三角形内心向量公式

1 三角形的“四心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，

四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。ABC

的重心一般用字母O

表示。

性质：

1.外心到三顶点等距，即OCOBOA

。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即

ABOFACOEBCOD,,

.

3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点，满足

ACOAOCCBOCOBBAOBOA)()()(

，则点O

为ABC

的外心。

二、三角形的内心

定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆

圆心。ABC

的内心一般用字母I

表示，它具有如下性质：

性质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝

21

三角形的周长内切圆的半径．

3.向量性质：设,0，则向量)

||||(

ACAC

ABAB

AP

，则动

点P的轨迹过ABC的内心。

2 三、三角形的垂心

定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC

的重心一般用字母H

表

示。

性质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即ABCHACBHBCAH,,

。

2.向量性质：

结论1：若点O

为ABC

所在的平面内一点，满足

OAOCOCOBOBOA

，则点O

为ABC

的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足222222

ABOCCAOBBCOA，

则点O为ABC的垂心。

四、三角形的“重心”：

定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母

G

表示。

性质：

1.顶点与重心G

的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2

倍。

即GFGCGEGBGDGA2,2,2

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．

即

3,

3CBA

GCBA

Gyyy

yxxx

x

.

4.向量性质：（1）0GCGBGA；

（2）)(

31

PCPBPAPG

。

２０１１年第１期　数学教学　１－２１　

三角形“三线＂的向量公式探究　

２０１６００上海市松江一中（华东师范大学２Ｏ０７级教育硕士）何霄　

为了使学生进一步掌握向量工具的应用，我　

们花费了２个课时，利用向量加法的平行四边形　法则、向量的单位化、向量的数量积、某一向量　在另一向量方向上的投影、向量的垂直等知识，　

对三角形中线、角平分线、高线的向量公式加以　探究，同时也培养了学生的类比、归纳、探究能　力．以下是我们的探究过程．　

问题１如图ｌ，在△ＡＪＥ｝　中，　Ｄ是Ｂ　边　的中线，你能用Ａ日、　表示ＡＤ吗？　

Ｐ　

图ｌ　

【推导过程】方法１：　：　＋　：　＋三　＝　＋三（　一　）＝Ｔ－Ａ－￣＋２－ｄ．　

方法２：以有向线段　、　为平行四边　形的两邻边，作平行四边形ＡＢＰＣ，则　：　

＋　．又因为平行四边形对角线互相平分，　所以点Ｄ既是Ｂ　是　Ｐ的中点．因　而　：丢　：　．　

我们不妨将上述向量式称为在ＡＡＢＣ中　ＪＥ；　边的中线ＡＤ的向量公式．　

同理，若ＡＣ的中点为Ｅ，则ＡＣ边的中线　赢：旦　；若　口的中点为Ｆ，￣Ｊ　ＡＢ　Ｊ２＿　

的中线　：　鱼妻　．　

引申ｌ　对△ＡＢ　内任意一点０，　：　旦妻　成立吗？　

引申２对△ＡＢＣ所在平面上任意一点０，　：—ＯＢ—　＋ＯＣ成立吗？　

引申３在△ＡＢ　中，设点Ｄ是　边上任　意一点，且满足ＢＤ＝　・ＤＣ（　≠一１），那么可　以用Ａ百、　表示ＡＤ吗？如何表示？　

【引申３的推导过程】‘．ＢＤ＝ＡＤ—ＡＢ　

且　：　一　，　：　．　，　

．・．　一　Ｂ一　（　一　）．’．　Ｄ—　一　ｆ　Ａ　—　Ｄ）　

＝　．　

引申４若Ｂ、　、Ｄ三点共线，满足ＢＤ＝　

・Ｊ［）　（　≠一１），点Ａ是直线Ｂ　外一点，贝０　

：　旦　（向量的定比分量公式）．　１十／、　．．．．．－－Ｊ　【注】：（１）向量的定比分量公式中，　Ｄ是分　向量，ＡＢ是起向量，ＡＣ是终向量．　

（２）三角形中线向量公式是向量的定比分量　公式的特殊类型．　

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合

（1）0OCOBOAO是ABC的重心.

