三角函数的两个定义
三角函数是数学中十分重要的一类函数，可以用来解决解析几何、椭圆函数等复杂问题。它们有两种定义：①线性定义：三角函数是指由直线和圆决定的函数，它们满足非线性方程的解；②数值定义：三角函数指的是根据给定的角度的正弦、余弦和正切函数值，来求出角度。
从线性定义来看，三角函数的形式表达为一个定义域范围内的可解方程，包括椭圆方程、双曲线方程、二阶方程和高阶方程，它们均可被拆分为有理函数，具体而言，就是正弦、余弦和正切函数的有理函数组合。
而根据数值定义，三角函数的形式表示为y=f(x)，其中f(x)表示一种以角度为自变量的函数，函数的图像是一条曲线，而且可以使用三角函数关系式表示和计算各种参数，这些参数包括有正弦和余弦值，它们可以提供关于角度的重要信息。
总而言之，三角函数既可以根据参考定义作为形式表示，也可以根据数值定义作为函数表示，其核心功能是对角度进行描述和计算。它们的数学特性和性质，在解决线性几何、椭圆函数等复杂方程中，都发挥着重要的作用。
三角函数的定义与同角三角函数关系
一．知识内容：
1.在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
2.三角函数定义：
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y；(2)x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；
(3)yx叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
思考：使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.问角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
4.(1)三角函数的定义域，值域分别是：
(2)正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号:
5.由定义观察同角三角函数之间的关系：
二．知识应用：
例1.利用定义求下列角的三角函数值：(1)32 (2)67 (3)310
练：(1)若750°角的终边上有一点(4，a)，则a＝________.
(2)求下列各式的值.①cos 25π3＋tan(－15π4)；②sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 例2.已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.
练1 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3cos α的值.
例3.(1)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
(2)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
基础模块 上册
121 5.2.1 任意角三角函数的定义
【教学目标】
1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法．
2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
任意角三角函数的定义．
【教学难点】
单位圆及三角函数线．
【教学方法】
本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．
【教学过程】
环节 教学内容 师生互动 设计意图
导
入 复习锐角三角函数定义． 师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的？ 以旧引新．
新
课
1. 任意角的三角函数定义．
已知 是任意角，P(x，y)， P(x，y)是角 的终边与两个半径不同的同心圆的交点．
(r＝x2+y2 ， r'＝x'2+y'2 )
如图所示：
当角 不变时，对于角 的终边上任意一点P（x，y），不论点 P 在角
的终边上的位置如何，三个比值xr ，yr ，问题1：当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢？
如左图所示，由相似三角形对应边成比例得，x r ＝x'r' ，y r ＝y'r' ，y x ＝y'x' .
由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，
因此，xr ＝x'r' ，yr ＝y'r' ，yx ＝y'x' ，
所以三个比值 xr ，yr ，yx 只依赖于 的大小，与点 P 在
终边上的位置无关．
说明三角函数定义的理论根据．
y
P
r
r′ y y′
O x′ x x P’ 第五章 三角函数
什么是三角函数
三角函数是以角度(数学上最常用弧度制，下同)为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。下面店铺就给大家介绍三角函数的相关信息。
三角函数的定义
直角三角形三角函数定义
在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个 直角三角形，其中∠ACB为 直角。对∠BAC而言， 对边(opposite)a=BC、 斜边(hypotenuse)c=AB、邻边(adjacent)b=AC，则存在以下关系：
基本函数 英文 缩写 表达式 语言描述
正弦函数 sine sin a/c ∠A的对边比斜边
余弦函数 cosine cos b/c ∠A的邻边比斜边
正切函数 tangent tan a/b ∠A的对边比邻边
余切函数 cotangent cot b/a ∠A的邻边比对边
正割函数 secant sec c/b ∠A的斜边比邻边
余割函数 cosecant csc c/a ∠A的斜边比对边
注：正切函数、余切函数曾被写作 、 现已不用这种写法
变化规律
正弦值在
随角度增大(减小)而增大(减小)，在
随角度增大(减小)而减小(增大); 余弦值在
随角度增大(减小)而增大(减小)，在 随角度增大(减小)而减小(增大); 正切值在
随角度增大(减小)而增大(减小); 余切值在
随角度增大(减小)而减小(增大); 正割值在
随着角度的增大(或减小)而增大(或减小); 余割值在
随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
注：以上其他情况可类推，参考第五项：几何性质。
除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：
任意角三角函数定义：
在 平面直角坐标系xOy中设∠β的始边为x轴的正半轴，设点P(x，y)为∠β的终边上不与原点O重合的任意一点，设r=OP，令∠β=∠α，则：
单位圆定义
六个三角函数也可以依据 半径为1中心为原点的 单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于 直角三角形。但是 单位圆定义的确允许三角函数对所有 正数和 负数辐角都有定义，而不只是对于在 和 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都 包含了。根据 勾股定理， 单位圆的 方程是：对于圆上的任意点 。
5.2.1 任意角三角函数的定义
【教学目标】
1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法．
2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
任意角三角函数的定义．
【教学难点】
单位圆及三角函数线．
【教学方法】
本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．
【教学过程】
环节
教学内容 师生互动 设计意图
导
入 复习锐角三角函数定义． 师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的 以旧引新．
新
课
1. 任意角的三角函数定义．
已知 是任意角，P(x，y)，
P(x，y)是角 的终边与两个半径不同的同心圆的交点．
(r＝x2+y2 ， r'＝x'2+y'2 )
如图所示：
问题1：当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢
如左图所示，由相似三角形对应边成比例得，x
r ＝x'r' ，y
r ＝y'r' ，y
x ＝y'x' .
由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，
说明三角函数定义的理论根据．
y
P
r y′
O x′ x x P
新
课
当角 不变时，对于角 的终边上任意一点P（x，y），不论点 P 在角 的终边上的位置如何，三个比值xr ，yr ，yx 始终等于定值．因此定义：
角 的余弦cos ＝ xr ；
角 的正弦sin ＝ yr ；
角 的正切tan ＝ yx ．
依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个对应关系都是以角 为自变量的函数，分别叫做角 的余弦函数、正弦函数和正切函数．
