命题40 解析几何中减少计算量的几种方法 (原卷版)
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备战2021新高考数学命题分析与探究
命题40 解析几何中减少计算量的几种方法
第一部分 命题点展示与分析
(1)(经典题，5分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c
x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
(2)(2019四川遂宁期末，5分)设点F 和直线l 分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点和一条渐近线．若F 关于直线l 的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A ．2 B. 3
C.5
D. 2
(3)(2019山东淄博模拟，5分)已知A (0，3)，若点P 是抛物线x 2＝8y 上任意一点，点Q 是圆x 2＋(y －2)2＝1上任意一点，则|P A |2|PQ |
的最小值为( ) A ．43－4 B ．22－1
C ．23－2
D ．42＋1
(4)(经典题，5分)已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦
⎤12，22，则a 的最大值为________． (5)(2017全国Ⅰ，12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝
⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．
(Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．
(6)(经典题，5分)如图40－2，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，交PQ 于N ，若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率为( )
图40－2 A.233 B.62
C. 2 D 3
(7)(2021改编，5分)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l 的倾斜角为________．
(8)(2021改编，5分)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB
→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________．
(9)(2021改编，5分)已知椭圆C ：x 28＋y 2
4
＝1的左焦点为F ，过F 的直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A, B 两点．若|AB |＝
823，则 k 的值为( ) A.22
B. 2 C ．－1 D ．±1
(10)(2019江西模拟，5分)如图40－4，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C .若|BC |＝4|BF |，且|AF |＝6，则p 的值为( )
图40－4
A.94
B.92
C ．9
D ．18
命题方向五巧设点参：用点的坐标有时更容易表示题中条件和问题，此时以点的坐标作为变量比设直线方程更佳
(11)(2019陕西一模，5分)已知直线y ＝－3x ＋t 与双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右支交于M ，N 两点，点M 在第一象限．若点Q 满足OM →＋OQ →＝0，且∠MNQ ＝30°(其中O 为坐标原点)，则双曲线C 的渐
近线方程为( )
A ．y ＝±12
x B ．y ＝±2x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±x 命题方向六巧设线参：根据已知条件灵活选用直线方程的表示形式
(12)(2019湖南衡阳二模，12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)上一点P ⎝⎛⎭⎫1，32，过P 作两条直线，分别交E 于点A ，B ，当点A ，B 关于坐标原点O 对称且直线P A ，PB 的斜率都存在时，有k P A ·k PB ＝－34
. (Ⅰ)求椭圆E 的标准方程；
(Ⅱ)若直线P A ，PB 关于直线x ＝1对称，则当△OAB 面积最大时，求直线AB 的方程．
(13)(经典题，5分)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的右焦点为F ，直线y ＝43
x 与双曲线相交于A ，B 两点，若AF ⊥BF ，则双曲线C 的渐近线方程为________．
(14)(经典题，5分)过椭圆x 216＋y 2
4
＝1内一点M (1，1)引一条弦AB ，使得M 恰为AB 的中点，则直线AB 的方程为________．
(15)(经典题，5分)已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点A (1，0)，在圆O 上存在点P ，直线l ：x ＋y ＋a ＝0上存在点Q ，使得P A ⊥AQ ，且P A ＝AQ ，则实数a 的取值范围是________．
(16)(经典题，10分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 两点作抛物线C 的切线，记这两条切线的交点为点P ，证明：点P 在定直线上．
(17)(经典题，5分)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴交于点A ，与双曲线
x 2－y 24＝1相交于B ，C 两点，且||AB <||AC ，则||AC ||
AB 的取值范围是________． (18)(经典题，5分)已知P ，Q 是直线x ＝2与抛物线y 2＝2x 的两个交点(点P 在点Q 的上方)，两条经过点P 且关于直线PQ 对称的直线l 1，l 2与抛物线的另一交点为M ，N ，则直线MN 的斜率为________．
第二部分 命题点素材与精选
1．(2019山东威海二模，5分)设F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P (x 0，2a )为双曲线上的一点，若△PF 1F 2的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为( )
A.62
B.52
C.6
D. 5 2．(2019山东青岛二模，5分)已知抛物线C ：y 2＝8x 与直线y ＝k (x ＋2)(k >0)相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则AB 的中点的横坐标为( )
A.52 B ．3 C ．5 D ．6
3．(2019天津河东区一模，13分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为 3.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)如图40－10，设F 1，F 2是椭圆E 的左、右焦点，椭圆E 的一个内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过点F 1和F 2，求这个平行四边形的面积的最大值．
图40－10
4．(2021改编，5分)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点，P ，Q 是椭圆上两点，线段PQ 经过点F 1，且PQ ⊥PF 2，当||PQ ||PF 2∈⎝⎛⎭
⎫34，43时，a 的取值范围是________． 5．(经典题，12分)如图40－11所示，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.
图40－11
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.
6．(经典题，12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若在椭圆上有相异的两点A ，B (A ，O ，B 三点不共线)，O 为坐标原点，且直线AB ，OA ，OB 的斜率满足k 2AB ＝k OA ·
k OB (k AB >0)．求证：||OA 2＋||OB 2为定值；。
