广东省六校联盟高三第三次联考数学(文)试题

广东省六校联盟2015届高三第三次联考

（文科）数学试题

本试卷共4页，20小题， 满分150分．考试用时120分钟

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设函数的定义域为，则（ ）

A． B． C． D．

2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）

A． B． C． D．

3．已知点满足100yxyx，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．

4．双曲线的离心率（ ）

A． B． C． D．

5．对于任意向量、、，下列命题中正确的是（ ）

A． B．

C． D．

6．已知，，则（ ）

A． B． C． D．

7．等差数列中，，则（ ）

A．8 B．12 C．16 D．24

8．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）

A． B．

C． D．

9．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图1所示．若一个平行于圆锥底面的

平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分，则截面的面积为（ ）

A． B． C． D． 10．已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的

最小值称为点到线段的距离，记作．设是长为2的线段，

点集所表示图形的面积为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

11．已知，，则________．

12．若，则“成立”是“成立”的________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．

13．如图2，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，

1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域（图中白色部分）．

若在此三角形内随机取一点，则点落在区域内的概率为________．

14．已知函数213,1()log, 1xxxfxxx ，若关于的不等式有解，

则实数的取值范围为________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分12分）

已知函数()sin(),(0,0)3fxAxA的部分图象

如图3所示，其中点P是图象的一个最高点．

（1）求函数的解析式；

（2）已知，且，求． 图3

16．（本小题满分12分）

某种零件按质量标准分为五个等级．现从一批该零件中随机抽取个，对其等

级进行统计分析，得到频率分布表如下：

等级

频率 （1）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；

（2）在（1）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零件等级恰好相同的概率．

17．（本小题满分14分）

如图4，在四棱锥中，，，且平分，为的中点，,，．

（1）证明：；

（2）证明：；

（3）求三棱锥的体积．

图4

18．（本小题满分14分）

已知数列的前项和为，且，（且）．

（1）求数列的通项公式；

（2）设*11(N)(1)(1)nnnnabnaa，求数列的前项和．

19．（本小题满分14分）

已知函数，其中为常数，且．

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若函数在区间上的最小值为，求的值．

20．（本小题满分14分）

设,分别是椭圆：)0(12222babyax的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点,到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为． （1）求椭圆的方程；

（2）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求的取值范围；

（3）作直线与椭圆交于不同的两点, ,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值．

广东省六校联盟2015届高三第三次联考

（文科）数学试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 B A B A D D C A C

D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

11． 12．充要 13．

14．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．解：（1）由函数最大值为2 ，得A=2，………………………………………………1分

由图可得周期，………………………………………………2分

由，得． ………………………………………………3分

()2sin(2)3fxx． ………………………………………………5分

（2）2512sincos1sin21313由（，），且，得，………………………．8分

()2sin(2)2(sincoscossin)22333f．………………12分

16．解：（1）由频率分布表得 0.050.150.35mn，即． ………………2分

由抽取的个零件中，等级为的恰有个，得． ………………4分所以． …………………………………………………5分

（2）解：由（1）得，等级为的零件有个，记作；等级为的零件有个，记作．从中任意抽取个零件，所有可能的结果为：

12131112232122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)xxxxxyxyxxxyxyxyxyyy共计种．……9分

记事件为“从零件中任取件，其等级相等”． 则包含的基本事件为12132312(,),(,),(,),(,)xxxxxxyy共4个． …………………………11分

故所求概率为． ……………………………………………………………12分

17．解：（1）证明：如图，设，连接，因为，且DB平分，

所以为中点，又因为E为PC的中点，所以为的中位线，所以，

又因为平面，所以．………………………………………4分

（2）证明：因为，且DB平分，所以，又，

，所以，又因为，

且平面、平面，所以平面，又平面，

所以．………………………………………8分

（3）由（2）知，又因为、，

所以，所以112221222ABDSBDAF；……………………………11分

又因为，，为中点，

所以到平面的距离为；………………13分

所以11111333EABDABDVSh，

即三棱锥的体积为．…………………………………………………14分

18．解：（1）由题……① ……②

由①②得：，即，…………………………4分

当时，，，,，………………………… 5分

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，故（）．………………… 6分

（2）由（1）（），

所以11112112()(1)(1)(21)(21)2121nnnnnnnnnabaa，…………………… 10分

所以1211111112[()()()]23352121nnnnTbbb

11212()22121nnn． …………………………………… 14分

19．解：2221()1'()xaxaxafxxxxxx() …………………………… 2分

（1）因为曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，

所以，即……………………………………4分 （2）当时，在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为增函数,

min()(1)1fxfa．…………………………………………………………………6分

当时，由得，，

对于有在[1，a]上为减函数，

对于有在[a，2]上为增函数，

min()()lnfxfaa． ……………………………………………………………8分

当时，在（1，2）上恒成立，这时在[1，2]上为减函数，

min()(2)ln212afxf．……………………………………………………………10分

于是，①当时，；……………………11分

②当时，，令，得；……………………12分

③当时，．……………………13分

综上所述，．………………………………………………………………………14分

20．解：（1）设,的坐标分别为,其中，由题意得的方程为:

因到直线的距离为,所以有31333cc,解得……………2分

所以有……①由题意知:,即……②

联立①②解得:，所求椭圆的方程为………………………………4分

（2）由(1)知椭圆的方程为，设,，由于,

所以有),1(),(1111yxmyx，1,111myx ……………………………7分

又是椭圆上的一点,则1)1(4)1(22m，所以04)2)(23(2m

解得：或 ……………………………………………………………8分

（3）由, 设，根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为，把它代入椭圆的方程,消去,整理得: 0)416(16)41(2222kxkxk

由韦达定理得,则,

所以线段的中点坐标为……………………………………………………10分

(i)当时, 则有,线段垂直平分线为轴，于是(2,),(2,)NPtNQt

由442tNQNP,解得: ……………………………………………11分

(ii) 当时, 则线段垂直平分线的方程为