证法1：设),(),,(),,(),,(332211yxCyxByxAyxO

0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxx O是重心.

证法2：如图

OCOBOA02ODOA

ODAO2

DOA、、三点共线，且O分AD为2：1

O是ABC的重心

（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB

同理BCOA，ABOC

O为ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，

OOCcOBbOAa0为ABC的内心.

证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，

bACcAB平分BAC,

(AObACcAB)，令cbabc

cbabcAO（bACcAB)

化简得0)(ACcABbOAcba

0OCcOBbOAa

（4）OCOBOAO为ABC的外心。

OABCDEOABCDE典型例题：

例1：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0 ，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）

＝　数理化解题研究　２０１８年第Ｏ４期总第３８９期　三角形内心的向量表示及证明　唐德绪　（云南省蒙自一中６６１１９９）　摘　要：问题：三角形内心的向量表示，证明方法：用向量的坐标方法证明提出的问题．建立平面直角坐标　系，运用三角函数的定义写出关键点的坐标，利用三角形内切圆的半径和边的关系建立内心Ｐ的坐标，进而写　出蔚、赢、　的坐标，从而三角形的内心向量式得以证明．　关键词：三角形；内心；向量　中图分类号：Ｇ６３２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—０３３３（２０１８）０４—００２２—０ｌ　在现行高中数学教材《普通高中课程标准实验教科　书（必修）数学４》“２．５．１平面几何中的向量方法”一节　中，通过几个实例向学生说明了向量方法在平面几何中　的运用．我们通过向量的线性运算和数量积运算容易得　到三角形的重心、外心、垂心的向量表示，教材编写在本　章复习参考题Ｂ组的第５、８题中，我们不妨试想：三角形　内心的向量表示．　问题在ＡＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、ｃ所对边分别为ａ、ｂ、Ｃ，若　ａＰＡ＋ｂＰＢ＋ＣＰＣ＝０，那么点Ｐ是ＡＡＢＣ的内心．　则｛　三　主’，三式相加得　圈６　＋　＋　＝　，并减去第三式得ｙ＝　．　ＩＳ　。＝÷（　＋ｃ）ｒ＝÷　＝　．　所以内心Ｐ的坐标为（　，　）．　一ＰＡ＝（ｃｃ。ｓＢ一　，ｃｓｉｎ曰一　），　＝（一　，一　－Ｆ），　ｎ＋Ｄ　Ｃ　—ＰＣ　一　，一　），　。一ＰＡ＝ａｃｃｏｓＢ一　２，ａｃｓｉｎＢ一　），　收稿日期：２０１７—１１—０ｌ　作者简介：唐德绪，女，教育硕士，高级教师，从事数学教学研究　一２２一　赢＝（一　，一　），　ｃ　Ｐ—Ｃ　ｃ一半，一　）．　分别计算横坐标、纵坐标之和，　横坐标之和为：。。　。　Ｂ一　一　＋　ａｃ一　一ｉ　ａｃｃｏｓ／ｎ５＋＿＝＝＿　：　一—　——一一　十—　———一　：　亭　：　＿０＇　纵坐标之和为：　．ｎ　ａ　ｃｓｉｎＢ　ａｂｃｓｉｎＢ　ａｃ　ｓｉｎＢ　．ｎ　们　一　ａ＿＿ｂ　Ｃ—　ａ　Ｃ—　ａ　ｂ　伽　一　十　＋　＋６＋　＋　＋ｃ　—ａ２　ｃｓｉｎＢ＋ａｂｃｃｓｉｎＢ＋ａｃ２　ｓｉｎＢ：。ｃｓｉｎＢ一　＝ａｃｓｉｎＢ—ａｃｓｉｎＢ＝０．　所以０　＋ｂ赢＋　：（０，０），即。一ＰＡ＋ｂ—ＰＢ＋ｃ　：０．　上面每步都可逆，所以当　＋ｂ—ＰＢ＋　一ＰＣ：０时，　点Ｐ是ＡＡＢＣ的内心．　参考文献：　［１］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课　程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书（，Ｌ－　修）数学４，Ａ版［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１５（１２）：　１０９—１１１，１２０．　［责任编辑：杨惠民］