数学--人教 双曲线 同步学案

学案：双曲线学习目标：掌握双曲线的两种定义，标准方程，双曲线中的基本量及它们之间的基本关系 学习重点：熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质及应用.1.与22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程22a x －22y bλ=（0λ≠）．2.与22221x y a b -=有相同焦点的双曲线方程22x a k -－221y b k =+（2k a <且2k b ≠-） 3.双曲线形状与e 的关系：b k a ===,e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔. 二、典例分析：问题1．根据下列条件，求双曲线方程：()1与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；()2与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点()2；()3以椭圆221259x y +=的长轴端点为焦点，且过点()P ；()4经过点15,34⎛⎫ ⎪⎝⎭，且一条渐近线方程为430x y +=；()5(4,.问题2．()1设P 是双曲线2213y x -=的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知()3,1A ，①求PA PF +的最小值；②求12PA PF +的最小值.()2由双曲线22194x y -=上的一点P 与左、右两焦点1F 、2F 构成12PF F △，求12PF F △的内切圆与边12F F 的切点坐标.问题3．已知双曲线方程为22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右两焦点1F 、2F ，P 为双曲线右支上的一点，1373PF =，2PF =12F PF ∠的平分线交x 轴于12,05Q ⎛⎫⎪⎝⎭问题4．已知直线l ：1y kx =+与双曲线2221x y -=与右支有两个交点A 、B ， 问是否存在常数k ，使得以AB 为直径的圆过双曲线的右焦点？三、巩固训练：1.双曲线22149x y -=的渐近线方程是.A 32y x =± .B 23y x =± .C 94y x =± .D 49y x =±2.双曲线的渐近线方程为x y 21±=，且焦距为10，则双曲线方程为.A 152022=-y x .B 120522=-y x 或152022=-y x .C 120522=-y x .D 221205x y -= 3.双曲线1422=+ky x 的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是 .A (,0)-∞ .B (3,0)- .C (12,0)- .D (60,12)--4.若方程22131x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是 5.双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积是.A 2 .B 4 .C .D 26.与圆22(3)1x y ++=及圆22(3)9x y -+=都外切的圆的圆心轨迹方程为7.过点(0,3)作直线l ，如果它与双曲线13422=-y x 有且只有一个公共点，则直线l 的条数是四、反馈训练1.双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是.A 22121e e += .B 22121e e -= .C 1112221=-e e .D 1112221=+e e2.如果12,F F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦， 且6AB =，则2ABF △的周长是3.双曲线221169x y -=的左支上的P 点到右焦点的距离为9，则点P 的坐标为 4.设1F 、2F 分别为双曲线22145x y -=的左、右焦点，l 为左准线，()00,P x y 为双曲线 左支上一点，P 点到l 的距离为d ，已知d ，1PF ，2PF 成等差数列，求0x 的值。

双曲线的标准方程【学习目标】1．通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养．2．借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．【学习重难点】1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．（重点）2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．（重点）3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．（难点）【学习过程】一、新知初探1．双曲线定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．2（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）二、初试身手1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线．（）（2）在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b．（）（3）双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a >b ．（ ）2．双曲线x 215－y 2＝1的焦距为（ ）A ．4B ．8C ．14D ．214 3．若点M 在双曲线x 216－y 24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．124．点P 到两定点F 1（－2,0），F 2（2,0）的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹方程为_________．三、合作探究类型1：双曲线定义的应用【例1】已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32．试求△F 1PF 2的面积．类型2：求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．（1）一个焦点是（0，－6），经过点A （－5,6）；（2）经过点P 1⎝⎛⎭⎪⎫－2，325和P 2（437，4）两点．类型3：与双曲线有关的轨迹问题【例3】在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．【学习小结】1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a （2a ＜|F 1F 2|）不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a ＞b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1（mn ＜0）的形式求解．【精炼反馈】1．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为（ ） A ．12 B ．1或－2C ．1或12D ．13．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．（1,2）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，－2）D ．（－2,2）4．已知双曲线的两个焦点分别为F 1（－5，0），F 2（5，0），P 是双曲线上的一点且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为_________．5．已知动圆M 与圆C 1：（x ＋3）2＋y 2＝9外切且与圆C 2：（x －3）2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．。

