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苏教版高中数学必修五余弦定理学案(3)

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让学生学会学习

§1.2 余弦定理(2)

一、学习目标：

1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；

2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；

3. 通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性。

二、学法指导

1.斜三角形有四种可解类型：已知两角一边和两边及一边的对角时，用正弦定理；已知两边夹角和已知三边时，用余弦定理；

2.判定三角形的形状时，一般有两种思路：一是通过三角形的三边关系；二是考虑三角形的内角关系，有时可以将边角巧妙结合，同时考虑；

3.注意正、余弦定理得联合运用与变形运用，与三角形有关问题常用正、余弦定理进行边角互化。

三、课前预习

（1）：正弦定理：

正弦定理的变形：

（2）余弦定理

222____________________________________________________________________________________abc

（3）余弦定理的推论：

cos____________________________cos____________________________cos____________________________ABC

（4）三角形面积公式：

______________________________________ABCSV

四、课堂探究

让学生学会学习

题型4三角形形状的判断

【例4】 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．

【例5】 在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．

规律归纳

判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．

【例6】在ABC中，已知CBAcossin2sin，试判断三角形的形状

【例7】在ABC中，证明：CBAcbasin)sin(222

五、巩固训练

1．在ABC中，7:5:3sin:sin:sinCBA，那么这个三角形的最大角是_____

让学生学会学习

2．在ABC中，设CBar,ACbr，且|ar|2,|br|3,ar•br3，则_____AB

3．在△ABC中，若,1coscoscos222CBA则△ABC的形状是______________。

4．已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

5. 在ABC中，已知,2,3ab 60Co,试证明此三角形为锐角三角形

6．在ABC中，已知222ababc，求C的大小.

7． 在ABC中，)())((cbbcaca，则A______

8. 在ABC中，已知1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦值是______

六、反思总结

1．余弦定理的正确理解

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍．即

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC. 让学生学会学习

余弦定理的推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角．

请注意：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．

(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．由推论知，若A为锐角⇔b2＋c2－a2>0；若A为直角⇔b2＋c2－a2＝0；若A为钝角⇔b2＋c2－a2<0.

(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．

(4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．

2．余弦定理的应用

利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：

(1)已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角．

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高中数学正余弦定理的应用(一)苏教版必修五

高中数学正余弦定理的应用(一)苏教版必修五

课题：正弦定理、余弦定理的应用（一）

【教学目标】

知识目标：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题．

能力目标：体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤．

情感目标：能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．

【教学过程】

一．问题情境

问题：如图1-3-1，为了测量河对岸两点,AB之间的距离，在河岸这边取点,CD，测得85ADC，60BDC，47ACD，72BCD，100CDm，设,,,ABCD在同一平面内，试求,AB之间的距离（精确到1m）．

二．学生活动

三．建构数学

正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用：

1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：

（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.

（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.

（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.

道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.

2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案.

3．解三角形在测量上有着广泛的应用，下面各图描述了测量中的一些基本问题，根据图示说出求解AB的过程：

四．数学运用

例1：在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为23a的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A和B，且30ADB，30BDC，60DCA，45ACB，如图，求蓝方这两支精锐部队的距离．

D C B A 练习：飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔m20250，速度为hkm/600，飞行员先看到山顶的俯角为'3018，经过s288后又看到山顶的俯角为81，求山顶的海拔高度．

人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课

人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课

1.1正弦定理、余弦定理习题课

【学习目标】

1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；

2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；

3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式

【自主检测】

1.在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.

(1)求AB的值；(2)求sin2A－π4的值．

2.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a＝2csinA.(1)确定角C的大小；

(2)若c＝7，且△ABC的面积为332，求a＋b的值．

【典型例题】

例1.在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．

例2.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝32，b2＝ac，求B.

【目标检测】

1.在△ABC中，已知b＝asinB，且cosB＝cosC，则△ABC的形状是( )

A．等边三角B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )

A．a＝8 b＝16 A＝30°有两解 B．b＝18 c＝20 B＝60°有一解

C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解

3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )

A.32 B.34 C.32或3 D.34或32

4*.在△ABC中，若tanA－tanBtanA＋tanB＝c－bc，求角A

【总结提升】

1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；

2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用

高中数学余弦定理

高中数学余弦定理

高中数学余弦定理

余弦定理是高中数学的一个核心内容，也是三角函数的一个重要应用。余弦定理描述了三角形中一边的平方与另外两边及其夹角的余弦值之间的关系。对于任何一个三角形，余弦定理都可以给出以下公式：

c² = a² + b² - 2abcos(C)

其中，a、b和c分别代表三角形的三边长度，C是a和b之间的夹角。

余弦定理的应用范围非常广泛，无论是解三角形、解决实际问题，还是在数学竞赛中，它都是一个重要的工具。

一、解三角形

余弦定理可以用来确定三角形的形状和大小。例如，如果我们知道三角形的三边长a、b和c，以及角A、B和C的度数，我们可以用余弦定理来计算角C的度数。公式如下：

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

二、解决实际问题

余弦定理也被广泛应用于解决实际问题。例如，在物理学中，余弦定理可以用来解决与力的合成和分解相关的问题；在地理学中，余弦定理可以用来计算地球上两点之间的距离；在经济学中，余弦定理可以用来计算投资组合的风险和回报。

三、数学竞赛

在数学竞赛中，余弦定理也是一个重要的考点。例如，一些几何问题可能需要使用余弦定理来解决；在一些代数问题中，余弦定理也可能是一个关键的工具。

余弦定理是高中数学的一个重要内容，它不仅在数学中有广泛的应用，也在其他领域中有重要的应用价值。通过学习和理解余弦定理，我们可以更好地理解和解决各种问题。

一、引言

在中国的教育体系中，数学一直是核心学科，特别是在高中阶段，数学的学习对学生的学习生涯和未来的学术成就具有重大影响。因此，如何设计有效且吸引人的数学课程，帮助学生理解和掌握数学知识，是所有教育工作者都应的问题。在本文中，我们将探讨如何利用APOS理论来设计高中数学定理的教学，并以余弦定理为例进行具体阐述。

二、APOS理论概述 APOS理论是由美国学者杜宾斯基提出的一种学习理论，它强调学习过程中学生的主动性和实践性。APOS理论认为，学生学习数学概念的过程，是在老师的引导下，通过不断的探索和实践，逐渐形成对这个概念的理解和应用。这个过程包括操作、过程、对象和系统四个阶段。

人教A版高中数学必修五 1.1.3习题课 学案

人教A版高中数学必修五 1.1.3习题课 学案

正、余弦定理习题课-----学案

一、学习目标

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

二、自主学习

1.正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理 正弦定理 余弦定理

公式 asin A＝bsin

B＝csin C＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；

b2＝c2＋a2－2cacos B；

c2＝a2＋b2－2abcos

C

常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；

(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；

(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝b2＋c2－a22bc；

cos B＝c2＋a2－b22ac；

cos C＝a2＋b2－c22ab

2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式 a＝bsin bsin

A ab a≤b

解的个数 一解 两解 一解 一解 无解

三、合作探究

考点一 利用正、余弦定理解三角形

【例1】 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有( )

A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定

(2)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是________.

解析 (1)∵bsin A＝6×22＝3，∴bsin A

(2)由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bccos A，即2b2＝b2＋c2－2bccos A，又c2＝b2＋2bc，