八年级数学下册 16.3.1 二次根式的乘除(第1课时)教案 新人教版(2021-2022学年)

二 次 根 式 复习课

【知识点汇总】

知识点一： 二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而

第十六章 二次根式

16.1 二次根式

第1课时 二次根式的概念

1.理解二次根式的概念.

2.利用a(a≥0)的意义解答具体题目.

自学指导：阅读教材第2页至3页，完成下列的问题.

知识探究

平方根的性质：

正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：

(1)面积为S的正方形的边长为__________；

(2)要修建一个面积为6.28 m2的圆形喷水池，它的半径约为__________m；

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h=5t2如果用含有h的式子表示t，则t=__________.

在上面的问题中，结果分别是S、2、5h，它们都表示一些正数的算术平方根.

一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.

开平方时，被开方数a的取值范围是a≥0(为什么？)

自学反馈

(1)下列式子，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？

2、33、1x、x(x>0)、0、42、-2、1xy、xy(x≥0，y≥0).

是二次根式的有：2、x（x>0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；

不是二次根式的有：33、1x、42、1xy.

判断二次根式的依据是一个形式一个条件，二者缺一不可.

(2)当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 1a a≥1 23a a≥-32

3a a≤3 5a a≥0

a a≤0 2a 任意实数

13a a>3 21a

任意实数

21a

任意实数

二次根式中求字母的取值范围的依据是：被开方数大于等于零.

四川省乐山市马边县

2019年5月8日 第十六章 二次根式

16.3二次根式的加减

第1课时 二次根式的加减

【知识与技能】

会进行二次根式的加减运算，利用二次根式的加减法解决生活实际问题.

【过程与方法】经历由实际问题引入数学问题的过程，提高学生的抽象概括能力，进而掌握二次根式的加减运算方法.

【情感态度】培养学生认真观察、思考的习惯，锻炼严谨细致、一丝不苟的科学精神.

【教学重点】二次根式的加减法运算方法.

【教学难点】二次根式的加减法的实际应用.

一、情境导入,初步认识

问题 现有一块长7.5dm，宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？

【教学说明】可借助多媒体（或幻灯片）展示木板，尝试截取两个正方形木块，并引导学生思考.解决问题的关键在哪里？如何解决？激发学生的学习兴趣和求知欲望.

二、思考探究，获取新知

让学生相互讨论，共同探究，寻求解决问题的方案.与此同时，教师可设置如下问题帮助学生进行理解和分析：

1.两个正方形木块的边长分别是多少？

2.最大正方形木板的边长与原长方形木板的宽5dm的大小如何？ 四川省乐山市马边县

2019年5月8日 3.两个正方形木板的边长之和与长方形木板的长7.5dm的大小关系如何？你认为用什么办法来得出结论的？

4.谈谈你获得结论的过程中的想法，你有哪些新的认识？在学生充分交流，初步形成认知后，师生共同探讨：上述实际问题中，实质是求8与18这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：

【教学说明】本环节教师要放手让学生自主探究，自主发现问题，并尝试解决问题，并能总结规律，形成认知.同时，教师应关注学生的完成情况，能否正确进行二次根式的化简，能否运用分配律将二次根式合并.

【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

三、典例精析，掌握新知

四川省乐山市马边县

16.3 二次根式的加减

第1课时

教学目标

【知识与技能】

会进行二次根式的加减运算，利用二次根式的加减法解决生活实际问题.

【过程与方法】经历由实际问题引入数学问题的过程，提高学生的抽象概括能力，进而掌握二次根式的加减运算方法.

【情感态度】培养学生认真观察、思考的习惯，锻炼严谨细致、一丝不苟的科学精神.

教学重难点

【教学重点】二次根式的加减法运算方法.

【教学难点】二次根式的加减法的实际应用.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入,初步认识

问题 现有一块长7.5dm，宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？

【教学说明】可借助多媒体（或幻灯片）展示木板，尝试截取两个正方形木块，并引导学生思考.解决问题的关键在哪里？如何解决？激发学生的学习兴趣和求知欲望.

二、思考探究，获取新知

让学生相互讨论，共同探究，寻求解决问题的方案.与此同时，教师可设置如下问题帮助学生进行理解和分析：

1.两个正方形木块的边长分别是多少？

2.最大正方形木板的边长与原长方形木板的宽5dm的大小如何？

3.两个正方形木板的边长之和与长方形木板的长7.5dm的大小关系如何？你认为用什么办法来得出结论的？

4.谈谈你获得结论的过程中的想法，你有哪些新的认识？在学生充分交流，初步形成认知后，师生共同探讨：上述实际问题中，实质是求8与18这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：

【教学说明】本环节教师要放手让学生自主探究，自主发现问题，并尝试解决问题，并能总结规律，形成认知.同时，教师应关注学生的完成情况，能否正确进行二次根式的化简，能否运用分配律将二次根式合并.

【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

三、典例精析，掌握新知

【教学说明】以上两例，应让学生先独立完成，并分别选派两名中等成绩同学上黑板进行演算.教师巡视，了解全班学生的掌握情况，并对有困难的同学及时予以点拨，帮助他们加深对新知的理解.最后，师生共同评析黑板上的作业，教师还可适时将巡视中发现的问题展示给全班同学，达到理解新知的目的.