训练卷（5）数学试卷注意: 本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间为90分。
一、选择题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）1.已知集合{}0,2,4M =,{}1,2,3N =, {}0,3P =, 则()M N P =（ ）A.{}0,1,2,3,4B. {}0,3C. {}0,4D. {}02.函数lg(1)y x =+的定义域是（ ）A.(,)-∞+∞B. (0,)+∞C. (1,)-+∞D. [1,)-+∞3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．72B ．48C ．27D ．364. 下列命题正确的是（ ）A ．一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行B ．一直线与平面平行，则平面内有且只有一条直线与已知直线平行C ．一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行D ．一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面5.已知直线l 过点A(1,2),且与直线21y x =+垂直,则直线l 的方程是（ ）A. 2y x =B. 24y x =-+C. 1322y x =+D. 1522y x =+ 6．如图，设点,A B 在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ．测出,A C 两点间的距离为50m ．45,105ACB CAB ︒︒∠=∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）m ．A ．252B ．252C ．502D ．503 7.已知三点A(-3, 3), B(4, 2), C(1,0),则||AB BC +=（ ）A. 5B. 4C.D. 8.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,终边过点P )2-,下列等式不正确的是 A. 2sin 3α=- B. 2sin()3απ-=C. cos α=D. tan α= 9.下列等式恒成立的是（ ）A. 23x -= (0x ≠)B. 22(3)3x x =C.22333log (1)log 2log (3)x x ++=+D. 31log 3x x =- 10. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=,则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. 21n + B. 2n C. 21n - D. 12n - 11.已知实数x, y 满足32x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z =2x +y 的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 9D. 1012.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ）A.22(2)(5)x y +++=B. 22(2)(5)18x y +++=C. 22(2)(5)x y -+-=D. 22(2)(5)18x y -+-=13.下列不等式一定成立的是（ ） A.12x x +≥ (0x ≠) B. 22111x x +≥+ (x R ∈) C. 212x x +≤ (x R ∈) D. 2560x x ++≥ (x R ∈)14.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时, 2()sin f x x x =-,则当[0,)x ∈+∞时, ()f x =（ ）A. 2sin x x +B. 2sin x x --C. 2sin x x -D. 2sin x x -+ 15. 已知函数()321,02log ,0x x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()()15f f -=，则a =（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分．）16. 已知数列{}n a 满足111,2n n a a a +==，则4a 的值为 ;17. 函数()sin cos(1)cos sin(1)f x x x x x =+++的最小正周期是18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数不小于20的概率是19. 已知高为8的圆柱内接于一个直径为10的球内，则该圆柱的体积为__________．三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，满分36分．）20.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点.(1)写出降税后税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围.21．已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f 。
