重庆市重庆一中2015-2016学年高一下学期期末考试数学(解析版)
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重庆市重庆一中2015-2016学年高一下学期期末考试数学
一、选择题：共12题
1．已知集合 ， QUOTE ， ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查集合的基本运算.由集合
， QUOTE ， ，则 .故选D.
2．设a＝ ，b＝(3,1)，若a b，则实数k的值等于
A.－
B.－
C.
D.
【答案】A
【解析】本题主要考查平面向量数量积.由a＝ ，b＝(3,1)，若a b，则 ，即 得
，故选A.
3．设等差数列{ }的前n项和为 ，若a5＋a14＝10，则S18等于
A.20 B.60 C.90 D.100
【答案】C
【解析】本题主要考查等差数列的性质及前 项和公式.根据等差数列的性质,a5＋a14＝ 10,则 ,故选C.
4．圆 与圆 的位置关系为
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【答案】B
【解析】本题主要考查两圆的位置关系.圆心距 ，又 ，则两圆相交，故选B.
5．已知变量x,y满足约束条件
，则z=3x+y的最大值为 A.12 B.11 C.3 D.-1
【答案】B
【解析】本题主要考查线性规划的最优解的求解.由题意，变量满足约束条件
，可以得到可行域，如图所示，则目标函数z=3x+y平移到过y=x-1与y=2的交点(3，2)时目标函数取得最大值为 ，故选B
6．已知等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则Tn＝
＋
＋…＋
的结果可化为
A.1－
B.1－
C.
(1－
) D.
(1－
)
【答案】C
【解析】本题主要考查等比数列通项及前 项和公式.依题意， ，设
，即 为首项为
，公比为
的等比数列，则Tn＝
＋
＋…＋
(1－
)，故选C.
7．“m=1”是“直线 与直线 平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】本题主要考查两直线的位置关系.若直线 与直线
平行，则 得 ，当 时，两直线重合，舍去，当 时，两直线平行，故“m=1”是“直线 与直线 平行”的充要条件，故选C.
8．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 ,xy
A.15 B.105 C.245 D.945
【答案】B
【解析】本题主要考查程序框图.依题意，执行程序，S=1,i=1,第一次进入循环体，T=3，S=3，i=2，判定为否，第二次进入循环体，T=5，S=15，i=3,判定为否，第三次进入循环体，T=7，S=105，i=4，判定为是，退出循环，输出S=105，故选B.
9．现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】本题主要考查古典概型的概率.列表得：
所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，则P=
，故选D.
10．在平行四边形ABCD中,AD＝2,∠BAD＝60°,E为CD的中点,若 ＝1,则AB的长为 A. B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的数量积.依题意得
即AB的长为6,故选D.
11．已知函数
，且对于任意实数 关于 的方程 都有四个不相等的实根 ， ， ， ，则 的取值范围是
A. B.
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的零点.依题意，关于 的方程 都有四个不相等的实根，则当 时， 有两个实根，函数
过点 ，则有
解得 ，又根据函数对称性得 ,故选C.
12．已知集合 ， ，若 ，则 的最小值
A.
B.
C.(6－2 ) D.
【答案】A
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.依题意，直线 与圆 相交或相切，圆的方程可化为 ，其方程过原点 ，且半径为 ，当圆的直径为原点到直线 的距离时，圆的半径最小，此时 最小，由原点到直线 的距离为
，即
，
，得
，即 的最小值为
，故选A.
二、填空题：共4题
13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取 名学生．
【答案】15
【解析】本题主要考查分层抽样.由高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，则高二在总体中所占的比例是
，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则要从高二抽取
×50=15，故答案为15.
14．在 中，角 所对边长分别为 ，若
，则b=___________．
【答案】2
【解析】本题主要考查正弦定理.依题意，
得
，根据正弦定理得
即
，故填2.
15．已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为__________．
【答案】
【解析】本题主要考查几何概型.当|PQ|=6时，圆心到线段PQ的距离
，此时M位于半径是4的圆上，则若|PQ|<6，
则PQ中点组成的区域为M为半径为4的圆及其内部，即x2+y2<16，PQ中点组成的区域为M如图所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为
，故填
.
16．点C是线段AB上任意一点，O是直线AB外一点， ，不等式 对满足条件的x，y恒成立，则实数k的取值范围 ．
【答案】 ，
【解析】本题主要考查平面向量基本定理及基本不等式.由点C是线段AB上任意一点，O是直线AB外一点， ，则 ，又不等式 对满足条件的x，y恒成立，转化为
，令 ，则 ，即
，当 时，
有最小值
，故
，故填 ，
.
三、解答题：共6题
17．已知 的面积是3，角 所对边长分别为 ，
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】由
，得
.
又
，
∴
(1) .
(2) ， =13,∴ .
【解析】本题主要考查平面向量数量积和余弦定理.利用同角三角函数基本关系求得
的值，根据三角形面积公式求得 的值.(1)利用平面向量数量积公式求得 .(2)根据 的值求得 的值，然后利用余弦定理求得 .
18．已知圆 ： ，直线l过定点 ．
(1)若l与圆 相切，求直线l的方程；
(2)若l与圆 相交于P、 两点，且 ，求直线l的方程．
【答案】(1)当斜率不存在时，方程x=1满足条件；
当直线l的斜率存在时，设其方程是y=k(x-1),
则
，解得
，
所以所求方程是x=1和3x-4y-3=0.
(2)由题意，直线斜率存在且不为0，设其方程是y=k(x-1),
则圆心到直线的距离d=
，
， ，此时k=1或k=7，
所以所求直线方程是 或 .
【解析】本题主要考查直线方程和直线与圆的位置关系.(1)当斜率不存在时，方程x=1满足条件；当直线l的斜率存在时，设其方程是y=k(x-1),利用圆心到直线的距离等于半径求得斜率 的值，从而求得直线方程.(2)由题意，直线斜率存在且不为0，设其方程是y=k(x-1),求得圆心到直线的距离d=
，根据勾股定理求得 的值，从而求得直线方程.
19．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中实数a的值;
(2)若该校高一年级共有学生640名,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;
(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
