河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题

试卷类型： A

唐山市2019届高三第一次模拟考试

数学文试题2019.3

注意事项：

1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1） 已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝

A、(1，2] B、(1，3]

C、(1，2]∪ [3，＋∞) D、R

（2） 设复数 z 满足(1＋i)z＝2i（其中 i 为虚数单位），则|z|＝

A．22 B、2 C、2 D、4

（3） 若双曲线 x2－y2＝3 的两条渐近线斜率分别为 k1， k2，则 k1k2＝

A、－1 B、－3 C、－3 D、－9

（4）若 x， y 满足约束条件3301010xyxyxy则 z＝2x＋y 的最大值为

A、1 B、2 C、7 D、8

（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A、8 B、4 C．83 D．43

（6） 已知命题 p：f (x)＝x3－ax 的图像关于原点对称；命题 q：g (x)＝xcos x的图像关于 y 轴对称．则下列命题为真命题的是

A、 p B、q C、p∧q D、p∧( q)

（7）《算法统宗》 中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇． 实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示52，当内方的边长为5 时， 外方的边长为 52， 略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为

A．12 B．22 C．57 D．2549

（8） 为计算 T＝，设计了右侧的程序

框图，则在空白框中应填入

A、W＝W×i B、W＝W× (i＋1)

C、W＝W× (i＋2) D、W＝W× (i＋3)

（9） 在△ABC 中， 角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设 AB 边上的高为 h，则 h＝

A．152 B．112 C．3154 D．3158

（10） 已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长相等，∠ABC＝60°， 则直线 BC1与平面

ABB1A1所成角的余弦值等于

A．64 B．104 C．22 D．32

（11）如图， 直线 2x＋2y－3＝0 经过函数 f (x)＝sin(ωx＋φ)（ω＞0，|φ|＜π） 图象的最高点 M 和最低点 N，则

A、ω＝2， φ＝4 B、ω＝π， φ＝0

C、ω＝2， φ＝－4 D、ω＝π， φ＝2

（12）设函数 f (x)＝aex－2sin x，x∈ [0，π]有且仅有一个零点，则实数a的值为

A、42e B、42e C、22e D、22e

二、 填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分．

（13） 已知向量 a＝(1， －3)， b＝(m， 6)，若 a∥ b，则 m＝_____．

（14） 若函数 f (x)＝110,1lg,1xxxx， 则 f (f (10))＝_____．

（15）已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为 2 的球面上，且圆锥的母线长为 2，则该圆锥的侧面积为_____．

（16） 已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为F，经过点 M(－2，0)的直线交 C 于 A， B 两点，若 OA∥BF（O 为坐标原点），则|AB|＝ _____．

三、 解答题： 共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17~21 题为必考题，每个

试题考生都必须作答．第(22)， (23)题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共 60 分．

（17）（12 分）

已知数列{an}满足： a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，记 bn＝an＋n，

（1）求 b1， b2， b3；

（2）判断{bn}是否为等比数列，并说明理由；

（3）求{an}的前 n 项和 Sn．

（18）（12 分）

如图， △ABC 中， AB＝BC＝4， ∠ABC＝90°， E， F 分别为 AB， AC 边的中点，以 EF

为折痕把△AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PB＝BE.

（1） 证明：BC⊥平面 PBE；

（2） 求点 F 到平面 PEC 的距离．

（19）（12 分）

设椭圆 C：22221(0)xyabab的左，右焦点分别为 F1， F2，其离心率为22，过 F2的直线 l与 C 交于 A，B 两点，且△AF1B 的周长为 42．

（1）求椭圆 C 的方程；

（2） 设椭圆 C 的上顶点为 P，证明：当 l 的斜率为13时，点 P 在以 AB 为直径的圆上．

（20）（12 分）

为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏， 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记． 由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，如有些对象对普查有误解，配合不够主动；参与普查工作的技术人员对全新的操作平台运用还不够熟练等，这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区，共有 50 家企事业单位， 150 家个体经营户，普查情况如下表所示：

