动能定理复习

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基础知识回顾

⼀．动能1、 公式：E k ＝12

m v 2

2、 性质

动能是标量，只有正值；动能是相对量，速度都是对地；动能是状态量3、动能的变化量 ΔE k ＝12m v 22－12

m v 2

1. 过程量（从⼀个状态到另⼀个状态）

，相对量， 例1、如图5－2－1所⽰，⼀物体在⽔平恒⼒作⽤下沿光滑的⽔平⾯做曲线运动，当物体从M 点运动到N 点时，其速度⽅向恰好改变了90°，则物体从M 点到N 点的运动过程中，物体

动能将( C )A ．不断增加

B ．不断减少

C ．先减少后增加

D ．先增加后减⼩ ⼆、动 能 定 理

1、合外⼒所做的总功等于物体动能的变化量 或外⼒对物体做的总功等于物体动能的变

化2.表达式：K E mv mv W ?=-=

2

122合2

121， 式中W 合是各个外⼒对物体做功的总和，ΔE K 是做功过程中始末两个状态动能的增量. (1)W >0，物体的动能增加．

(2)W <0，物体的动能减少． (3)W ＝0，物体的动能不变． 3、动能定理的特点

1、 是标量式，不能分⽅向应⽤动能定理

2、 是过程式，功是过程量，动能的变化量也是过程量

3、 是相对式，位移和速度都是相对量，是相对于同⼀个参考系的，⼀般都是对地⽽⾔ 例1、质量为m ＝2 kg 的物体，在⽔平⾯上以v 1＝6 m/s 的速度匀速向西运动，若有⼀个F ＝8 N ⽅向向北的恒⼒作⽤于物体，在t ＝2 s 内物体的动能增加了多少？[错解] 物体只受向北⽅向的⼒，东西⽅向不受⼒作⽤，因此只有南北⽅向动能变

化，东西⽅向动能不变．因此ΔEk ＝ΔEk 北＝12mv 北2

－0＝64 J.[错因] 动能是标量，不可分⽅向求动能，本题错解中“南北⽅向动能由零变为64 J ，东西⽅向动能不变”，这种说法是没有物理意义的．

[正解] 向北的加速度a ＝F

m

＝4 m/s2t ＝2 s 末，v 北＝at ＝8 m/s

此时物体的合速度v 22＝v 12＋v 北2

动能E k2＝12mv t 2＝12m(v 12＋v 北2

)所以，动能增加ΔE k ＝E k2－E k1＝12mv 北2

＝64 J.4、动能定理的应⽤

图5－2－11、 动能定理适⽤于单个物体

2、 动能定理既适⽤于直线运动，⼜适⽤于曲线运动

3、既适⽤于恒⼒做功，也适⽤于变⼒做功，⼒做功时可以是连续的，也可以是不连续的，

5、求总功可分为下述两种情况：

（1）若各恒⼒同时作⽤⼀段位移，可先求出物体所受的合外⼒，再求总功；也可⽤总功等于各⼒所做功的代数和的⽅法求。

（2）若各⼒不同时对物体做功，总功应为各阶段各⼒做功的代数和。

动能定理是功能基本关系之⼀，凡是涉及⼒所引起的位移⽽不涉及运动时间的问题，应⽤动能定理分析讨论，常⽐⽜顿第⼆定律简单。 例1、下列说法中正确的有A.运动物体所受的合外⼒不为零，合外⼒必做功，物体的动能肯定要变化

B.运动物体的合外⼒为零，则物体的动能肯定不变

C.运动物体的动能保持不变，则该物体所受合外⼒⼀定为零

D.运动物体所受合外⼒不为零，则该物体⼀定做变速运动，其动能肯定要变化

解析：关于物体所受的合外⼒、合外⼒所做的功、物体动能的变化，三者之间的关系有下列三个要点：①若物体所受合外⼒为零，则合外⼒不做功，或者物体所受外⼒做功的代数和为零，物体的动能不会发⽣变化；②物体所受合外⼒不为零，物体必做变速运动，但合外⼒不⼀定做功，如匀速圆周运动；③物体的动能不变，只表明物体所受合外⼒不做功；物体运动的速率不变（如匀速圆周运动），但速度的⽅向可以不断改变.在这种情况下物体所受的合外⼒只是⽤来改变速度⽅向，产⽣向⼼加速度.

