牛顿法、简化牛顿法与牛顿下山法、弦截法、解非线性方程组的牛顿法
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河北联合大学
第7章 非线性方程组的数值解法
§7.3 牛顿法 §7.4 简化牛顿法与牛顿下山法
§7.5 弦截法 §7.6 解非线性方程组的牛顿法
1. 什么是求解f
x
=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若f
*
x=0，x
*是单根，f光
滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
答：按式x
1n=x
n—
nn
xfxf
'(n=0,1,2……n)求方程f
x
=0的近似解的方法称为牛顿法；
牛顿法不总是收敛的，它是局部收敛的；
设函数()fx
在其零点
*
x邻近二阶连续可微，且*
()0fxﾢ
ﾢ，则存在0d
>，使得对任
意**
0[,]xxxdd
-�
，Newton法所产生的序列{}
nx
至少二阶收敛于*
x。
证明 由
1()
(0,1,2,)
()n
nn
nfx
xxn
fx=-=
ﾢL知迭代函数为()
()
()fx
xx
fxj
=-
ﾢ，且有
2()()
()
[()]fxfx
x
fxjﾢﾢ
ﾢ
=
ﾢ，若()fxﾢﾢ
在
*
x邻近连续，则()xj
ﾢ
在
*
x邻近连续，且
**
*
*2()()
()01
[()]fxfx
x
fxjﾢﾢ
ﾢ
==<
ﾢ
当迭代函数()xj
在
*
x邻近有r
阶连续导数，且
**
=()xxj
,()*
()0k
xj
=(1,,1)kr=-L
，0)(*)(
xrj
则迭代序列{}
nx
在点*
x邻近是r
阶收敛的。
可知Newton法产生的迭代序列{}
nx
至少二阶收敛于*
x
。2. 什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
答：弦截法是函数逼近法的一种，基本思想是用区间
xx
kk,
1-上的割线近似代替目
标函数的导函数的曲线。并用割线与横轴交点的横坐标作为方程根的近似。
在Newton迭代公式中，每次计算导数运算量很大，为了避免计算导数值,用差商代替
导数)(x
kf
,得到迭代公式
按如下迭代公式计算方程的近似解称为弦截法。
弦截法具有超线性收敛，，它与牛顿迭代法比较其收敛速度稍慢于牛顿法，可以
证明在牛顿法与弦截法都收敛的情况下，弦截法收敛的阶约为1.618，低于二阶收敛的
牛顿法。
牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点，但每迭代一次都要计算)(x
kf
的导数 , 当
)(xf
比较复杂时, 不仅每次计算)(x
kf
的导数带来很多不便，而且还可能十分麻烦，
如果用不计算导数的迭代方法，往往只有线性收敛的速度。
弦截法是一种不必进行导数运算的求根方法。弦截法在迭代过程中不仅用到前一
步的函数值，而且还使用x
k处的函数值来构造迭代函数，这样做能提高迭代的收敛速
度。
3.
判断下列命题是否正确：)(
)()()(
1
11-
--
--=
kk
kkk
kkxx
xfxfxf
xx),2,1(L=k
)()()(
11
--
--
kkkk
xxxfxf(1)非线性方程(或方程组)的解通常不唯一。
(2)牛顿法是不动点迭代的一个特例。
(3)不动点迭代法总是线性收敛的。
(4)任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法。
(5)牛顿法总比弦截法及抛物线法更节省计算时间。
(6)二分法与牛顿法一样都可以推广到多维方程组求解。
(7)牛顿法有可能不收敛。
(8)不动点迭代法)(
1kkxxj
=
，其中)(**
xxj
=，若|)(*'
xj
|<1，则对任意初值x
0迭代都
收敛。
(9)弦截法也是不动点迭代的特例。
答：
(1)对。非线性方程(组)在实数域甚至是复数域上很可能不存在根，也可能有无穷多根，
通常不唯一。
(2)对。不动点迭代，牛顿迭代均可以局部收敛，牛顿法经过变形可以以)(**
xxj
=
且
逐步收敛于*
x
。
(3)错。同样的方程，不同的迭代格式会有不同的结果。需要满足迭代函数的导数绝对
值<1，才能满足收敛。
(4)错。当迭代函数)(xj
在*
x邻近处有r阶连续导数，且
0)(),(*)(**
==xxxkjj
(k=1,2…r-1)，0)(*
xrj
，则迭代公式所产生的迭代序列{
nx
}是r阶收敛的。有可能有个大于牛顿法的收敛阶的r
值。
(5)错。牛顿法计算量较大，不一定更节省计算时间。
(6)对。例如，解非线性超越方程组的数值方法，可以先用二分法原理给出解一个一元
方程的流程，继而利用这个流程给出解二元方程组的流程，再推广到N元的方程组中。
(7)对。牛顿法具有局部收敛性。当初始值不够好时，牛顿法可能发散。选定的初值要
接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果。
(8)错。应该是在包含*
x的有根区间内线性收敛。
(9)对。简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求得近似根。即
由方程()0fx=
变换为()xFx=
, 然后建立迭代格式，弦截法计算
)1(kx
时需要利用前两
步信息
)(kx
,
)1(-kx
，所以弦截法也是不动点迭代的特例。