普查对象类别 顺利 不顺利 合计

企事业单位 40 50

个体经营户 50 150

合计

（1） 写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；

（2） 补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；

（3） 根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提

出一条建议．

附：

（21）（12 分）

已知函数 f (x)＝ax－lnxx－a， a∈R．

（1） 若 x＝1 是 f (x)的极值点， 求 a 并讨论 f (x)的单调性；

（2） 若 1＜x＜e 时， f (x)≤0，求 a 的取值范围．

（二）选考题：共 10 分． 请考生在第(22)， (23)题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题记分．

（22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）

在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为1cossinxtyt（其中t 为参数，

0＜α＜π）． 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为

ρsin2θ＝4cosθ．

（1）求 l 和 C 的直角坐标方程；

（2）若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝8，求 α．

（23）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）

已知 a，b 是正实数，且a＋b＝2， 证明：

（1）a＋b≤2；

（2）(a＋b3)(a3＋b)≥4．

唐山市 2018—2019 学年度高三年级第一次模拟考试

文科数学参考答案

一． 选择题：

A 卷： BBACD DACDB AB

B 卷： BCABD DACDC AB

二． 填空题：

（13） －2 （14） 1 （15） 2 3π （16） 17

三． 解答题：

（17） 解：

（1） 因为 a1＝1， 所以 a2＝2a1＋0＝2， a3＝2a2＋2－1＝5，

从而 b1＝2， b2＝a2＋2＝4， b3＝a3＋3＝8， …3 分

（2） {bn}是等比数列．

因为 an+1＝2an＋n－1，

所以 an＋1＋n＋1＝2(an＋n)，

所以an+1＋(n＋1)

an＋n ＝2， 即bbn+1 n ＝2，

所以{bn}是等比数列， 且首项 b1＝2，公比为 2． …8 分

（3） 由（2） 知 bn＝2n，

故 an＝bn－n＝2n－n．

所以 Sn＝(21＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)

＝2n＋1－2－n2＋n

2 ． …12 分

（18） 解：

（1） 因为 E， F 分别为 AB， AC 边的中点，

所以 EF∥BC，

因为∠ABC＝90°，

所以 EF⊥BE， EF⊥PE，

又因为 BE∩ PE＝E，

所以 EF⊥平面 PBE，

所以 BC⊥平面 PBE． …5 分

（2） 取 BE 的中点 O， 连接 PO，

由（1） 知 BC⊥平面 PBE， BC平面 BCFE，

所以平面 PBE⊥平面 BCFE，

因为 PB＝BE＝PE，

所以 PO⊥BE，

又因为 PO平面 PBE，平面 PBE∩平面 BCFE＝BE，

所以 PO⊥平面 BCFE， …7 分

在 Rt△POC 中： PC＝ PO2＋OC2＝2 5，

在 Rt△EBC 中： EC＝ EB2＋BC2＝2 5，

在△PEC 中， PC＝EC＝2 5， PE＝2，

所以 S△PEC＝ 19，

又 S△ECF＝2，设点 F 到平面 PEC 的距离为 d，

由 VF－PEC＝VP－ECF得 S△PEC× d＝S△ECF× PO，

19× d＝2× 3， 所以 d＝2 57

19 ，

即点 F 到平面 PEC 的距离为2 57

19 . …12 分

（19） 解：

（1） △AF1B 的周长等于|AF1|＋|AB|＋|BF1|

＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＋|BF1|＝4a，

所以 4a＝4 2，从而 a＝ 2． …3 分

因为 e＝ c

a

＝

2

2 ，所以 c＝1，即 b2＝a2－c2＝1，

椭圆 C 的方程为x2

2＋y2＝1． …5 分

（2）由（1）得 P(0， 1)， F2(1， 0)．

设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，

依题意， l 的方程为 x＝3y＋1，

将 l 的方程代入 C 并整理，可得 11y2＋6y－1＝0，

所以 y1＋y2＝－11 6 ， y1y2＝－11 1 ． …8 分

→PA · →PB ＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)

＝(3y1＋1)(3y2＋1)＋(y1－1)(y2－1)

＝10y1y2＋2(y1＋y2)＋2

＝0

所以 PA⊥PB，

综上， 点 P 在以 AB 为直径的圆上. …12 分