第四章正态随机过程

第一章

1． 填空

若X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,且gi(t)是Xi的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X1+X2+…Xn的特征函数g(t)= ＿g1(t) g2(t)…gn(t)

2.设P(S)是X的母函数，试证:

(1)若E(X)存在，则1EXP

(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P′(1)-[ P′(1)]2

证明:(1)因为0kkkPsps，则11kkkPskps，令1s，得11kkEXPkp 。

（2）11kkkPskps，

221kkkPskkps2222=kkkkkkpskps

令1s，得222112P1=1kkkkpkpEXpEXpEXp

2=P1+1EXp

222P1+11DXEXEXpp 证毕

3． 设X服从B(n,p),求X的特征函数g(t)及EX,EX2,DX.

解：X的分布列为P(X=k)=1kknnCpq,q=1-p,k=0,1,2,...n,

00knnnitkkknkkitnkitgteCpqCpeqpeqnnkk

由性质得

,00ntditEXiinpdtpqge

22"222200ntitinpqdipqgpneEXdt

22DX=EXEX=npq 4．设0,1XN，求X的特征函数()gt

解 dxxtgeitx2221)(

由于eexxxixitx2222，且dxxeitx2221，故由积分号下求导公式有

deeixegxidxxtixtitx22'22221)(

第三节 正态平稳过程

一.正态过程

正态随机变量复习,

一维正态随机变量,),(~2



NX

概率密度

，

;22

2)(

21

)(







x

exf

x

二维正态随机变量

,);,;,(~),(2

222

11

NYX概率密度

]})())((2)(

[

)1(21

exp{

121

),(

2

22

2

2121

2

12

1

2

2

21















yyxx

yxf

维正态分布,

n),,,(

21nXXX

概率密度，

)}()(

21

exp{

)(det)2(1

),,,(1'

21

221



xCx

Cxxxf

nn

其中 ,,













nxxx

x21













n

21

协方差矩阵,.

nnijCC

)(),(

jiijXXCovC

定义5 如果随机过程,对任意

)(tX

正整数,任意,n

Tttt

n,,,

21

都服从正态分布,))(,),(),((

21ntXtXtX

则称为正态过程,又称高斯(Gauss)

)(tX

过程.

即维随机变量

n

的概率密度为))(,),(),((

21ntXtXtX

)}()(

21

exp{

)(det)2(1

),,,;,,,(1'

21

22121



xCx

Ctttxxxf

nnnn

其中

,,













nxxx

x21













)()()(

21

nXXX

ttt



协方差矩阵

,.

nnijCC

)())(),((

jiijtXtXCovC

特别,设为正态过程,}),({TttX

则 ,

1Tt

))(),((~)(

12

11ttNtX

XX

,,

21Ttt

,

));(),();(),((~))(),((

22

212

121

ttttNtXtX

XXXX

.

)()(),(

22

1221

ttttC

第一章 随机过程的基本概念与基本类型

一．随机变量及其分布

1．随机变量X, 分布函数)()(xXPxF

离散型随机变量X的概率分布用分布列 )(kkxXPp 分布函数kpxF)(

连续型随机变量X的概率分布用概率密度)(xf 分布函数xdttfxF)()(

2．n维随机变量),,,(21nXXXX

其联合分布函数),,,,(),,,()(221121nnnxXxXxXPxxxFxF

离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度

３．随机变量的数字特征

数学期望：离散型随机变量X kkpxEX 连续型随机变量X

dxxxfEX)(

方差：222)()(EXEXEXXEDX 反映随机变量取值的离散程度

协方差两个随机变量YX,：EYEXXYEEYYEXXEBXY)()])([(

相关系数两个随机变量YX,：DYDXBXYXY 若0,则称YX,不相关;

独立不相关0

４．特征函数)()(itXeEtg 离散 kitxpetgk)( 连续 dxxfetgitx)()(

重要性质：1)0(g,1)(tg,)()(tgtg,kkkEXig)0(

母函数：0)()(kkkkzpzEzg !)0()(kgpkk )1()('gXE

2''")]1([)1()1()(gggXD

５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 qXPpXP)0(,)1( pEX pqDX

二项分布 knkknqpCkXP)( npEX npqDX

泊松分布 !)(kekXPk EX DX 均匀分布略

正态分布),(2aN 222)(21)(axexf aEX 2DX

指数分布

马尔科夫链

1 1.定义：

设有随机过程,nXnT若对任意的整数nT和任意的121,,...,niiiI,条件概率满足111111,...,nnnnnnnnpxixixipxixi则称其为马尔科夫链。

2.马尔科夫链的统计特性完全有条件概率11nnnnpxixi决定。

3.一步转移概率

称条件概率1pxjxinijnnp为马尔科夫链,nXnT在时刻n的一步转移概率。,ijI,若ijpn与n无关，则称马尔科夫链为齐次的。

;0;1;,ijijijijjIpnpppjiI

4.n步转移概率

称npxjximmnijp,ijI0,1mn为马尔科夫链,nXnT的n步转移概率。0;1;,nnijijjIppjiI

5.n步转移矩阵。

nnijPp；1011;0;;;ijijijippPPjpij

6.npij具有如下性质：

设,nXnT为马尔科夫链，则对任意整数n>=0,1=

11112........nnikIkIlnlnppppppijikkjikkkIkkj；

1nnnPPPP

7初始概率：0ippXi

8.初始概率向量：120,....TPpp

9.初始分布：,ipiI

10绝对概率：jnpnpXj

11绝对概率向量：12,....TPnpnpn

12绝对分布：,jpnjI 马尔科夫链

2 13性质如下：10;nTTTPnPnPPP1;njiijiijiIiIpnpppnp

14马氏链的有限维分布：

设,nXnT为马氏链，则对任意的12,,...,;1niiiIn有