图论论文--最短路径算法应用

课程论文

课程名称 图论及其应用

题 目 最短路径算法应用--最短路径游览校园

姓 名

学 号

专 业 计算机技术

摘要：重邮是个美丽的学校，我们考入重邮后，都喜欢上了学校。而且经常有同学来找我玩，作为他们的导游，在带领他们游览学校时候，遇到了一个问题：怎样走最短路径来游览学校最多的景点。当学完图论后，我找到了答案，运用图论中的一些知识，找到一个最短最有效的路径从而迅速到达某个地点。

本文运用了图论中的最短路径算法，邻接矩阵，赋权图等知识，把学校里面我们经常去的地方选了出来，画出平面图，建模赋权图，模拟了在任意两点之间的最短路径的实现以及编程显示。

关键词：数据结构；最短路径；迪杰斯特拉算法；

一：背景介绍

设计学校的校园平面图，所含景点不少于8个（中心食堂、信科、图书馆……）

1) 带领同学们从新大门开始利用最短路径游览学校的几个景点。

2) 为来访同学提供图中任意景点的问路查询，即查询任意两个景点之间的一条最短的简单路径。

3) 在社会生活中，最短距离的运用相当广泛。除了该课题外，还有于此相关的城市道路的设计，交通线路的设计，旅游景点的设计等等。除了路径长度方面外，到两地花费的最少、时间的最短等等都是同样的道理。

二：最短路径知识点

边上有数的图称为加权图，在加权图中我们经常找到两个指定点间最短路径，称为最短路径问题。

在最短路问题中，给出的是一有向加权图G=(V,E)，在其上定义的加权函数W:ER为从边到实型权值的映射。路径P=(v0, v1,……, vk)的权是指其组成边的所有权值之和：

11()(,)kiiiwpwvv

定义u到v间最短路径的权为

min():)wpuvuvv 如果存在由到的通路 如果不存在

从结点u到结点v的最短路径定义为权())wpv的任何路径。①

边的权常被解释为一种度量方法，而不仅仅是距离。它们常常被用来表示时间、金钱、罚款、损失或任何其他沿路径线性积累的数量形式。

三：Warshall算法介绍

我们可以利用Warshall算法来解决最短路径问题。Warshall在1962年提出了一个求关系的传递闭包的有效算法。其具体过程如下，设在n个元素的有限集上关系R的关系矩阵为M：

（1）置新矩阵A=M;

（2）置k=1;

（3）对所有i如果A[i,k]=1，则对j=1..n执行：

A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j];

（4）k增1;

（5）如果k≤n，则转到步骤（3），否则停止。

所得的矩阵A即为关系R的传递闭包t(R)的关系矩阵。

设关系R的关系图为G，设图G的所有顶点为v1,v2,…,vn，则t(R)的关系图可用该方法得到：若G中任意两顶点vi和vj之间有一条路径且没有vi到vj的弧，则在图G中增加一条从vi到vj的弧，将这样改造后的图记为G’，则G’即为t(R)的关系图。G’的邻接矩阵A应满足：若图G中存在从vi到vj路径，即vi与vj连通，则A[i,j]=1，否则A[i,j]=0。

这样，求t(R)的问题就变为求图G中每一对顶点间是否连通的问题。

定义一个n阶方阵序列A(0),A(1),A(2),…,A(n)，每个方阵中的元素值只能取0或1。A(m)[i,j]=1表示存在从vi到vj且中间顶点序号不大于m的路径（m=1..n），A(m)[i,j]=0表示不存在这样的路径。而A(0)[i,j]=1表示存在从vi到vj的弧，A(0)[i,j]=0表示不存在从vi到vj的弧。

这样，A(n)[i,j]=1表示vi与vj连通，A(n)[i,j]=0表示vi与vj不连通。故A(n)即为t(R)的关系矩阵。

那么应如何计算方阵序列A(0),A(1),A(2),…,A(n)呢？

很显然，A(0)=M（M为R的关系矩阵）。

若A(0)[i,1]=1且A(0)[1,j]=1，或A(0)[i,j]=1，当且仅当存在从vi到vj且中间顶点序号不大于1的路径，此时应将A(1)[i,j]置为1，否则置为0。

一般地，若A(k-1)[i,k]=1且A(k-1)[k,j]=1，或A(k-1)[i,j]=1，当且仅当存在从vi到vj且中间顶点序号不大于k的路径，此时应将A(k)[i,j]置为1，否则置为0（k=1..n）。用公式表示即为：

A (k)[i,j]=(A(k-1)[i,k]∧A(k-1)[k,j])∨A(k-1)[i,j] i,j,k=1..n

这样，就可得计算A(k)的方法：先将A(k)赋为A(k-1)；再对所有i=1..n，若A(k)[i,k]=1（即A(k-1)[i,k]=1），则对所有j=1..n，执行：

