2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
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- 1 - / 7 224685101OxyQPPAM2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 计算： .
2. 已知集合，，则 .
3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .
4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.
5. 不等式的解集是 .
6. 设8780178(1)xaaxaxax，则0178||||||||aaaa .
7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .
8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .
9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 .
10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.
11. 若，是一二次方程的两根，则 .
12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 .
13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .
14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知直线：与直线：，记3(2)23kDkk .是两条直线与直线平行的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
17. 已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，
则表示复数的点是（ ）
A. B. C. D.
18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）
A. 1个 B. 4个 C. 7个 D. 8个
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足.
（1）求的大小；
（2）若，的面积，求的值.- 2 - / 7 B1BC1CDD1AA1PMN20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.
上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）
（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.
（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥的体积.- 3 - / 7 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知函数（其中）.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数的反函数；
（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.
试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.
23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
在数列中，已知，前项和为，且.（其中）
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.
静安区xx第一学期期末教学质量检测- 4 - / 7 高三年级数学（文科）试卷答案
（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 计算： .
解：.
2. 已知集合，，则 .
解：.
3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .
解：.
4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.
解：45.
5. 不等式的解集是 .
解：.
6. 设8780178(1)xaaxaxax，则0178||||||||aaaa .
解：256.
7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .
解：.
8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .
解：.
9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 .
解：-2.
10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.
解：（或或）.
11. 若，是一二次方程的两根，则 .
解：-3.
12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 .
解：或.
13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .
解：.
14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .
解：.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
解：D.- 5 - / 7 224685101OxyQPPAMB1BC1CDD1AA1PMN16. 已知直线：与直线：，记3(2)23kDkk .是两条直线与直线平行的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
解：B.
17. 已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，
则表示复数的点是（ ）
A. B. C. D.
解：D.
18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（ ）
A. 1个 B. 4个 C. 7个 D. 8个
解：C.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足.
（1）求的大小；
（2）若，的面积，求的值.
解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分）
又由为锐角，得.（6分）
（2），又∵ ，∴ ，（8分）
根据余弦定理：2222cos7310bacacB，（12分）
∴ 222()216acacac，从而.（14分）
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.
上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）
（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.
解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）
（2）14,03()2.46.8,3103.65.2,10xfxxxxx .
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.
（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥的体积.- 6 - / 7 解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，
∴ 为的中位线，得，
又∵ ，∴ 2222MNNDMD，（2分）
∵ 在底面中，，，∴ ，
又∵ ，为异面直线与所成角，（6分）
在中，为直角，，∴ .
即异面直线与所成角的大小为.（8分）
（2），（9分）
1132PBMNVPMMNBN，（12分）
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知函数（其中）.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）求函数的反函数；
（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.
试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.
解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）
又∵ 22()()log(1)log(1)0aafxfxxxxx，
∴ 函数是奇函数.（4分）
（2）由，且当时，，
当时，，得的值域为实数集.
解得，.（8分）
（3）在区间上恒成立，即，
即在区间上恒成立，（11分）
令，∵ ，∴ ，
在上单调递增，∴ ，
解得，∴ .（16分）
23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
在数列中，已知，前项和为，且.（其中）
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.
解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）
或者令，得，∴ .
（2）当时，1111(1)()(1)22nnnnaanaS，