高二数学双曲线人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：双曲线［教学目标］1. 理解并掌握双曲线定义。

（第一定义、第二定义）2. 理解双曲线的标准方程，并能根据条件确定双曲线的标准方程，熟练掌握待定系数法。

3. 理解并掌握双曲线的几何性质，能熟练应用几何性质确定双曲线的标准方程。

4. 掌握直线与双曲线的位置关系的判定，会求双曲线截直线所得的弦长，且会用弦的中点性质解决相关问题。

［能力训练］通过椭圆与双曲线的类比，掌握双曲线的标准方程和几何性质，培养学生分析、归纳、推理的能力。

进一步理解并掌握代数知识在几何运算中的作用，提高解方程组和计算能力，培养和训练数形结合的能力。

二. 重点、难点：1. 重点：双曲线的定义、标准方程、几何性质的运用；2. 难点：双曲线的定义、标准方程、几何性质的综合应用，双曲线渐近线的概念及方程的导出。

三. 教学过程：（一）知识提要1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上的：x a y ba b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

222线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。

<>=>41离心率：e cae () e 越大，双曲线的开口就越开阔。

<>±5渐近线：y ba x =<>=±62准线方程：x a c()（）焦点在轴上双曲线，的几何性质：21002222y y a x ba b -=>>（学生自己总结）5.若双曲线的渐近线为y bax =±则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：x a y b 22220-=≠λλ()【典型例题】 例1. 选择题。

双曲线及其性质【学习目标】① 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．【考纲要求】双曲线为A 级要求 【自主学习】 1．双曲线的定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-by ax ，焦点在 轴上；12222=-bx ay ，焦点在 轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,12222>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，渐近线方程为 ．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．(5) 具有相同渐近线x ab y ±=的双曲线系方程为(6) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ． (7)12222=-b y a x 的共轭双曲线方程为 ．【基础自测】1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .2.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .3.已知椭圆2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）与双曲线2222n y m x -=1（m ＞0,n ＞0）有相同的焦点（-c ，0）和（c ，0）.若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于 .4.设F 1、F 2分别是双曲线2222b y a x -=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为 .5.（2008·上海春招）已知P 是双曲线9222y ax -=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -y =0,设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF 2|=3，则|PF 1|= .[典型例析]例1根据下列条件，写出双曲线的标准方程(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．变式训练1：根据下列条件，求双曲线方程。

人教版高中数学双曲线教案
教学目标：
1. 了解双曲线的定义和性质。

2. 掌握双曲线的标准方程和图像。

3. 能够利用双曲线方程解决实际问题。

教学重点：
1. 双曲线的定义。

2. 双曲线的标准方程和图像。

3. 利用双曲线求解实际问题。

教学难点：
1. 确定双曲线的焦点和渐近线。

2. 利用双曲线方程解决实际问题。

教学准备：
1. 教师准备双曲线的相关知识讲解。

2. 准备多媒体教学资料，用于展示双曲线的图像。

3. 准备练习题，用于学生巩固练习。

教学过程：
一、引入：
教师通过举例引入双曲线的概念，并讲解双曲线的定义和性质。

二、概念讲解：
1. 讲解双曲线的标准方程和图像。

2. 解释双曲线的焦点和渐近线的概念。

三、例题演练：
1. 讲解双曲线的方程与图像的对应关系。

2. 解答一些实际问题，让学生应用双曲线方程进行求解。

四、课堂练习：
教师出示多个双曲线练习题，让学生在课堂上进行解答。

五、总结：
教师总结本节课的重点内容，强调学生需要重点掌握的知识点。

六、作业布置：
布置相关的练习题作业，要求学生在家中完成，并在下节课上进行讲解和批改。

教学反思：
通过本节课的教学，发现学生在理解双曲线的概念和性质上存在一定的困难，需要进一步加强讲解和练习。

在下节课上会结合学生的实际情况进行有针对性的教学。

双曲线及其标准方程学案设计思路本节课始终采用了类比的思想,从反比例函数是双曲线出发,从椭圆的概念入手,动画演示双曲线的形成过程,并采用类比的方法，推导双曲线的方程。

