转化与化归
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4 转化与化归思想
方法解读
1．转化与化归思想
所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题的解．
2．转化与化归思想的原则
(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．
(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．
(3)具体原则：化归方向应由抽象到具体．
(4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．
(5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决
3．转化与化归思想常用到的方法
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．
(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
(5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径
(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．
(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．
(8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的．
(9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题充分条件，从而易证．
(10)补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA使原问题得以解决．
例题讲解
一、特殊与一般的转化
例1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ＞0.求数列{an}的通项公式．
变式训练1 e416，e525，e636(其中e为自然常数)的大小关系是____________．
二、正难则反的转化与化归
例2 已知三条抛物线：y＝x2＋4ax－4a＋3，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，求实数a的取值范围．
变式训练2 已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为____________________．
三、抽象问题与具体问题的转化
例3 已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值是________．
变式训练3 已知定义在实数集R上的函数y＝f(x)恒不为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且当x＞0时，f(x)＞1，那么当x＜0时，一定有________(填序号)．①f(x)＜－1；②－1＜f(x)＜0；③f(x)＜1；④0＜f(x)＜1. 四、函数、不等式、方程之间的转化
例4 设函数f(x)＝ex－1＋mx(m∈R)，
(1)若f(x)在(1,2)上为单调减函数，求实数m的取值范围；
(2)若f(x)在x＝1处有极值，且函数g(x)＝f(x)－n在(0，＋∞)上有零点，求n的最小值．
变式训练4 设g(x)＝px－qx－2f(x)，其中f(x)＝ln x，且g(e)＝qe－pe－2(e为自然对数的底数)．
(1)求p与q的关系；
(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求p的取值范围．
练习
一、填空题
1．若方程sin2x＋cos x＋k＝0有解，则k的取值范围为______________．
2．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10＝________.
3．(2010·安徽改编)设5253a ，5352b ，5252c ，则a，b，c的大小关系为________．
4．若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝1，则f(2 011)＝________.
5．设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2,2]上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是___________________．
6．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)，则|OP→|的最小值为 ____.
7．设函数f(x)＝x－2msin x＋(2m－1)sin xcos x(m为实数)在(0，π)上为增函数，则m的取值范围为________．
8．(2011·浙江改编)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是________．(填序号)
二、解答题
9．设曲线y＝ax33＋12bx2＋cx在点x处的切线斜率为k(x)， 且k(－1)＝0，对一切实数x，不等式x≤k(x)≤12(x2＋1)恒成立(a≠0)．
(1)求k(1)的值；
(2)求函数k(x)的表达式．
10．设f(x)＝ax＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(3)如果对任意的s，t∈12，2，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