据上述三点，可以得到只有B 项正确.

例2、某物体沿直线运动的v －t 关系如图所⽰，已知在第1 s 内合外⼒对物体做的功为W ，则( )

A ．从第1 s 末到第3 s 末合外⼒做功为4W

B ．从第3 s 末到第5 s 末合外⼒做功为－2W

C ．从第5 s 末到第7 s 末合外⼒做功为W

D ．从第3 s 末到第4 s 末合外⼒做功为－0.75W

解析：选CD.由题图知：第1 s 末、第3 s 末、第7 s 末速度⼤⼩关系：v 1＝v 3＝v 7，由

题知W ＝12m v 21－0，则由动能定理得第1 s 末到第3 s 末合外⼒做功W 1＝12v 23－12m v 2

1＝0，故A

错．第3 s 末到第5 s 末合外⼒做功W 2＝12m v 25－12m v 23＝0－12m v 2

1＝－W ，故B 错．第5 s 末到

第7 s 末合外⼒做功W 3＝12v 27－0＝12m v 2

1＝W ，故C 正确．第3 s 末到第4 s 末合外⼒做功W 4

＝12m v 24－12m v 23＝12m (12v 1)2－12m v 21＝－0.75W ，故D 对． 6、应⽤动能定理的解题步骤

（A 明确研究对象，明确运动过程。（B ）分析受⼒及各⼒做功的情况，有哪些⼒？有哪些⼒做功？在哪段位移过程中做功？

正功还是负功？做了多少功。最后求出各个⼒做功的代数和。

（C ）明确过程始末状态的动能1k E 及2k E 。

（D ）列⽅程21k k W E E =-总，必要时注意分析题⽬潜在的条件，补充⽅程进⾏求解。

下⾯⽤具体实⼒来谈⼀下动能定理的应⽤。

典例、过程

（⼀）⽤动能定理求⼒1、⼀物体质量为10千克，在平⾏于斜⾯的拉⼒F 作⽤下沿斜⾯向上运动，斜⾯与物体间的动摩擦因数为0.1µ=，当物体运动到斜⾯中点时，去掉⼒F ，物体刚好可运动到斜⾯顶端停下，设斜⾯倾⾓为300，取g=10m/s 2，求拉⼒F 。

【解析】取物体为研究对象，在斜⾯下半段受⼒分析如图（1）所⽰，在斜⾯上半段去掉F ，其它⼒都不变，设斜⾯长为s ，由动能定理得：01

sin 3002F s f s mg --= ………① 0cos30f N mg µµ==………②

由①②得110.110101010022

F -= 解得117.3F =⽜

2、如图5-3-10所⽰，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0＝2m/s 的速度匀速运⾏，传送带与⽔平地⾯的夹⾓θ＝30°，现把⼀质量m ＝l0kg 的⼯件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送⾄h ＝2m 的⾼处.已知⼯件与传送带间的动摩擦因数2

3=

µ，g 取10m/s2.

(1) 试通过计算分析⼯件在传送带上做怎样的运动?

(2) ⼯件从传送带底端运动⾄h ＝2m ⾼处的过程中摩擦⼒对⼯件做了多少功?

【解析】 (1) ⼯件刚放上⽪带时受滑动摩擦⼒θµcos mg F =，

⼯件开始做匀加速直线运动，由⽜顿运动定律 ma mg F =-θsin 得:)

30sin 30cos 23

(10)sin cos (sin 00-?=-=-=

θθµθg g m

F

a =2.5m/s2

设⼯件经过位移x 与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得5.222222

0?=

=a v x =0.8m ＜4m.