得出方程之后，再进一步与椭圆对比，分析它们的异同点。

在例题的选择上，主要围绕加强对定义的理解和标准方程的掌握上设计。

在本节课的最后，还留给学生一道研究性问题，让他们对以前学过的反比例函数有更深的认识。

详细内容[三维目标]1.掌握双曲线的定义, 并能根据双曲线定义恰当地选择坐标系, 建立及推导双曲线的标准方程；2.通过与椭圆的类比、对照, 掌握双曲线的标准方程, 理解并掌握椭圆与双曲线之间的区别与联系, 并培养学生分析、归纳、推理等能力．a b c, 能根据条件确定双曲线的3．掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的,,标准方程．4．通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美,培养学习数学的兴趣．5．能利用双曲线的有关知识解决与双曲线有关的简单实际应用问题了．[重点难点]重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．难点：双曲线的标准方程的推导. [教学过程]一、情境创设问题1:前面我们学习了椭圆的标准方程和几何性质.我们知道,椭圆是圆锥曲线中的一种,今天我们要学的双曲线也是圆锥曲线的一种,为什么把它们归纳为圆锥曲线?问题2:请某个同学建立一个坐标系,类比椭圆的方程的推导过程,探索双曲线的标准方程.二、建构数学 1、双曲线的概念:平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线, 这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点的距离叫做双曲线的焦距．注意:双曲线的概念的内涵是什么? ①② ③ ④探索:双曲线中0a c <<是为什么? (1)(2)(3)2、双曲线标准方程的推导：建系设点——建立方程——化简两种标准方程：()222210,0x y a b a b -=>>，()222210,0y x a b a b-=>>思考:怎样从标准方程来判断焦点落在哪条坐标轴?问题3:双曲线与椭圆的异同点三、数学运用例1.已知曲线C :22132x y k k+=-+(1)当k 取何值是时,曲线C 表示焦点在x 轴的双曲线? (2)当k 取何值是时,曲线C 表示焦点在y 轴的双曲线?例2.若a R ∈,2a =表示什么曲线?例 3.求与圆A :22(5)49x y ++=和圆B :22(5)1x y -+=迹方程四、课堂练习求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)4a =,3b =, 焦点在x 轴上.(2)焦点在y轴上,焦距为12,且过点(2,5)-(3)经过两点(,(3五、课堂小结问题4:请某个同学对我们这节课做个简单的小结.六、课后作业七、板书设计八、课后研讨前面我们在推导双曲线标准方程时，我们考虑了焦点在坐标轴上的情况，如果焦点不在坐标轴上呢？下面设计了这样一个问题：已知：焦点坐标为()()122,2,2,2F F --，24a =，求满足这样条件的双曲线的方程，并与我们以前学过的反比例函数作对照，分组写一个研究小报告。

双曲线一、考纲要求中心在坐标原点双曲线的标准方程与几何性质A 级 二、复习目标1．理解双曲线的定义；2．会求双曲线的标准方程 3．掌握双曲线的性质 三、重点难点双曲线的标准方程与几何性质 四、要点梳理五、基础自测1、双曲线221916y x -=的 轴在x 轴上， 轴在y 轴上，实轴长= ，虚轴长= ， 焦距= ，顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，渐近线方程是 ，离心率是 ，若点P 00(,)x y 是双曲线上的点，则0x ∈ ，0y ∈2、已知方程22121x y k k +=--表示双曲线，则k 的取值范围是 3、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________． 4、设12,F F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且120PF PF =则12PF PF +＝________.5、在ABC ∆中，(6,0),(6,0)B C -,直线AB,AC 的斜率乘积为94，则顶点A 的轨迹方程为 六、例题解析例1、求适合下列条件的双曲线方程（1224936x y +=有公共焦点的双曲线方程；（2）实半轴长为221164x y -=有公共焦点的双曲线方程；（3）经过点P （3，，Q （-，7）的双曲线方程；（4）已知的两个顶点间的距离为2，焦点到渐近线的距离为2，求双曲线方程； （5）过点M （10，83）且两条渐近线13y x =±和双曲线方程。

例2、已知椭圆具有性质，若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为K PM 、K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值，试对双曲线2222':1x y C a b-=写出具有类似特性的性质，并加以证明。