A (k)[i,j]←A(k)[i,j]∨A(k-1)[k,j]

但这与前述Warshall算法中的第（3）步还有一定距离。若将上式改为：

A(k)[i,j]←A(k)[i,j]∨A(k)[k,j] （即把A(k-1)[k,j]改为A(k)[k,j]）

就可将上标k去掉，式子就可进一步变为：

A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j]

这样可以只用存储一个n阶方阵的空间完成计算，且与前述Warshall算法中第（3）步的式子一致。那么，可不可以把A(k-1)[k,j]改为A(k)[k,j]呢？答案是肯定的。下面将证明在计算A(k)的过程中A(k-1)[k,j]与A(k)[k,j]相等（A(k)被赋初值A(k-1)后）。考察计算A(k)的方法 只有当i=k时A(k)[k,j]的值才有可能改变，此时将式A(k)[i,j]←A(k)[i,j]∨A(k-1)[k,j]中的i换为k，得A(k)[k,j]←A(k)[k,j]∨A(k-1)[k,j]，对某一j，执行该式的赋值操作前A(k)[k,j]=A(k-1)[k,j]，因为计算A(k)开始时A(k)被赋为A(k-1)，故它们相或的结

果等于A(k-1)[k,j]，故赋值操作不改变A(k)[k,j]的值。这样，就没有操作会改变A(k)[k,j]的值，故A(k-1)[k,j]与A(k)[k,j]相等。

综上，就可得到计算A(n)的算法，且该算法与前述的Warshall算法完全一致。

由上面的分析，不难看出，Warshall算法类似于求图中每对顶点间最短路径的Floyd算法。其实，用Floyd算法也能求关系的传递闭包，方法为令关系R的关系图G中的每条弧的权值都为1，这样得一有向网G1，设G1的邻接矩阵为D(-1)（若vi无自回路，则D(-1)(i,i)=∞），对G1用Floyd算法求其每对顶点间最短路径，得结果矩阵D(n-1)。因若G中vi与vj连通，当且仅当D(n-1)[i,j]≠∞，故将矩阵D中的∞都改为0，其它值都改为1，得矩阵A，则矩阵A即为t(R)的关系矩阵。Floyd算法和Warshall算法的时间复杂度都为O(n3)，但明显用Floyd算法求关系的传递闭包绕了弯子。

四：算法实现

本文主要以我们学校为模型，选取几处比较典型的建筑分别为：学校新大门、数字图书馆、重邮宾馆、信科大厦、老图书馆、二教、中心食堂、三教、逸夫科技楼、外国语学院。建筑物之间的路径用直线连接，线上的数字表示两景点间的距离。

抽象的平面图如下所示：

图2 我校主要建筑分布图

运用图论知识对上图进行邻接矩阵的表示，为了方便表示我对上图的地点：新校门代号为1，数字图书馆代号为2，重邮宾馆代号为3，信科大厦代号为4，图书馆代号为5二教学新校门

数字图书馆 逸夫科技楼

三教

二教

中心食堂

信科大厦 重邮宾馆 图书馆 20

60

10

30 15 70 40

15

90

100 20

25 外语学院

楼代号为6，中心食堂代号为7，逸夫科技楼代号为8，三教学楼代号为9，外国语学院代号10。邻接矩阵D如下图：

四：算法分析

⑴ 问题描述

用无向网表示学校的校园景点平面图，图中顶点表示主要景点，存放景点的编号、名称、简介等信息，

图中的边表示景点间的道路，存放路径长度等信息。要求能够回答有关景点介绍、游览

路径等问题。游客通过终端可询问：

①从某一景点到另一景点的最短路径。(最短路径问题)

②游客从新校门口进入，选取一条最佳路线。

⑵ 基本要求

①将导游图看作一张带权无向图，顶点表示学校的各个景点，边表示各景点之间的道路，边上的权值表示距离．为此图选择适当的数据结构。

②把各种路径都显示给游客，由游客自己选择浏览路线。

③画出景点分布图于屏幕上。

⑶ 实现提示

①首先构造一个无向图G并用邻接矩阵来存储。

②分别当k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时，利用Warshall算法来化简邻接矩阵，最后k=10时，得到的矩阵就是所求。

五：程序实现

本文运用了Warshall算法，其抽象算法为：

#include

using namespace std;

const int size=4;

void print(int a[][size])

{

for(int k=0;k

{

for (int l=0;l

{

cout<

if (l==size-1)

cout<

}

}

cout<<"\n\n";

}

void transform(int a[][size],int b[][size])

{

int i,j,k;

for(i=0;i

{

for(j=0;j