高一数学(函数的概念)教学设计 教案
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- 1 - / 15 函数的概念
一、内容与解析
函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高.
在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.
二、教学目标及解析
1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识.
2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性和重要性,激发学生学习的积极性.
三、问题诊断分析
教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数.
教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值.
四、教学支持条件分析
在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().
五、教学过程
第一课时 word - 2 - / 15 导入新课
问题:已知函数1,0,RxQyxQ,请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释,引出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
1.给出下列三种对应:(幻灯片)
（1）一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.请回答：
①该问题中的自变量与因变量分别是什么？它们的取值X围用集合如何表示？
②请得出炮弹飞行1s，5s，10s，20s时距地面的高度
③请用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系
④用符号语言描述上述的依赖关系
时间t的变化X围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化X围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应
f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.
（2）1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从1979~2001年的变化情况.
图1-2-1-1
请回答：
① 该问题中的自变量与因变量分别是什么？它们的取值X围用集合如何表示？
② 从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞的面积大约为1500万平方千米？ word
- 3 - / 15 ③请用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系
④用符号语言描述上述的依赖关系
根据图1-2-1-1中的曲线,可知时间t的变化X围是数集A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积S的变化X围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:
f:t→S,t∈A,S∈B.
（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数y
请回答：
①恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？
②用符号语言描述上述的依赖关系
根据上表,可知时间t的变化X围是数集A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数y的变化X围是数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应:
f:t→y,t∈A,y∈B.
（2）以上三个实例有什么共同特点？
（3）请用集合的观点给出函数的定义. 函数f:A→B的值域为C,那么集合B=C吗？
初中函数定义：在某一变化过程中，有两个变量x，y。在某一法则的作用下，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与其相对应，这时，就称y是x的函数。这时，x是自变量，y是因变量。 word
- 4 - / 15 高中函数定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数，记作：(),yfxxA
其中，x叫做自变量，x的取值X围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()}fxxA叫做函数的值域。
（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？请填写下表
函数 一次函数 二次函数
反比例函数
a>0 a<0
对应法则
定义域
值域
（5）在研究函数时常会用到区间的概念,设a,b是两个实数,且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ［a,b］
{x|a
{x|a≤x
{x|a
{x|x≥a} ［a,+∞)
{x|x>a} (a,b］
{x|x≤a} (-∞,a］
{x|x
R (-∞,+∞)
活动：让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性.
解：(1)共同特点是:集合A、B都是数集,并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→Bword
- 5 - / 15 下,在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.
(2)一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫自变量,x的取值X围A叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(3)自变量的取值X围就是使函数有意义的自变量的取值X围.
(4)函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等等.
(5)CB.
应用示例
思路1
1.已知函数f(x)=3x+21x,
(1)求函数的定义域;
(2)求f(-3),f(32)的值;
(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.
活动：
(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值X围,故转化为求使3x和21x有意义的自变量的取值X围;3x有意义,则x+3≥0,21x有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组.
(2)让学生回想f(-3),f(32)表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f(32)表示自变量x=32时对应的函数值.分别将-3,32代入函数的对应法则中得f(-3),f(32)的值.
(3)f(a)表示自变量x=a时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值.
分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值.
解：(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足.02,03xx解得-3≤x<-2或x>-2,
即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞). word
- 6 - / 15 (2)f(-3)=33-+231=-1;
f(32)=2321332=23383.
(3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞),
即f(a),f(a-1)有意义.
则f(a)=3a+21a;
f(a-1)=21131-aa=112aa.
点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值X围,通常转化为解不等式组.
f(x)是表示关于变量x的函数,又可以表示自变量x对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f(x)没有什么意义.符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如f(x)=x2-x+5,当x=2时,看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,再加上5;当x为某一代数式(或某一个函数记号时),则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f［g(x)］=［g(x)］2-g(x)+5等等.
符号y=f(x)表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积;符号f(x)与f(m)既有区别又有联系,当m是变量时,函数f(x)与函数f(m)是同一个函数;当m是常数时,f(m)表示自变量x=m对应的函数值,是一个常量.
已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值X围,即:
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).
(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
2.已知函数f(x)的定义域是［-1,1］,则函数f(2x-1)的定义域是________.
分析:要使函数f(2x-1)有意义,自变量x的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.
