2018年天津市部分区高考数学一模试卷(理科)含解析
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2018年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁RB）=（ ）
A．{1，2} B．{1，2，3} C．{0，1，2} D．（0，1）
2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（ ）
A．3 B．2 C．4 D．12
5．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（ ）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，﹣3） D．（0，﹣3）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.
9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=
．
10．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是 ．（用数字填写答案）
11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为
．
13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为 ．
14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．
16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：
班级 高三（1） 高三（2） 高三（3）
人数 3 3 4
（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；
（Ⅱ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）
班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．
（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；
（Ⅲ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．
18．已知正项数列{an}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{lgbn}的前n项和为lg（2n+1），记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB
面积的最大值．
20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．
2018年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁RB）=（ ）
A．{1，2} B．{1，2，3} C．{0，1，2} D．（0，1）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先分别求出集合A和B，从而得到CRA，由此能求出集合A∩（∁RB）．
【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，
B={x|y=}={x|x≤﹣3或x≥3}，
∴CRA={x|﹣3＜x＜3}，
集合A∩（∁RB）={1，2}．
故选：A．
2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结
合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（3，3），
化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z．
由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0．
故选：B．
3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】程序框图．
【分析】利用循环结构可知道需要循环4次，根据条件求出i的值即可．
【解答】解：第一次循环，s=﹣2＜5，s=﹣1，i=2，
第二次循环，s=﹣1＜7，s=1，i=4，
第三次循环，s=1＜9，s=5，i=6，
第四次循环，s=5＜11，s=13，i=8，
第五次循环，s=13≥13，此时输出i=8，
故选：C．
4．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（ ）
A．3 B．2 C．4 D．12
【考点】正弦定理．
【分析】由已知及正弦定理可得：c=，进而利用余弦定理即可求得a的值．
【解答】解：∵sinA﹣2sinC=0，
∴由正弦定理可得：c=，
∵B=，b=6，
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：62=a2+（a）2﹣2a，整理可得：a=4，或﹣4（舍去）．
故选：C．
5．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是
q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】解不等式，求出关于p的x的范围，根据函数的性质求出关于q的x的范围，根据集合的包含关系判断充分必要条件即可．
【解答】解：由x2﹣4x+3≤0，解得：1≤x≤3，
故命题p：1≤x≤3；
f（x）==x+，
x＞0时，f（x）有最小值2，x＜0时，f（x）有最大值﹣2，
故命题q：x≠0，
故命题p是命题q的充分不必要条件，
故选：A．
6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（ ）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
【考点】圆锥曲线的综合．
【分析】确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出
b，a，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，
∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，
∴=4，即b=4，
∵c=5，∴a=3，
∴双曲线方程为： =1．
故选：D．
7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：
在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，
则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），
M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）
=﹣1﹣=﹣．
故选：D．
8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，﹣3） D．（0，﹣3）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，判断x≤0，与x＞0交点的情况，列出关于a的不等式，解之可得答案．
【解答】解：g（x）=f（x）+2x﹣a=，函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，
可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，
函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a﹣1，最多两个零点，
如上图，要满足题意，函数y=2x+2x是增函数，x≤0一定与x相交，过（0，1），g（x）=2x+2x﹣a，与x轴相交，1﹣a≥0，可得a≤1．
还需保证x＞0时，抛物线与x轴由两个交点，可得：﹣a﹣1＞0，△=4（a+1）
