淮安市、宿迁市2018届高三(上)期中数学试卷(解析版)

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2017-2018学年江苏省淮安市、宿迁市高三（上）期中数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B= ．

2．复数z=i（1﹣2i）（i是虚数单位）的实部为 ．

3．函数y=log2（3x﹣1）的定义域是 ．

4．某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取

名血型为AB的学生．

5．如图是一个算法流程图，则输出的i的值为

．

6．连续抛一枚均匀的硬币3次，恰好2次正面向上的概率为 ．

7．已知，0＜α＜π，则α的取值集合为 ．

8．在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，则的值为 ．

9．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a3=5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an= ．

10．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2外，且圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则半径r的值为 ．

11．已知函数f（x）=x3．设曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线与该曲线交于另一点Q（x2，f（x2）），记f'（x）为函数f（x）的导数，则的值为 ．

12．已知函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD，不含A（0，1），B（1，1），O（0，0），C（﹣1，﹣1），D（0，﹣1）五个点．则满足题意的函数f（x）的一个解析式为 ． 第2页

13．不等式x6﹣（x+2）3+x2≤x4﹣（x+2）2+x+2的解集为

．

14．在锐角三角形ABC中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值为

．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．

求证：（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．

16．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量=（a， b），=（sinB，﹣cosA），且⊥．

（1）求A的大小；

（2）若||=，求cosC的值．

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17．如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q．

（1）若AP=PQ，求直线l的斜率；

（2）过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值．

18．将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．

（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；

（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．

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19．对于给定的正整数k，如果各项均为正数的数列{an}满足：对任意正整数n（n＞k），an﹣kan﹣k+1…an﹣1an+1…an+k﹣1an+k=an2k总成立，那么称{an}是“Q（k）数列”．

（1）若{an}是各项均为正数的等比数列，判断{an}是否为“Q（2）数列”，并说明理由；

（2）若{an}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，求证：{an}是等比数列．

20．设命题p：对任意的，sinx≤ax+b≤tanx恒成立，其中a，b∈R．

（1）若a=1，b=0，求证：命题p为真命题．

（2）若命题p为真命题，求a，b的所有值．

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附加题21[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

B．已知变换T把直角坐标平面上的点A（3，﹣4），B（0，5）分别变换成点A'（2，﹣1），B'（﹣1，2），求变换T对应的矩阵M．

[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

C.在极坐标系中，已知直线与圆ρ=acosθ（a＞0）相切，求a的值．

22．小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，他决定逐个（不重复）进行尝试．

（1）求手机被锁定的概率；

（2）设第X次输入后能成功开机，求X的分布列和数学期望E（X）．

23．设n≥3，n∈N*，在集合{1，2，…，n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a，较小元素之和记为b．

（1）当n=3时，求a，b的值；

（2）求证：对任意的n≥3，n∈N*，为定值．

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2017-2018学年江苏省淮安市、宿迁市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．开始←输出结束←←←NY（第5题）

1．已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B= {x|0＜x＜1} ．

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】利用交集定义和不等式性质求解．

【解答】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，

∴A∩B={x|0＜x＜1}．

故答案为：{x|0＜x＜1}．

2．复数z=i（1﹣2i）（i是虚数单位）的实部为 2 ．

【考点】A2：复数的基本概念．

【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．

【解答】解：∵z=i（1﹣2i）=﹣2i2+i=2+i，

∴复数z=i（1﹣2i）的实部为2．

故答案为：2．

3．函数y=log2（3x﹣1）的定义域是 （，+∞） ．

【考点】33：函数的定义域及其求法．

【分析】直接由对数式的真数大于0求得x的范围得答案．

【解答】解：由3x﹣1＞0，得x＞，

∴函数y=log2（3x﹣1）的定义域是（，+∞）．

故答案为：（，+∞）．

4．某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取 6 名血型为AB的学生．

【考点】B3：分层抽样方法． 第7页

【分析】由题意知从500名学生中抽取一个容量为60的样本，采用分层抽样，可以知道每个个体被抽到的概率，用AB型血型的人数乘以概率得到这种血型所要抽取的人数，得到结果．

【解答】解：根据题意知用分层抽样方法抽样．

∵=，

故AB型血抽：50×=6人，

故答案为：6

5．如图是一个算法流程图，则输出的i的值为 3 ．

【考点】EF：程序框图．

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：第一次执行循环体后，S=400，不满足退出的循环的条件，i=1；

第二次执行循环体后，S=800，不满足退出的循环的条件，i=2；

第三次执行循环体后，S=1200，不满足退出的循环的条件，i=3；

第四次执行循环体后，S=1600，满足退出的循环的条件，

故输出的i值为3，

故答案为：3

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6．连续抛一枚均匀的硬币3次，恰好2次正面向上的概率为

．

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．

【分析】根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率公式计算即可．

【解答】解：每枚硬币正面向上的概率都等于，故恰好有两枚正面向上的概率为 C32 （）2（）=

故答案为：

7．已知，0＜α＜π，则α的取值集合为 {， } ．

【考点】GI：三角函数的化简求值．

【分析】由题意利用诱导公式结合角的范围即可求得α的取值集合．

【解答】解：∵ =sin（﹣）=sin=sin（π﹣）=sin，0＜α＜π，

∴则α=，或，

∴α的取值集合为{， }

故答案为：{， }．

8．在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，则的值为

3 ．

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】根据数量积的运算及计算公式即可求出的值．

【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，则BC=1．

=•（+）=+=+||||cos=22﹣2×1×=3；

故答案为：3．

9．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a3=5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an= 2n﹣1（n∈N*） ．

【考点】84：等差数列的通项公式．