故⼯件先以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m

与传送带达到共同速度

图5-3-102m/s 后做匀速直线运动。

(2) 在⼯件从传送带底端运动⾄h ＝2m ⾼处的过程中，设摩擦⼒对⼯件做功Wf ，由动能定理

2021mv mgh W f =

-

可得:2

021mv mgh W f +

==220J

【点拨】本题第（2）问也可直接⽤功的计算式来求：

设⼯件在前0.8m 内滑动摩擦⼒做功为Wf 1，此后静摩 擦⼒做功为Wf 2，则有Wf 1=µmgcos θ ·x=8

.030cos 101023

0J =60J ，

Wf 2=mgsin θ (s －x)=

)8.04(30sin 10100

-J =160J.

所以，摩擦⼒对⼯件做的功⼀共是Wf = Wf 1+ Wf 2=60J+160J=220J.

当然，采⽤动能定理求解要更为简捷些. （⼆）⽤动能定理求变⼒的功1、⼀质量为m 的⼩球，⽤长为L 的轻绳悬挂于O 点，⼩球在⽔平⼒F 作⽤下，从平衡位置P 点缓慢地移动到Q 点，如图5－2－9所⽰，则⼒F 所做的功为A ．mgL cos θ

B ．FL sin θ

C ．mgL(1－cos θ)

D ．FL(1－cos θ)

解析 ⼩球的运动过程是缓慢的，因⽽任⼀时刻都可看做是平衡状

态，因此F 的⼤⼩不断变⼤，F 做的功是变⼒功，⼩球上升过程只有重⼒mg 和F 这两个⼒做功，由动能定理得：W F －mgL(1－cos θ)＝0，所以W F＝mgL(1－cos θ)．答案 C 2、如图（2）所⽰，质量为m=2千克的⼩球，从半径R=0.5⽶的半圆形槽的边缘A 点沿内表⾯开始下滑，到达最低点B 的速度v=2⽶/秒。求在弧AB 段阻⼒对物体所做的功f W 。（g 取10⽶/秒2

）

【解析】物体在弧AB 段受重⼒、弹⼒和阻⼒作⽤。其中弹⼒和阻⼒是变⼒，但在此过程中弹⼒对⼩球不做功，由动能定理得：2102G f W W mv +=

- 所以22

1122f G W mv W mv mgR =-=-

21

222100.562f W =??-??=-焦⽿

3、如图所⽰，质量为m 的物体⽤细绳经过光滑⼩孔牵引在光滑⽔平⾯上做匀速圆周运

动，拉⼒为某个值F 时，转动半径为R ，当拉⼒逐渐减⼩到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R ，则外⼒对物体所做的功的⼤⼩是:

FR 3FR 5FR

B C D 442A 、；、；、；、零;

解析:设当绳的拉⼒为F 时，⼩球做匀速圆周运动的线速度为v 1，则有F=mv 12/R……①

当绳的拉⼒减为F/4时，⼩球做匀速圆周运动的线速度为v 2,则有F/4=mv 22/2R……② 在绳的拉⼒由F 减为F/4的过程中，绳的拉⼒所做的功为W=?mv22－?mv 12=－?FR 所以，绳的拉⼒所做的功的⼤⼩为FR/4,A 选项正确．

4、 如图4所⽰，质量为m 的物块与转台之间的最⼤静摩擦⼒为物体重⼒的k 倍，物

块与转轴OO /相距为R ，物块随转台由静⽌开始转动，当转速增加到⼀定值时，物体即将在转台上滑动，则在物块由静⽌到开始滑动前的这⼀过程中转台对物块做的功为多少？

解析：物体即将在转台上滑动还未滑动时，由转台对物块的最⼤静摩擦⼒恰好提供向⼼⼒，设此时物块做圆周运动的线速度为v ，有

R

v m kmg 2

= （1）

在物块由静⽌到开始滑动前的这⼀过程中，转台对物块的静摩擦⼒f 不断变⼤是变⼒。对物块应⽤动能定理，有02

1

2-=mv W f （2）

联⽴解得 kmgR W f 21=

5、如图所⽰，光滑斜⾯的顶端固定⼀弹簧，⼀物体向右滑⾏，并冲上固定在地⾯上的斜⾯.设物体在斜⾯最低点A 的速度为v ，压缩弹簧⾄C 点时弹簧最短，C 点距地⾯⾼度为h,则从A 到C 的过程中弹簧弹⼒做功是( ) A. 21mgh mv 2