2020版高考理数：专题(8)立体几何ppt课件三

第三讲 用空间向量的方法解立体几何问题(理)

高考考点 考点解读

利用空间向量证明平行与垂直关系 1.建立空间直角坐标系，利用向量的知识证明平行与垂直

2．考查向量的数量积与向量垂直的关系以及建立空间直角坐标系的方法

利用空间向量求线线角、线面角、面面角 以具体几何体为命题背景，直接求角或已知角求相关量

利用空间向量解决探索性问题或其他问题 1.常借助空间直角坐标系，设点的坐标探求点的存在问题

2．常利用空间向量的关系，设某一个参数，利用向量运算探究平行、垂直问题

备考策略

本部分内容在备考时应注意以下几个方面：

(1)加强对空间向量概念及空间向量运算律的理解，掌握空间向量的加、减法，数乘、数量积运算等．

(2)掌握各种角与向量之间的关系，并会应用．

(3)掌握利用向量法求线线角、线面角、二面角的方法．

预测2019年命题热点为：

(1)二面角的求法．

(2)已知二面角的大小，证明线线、线面平行或垂直．

(3)给出线面的位置关系，探究满足条件的某点是否存在．

Z知识整合hi shi zheng he

1．向量法求空间角

(1)异面直线所成的角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cosθ＝|a·b||a||b|.

(2)线面角

设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角满足sinθ＝|c·n||c||n|.

(3)二面角

①如图(ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉.

②如图(ⅱ)(ⅲ)，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉.

(4)点到平面的距离的向量求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.

2．利用向量方法证明平行与垂直

真题演练集训

1．[2022·新课标全国卷Ⅱ]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝54，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝10.

(1)证明：D′H⊥平面ABCD；

(2)求二面角B－D′A－C的正弦值．

(1)证明：由已知，得AC⊥BD，AD＝CD.

又由AE＝CF，得AEAD＝CFCD，故AC∥EF.

因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.

由AB＝5，AC＝6，得

DO＝BO＝AB2－AO2＝4.

由EF∥AC，得OHDO＝AEAD＝14.

所以OH＝1，D′H＝DH＝3.

于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.

又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，

所以D′H⊥平面ABCD.

(2)解：如图，以H为坐标原点，HF→的方向为x轴正方向，HD→的方向为y轴正方向，HD→′的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系H－xyz.

则H(0,0,0)，A(－3，－1,0)，B(0，－5,0)，

C(3，－1,0)，D′(0,0,3)，AB→＝(3，－4,0)，

AC→＝(6,0,0)，AD′→＝(3,1,3)．

设m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，

则 m·AB→＝0，m·AD′→＝0，即 3x1－4y1＝0，3x1＋y1＋3z1＝0，

所以可取m＝(4,3，－5)．

设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，

则 n·AC→＝0，n·AD′→＝0，即 6x2＝0，3x2＋y2＋3z2＝0，

所以可取n＝(0，－3,1)．

于是cos〈m，n〉＝m·n|m||n|

＝－1450×10＝－7525， sin〈m，n〉＝29525.

因此二面角B－D′A－C的正弦值是29525.

2．[2022·山东卷]在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．

大题专项练习(四) 立体几何

1．[2020·安徽池州月考]如图，在几何体ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，四边形A1ACC1是正方形，B1C1∥BC，Q是A1B的中点，且AC＝BC＝2B1C1，∠ACB＝2π3.

(1)证明：B1Q⊥A1C；

(2)求直线AC与平面A1BB1所成角的正弦值．

2．[2020·全国卷Ⅲ]如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M是»CD上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．

3．[2020·康杰中学模拟]已知四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝BC＝1，沿对角线BD将△ABD旋转，使得点A至点P的位置，此时满足PD⊥BC.

(1)证明：PD⊥CD；

(2)求二面角A－PB－C平面角的正弦值．

4．[2020·武威六中第六次诊断考试]如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的中点．

(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；

(2)若二面角P－AC－E的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

5．[2020·安徽安庆一中模拟]如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN＝C1N.

(1)证明：A1E⊥平面AC1D；

(2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为1020，求异面直线BM与NE所成角的余弦值．

6．[2020·福建三明一中模拟]如图所示，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，AB＝2，BE∥DF，且BE＝DF＝3，DF⊥平面ABCD，

(1)求证：平面ABE⊥平面ABCD；

高考数学理数立体几何大题训练(含答案)

1.（2020·新课标Ⅲ·理）在长方体中，点P、Q分别在棱AB、CD上，且AP=CQ.（1）证明：点PQ平分长方体的体对角线；（2）若PQ在平面BCFE内，求二面角的正弦值．

2.（2020·新课标Ⅱ·理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M、N分别为BC、B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.

3.（2020·新课标Ⅰ·理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，底面是内接正三角形ABC，P为上一点，AP为底面直径，DP⊥底面．（1）证明：DP平分∠ADC；（2）求二面角平面APD与平面ABC的余弦值．

4.（2020·新高考Ⅰ）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 5.（2020·天津）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点P、Q分别在棱AB、A1B1上，且AP=A1Q，平面PQC1为棱BC1的中垂面，M为棱AC的中点．（Ⅰ）求证：PM∥B1Q，且PM=B1Q；（Ⅱ）求二面角平面PQC1与直线PM所成角的正弦值；（Ⅲ）求直线B1Q与平面PQC1所成角的正弦值．

6.（2020·江苏）在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=1，AC=2，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC上一点，DE⊥平面BCD，DE=1.（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F-DE-C的大小为θ，求sinθ的值．