例3、如图，已知双曲线2221(0)x C y a a-=>的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）.（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值例4、 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形性 质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a x y ＝±a b x离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)① 与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a-=② 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；③ 焦半径：21()a PF e x ex a c=+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c =-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；④ 与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλby a x注意：1.区分双曲线与椭圆中a 、b 、c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ＞1；椭圆的离心率e ∈(0,1)． 2．渐近线与离心率：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．[注意]当a >b >0时，双曲线的离心率满足1<e <2；当a ＝b >0时，e ＝2(亦称为等轴双曲线)；设计意图：巩固双曲线方程Ax 2－By 2＝1(AB>0)，对条件进行加强训练， 对此方程既可以正用，又可逆用．巩固训练(1)方程x 22－m ＋y2m ＋1＝1表示双曲线时，m 的取值范围为____________．(2)方程x 22－m ＋y2m ＋1＝1表示椭圆时，m 的取值范围为____________．(3)方程x 22－m ＋y2m ＋1＝1表示圆时，m 的值为____________．【题型二、双曲线的几何性质】【例5】“此双曲线的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且π4＜α＜π3”，求双曲线的离心率的取值范围．【例6】已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．【例7】双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A. 2B. 22C.4D.42巩固训练1、已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.432、(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3D. 2【题型三、直线与双曲线的位置关系】【例8】已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP ·OQ ＝0.求1|OP |2＋1|OQ |2的值．【方法技巧】1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．[注意] 根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．变式训练：1、F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|1MF ,|＝3|2MF ,|，则此双曲线的渐近线方程为________________．课后作业【基础巩固】1．已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 22－y 24＝1 C.x 224－y 28＝1D.x 28－y 224＝1 2．若双曲线过点(m ，n )(m ＞n ＞0)，且渐近线方程为y ＝±x ，则双曲线的焦点( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上3．已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为( )10．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．11．如图，P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，已知PF 1·PF 2＝0，且|PF 1|＝2|PF 2|.(1)求双曲线的离心率e ；(2)过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P 1，P 2两点，若OP 1·OP 2＝－274，2PP 1＋PP 2＝0.求双曲线C 的方程．12．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．课前小测1．若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－22，0 B.⎝⎛⎭⎫－52，0 C.⎝⎛⎭⎫－62，0D.()－3，02．若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )A.255B.32C.233D ．23．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．83C ．24D ．484．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k |·e ＝________.双曲线 参考答案 课前小测1．若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－22，0 B.⎝⎛⎭⎫－52，0 C.⎝⎛⎭⎫－62，0D.()－3，02．若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )A.255B.32C.233D ．23．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．83C ．24D ．484．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k |·e ＝________.课前小测1．解析：选C ∵双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62. ∴左焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－62，0. 2．解析：选C 依题意得a 2＋1＝4，a 2＝3， 故e ＝2a 2＝23＝233.3．解析：选C 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.4．解析：由题意知a 2＋1a ＝1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＝2，解得a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，即y ＝±3x .答案：y ＝±3x5．解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支，∵c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，e ＝c a ＝54，|k |＝43.∴|k |·e ＝43×54＝53.[例1] [自主解答] (1)∵x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝ 5.(2)不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2， 所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4， 则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.（3）思路分析：首先根据题意，判断轨迹的形状，由声速及A ，B 两处听到爆炸声的时间差，可知A ，B 两处离爆炸点的距离的差为定值．这样，爆炸点在以A ，B 为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A 处比离B 处远，所以爆炸点应在靠近B 处的双曲线的一支上． 解：(1)设M 为爆炸点，由题意得 |MA|－|MB|＝340×2＝680.∵爆炸点离A 点比离B 点距离更远，∴爆炸点在以A 、B 为焦点且距B 较近的双曲线的一支上．(2)如图所示，建立直角坐角系，使A 、B 两点在x 轴上，并且点O 与线段AB 的中点重合．