北师大版数学高二选修1-1 2-1.1椭圆及其标准方程 同步测试
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高中数学 2-1.1椭圆及其标准方程
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案： D
2．已知椭圆x2a2＋y22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程为( )
A.x24＋y22＝1 B.x23＋y22＝1
C．x2＋y22＝1 D.x26＋y22＝1
解析： 由焦点为(2,0)可知焦点在x轴上，所以，c2＝4，b2＝2，a2＝b2＋c2＝6.
答案： D
3．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.x225＋y29＝1(y≠0) B.y225＋x29＝1(y≠0)
C.x216＋y29＝1(y≠0) D.y216＋x29＝1(y≠0)
解析： 因为|AB|＝8，|CA|＋|CB|＝18－8＝10，所以顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．
因2a＝10,2c＝8，所以b2＝9.
所以顶点C的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．
答案： A
4．已知AB是过椭圆x225＋y216＝1左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|＝12，其中F2是椭圆的右焦点，则弦AB的长是( )
A．4 B．8
C．16 D．9
解析： 由椭圆定义|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，得|AB|＝8.
答案： B 打印版本
高中数学 二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知椭圆8x281＋y236＝1上一点M的纵坐标为2.则M的横坐标为________．
解析： 把M的纵坐标代入8x281＋y236＝1得8x281＋436＝1，
即x2＝9.
∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.
答案： 3或－3
6．已知椭圆的两个焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，并且经过点－32，52，则该椭圆的标准方程为________．
解析： 因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，
因为2a＝－322＋52＋22＋－322＋52－22
＝210.
所以a＝10，又c＝2，所以b2＝6，所以所求的椭圆的标准方程为y210＋x26＝1.
答案： y210＋x26＝1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解析： (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以可设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
∴ 22a2＋0b2＝10a2＋1b2＝1， ∴ a2＝4b2＝1，
故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1. 打印版本
高中数学 (2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，
∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的标准方程是y2100＋x236＝1.
8．求下列椭圆的标准方程
(1)已知椭圆经过点63，3和点223，1，求椭圆的标准方程．
(2)求经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同焦点的椭圆．
解析： (1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．
∵点63，3和点223，1都在椭圆上，
∴ m·632＋n·32＝1，m·2232＋n·12＝1，即 2m3＋3n＝1，8m9＋n＝1.∴ m＝1，n＝19.
∴所求椭圆的标准方程为x2＋y29＝1.
(2)椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±5)，
则可设所求椭圆的方程为x2λ＋y2λ＋5＝1(λ>0)．
把x＝2，y＝－3代入，得4λ＋9λ＋5＝1，
解得λ＝10或λ＝－2(舍去)．
∴所求椭圆的方程为x210＋y215＝1.
9．(10分)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹．
解析： 如图所示，由已知可得圆C1与圆C2的圆心坐标分别为C1(4,0)，C2(－4,0)，其半径分别为r1＝13，r2＝3.
设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.由于圆打印版本
高中数学 C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C1C|＝r1－r①
由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，
可得|C2C|＝r2＋r.②
由①＋②可得
|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16.
即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，
可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为焦点．
由题意得c＝4，a＝8，
∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.
∴椭圆的方程为x264＋y248＝1.
∴动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，其方程为x264＋y248＝1.
