25,1锐角三角比意义(1)

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教学对象授课日期

使用教材九年级第一学期试用本数学出版单位上海教育出版社

课题 25.1（1）锐角三角比意义计划学时 2

授课人

分析教学目标设计依据数学课堂除了巩固双基以外，在思维容量和难度上都有一定的挑战性。

教学目标认知 1. 了解正切、余切的取值范围；

2. 掌握正切、余切的定义；

3. 会根据直角三角形中两边的长度求某个锐角的正切和余切.

能力经历锐角三角比概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的体验.

情感 4. 从数学家泰勒斯发现现实中的“真问题”到解决问题的过程中感悟数学来源于“实践”，服务于生活.

教学重点掌握正切、余切的定义；会求某个锐角的正切值和余切值.

教学难点理解直角三角形中，锐角的大小与两边长度的比值的关系.

教学方法讲授

教学资源黑板教材

教

学

过

程

教师活动预设学生活动预设教学意图时间

前期准备

备课，编写教案。预习做好准备 1天

导入新课

古埃及数学家泰勒斯巧测金字塔引入。

数学史与数学教育的结合，给学生引发学生兴趣。 5min

并举例借用“相似三角形”的相关性质定理解决“现实问题”.

根据泰勒斯巧测金字塔的故事，泰勒斯是借用了两个相似的等腰直角三角形的性质测量了金字塔的高度，此时光线与影长所在线的夹角为45°，那么45°的对边和邻边长的比值是1:1.

教师借此提出问题：对于一个直角三角形，如果给定了锐角的大小，那么它的两条直角边的长度的比值是否是一个确定的值？

学生小组讨论学习

注入一点数学史的文化信息，向学生展示现实生活中的“真问题”，从而体会“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”这一探究过程的乐趣.

小组讨论的过程中，让学生再次体验“温故而知新”的探究之乐趣。

3 （一）探索新知

问题一

对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角大小，那么它的两条直角边的比值是否是个确定的值？

问题二

当直角三角形中一个锐角的大小发生变化时，这个锐角的对边比邻边的长度的比值随着变化吗？

数形结合，加深理解锐角三角比的知识及图形的意义。

理解锐角三角比的知识，数形结合加深理解概念。

30min

教师讲解，引导学生回答，整理思路整理过程板书示范。

培养学生数形结合的策略及思想，和向量分解的画法。

20min

5 想一想：

6 课堂练习

让学生自主探究独立完成，培养学生独立思考解决问题的能力。教师对正答案，强调重难点。

培养学生的逻辑思维，加深对知识概念的理解，对基础知识的应用。

20min

7 课堂小结

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanAaAAb的对边的邻边；

锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotAbAAa的邻边的对边.

课堂提问学生，教师引导，学生概括。加深对概念的理解。 5min

作业布置

练习册习题

板

书

设

计实数与向量相乘

概念例题练习

教

学

自

我

评

价

思

考教学效果

自我评价

ABCabc

培优讲义03：锐角三角函数(一)

一点通教育

学习改变命运，勤奋成就未来！初三数学冲刺班讲义

让孩子更优秀

第 1 页共 5 页第三讲：锐角三角函数（一）

知识点一：锐角三角函数

1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。

2、锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AAsin。

3、锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AAcos。

4、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan。

sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。

注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

考点一：锐角三角函数的定义

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=54，则AC：BC：AB=（）

A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：4

2、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。

3、在△ABC中，∠C=90°，若4a=3c，则cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于_______。

5、在△ABC中，∠C=90°，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（）

A、ncosB B、1ncosB C、cosnB D、不变

考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形

例1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE。

（1）求证：ABE△DFA≌△；

沪教版数学(上海)九年级第一学期课时练：25.1锐角的三角比的意义(1)

25.1 锐角的三角比的意义

一、填空题：

1. 在Rt△ABC中，∠A=90°,AC=4,BC=5,则tanC= ,cotB=

cotC= 。

2. 在Rt△ABC中，∠C=90°, tanA=23, 则cotA= 。

3．在平面直角坐标平面内有一点P(1,2),则OP与x轴的夹角的余切值= 。

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，3BC＝2AC，则tanA＝ .

5. 若cot·tan50°=1，则锐角= _____度

6. 如图，将矩形ABCD翻折，点A、C重合，EF是折痕，若AB＝2，BC＝5，则tan∠OFC＝________.

(第6题图)

二、选择题：

7. 如果Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的3倍，那么锐角A的正切、余切的值（）

A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小到原来的13

C．不能确定 D．没有变化

8. 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则比值BCCDBDACACADCDAB、、、中等于tanA的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

三、简答题：

9. 已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求：tanA和tanB的值.

10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4AC，求tanA的值．

11. 矩形ABCD中，AB＝AE＝5，AD＝3，求tan∠AEB.

四、拓展题:

12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝5，AC＝23，求tanB的值．

25.1 锐角的三角比的意义(1)

1.334443；； 2.32 3.12 4.233 5. 50° 6.52 7. D 8. B 9.37tan7A；7tan3B 10.15 11.3 12.32

“一题精讲”（十六）：巧用锐角三角比

本题的背景是两块直角三角板重合的问题，其中有许多30°角和60°角。对于求CD的长度，实际上需要构造直角三角形，通过解直角三角形进行达成。首先，我们需要分析问题背景中的组合图形：

通过构造含边CD的直角三角形，共有以下几种方法：

以上的三种方法都是通过构造直角三角形，利用特殊角的锐角三角比和勾股定理进行达成的，如何添加合理添加辅助线，利用锐角三角比是至关重要的。

本题的背景是矩形，主要考察了锐角三角比的求法、面积比和等腰三角形的存在性问题。本题的难点和解决要点在于发现图形中的等角，并且利用“等角的三角比相等”进行问题的转化。

本题的第一问就涉及到第一次角的转化，由于∠ADF所在的直角三角形的三边都是未知的，同时构造直角三角形求解又有不小的难度，因此寻找与∠ADF相等的角是问题解决的关键，由于图中有着较多的直角，因此，将∠ADF转化为∠BAE即可。

本题的第二问出现了▲ABE、▲ADF和四边形DFEC的面积比。可以观察到▲ABE和▲ADF是相似的，并且面积比的平方为(AE:AD)的平方，因此如何用含x的代数式表示AD就成了问题解决的关键。利用▲ABE和矩形的面积比为BE:BC，因此可以用含x的代数式表示BC的长度。

本题的第三问是等腰三角形的存在性问题，由于图中没有与▲CDF相似的三角形，因此只能通过分类讨论的方式进行。借助∠FDC=∠AEB，利用“等角的三角比相等”解决问题，同时利用“等腰三角形的三线合一定理”进行辅助线的添加。

解法分析：第3问的背景条件是▲DBH是等腰三角形，即利用分类讨论确定三种情况。由题意得，▲ADF与▲BFG相似，继而得▲ABF与▲DFG相似，即确定了∠BDH=∠BAC，而∠BAC的锐角三角比(345的三角形)是可解的，因此通过转化可知，▲DBH的三个锐角的三角比也是确定的。根据∠ADB=∠DBH，只要能够确定tan∠DBH，就可以在Rt▲ADB中，利用tan∠ADB求出AD的值.

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培优讲义03：锐角三角函数(一)

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