高中数学第一章立体几何初步1.3三视图1.3.1简单组合体

1.3.2空间几何体的体积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球

的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．

知识点一柱体、锥体、台体的体积公式

1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)．

2．锥体的体积公式V＝1

3Sh(S为底面面积，h为高)．

3．台体的体积公式V＝1

3(S′＋S′S＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)．

4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝ShV＝1

3(S′＋S′S＋S)hV＝1

3Sh.

知识点二球的表面积和体积公式

1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．

2．球的体积公式V＝4

3πR3.

知识点三球体的截面的特点

1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．

2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问

题的主要途径．

1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(×)

2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)

类型一柱体、锥体、台体的体积

例1(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B

1C

1的所有棱长均为1，且AA

1⊥底面ABC，则三

棱锥B1－ABC

1的体积为____________．

答案3

12

解析三棱锥B1－ABC

1的体积等于三棱锥A－B

1BC

1的体积，三棱锥A－B

1BC

1

的高为3

2，底面积为1

2，故其体积为1

3×1

2

×3

2

＝3

12.

(2)现有一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6

cm，高为20cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下

降________cm.

答案0.6

解析设杯里的水下降hcm，由题意知

π2022h＝1

3×20×π×32，解得h＝0.6cm.

反思与感悟(1)常见的求几何体体积的方法

①公式法：直接代入公式求解．

②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．

1.2.3直线与平面的位置关系

第1课时直线与平面平行的判定学习目标1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.掌握空间中直线与平面平行的判定定理．

知识点一直线与平面的位置关系

思考如图所示，在长方体ABCD—A1B

1C

1D

1中，线段BC

1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？

答案三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．

梳理直线与平面的位置关系

位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外

直线a与平面α相交直线a与平面α平行

公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点

符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α

图形表示

知识点二直线与平面平行的判定定理

思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动

过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？

答案平行．思考2如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？

答案由于直线a∥b，所以两条直线共面，直线a与平面α不相交．

梳理表示定理图形文字符号

直线与平面平

行的判定定理如果平面外一条直线

和这个平面内的一条

直线平行，那么这条直

线和这个平面平行a⊄α

b⊂α

a∥b⇒a∥α

1．若直线a与平面α内的所有直线都不平行，则a不平行于平面α.(√)

2．两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．(×)

类型一直线与平面的位置关系

例1下列说法中正确的是________．(填序号)

①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；

④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.

答案④

解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，但AA′在过BB′的平面

AB′内，故①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故②不

1 空间中的垂直关系（1）

1．将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为( )．

A．mα，mn＝B，l⊥n，l⊥ml⊥α

B．mα，nα，mn＝B，l⊥m，l⊥nl⊥α

C．mα，nα，mn＝Bl⊥n，l⊥m，l⊥α

D．mα，nα，l⊥m，l⊥nl⊥α

2．过平面α外一点P，

①存在无数条直线与平面α平行；

②存在无数条直线与平面α垂直；

③有且只有一条直线与平面α平行；

④有且只有一条直线与平面α垂直．

其中正确命题的个数是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

3．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②直线a不垂直于平面α，则α内与a垂直的直线有无数条；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④在空间中，过一点与已知直线垂直的直线有无数条．

其中真命题是( )．

A．①和③ B．②和③

C．③和④ D．②和④

4．与空间四边形ABCD的四个顶点距离相等的平面共有( )．

A．1个 B．5个

C．6个 D．7个

5．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC边上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值为______．

6．如图所示，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是______．(写出所有符合要求的图形的序号) 2

7．如图(1)，矩形纸片AA′A′1A1，B、C、B1、C1分别为AA′，A1A′1的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成图(2)所示的三棱柱，若面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1．

8．如图所示，在矩形ABCD中，33AB，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到点C′，且C′O⊥平面ABD于点O，点O恰在AB上．

- 1 - 第1课时 柱、锥、台的表面积和体积

[A 基础达标]

1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )

A．1∶2 B．1∶3

C．1∶5

D.3∶2

解析：选C.设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝5r.所以S侧＝πrl＝5πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶5.

2.如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是( )

A.13 B.12

C.23 D.34

解析：选C.因为VC­A′B′C′

＝13VABC­A′B′C′＝13，

所以VC­AA′B′B＝1－13＝23.

3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )

A．122π B．12π

C．82π D．10π

解析：选B.设所截正方形的边长为 a，则 a2＝8，即 a＝22.所以圆柱的母线长为 22，底面圆半径 r＝2，所以圆柱的表面积为 22π×22＋π(2)2×2＝8π＋4π＝12π.

4.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥P­ABCD的体积为( )

A.16 B.13

C.12 D.23

解析：选B.因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，

点P是面A1B1C1D1内任意一点，

所以点P到平面ABCD的距离d＝AA1＝1， - 2 - S正方形ABCD＝1×1＝1，

所以四棱锥P­ABCD的体积为：

VP­ABCD＝13×AA1×S正方形ABCD＝13×1×1＝13.

故选B.

5．(2019·临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )