全国数学建模例题

数学建模方法大全

二○一二年九月九日星期日

9时59分32秒目录

一、主成分分析法 ...................................................................................................................... 3

二、因子分析法 .......................................................................................................................... 6

三、聚类分析 ............................................................................................................................ 10

四、最小二乘法与多项式拟合 ............................................................................................. 17

五、回归分析（略） ............................................................................................................... 23

六、概率分布方法（略） ...................................................................................................... 23

七、插值与拟合（略） ........................................................................................................... 23

1 数学建模经典例题

某学校有三个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名.若学生代表会议设20各级席位,公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有10,6,4个席位,现在丙系有6名学生转入甲乙两系,各系人数如表第二列所示,仍按比例(表中第三列)分配席位时出现了小数(表中第四列),在将取得整数的19席分配完毕后,三席同意剩下的1席参照所谓惯例分给比例中小数最大的系,于是三系分别占有10,6,4席(表中第5列)

因为有20个代表会议在表决的时候可能出现10:10的局面,会议决定下一届增加一席,他们按照上述方法重新分配席位,计算结果见表6,7列,显然这个结果对丙系太不公平了.因为总席位增加一席,而丙系却由4席减为3席.

按照比例并参照惯例的席位分配

系别 学生 学生人数 20个席 20个席位 21个席位 21个席位 人数 的比例(% 的分配 的分配 的分配 的分配

比例分配 参照惯例 比例分配 参照惯例

的席位 的结果 的席位 的结果

甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11

乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7

丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3

总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21

要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配分配方法

解答:

Pī/Nī表示第ī个单位每个代表名额代表的人数

采用相对标准,引入相对不公平概念.如果P1/n1>P2/n2,则说明A方是吃亏的,或说对A方不公平.

对A的相对不公平度:

rA(n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p2/n2)=(p1n2)/(p2n1)-1

1998年全国大学生数学建模竞赛题目

A题 投资的收益和风险

市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为，并预测出购买Si的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。

购买Si要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（=5%）

1. 已知n = 4时的相关数据如下：

Si

(%) (%) (%) (元)

S1 28 2.5 1 103

S2 21 1.5 2

198

S3 23 5.5 4.5 52

S4 25 2.6 6.5 40

2. 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

3. 试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。

Si (%) (%) (%) (元)

S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407

S3 49.4 60 6.0 428

S4 23.9 42 1.5 549

S5 8.1 1.2 7.6 270

S6 14 39 3.4 397

S7 40.7 68 5.6 178

S8 31.2 33.4 3.1 220

S9 33.6 53.3 2.7 475

S10 36.8 40 2.9 248

S11 11.8 31 5.1 195

S12 9 5.5 5.7 320

S13 35 46 2.7 267

S14 9.4 5.3 4.5 328

S15 15 23 7.6 131

B题 灾情巡视路线

1.贷款问题

小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。

(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？

(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？

(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？

(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是：

(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；

(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。

试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。

解答：

(1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。

利用式子(元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。

(2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为，

利用公式：，

所以，(元)

(3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元)

(4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数：

。

对于条件(ii)佣金数：

分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为

即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。

2.冷却定律与破案

按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。