设爆炸点M 的坐标为(x ，y)，则|MA|－|MB|＝340×2＝680，即2a ＝680，a ＝340.∵|AB|＝800，∴2c＝800，c ＝400，b 2＝c 2－a 2＝44 400， ∵|MA|－|MB|＝680>0，∴x>0.∴曲线的方程为x 2115 600－y244 400＝1(x>0)．[答案] (1)A (2)2 31、解析：选B 由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2＞1，∴|PF 2|＝17.例2解法一：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b=1. 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.变式训练：(1)x 2－y 29＝1例3、[解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y变式训练：(1） x 236－y 264＝1或y 264－x 236＝1例4、解：由(2－m)(m ＋1)>0，得－1<m<2.变式训练：1、解：由(2－m)(m ＋1)<0，得m<－1或m>2.2、解：由⎩⎪⎨⎪⎧2－m>0，m ＋1>0，2－m≠m＋1，得m∈(－1，12)∪(12，2)．3、解：由2－m ＝m ＋1，得m ＝12.总结：设设双曲线、椭圆方程时的通法，但一定要注意条件．例5、若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且π4＜α＜π3”，求双曲线的离心率的取值范围．解：根据题意知1＜ba ＜3，即1＜e 2－1＜ 3.所以2＜e ＜2. 即离心率的取值范围为( 2，2)． 例6、4π 例7、A 变式训练解析：1选C 由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.2解析：选B 设点P (m ，n )，依题意得，点F (2,0)，由点P 在抛物线y 2＝8x上，且|PF |＝5得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＝5，n 2＝8m ，由此解得m ＝3，n 2＝24.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .例8、[自主解答] (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，双曲线方程为x 2a 2－y 23a2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.∵点M (5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4. ∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 212＝1，得⎩⎨⎧x 2＝123－k 2，y 2＝12k 23－k 2，∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12(k 2＋1)3－k 2.则OQ 的方程为y ＝－1kx ，同理有|OQ |2＝12⎝⎛⎭⎫1＋1k 23－1k 2＝12(k 2＋1)3k 2－1，∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1)＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16.变式训练1、解析：由双曲线的性质可得|2MF ,|＝b ，则|1MF ,|＝3b .在△MF 1O 中，|OM ,|＝a ，|1OF ,|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－ac ，由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－ac，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝2b 2，即b a ＝22，故此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x课后作业：1解析：选A 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，c ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，a 2＋b 2＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，故双曲线方程为x 24－y 212＝1.2．解析：选A ∵m ＞n ＞0，∴点(m ，n )在第一象限且在直线y ＝x 的下方，故焦点在x 轴上． 3． 解析：选D∵m 2＝16，∴m ＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m ＝4时，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32.当m ＝－4时，e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 5.5．解析：选C 由1PF ,·2PF ,＝0得1PF ,⊥2PF ,，设|1PF ,|＝m ，|2PF ,|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.6．解析：选C 依题意得，动点P 位于以点A ，B 为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP |的最小值等于32.7．解析：∵双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)， ∴1＋1k ＝32＝9，可得k ＝18.答案：188．解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则ba ＝2，即b ＝2a ，又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.答案：1 29．解析：设双曲线的右焦点为F ′.由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102.答案：10210．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴1MF ·2MF ＝0. 11．． 解：(1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1， 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝6， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，则∠F 1PF 2＝90°. 12．解：(1)由PF 1·PF 2＝0，得PF 1⊥PF 2，即△F 1PF 2为直角三角形．设|PF 2|＝r ，|PF 1|＝2r ，所以(2r )2＋r 2＝4c 2，2r －r ＝2a ，即5×(2a )2＝4c 2.所以e＝ 5.(2)ba ＝e 2－1＝2，可设P 1(x 1,2x 1)，P 2(x 2，－2x 2)，P (x ，y )， 则OP 1·OP 2＝x 1x 2－4x 1x 2＝－274， 所以x 1x 2＝94.①由2PP 1＋PP2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＝－2(x 1－x )，－2x 2－y ＝－2(2x 1－y )， 即x ＝2x 1＋x 23，y ＝2(2x 1－x 2)3.又因为点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以(2x 1＋x 2)29a 2－4(2x 1－x 2)29b 2＝1.又b 2＝4a 2，代入上式整理得x 1x 2＝98a 2.②由①②得a 2＝2，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 22－y 28＝1.13．【解】 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2. 由题意得{ |CF 1|＝r ＋2|CF |＝r －2或{ |CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线， 其方程为x 24－y 2＝1.(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |，且|MF |＝(355－5)2＋(455－0)2＝2.直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655.此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255)．。