北师大版高中数学选修1-11.3.1全称量词与全称命题、1.3.2存在量词与特称命题.docx
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高中数学学习材料
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§3 全称量词与存在量词
3.1 全称量词与全称命题
3.2 存在量词与特称命题
课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假．
1．全称量词与全称命题
命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题．
2．存在量词与特称命题
命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题．
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是( )
A．偶函数的图像关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
3．下列是全称命题且是真命题的是( )
A．任意x∈R，x2>0
B．任意x∈Q，x2∈Q
C．存在x0∈Z，x20>1
D．任意x，y∈R，x2＋y2>0
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( ) A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x0，使x20>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x0，使1x0>2
5．下列全称命题中假命题的个数是( )
①2x＋1是整数(x∈R)；
②对所有的x∈R，x>3；
③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列命题中，真命题是( )
A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．任意m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．任意m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．下列特称命题中是真命题的有________．(填序号)
①存在x∈R，x2＝0；
②有的菱形是正方形；
③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．
8．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，则a的取值范围是__________．
9．下列命题中，真命题有__________．(填序号)
①不存在实数x，使x2＋x＋1<0；
②对任意实数x，均有x＋1>x；
③方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根；
④不等式x2－x＋1|x|＋1<0的解集为∅.
三、解答题
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0.
(2)对任意实数x1，x2，若x1 (3)存在T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|. (4)存在x0∈R，使x20＋1<0. 11．已知对任意x>0，a 能力提升 12．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是( ) A．存在x∈R，12ax2－bx≥12ax20－bx0 B．存在x∈R，12ax2－bx≤12ax20－bx0 C．任意x∈R，12ax2－bx≥12ax20－bx0 D．任意x∈R，12ax2－bx≤12ax20－bx0 1．判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写找到． 2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题． §3 全称量词与存在量词 3.1 全称量词与全称命题 3.2 存在量词与特称命题 知识梳理 1．整体或全部 全称量词 2．个别或一部分 存在量词 作业设计 1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．] 2．D [“存在”是存在量词．] 3．B [A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．] 4．B 5.C 6．A [对于选项A，存在m∈R，当m＝0时，f(x)＝x2＋mx＝x2是偶函数．故A正确．] 7．①②③ 解析 对于命题①，当x＝0时，x2＝0；对于命题②，有一个角是直角的菱形是正方形；对于命题③，整数1既不是合数，也不是素数． 8．(－2,2] 解析 当a＝2时，显然符合条件； 当a≠2时，有 a<2，Δ＝4a－22－4a－2×－4<0， ⇒－2 综上，a的取值范围是(－2,2]． 9．①②④ 解析 对于选项③，方程x2－2x＋3＝0没有实根，是假命题． 10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题． (1)∵ax>0 (a>0，a≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题． (2)存在x1＝0，x2＝π，x1 但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题． (3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题． (4)对任意x0∈R，x20＋1>0， ∴命题(4)是假命题． 11．解 由于对任意x>0，a 只需a<x＋1xmin恒成立． ∵x>0，x＋1x≥2，即x＋1xmin＝2. ∴a<2.故a的取值范围是(－∞，2)． 12．C [由于a>0，令函数y＝12ax2－bx＝12a(x－ba)2－b22a，此时函数对应的图像开口向上，当x＝ba时，取得最小值－b22a，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝ba，ymin＝12ax20－bx0＝－b22a，那么对于任意的x∈R，都有y＝12ax2－bx≥－b22a＝12ax20－bx0.]
